CC BY
37
УДК 681.325.3
Н А. ГАЛАНИНА, Н.Н. ИВАНОВА, А.А. ИВАНОВ
РЕАЛИЗАЦИЯ БЛОКОВ ШИФРАЦИИ И ДЕШИФРАЦИИ СИГНАЛОВ В НЕПОЗИЦИОННЫХ УСТРОЙСТВАХ ЦОС
Шифраторы заметно влияют на общие аппаратурные затраты цифровых непозиционных устройств, поэтому актуально исследование методов и устройств непозиционного кодирования в такой постановке. Целые ^-разрядные числа х(кТ) необходимо преобразовать в ^-разрядные вычеты х(кТ) по взаимно простым модулям N ( S = 1, V ). При этом минимизируется функция = Д^ш , где
Ош - число двухвходовых логических элементов в шифраторе, - время ко-
дирования. По определению для перехода в систему остаточных классов (СОК) надо осуществить преобразование. Существует несколько способов непозиционного кодирования. Первый, применяемый в автономных спецпроцессорах, - предусматривает совмещение функций АЦП и шифратора. Второй метод, который рассмотрен в статье, применяется при работе непозиционных устройств со стандартными магистралями позиционных устройств. В таких системах шифраторы Ш5 перекодируют позиционный код в СОК. При этом Ш5 могут быть реализованы на ППЗУ и логических схемах.
Реализация шифраторов СОК на ППЗУ является самой простой: исходный код числа х(кТ) является адресом заранее вычисленного и запрограммированного вычета хх (кТ) (рис. 1). В этом случае время кодирования составляет tш1 = , а аппаратурные затраты равны Бш1 = 2Й1 . В табл. 1 представле-
ны сведения о для одного канала СОК.
x(kT) ППЗУ xs(kT)
R1 Rs
Рис. 1. Схема шифратора на ППЗУ (без разбиения x(kT))
Из табл. 1 следует, что реализация шифраторов СОК на ППЗУ возможно только для ограниченного числа случаев (R1=12). Кроме того, затраты являются весьма значительными. При этом время кодирования невелико и составляет несколько наносекунд.
Из теории информации известно, что меньшие аппаратурные затраты обеспечиваются, когда входные числа x(kT) разбиваются на n частей xt (kT).
Очевидно, что:
x, (kT) =< X x„- > mod Ns , (1)
i=1
где х7 =< х121 ) > mod N .
Таблица 1
Количество двухвходовых логических элементов в шифраторе, необходимых для реализации одного канала СОК__________________
*1 я* Я1=8 я1=10 *1=12 *1=16
= 1024 4096 16384 *
= 1280 5120 20480 *
6 II 1536 6144 24576 *
* - Примечание: построение шифратора при ,К1=16 без разбиения на группы не имеет смысла, так как резко растут аппаратурные затраты.
ППЗУ 7-й части х7 (кТ) вычета х^ перепрограммируется в соответствии с (1). Его схема показана на рис. 2. Для этой схемы Дш2 = 2Я5 2Й‘/2 + Ди + Дс, где Ди = 2 +1 - аппаратурные затраты на логические схемы «И», выраженные в
числе двухвходовых логических элементов; Дс = 14(ЛХ +1);
1ш2 = 1ПЗУ + 2^ср (^ + 4). При этом надо учесть, что Дш2 = 2Й‘/2 + Ди + Дс, если
^ так как в этом случае «младший» ПЗУ будет отсутствовать, и все
младшие разряды х(кТ) хмл = х^. Для случая разбиения х(кТ) общие затраты Дш2 приведены в табл. 2.
Рис. 2. Схема шифратора при разбиении х(кТ) на две части
Общие затраты двухвходовых логических элементов
в шифраторе при разбиение х(кТ) на части________________________
*1 я* Я1=8 *=10 *1=12 *1=16
ТГ II 194 322 578 2114
Т1 II 162* 402 722 2642
40 II 194* 290* 866 1586
* - Примечание: этот парадокс обусловлен отсутствием «младшего» ППЗУ.
Во всех случаях шифраторы на ППЗУ имеют недопустимо малый коэффициент использования ППЗУ:
^ш =1 N 2-*/ V,
(2.2)
где V - число каналов СОК. Кроме того, такое решение обеспечивает минимальность целевой функции ^ш только при Я8 > 7 [2], что противоречит практической необходимости. Кроме того, для всех фильтров в СОК Я5тах = 4...6 .
Я5 < 6 ^штт достигается при использовании логических шифраторов. Обобщенная схема логического шифратора в канале N 5 , как всякая комбинационная схема, содержит матрицу дизъюнкций (МД) и матрицу конъюнкций (МК) (рис. 3).
Такое непосредственное решение допустимо для малых значений модулей (N 5 =5, 7; Я5 =3). Например, при N =5 (Я5 =3), обозначая х(кТ)=А; х3 (кТ)=В, имеем: В = Ь3Ь2Ь1 =< а3а2а1 > mod5 = Я3. Иначе говоря, происходит
следующее преобразование: 000—000; 001—>001; 010—>010; 011—>011;
100—>100; 101—000; 110—001; 111—010. Интересно заметить, что если Я=4, то В= Я3 при а4=0; В =< Я3 + 3 > при а4=1; если Я=5, то В=Я3 при а5=0; а4=0 (00); В =< Я3 + 3 >mod5, если (01); В =< Я3 + 2 - 3 > mod5, если (10); В =< Я3 + 3 - 3 > mod5, если (11).
х(кТ) •<
Я1-
МД
МК
► х^кТ)
■Я
Рис. 3. Обобщенная схема логического шифратора N
Дальнейшее рассмотрение свойств этого и подобного ему преобразований показывает периодичность вариантов и возможность логического вычисления остатков путем выделения «младшей» части исходного кода, которая дает остаток Ямл (в нашем примере это Я3), и повторяющейся «старшей» части исходного кода. При большом числе разрядов Я1 их надо разбивать на несколько частей, вводя сумматор, как это показано на рис. 2. Схема логического
5=1
шифратора представлена на рис. 4, где ЛС-1 - логическая схема для младших разрядов, а ЛС-2 - логическая схема для старших разрядов. В схеме такого шифратора сумматор также выполняется на логических элементах и, как отмечено выше, число двухвходовых логических элементов, затрачиваемых на построение сумматора, равно 14(Я$ + 2), т.е. оно изменяется от Вс =70 для Я$ =4 до Вс=112 для Я$ =7.
Рис. 4. Схема логического шифратора на логических схемах (Ямл - разрядность младшей части числа А, Яст - разрядность его старшей части: Я1=Ямл+Яст)
При реализации сумматора обязательно учитываются знаки чисел. На-
V
помним, что за 0 в СОК считается число N/2, где N = П NS . Тогда числа
5=1
< N / 2 + Я > NS - будут положительными, а числа < N /2 - Я > NS - отрицательными.
Разбиение входного числа можно проводить не на две, а на несколько частей. Например, при Я1 =10 число А можно разбить на числа аст =3 разряда,
а ср =3 разряда, амл =4 разряда. Они соответствуют старшей, средней и младшей группам разрядов. При этом Яст + Яср + Ямл = Я1 = Яобщ . Исследования показывают, что разрядность Ямл должна быть равна Я5. Тогда обозначим:
П
V = Яобщ - Ямл = У Я1 . Разбиение можно проводить по-разному, поэтому най-
;=1
дем правило для него, минимизируя функцию
( \ V-^Я; П Я
/(Я ) = 2 -=2 + У 2Я . (3)
1=2
Ы V -УЯ П
Тогда = -2 >2 1п2 + 2Я 1п2 = 0; Я = V -У Я, .
дЯ- 1 £2 ]
Выписывая последовательно, получим: Яст = Яср1 = ... = Ямл . Учитывая это равенство, определим минимум ы Я) по числу разбиений. Если все части равны, то при разбиении на п частей: /(п) = п2я , где Я^/п.
Исследуем эту функцию на экстремум:
Ж = 2V/n - n—2V/n = 2V 7 n - 7 n ln2 = 0.
dn dn n
Отсюда n = V ln2, т.е. минимум наблюдается при значениях n близких к V, а степень двоек равна либо 1, либо 2. Исследование показывает, что остаток от R1 - Rm надо разбивать на 2-4 части. Очевидно, что чем меньше слагаемых, тем меньше время на сложения. При требованиях tm = tmmin выбирается n=2, т.е. надо делить оставшиеся разряды на две части: R - среднюю и RGX - старшую. Если Аср = a6a5a42R™ , то Вср =< Аср > mod NS, а Вст =<a9a8a72R“”+Rср > modNS . Это при R1=10. При R1=8 разрядность младшей части при RS =4 надо выбирать Rm =4;
средней RCр =2 и старшей RCр =2, и при Rs =5; Rмл =4; RCр=RCT =2. При rs =6,
Rср = Кт =1, а Rмл = RS =6.
Если в функции f(n) учитывать затраты на сумматор, т.е.
f (n) = n2Rl/ n + (n - 1)Dc, то экстремум функции fn) находится в точке:
R ln 2 r / n r\ ~
Dc =-------2 1 . Отсюда можно найти оптимальные значения n в зависимости
n
от Dc и Rj. Как указывалось выше, реальные затраты на Dc для СОК составляют Dc =70...112. Видно, что при R1=10: nopt =4 для Dc=10...14; nopt =3 для Dc =15...44; nopt =2 для Dc =45.448; =1 для Dc >449. При Я =8: =4
для Dc =6.8; nopt =3 для Dc=9...20; nopt =2 для Dc =21.223; nopt =1 для Dc >224. Следовательно, применение реальных сумматоров обусловливает nopt =2. Разбиение x(kT) нецелесообразно при R1 <8.
При n=2 число A разбивается на 3 части: Rm, R и Rст. Пусть Rm =4; Rср = R^ =3. Тогда в состав ЛС-1 (средней) и ЛС-2 (старшей) частей входят DH =12 конъюнкций. Число DmH дизъюнкций различно. Исходя из этого, далее рассмотрим шифраторы, в которых входные R1 -разрядные числа делятся на старшую и младшую части хст и хмл, каждая из которых имеет разрядность R1 / 2. При этом количество двухвходовых конъюнкторов, входящих в состав логических схем ЛС-1 (ЛС-2), определяется дедуктивно:
DH = R1 + 2R1/2 +13 - J2 R1/2 / NS [. Максимальное время срабатывания ЛС (при Я / 2=5) составляет 31^ , где t^ = (t^1 +1™ )/2 , где t^ и t™ - время задержки
включения и выключения ИС. Как указывалось, в состав шифраторов с логическими схемами входят сумматоры по модулю NS (рис. 4), которые синтезированы в [1] для всех простых модулей до NS =97. Модульные сумматоры со сквозным переносом содержат 14(s +1) двухвходовых логических элементов, а максимальное время сложения в них с учетом обратных связей в два
раза больше, чем у обычного накапливающего сумматора tc = 2t RS + 2). Таким образом, Ц = 2Блс + А; ^ = 3^ + tc = (7 + 2R5 ).
Упрощение логических шифраторов состоит в том, что часть чисел 0< хмл < NS -1 точно соответствует вычету хотл =< хмл > mod NS . Другая часть
NS <x(kT) < 2Rl /2 должна логически преобразовываться в вычет в соответствии с (1). Это дополнительно сокращает аппаратурные затраты за исключением случаев NS =3, NS =5 и RS > R1 / 2. Схема ЛС-1 заменяется опорной ОС (рис. 5). Ключи K1 открыты для чисел хмл1, если нет сигнала запрета, который вырабатывается при х1 = хмл2 > NS в схемах К2 и К3. Дизъюнкторы К4 формируют разряды вычетов < хмл2 > mod NS из выходных комбинаций К2. Выходным сигналом дизъюнкторов К5 является хи = хмл1 + < хмл2 > mod NS . Аппаратурные затраты на построение опорной схемы Doc можно вычислить по следующим формулам:
Doc = Dk + £ Du, (4)
i=3
где Dk = Dk1 + Dk2 ; Dk3 = 21 - NS - 1; Dk4 = Dk5 = Rvji .
Рис. 5. Опорная схема
Очевидно, необходимо выбирать варианты, близкие к Дос =0, поэтому допустимо в ряде случаев неравномерное разделение х(кТ) на число частей п>2. Это становится тем более справедливым, когда можно использовать логические схемы, входящие в функциональные СОК-блоки (сумматоры, АЛУ и т.п.), и синтезировать комбинированные схемы. Шифратор будет содержать только ЛС и ОС. Варианты п=3.. .4 не только оправданы, но и необходимы.
Значительное влияние на аппаратурные и временные затраты ЦФ в СОК оказывают схемы восстановления результата - дешифраторы [4].
Вычеты локальных результатов каждого СОК г5(кТ) позволяют восстано-
V
вить общий результат у(кТ) в классе вычетов по модулю N = П в соответ-
5=1
ствии с теоремой об остатках.
В общем случае схема восстановления результата имеет вид, показанный на рис. 6. Алгоритм работы этой схемы определяется уравнением (5):
y(kT) - (£ r* (kT)UsMs )modN, (5)
S=1
где = - операция сравнения по mod N; rS(kT) - вычет результата по модулю NS; USMS-1modNS; MS=N/NS.
Рис. 6. Дешифратор (общий случай)
В соответствии с (5) у(кТ) вычисляется для всех комбинаций г5(кТ). Вектор г (кТ) будет Яу -разрядным адресом каждого из ПЗУ (Яу = £ Я5 ). Таким
образом, в дешифраторе при большом Яу вычеты каждого канала объединяются по 2 или 3 и поступают на ПЗУ, в которых хранятся промежуточные результаты <у(кТ)>Ы. Далее частичные результаты складываются в сумматорах, один из которых первоначально установлен в состояние «-№>. Если при этом сумма меньше N то в знаковом разряде этого сумматора будет «1», открыта схема И1 и у(кТ) считывается из верхнего сумматора. В противном случае через И2 результат считывается из второго сумматора. Через схему «ИЛИ» один из результатов подается на вход решающего устройства (суммирование результата по совокупности из п импульсов надо проводить вне СОК - в решающем устройстве). При £Я8 > 11...12 оптимальными являются поразрядные дешифраторы (рис. 7), для которых аппаратные затраты ^дш=2',]^2 N[, а временные затраты tдш= Яч (^ + tпзу).
Рис. 7. Поразрядный дешифратор
Если £ Я5 < 11...12 и используется деление, то возможна реализация дешифратора на ПЛМ, или ПЛИС что является наилучшим вариантом, так как при минимальных аппаратных затратах обеспечивается (цш=плм.
Литература
1. Акушский И.Я. Машинная арифметика в остаточных классах / И.Я. Акушский, Д.И. Юдиц-кий. М.: Сов. радио, 1968.
2. Лебедев Е.К. Синтез и анализ устройств непозиционной обработки сигналов / Е.К. Лебедев // Тезисы докл. Юбилейной науч. конф. ЧГУ. Чебоксары: КЛИО, 1997. С. 173-174.
3. Лебедев Е.К. Непозиционные фильтры / Е.К. Лебедев. Йошкар-Ола: Экседарт, 1991. 87 с.
4. Макклеллан Дж.Н. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Дж.Н. Макклеллан, Ч.М. Рейдер; пер. с англ. под ред. Ю.И. Минина. М.: Радио и связь, 1983. 264 с.
ГАЛАНИНА НАТАЛИЯ АНДРЕЕВНА родилась в 1954 г. Окончила Марийский государственный технический университет. Кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем Чувашского государственного университета. Область научных интересов - непозиционные алгоритмы и устройства цифровой обработки сигналов. Автор более 30 научных работ, в том числе 1 учебного пособия и 1 авторского свидетельства.
ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА родилась в 1976 г. Окончила Чувашский государственный университет. Заведующая лабораторией информационных средств обучения, старший преподаватель кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем Чувашского университета. Область научных интересов - непозиционные алгоритмы и устройства цифровой обработки сигналов. Автор 15 научных публикаций, в том числе 1 учебного пособия.
ИВАНОВ АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ родился в 1982 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем. Область научных интересов - быстрые алгоритмы ЦОС; автоматизированные системы обработки данных. Автор 1 научной публикации.
