CC BY
94
УДК 519.614.4
ЕЛ. Богданенко
РАЗВЕРТЫВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА И НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ
Проект посвящен нахождению собственных значений трехдиагональных матриц. Изложен алгоритм нахождения коэффициентов характеристического полинома симметричных трехдиагональных матриц с последующей локализацией его корней на основе мето-. . Трехдиагональные матрицы; характеристический полином; собственные числа.
E.N. Bogdanenko
DEVELOPMENT OF CHARACTERISTIC POLYNOMIAL AND FINDING OF EIGENVALUES ON ELEMENTS OF THREE-DIAGONAL MATRICES
A project is devoted finding of eigenvalues of three-diagonal matrices. The algorithm of finding of coefficients of characteristic polynomial of symmetric three-diagonal matrices is expounded with subsequent localization of his roots on the basis of method of sorting. The matrix form of algorithm is resulted.
Three-diagonal matrices; characteristic polynomial; own numbers.
Излагается алгоритм нахождения коэффициентов характеристического полинома симметричной матрицы, основанный на применении формулы Хессенберга с последующим использованием схемы на основе сортировки для определения
корней этого полинома. Рассматривается параллельная матричная форма алгорит-
,
обмена; временная сложность (время выполнения) оценивается числом последовательных шагов алгоритма.
Метод нахождения характеристического полинома симметричной трехдиа-гональной матрицы. Рассматривается следующая задача на собственные значения:
det( A -AE) = 0,
где A - симметричная трехдиагональная матрица вида
(1)
A =
ai b2 0 0 0
b2 a2 Ьз • 0 0
0 b3 a3 • 0 0
0 0 0 • an-1 bn
0 0 0 ■ bn an
(2)
V
Определитель из левой части (1) рекуррентно определяется последовательностью полиномов
fm(A) = (am -A) ■ fm -l( A) - bm ■ fm-l( A), m = 1, 2 ,...,n ,
(3)
известной как последовательность Штурма [1], (3) получается из (1) по индукции, причем /о(Л) = 1, ¡1(Х) = а1 -Л , /2(Л) = аа -ь| -(а1 + а2)Л + Л2, т.е. /¡( I = 0, 1, ..., т) - диагональные миноры. Каждый такой минор представляет собой характеристический полином матрицы
А _ =
а1 ь2 0
ь2 а2 ь
0 ь а3
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
■■■ ат-1 Ьт
... ь т
где т = 2, 3, ..., п , который может быть записан в виде
/т (Л) = йт0 - йт1 Л + йт 2Л2 +... + (- 1)т йттЛ
и т\ ' т0 т1 т2 \ / тт
(4)
, (1)
матрицы А : /п(Л) = йо -йЛ + +... + (-1 )пйпЛп .
Схема нахождения коэффициентов характеристического полинома строится на основе равенства выражений (3) и (4) при т = 1,2,...,п :
/о(Л) =
А(Л) =
/2( л; =
/з( Л) =
(3)
1
а1 - Л
аа - ь2 - (а1 + а2)Л + Л2
2 2 а^аз - а^з - аз^2 -
- (а^2 + аа + а2аз )Л +
2 3
+ (а1 + а2 + а3)Л -Л
по формуле (4) йоо
йю - йцЛ й20 - й21Л + й22Л й30 - й31Л + й32Л - й33Л
Отсюда получаем отношения
й00 =1 й10 = а1 , йц = й00
й20 = й10а2 - Ь2 , й21 = й10 + а2 0Ь3 , й31 =й й32 = й21 + а3
й22 = й
11
22 й30 = й20а3 - й10Ь3 , й31 = й20 + й21а3 - Ь3
й33 = й22
2 2
йк0 = акй(к-1 )0 -Ькй(к-2)0 , йк1 = й(к-1 )0 + акй(к-1 )1 -Ькй(к-2)1
2
йк2 = й(к-1 )1 + акй(к-1 )2 - Ькй(к-2)2 ,
2
йк3 = й(к-1 )2 + акй(к-1 )3 - Ькй(к-2)3 ,
(5)
йк(к-3) = й(к-1 )(к-4) + акй(к-1 )(к-3) --2)(к-3) -йк(к-2) = й(к-1 )(к-3) + акй(к-1 )(к-2) - Ьк -йк(к-1) = й(к-1 )(к-2) + ак - йкк = й(к-1 )(к-1) - к = 1>2. Таким образом, коэффициенты характеристического многочлена /к(^) = йк0 -4Й + Лк2^2 + ••• + (-1/4Йк матрицы Лй1тк ( к = 1,2) ре-
куррентно выражаются через элементы ак и Ьк этой матрицы и коэффициенты характеристических полиномов /к-1(Л) и /к-2(Л) матриц А^к-1 и А .
В матричной форме (5) можно записать в виде
(
йкк йк (к-1) йк (к - 2)
йк1 йк 0
Л
к
1 0 0 0 0 0
ак 1 0 0 0 (к-1)(к-1) 0
0 ак 1 й (к-1)(к - 2) й(к - 2 )(к - 2 )
0 0 ак •к +10 0 X - ь2
0 1 0 й (к-1) 1 й(к - 2)2
ак 1 V й (к-1)0 у й(к - 2 )1
0 0 0 0 ак у й(к-2)0 ,
(6)
Запись в виде алгебраической суммы делает рекурсивные вычисления . (6) , формула содержала операцию умножения матриц и не содержала операции их сложения. Очевидно, этому условию удовлетворяет равенство
йкк йк(к-1)
йк1 <4о
(к-1)(к-1)
(к-1)(к-2)
й(к-1)1
(к-1 )0
1 0 0
ак 1 0
0 ак 1
о
о
10 ак 1 0 ак
I }к
к
0 0
-Ь2
00 00 00
к+1
о
о
00 0
-ь2
0
-Ь2
к+1
к-1 о}к
к-1
а(к-1)(к-1)
(к-1)(к-2)
а(к-1)1 й(к-1)0
й.
(к-2)(к-2)
(к-2)(к-3)
а(к-2)1 К й(к-2)0
(7)
правая часть которого представляет собой произведение матрицы на вектор.
Замена в (7) к на к -1 позволяет аналогично представить вектор из правой части. Описанный рекуррентный процесс при к = п влечет выражение коэффициентов многочлена (4) через элементы исходно заданной матрицы (2):
V
X
ч
/
/
п-1
й о
1 о о
ап 1 о
о ап 1
О
О
"п *
о а
о о о
о о о О
Ьп2 о о
п +1
О
- Ь2
О - Ь2
п+1
1>
п-1
Оп
п-1
О о
1
ап -1
О
О
ап-1
о
о о о о о о
О
-Ьп2-1
оо
О
- Ь,
п-1
- Ь2
/} п -1
п-1
п-2
О г-1
п-2
1 о о
а2 1 о 1
о а2 - Ь22 Х а-1
1 о о 1
о 1 о
(8)
Х...Х
Размерность произведения (8) последовательно возрастает справа налево на две единицы. При умножении в (8) справа налево - матрицы на вектор - текущий множитель всегда вектор. Временная сложность такого умножения составляет:
Т (2к -1) = ^ + 2 хс, Т(1)= (2к -1) гу + 2(к -1) гс.
Отсюда для нахождения всех коэффициентов уравнения (4) потребуется время Т(2п -1) < п(^ + 2.
Максимальный параллелизм нахождения характеристического полинома симметричной трехдиагональной матрицы.Попарные умножения (8) , . :
й
п
1
о
Х
п
п
1
а
п -1
о
п
п
1
о
о
Х
Х
о
п-1
Dk =
dkk dk (k-1) dk (k - 2)
dk1 dk 0
D
k-1
d (k-l)(k-1) d (k-l)(k-2)
d (k-1) 1 d (k-1) 0
Ak =
1 0 0 0 0
ak 1 0 0 0
0 ak 1
0 0 ak k +1 0 0
0 1 ak 0 1
0 0 0 0 ak
(7) преобразуется к виду
Bk =
0 0 0 0
O
- b2 0 0
O
- b2
0 0 - b2
k +1
k-1
(9)
Dk
Dk-1
V k V
(8)
KDn-1j
Ak Bk I 0
D
k-1 ADk ~2/
П
г=1 V
Ai Bt I0
D1 D 0
V 0J
(10)
Умножение матриц в (1о) можно выполнить по схеме сдваивания за \log2 п~\
,
.
В обозначениях
Rk =
Dk -1
v
,At =
j
At Bt I 0
Ri =
D1
\D0J
(1о)
Rk =
k -1
П A
t=1
R1
или
Rk = Ak-1 • Ak-2 ••••• A3 • A2 • R1. Время максимально параллельного вычисления (10) составляет [2]:
T (R ) = O (log 2 n),
где Я = О(4п ) означает количество процессорных элементов.
0
k
v
X
Принимая во внимание, что блоки умножаемых матриц имеют треугольную структуру и нулевые строки, указанная оценка достигается на R < l(n2 + 2n + 2) процессоров [2]. Таким образом, имеет место
Теорема 1. Коэффициенты полинома (4) явно выражаются через элементы матрицы (2) в форме (8), из которой их значение вычисляется параллельно с временной сложностью T (n2 + 2n + 2 ) = O (log| n) .
Описанный алгоритм без принципиальных изменений сохраняется для несимметричных трехдиагональных матриц [3,4]. Он также может быть распространен на случай симметричных матриц общего вида, исходя из того, что любая невырожденная симметричная матрица может быть конструктивно преобразована к
трехдиагональной форме [4].
, ,
корней полинома можно воспользоваться схемой на основе сортировки, изложенной в [6,7], в которой с помощью матриц сравнения [8] при выполнении модифицированного слияния достигается максимальный параллелизм, устойчивость, прямая и обратная адресация к входным и выходным индексам.
Программная реализация алгоритма осуществлена в среде Delphi 7. В частно, ,
1 2 0 0 0
2 1 2 0 0
0 2 1 2 0
0 0 2 1 2
0 0 0 2 1
результатом работы программы будут коэффициенты характеристического полинома: -1, 5, 6, -38, -5, 33, а также собственные числа: 2,99999999999999Е-0000, -1,00000000000000Е-0000, 4,46410161537878Е-0000, 1,00000000000000Е-0000, -2,46410161537878 -0000.
Листинг программы идентификации корней характеристического полинома матрицы общего вида с учетом кратности, программный и численный эксперимент описаны в [9] и здесь использованы с точностью до способа формирования коэффициентов характеристического полинома матрицы.
Параллельная схема развертывания характеристического полинома отличается от известных по построению, явным выражением коэффициентов полинома через элементы матрицы и сокращенным числом процессоров по сравнению со
случаем матрицы общего вида: Т(п 2)= О (log| п).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курош А Т.• Курс высшей алгебры. - М.: Наука. - 1975. - 335 с.
2. Ромм Я^Е^, Богданенко КК Параллельное решение проблемы собственных значений для трехдиагональных матриц // Составляющие научно-технического прогресса. Сб-к материалов 4-й Международной научно-практической конференции. - Тамбов. - 2008. - С. 96-104.
3. Ромм Я^Е^, Богданенко Е^Н- Параллельная итерационная схема нахождения собствен-
// , задачи, информационно-вычислительные технологии: сб. науч. статей VII Международной научно-технической конференции. - Пенза: РИО ПГСХА, 2007. - С. 84-87.
4. Ромм Я.Е., Богданенко ЕМ. Параллельные итерационные схемы нахождения собственных значений трехдиагональных матриц - Таганрог. госуд. педагогич. ин-т. - Таганрог. - 2007. - 23 с. - Деп. В ВИНИТИ 07.11.07, №1029.
5. Ромм Я.Е., Богданенко ЕМ. Параллельное решение проблемы собственных значений для трехдиагональных матриц. // Вторая Международная научная конференция «Суперкомпьютерные системы и их применение SSA' 2008». - Минск. - ОИПИ НАН Беларуси. - 2008. - С. 286-290.
6. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. - Киев. - 2007. - № 1. - С. 165-182.
7. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычислен ие нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. - Киев. - 2007. - № 2. - С. 161-174.
8. Ромм ЯМ. Параллельная сортировка слиянием по матрицам сравнений. I // Кибернетика и системный анализ. - 1994. - № 5. - С. 3-23.
9. Веселая А.А. Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений. - Таганрог, 2009. Автореферат диссертации па соискание ученой степени канд. техн. наук. - 19 с.
Богданенко Елена Николаевна
ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт».
E-mail: bogdanenko_elena@mail.ru.
347924, . , . , . 48.
Тел.: +79514983082. '
Bogdanenko Helena Nickolaevna
GOUVPO the «Taganrog state pedagogical college».
E-mail: bogdanenko_elena@mail.ru.
48, Initiative street, Taganrog, 347924, Russia.
Phone: +79514983082.
УДК 621.396.965.621.391.26
E.A. Самойличенко
ОСОБЕННОСТИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ЭХО-СИГНАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ГИДРОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ В ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ МОНИТОРИНГА ДВИЖУЩИХСЯ
ОБЪЕКТОВ
В статье рассматривается вопрос предварительной обработки эхо-сигналов информационной системой мониторинга движущихся объектов на базе ГЛ. Приводится алгоритм удаления реверберационных помех и собственных шумов водоёма и описывается влияние параметров алгоритма на результаты его работы.
Гидролокатор; эхо-сигналы; гидролого-атстическая обстановка; движущиеся объекты; информационная система; предварительная обработка сигналов; обнаружение объ-
; ; .
E.A. Samoylichenko
FEATURES OF PRE-PROCESSING OF THE SONAR ECHO SIGNALS IN AN INFORMATION SYSTEM FOR MONITORING MOVING OBJECTS
The article examines pretreatment echo information system for monitoring moving objects based on the sonar. The article gives an algorithm for removing reverberation noise and intrinsic noise of the reservoir and the influence of the parameters of the algorithm on the result of his work.
Sonar, echo-signals; moving objects; information system; signal pre-processing; object detection; noise suppression; reverberation noise.
