CC BY
28
Разработка спецкурса «Множества Жюлиа и множества Мандельброта»
В. С. Секованов, $екоуапоууя@[геетт1. ги В.А. Ивков, Ivkov_wa@mail.ru, Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова
Современная математика сделала огромный шаг в своем развитии. Однако ее идеи практически не проникают в школьный курс математики. Как известно школьная математика оставляет учащихся почти в XVIII веке по алгебре и началам анализа и почти в древней Греции по геометрии. Следует отметить, что в вузовский курс математики идеи современной математики также проникают медленно.
Фрактальная геометрия - молодое быстроразвивающееся математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и бурным развитием программирования, компьютерной графики, художественного компьютерного творчества. Идеи фрактальной геометрии в настоящее время применяются в физике, металловедении, медицине, психологии, экономике, лингвистике и других областях. Проводятся представительные форумы, посвященные фракталам как у нас в России, так и за рубежом.
Изучение фрактальной геометрии невозможно без использования современных информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Алгоритмические и математические методы играют здесь равноправную роль. По нашему мнению, преподавание фрактальной геометрии дает широчайшие возможности для формирования креативности студентов и развития их мировоззрения. Изучение фрактальной геометрии целесообразно проводить на уровнях бакалавриата, специалитета, магистратуры и аспирантуры.
Одним из важнейших разделов фрактальной геометрии являются множества Жюлиа и множества Мандельброта, которые были впервые построены на компьютере. Интересно отметить, например, что множества Жюлиа были открыты в 10-х годах прошлого века, а визуализированы только через полвека после их открытия. Почему? Объяснение просто. Построить «вручную» множества Жюлиа в подавляющем числе случаев невозможно. И только развитие ИКТ позволило получать множества Жюлиа на мониторе компьютера. После первых визуализаций множеств Жюлиа и множеств Мандельброта значительно увеличились возможности компьютерной графики, появился термин «компьютерный художник». В художественном компьютерном творчестве все чаще стали использовать элементы фрактальной графики, поскольку комплекс-
ные фракталы являются одними из самых красивых математических объектов. Они использовались для визуального моделирования реальных и фантастических объектов - пейзажей, растений. Появилась потребность в изучении и обучении методам фрактальной геометрии.
Нами разработана (и апробирована на специальностях «Прикладная математика и информатика», «Информатика») программа семестрового спецкурса «Множества Жюлиа и множества Мандельброта», в рамках которого предусматривается изучение определенных свойств голоморфной динамики для комплексных полиномов
Р е
/(1) = 2Р + С, р > 2 , N. Читать данный курс рекомендуется студентам, начиная с третьего курса, а магистрам - с первого курса.
Изучение данных множеств обусловлено рядом причин. Во-первых, они играют огромную роль в моделировании реальных процессов живой и неживой природы; во-вторых, без использования ИКТ данные множества практически невозможно изучать, что влечет прямую интеграцию математики и информатики; в-третьих, все они являются сложнейшими математическими объектами.
Открытие множеств Жюлиа и множеств Мандельброта имеет богатую историю. Именно построение данных множеств на мониторе компьютера дало положительный импульс в развитии фрактальной геометрии и компьютерной графики.
Задачи курса: познакомить магистров с бурно развивающимися направлениями современной математики - комплексной нелинейной динамикой, указать важнейшие приложения данных множеств в образовании и других сферах человеческой деятельности, научить построению с помощью данных объектов математических моделей различных явлений природы и социальной сферы, изложить основы использования ИКТ при изучении множеств Жюлиа и множеств Мандельброта, рассмотреть перспективные направления разработки и использования средств ИКТ в образовании с использованием множеств Жюлиа и множеств Мандельброта, а также способы создания художественных композиций с помощью данных фракталов.
Данный курс носит прикладной характер. В связи с этим для его успешного освоения необходимо владение одним из языков программирования высокого уровня. Выбор языка и системы программирования определяется студентом и согласовывается с преподавателем.
Студенты, завершившие изучение дисциплины по выбору «Множества Жюлиа и множества Мандельброта» должны знать: различные подходы к определению множеств Жюлиа и множеств Мандельброта,
итерирование функций комплексной переменной, определение понятия хаоса, элементы компьютерной графики.
Студенты, завершившие изучение дисциплины по выбору «Множества Жюлиа и множества Мандельброта», должны уметь: с помощью множеств Жюлиа и множеств Мандельброта строить математические модели, решать вычислительные задачи с помощью компьютерных экспериментов, строить множества Жюлиа и множество Мандельброта в различных средах программирования.
Приведем тематический план семестровой дисциплины по выбору «Множества Жюлиа и множества Мандельброта». Дисциплина читается на третьем курсе.
Тематический план дисциплины «Множества Жюлиа и
множества Мандельброта»
№ Все Аудиторные занятия
п/ п Наименование темы го часов Всего Лек ции Лабор. Са-мост.
1 Определение множеств Жюлиа и множеств
Мандельброта для ком- 14 4 2 2 10
плексного полинома
степень которого не
ниже двух.
2 Математические свой-
ства множеств Жюлиа и 8 4 2 2 4
множеств Мандельброта
3 Разработка алгоритма
построения множеств 18 8 4 4 10
Жюлиа
4 Разработка алгоритма
построения множеств Мандельброта 14 4 2 2 10
5 Обрамления множеств Мандельброта 10 4 2 2 6
6 Математическое моде-
лирование множеств Жюлиа и множеств 8 4 2 2 4
Мандельброта
ИТОГО: 72 28 14 14 44
Для данной дисциплины предусмотрены следующие виды аудиторных занятий: проблемные лекции, лекции визуализации, контекстные лекции и лабораторные работы.
Образовательные технологии, методы обучения и формы, применяемые на занятиях: технология активного обучения, метод Дельфи, метод временных ограничений, метод внезапных запрещений, метод скоростного эскизирования, метод рекодификации, методы коллективного стимулирования творческих поисков, тетрадная форма обучения, создание многоэтапных математико-информационных заданий, методы использования компьютера для развития у обучаемых:
• способностей прогнозирования результатов учебной деятельности;
• смыслового видения объекта.
Содержание самостоятельной работы студентов
№ Название темы Задание Время выполнения Форма контроля
1 Основные понятия теории итерационных процессов Написание реферата 4 Устный опрос
2 Элементы компьютерной графики Анализ содержания учебных сайтов 8 Устный опрос
3 Итерационные процессы на комплексной плоскости Компьютерный эксперимент: Итерирование квадратичной функции 7 Тестирование
4 Моделирование с помощью комплексных фракталов Изучение литературы, решение задач 6 Контрольная
5 Множества Ман-дельброта Анализ содержания сайтов, изучение литературы 6 Устный опрос
6 Множества Жюлиа Изучение литературы, вычисление корней с заданной точностью 7 Письменный опрос
7 Обрамления множеств Мандельброта Подготовка к докладу 12 Контрольная
8 Сопутствующие множества Жюлиа Изучение литературы, решение задач 10 Письменный опрос
Прослушав данный курс, обучаемые будут подготовлены к восприятию основных идей фрактальной геометрии, которая является современной теорией нелинейных динамических систем.
Отметим, что фрактальная геометрия стремительно развивается, о чем свидетельствуют работы [1 - 14].
Чтение спецкурса «Множества Жюлиа и множества Мандельброта» способствует развитию креативности обучаемых и формированию у них как общекультурных, так и профессиональных компетенций.
Литература
1. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Москва -Ижевск, 2001, 128 с.
2. Газале М. Гномон От фараонов до фракталов. Москва-Ижевск, 2002. - 272 с.
3. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. Издание второе. М.: URSS. - 264 с.
4. Кроновер Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах. Пер. с англ. Под ред. Т. Э. Крэнкеля. М.: Постмаркет 2000. - 352 с.
5. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск, 2002 г. -159 с.
6. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие с грифом УМО для студентов классических университетов специальности «Прикладная математика и информатика». - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2005 - 135 с.
7. Секованов В. С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2006. - 279 с.
8. Секованов В. С. Формирование креативной личности студента вуза при обучении математике на основе новых информационных технологий. Кострома, 2004. - 231с.
9. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. Учебное пособие. (3-е издание, переработанное и дополненное). Кострома 2010. - 179 с. 11 п.л. тираж 100 экз.
10. Секованов В. С. обучение фрактальной геометрии студентов вуза как средство интеграции математики и информатики. Высшая школа на современном этапе: проблемы преподавания и обучения. Ярославль 2010. С. 189 -194. 0. 3 п.л. тираж 100 экз.
11. Секованов В. С. Формирование креативности студентов при обучении фрактальной геометрии и теории хаоса с использованием компьютерных технологий. Информатизация образования - 2010. материалы Международной
научно-методической конференции. Кострома, 14 - 17 июня 2010. С. 152 -159. 0. 5 п.л. тираж 100 экз.
12. Секованов В. С. Салов А. Л. Самохов Е. А. О вычислении константы Фей-генбаума. Современные информационные технологии и ИТ-образование. Сборник избранных трудов. Факультет ВМ и К МГУ им. М. В. Ломоносова - М.:ИНТУИТ.РУ, 2010. С. 364 - 371. 0.5 п.л. тир. 200 экз.
13. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. М.:, Триумф, 2003. - 320с.
14. Шредер М., Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая). Научно-издательский центр "Регулярная и хаотичная динамика", 2001. - 528 с.
