Разработка моделей процесса эксплуатации оборудования систем связи с учётом старения Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА ЭКСПЛУАТАЦИИ ОБОРУДОВАНИЯ СИСТЕМ СВЯЗИ С УЧЁТОМ СТАРЕНИЯ

МиРонов Евгений Андреевич, СО| 10.24411/2072-8735-2018-10106

Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского, Санкт-Петербург, Россия, john682@mail.ru

Мищенко Илья Владимирович,

Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского, Санкт-Петербург, Россия, kapitan-miv2008@rambler.ru

Платонов Сергей Александр°вич Ключевые слова: эксплуатация,

Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского, моделирование, оборудование систем связи,

Санкт-Петербург, Россия, john682@mail.ruu старeниe, ^ушрко^е процессы.

Несмотря на современные тенденции к модернизации существующего телекоммуникационного оборудования, велика доля сложных технических систем и средств связи, эксплуатируемых за пределами назначенных показателей ресурса и срока службы. В существующих условиях особую важность обретает задача разработки адекватных моделей эксплуатации оборудования систем связи, описывающих процессы эксплуатации оборудования с учетом старения. Несмотря на современные тенденции к модернизации существующего телекоммуникационного оборудования, велика доля сложных технических систем и средств связи, эксплуатируемых за пределами назначенных показателей ресурса и срока службы. В существующих условиях особую важность обретает задача разработки адекватных моделей эксплуатации оборудования систем связи, описывающих процессы эксплуатации оборудования с учетом старения. Рассмотрено использование теории полумарковских процессов для моделирования процесса эксплуатации оборудования систем связи с учетом физического старения входящих в нее элементов. Предложена базовая полумарковская модель процесса эксплуатации оборудования систем связи, предполагающая возможность нахождения оборудования в семи состояниях: работоспособности; отказа до начала проверки; проверки при условии, что оборудование к началу проверки находится в работоспособном состоянии; проверки при условии, что оборудование к началу проверки находится в состоянии отказа; расширенного контроля при ложной регистрации отказа; функционирования с неисправностью (частичным отказом) до очередной проверки; расширенного контроля, подтверждающего наличие отказа и восстановления. Проанализированы особенности применения базовой полумарковской модели, описаны ее недостатки и ограничения. Предложена модификация рассмотренного способа моделирования для случая нестационарных полумарковских процессов, предложен способ нахождения их переходных характеристик. Сделан вывод о том, что учет старения обусловливает формализацию процесса эксплуатации с помощью интервально-переходных вероятностей. Для их определения обосновано применение метода аппроксимации интервально-переходных вероятностей дробнора-циональными функциями, позволяющего, в отличие от известных, определить эти вероятности в виде функций времени для полумарковских процессов с произвольным числом состояний. Кроме этого, в статье указана необходимость решения следующей задачи - задачи многомерной оптимизации, а также указано направление дальнейших исследований для ее решения.

Информация об авторах:

Миронов Евгений Андреевич, доцент кафедры метрологического обеспечения ВВСТ, к.т.н. доцент

Мищенко Илья Владимирович, старший преподаватель, начальник метрологической службы ВКА, к.т.н.

Платонов Сергей Александрович, Заместитель начальника кафедры АСУ, к.т.н., Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского,

Санкт-Петербург, Россия

Для цитирования:

Миронов Е.А., Мищенко И.В., Платонов С.А. Разработка моделей процесса эксплуатации оборудования систем связи с учётом старения

// T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №6. С. 41-45.

For citation:

Mironov E.A., Mishchenko I.V., Platonov S.A. (2018). Création of communication systems equipment opération models considering aging.

T-Comm, vol. 12, no.6, рр. 41-45. (in Russian)

7TT

Несмотря на современные тенденции к модернизации существующего телекоммуникационного оборудования, велика доля сложных технических систем и средств связи, эксплуатируемых за пределами назначенных показателей ресурсу и срока службы. [1] В существующих условиях особую важность обретает задача разработки адекватных моделей эксплуатации оборудования систем связи (ОСС), описывающих процессы эксплуатации оборудования с учетом старения. Разработка предложений по назначению сроков технического обслуживания ОСС требует достаточно обширного перечня исходных данных. К ним относятся сведения о составе ОСС, безотказности и среднем времени восстанови ления ее элементов, достоверности контроля их технического состояния и др. Эти данные и анализ функционирования систем позволяет обосновать, выбрать или разработать модель процесса эксплуатации ОСС [2].

Одним из наиболее перспективных направлений моделирования в указанной области является использование теории полумарковских процессов [3].

Учитывая недостатки моделей процесса эксплуатации простых систем, описанных в |4|, в качестве базовой модели этого процесса выберем модель, предложенную » [5],

Достоинством этой модели является учет недостатков, имеющих место в вышеназванных моделях процесса эксплуатации. Основное содержание сё сводится к следующему.

Предполагается, что контроль заключается в измерении одного обобщенного параметра, нахождение которого в до-пусковой области соответствует работоспособному состоянию ОСС, а вне неё - отказов ому. Это допущение справедливо также в случае, когда проводится проверка технического состояния ОСС на конечном множестве технических параметров (объем проверок неизменный). Периодичность контроля системы, определяется как продолжительность межрегламентного промежутка ТОБ, по истечении которого ОСС проверяется в течении случайного времени гк., ограниченного сверху временем Тк, т.е. Тк <Тк.

Обнаружение отказов ОСС происходит только во время проведения контроля технического состояния (КТС), перед началом которого аппаратура контроля (АК) проходит самоконтроль.

Чем сложнее ОСС, тем более сложной является его А К и тем большее влияние оказывает достоверность самоконтроля, а именно вероятность ошибки второго рода, как составляющая достоверности результата.

В связи с этим при создании модели процесса эксплуатации ОСС следует учесть вероятность снижения достоверности в случае возникновения невыявленного отказа АК при выполнении операций самоконтроля. В связи с тем, что самоконтроль АК выполняется перед проверкой ОСС, показатели надежности как ОСС, так и АК зависят от периодичности Контроля и являются ее функциями.

В результате ошибок, возникших при контроле ОСС и самоконтроле АК при эксплуатации указанных систем MOiyr возникнуть Ситуации, связанные с событиями нарушения работоспособности как самого ОСС, так и их АК. Эти ситуации подробно описаны в [5].

Содержательная модель смены этих ситуации и составлявшая собственно процесс эксплуатации ОСС была получена с помощью математического аппарата теории полу марковских процессов (ИМИ). Было введено:

Е = {1,2.....г} - множество состояний ОСС;

¿¡у — случайная длительность нахождения ПМП в состоянии i при переходе в состояние J на очередном интервале контроля;

Fij(l)=P(0 < ¿/j < i) - функция распределения случайной величины te[0,T„(J.

Описание изменения Г1МП на множестве состояний при определенном начальном состоянии было задано стохастической матрицей W = {&$}, /, jeE вероятностей переходов марковской цепи, вложенной в ПМП, и матрицей условных функций распределения F(i) = {(¡0)}, tJeE. Множество допустимых состояний процесса включает:

Ei - исходное состояние ПМП (ОСС работоспособно); Е} - ОСС отказало и находится в неисправном состоянии до начала операций проверки {частичный отказ);

Е3 (Е4) - ОСС проверяется при условии, что оборудование работоспособно (отказало) к началу проверки;

Ëi - ложная регистрация отказа, выполняется расширенный контроль ОСС;

Е(, - ОСС функционирует с частичным отказом (неисправностью) до очередной проверки (при текущей заданной полноте операций контроля этот отказ ОСС не обнаруживается, не проявляется самостоятельно и является причиной снижения эффективности функционирования оборудования;

Ei - ОСС проходит расширенный контроль, подтверждающий наличие отказа и восстанавливается.

Размеченный граф процесса и матрица W представлены па рис. I. В матрице W :

W =

Р =р (Т _ ) = 1 - ехр

А А об г

( т \

об

- \^{t)dt О

0 Ра 1-Рл 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

I-F 0 0 0 F 0 0

0 0 0 0 0 I-D D

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 I 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

а)

б)

Рнс. 1. а) матрица переходов вложенной марковской цепи; б) размеченный граф полумарковского процесса, описывающего взаимодействие ОСС с системой их эксплуатации

T-Comm Том 12. #6-2018

У

+ Д. 1 - ехр

= ехр

' т \

об

-

о

( т

об

- \\(?)Л о

//

- Р ехр

' Т

оо

-

о

1 - ехр

Г т ^

об

-

О

где

РМ - вероятность отказа в ОСС на интервале \0, Т„л\, Рк(Т„й) — вероятность отказа в АК на интервале [0,7^]; О - вероятность обнаружения отказа в ОСС; Р — вероятность возникновения ложной регистрации отказа в ОСС;

Л(0, Я/О - функция интенсивности отказов оборудования ОСС и АК соответственно.

Ненулевые элементы матрицы Р(() включали

¿<0

0, 1 - ехр - |л(л-)с/л|

1-ехр 1,

, 0</<Гав;-

и ^То6

О, I < о

. 0<Г<7\;

^>0

ехр ( Ц Л - \Х(х)сЬс \ 0 ^ ехр^ н

1 - ехр - ]Х(х)сЬс К 0 )

1,

Го, кТ

'-«■г,»;;! *«-■

1. 'гг.

об

О, *< 7-

1, / > тв.

При расчетах необходимо учитывать тот факт, что надежность ОСС зависит от интенсивности его эксплуатации. Учет этого фактора производится с помощью коэффициента интенсивности эксплуатации К и интенсивность отказов ОСС в этом случае определялась по формуле

Щ) = КЛР (0 + (1 - К)ЯГ{1),

где

к = .

Т р + Т пр

Здесь Т р— среднее время работы ОСС и аппаратуры её контроля в течение заданного периода эксплуатации;

Т пр - среднее время простоя в течение того же периода эксплуатации;

X (I) - интенсивность отказов ОСС при непрерывной работе ОСС;

Апр(1) - интенсивность отказов ОСС при простое ОСС.

При заданных законах изменения интенсивностей отказов Я(0 и Лк(!) задача отыскания оптимальных сроков освидетельствования сводится к определению набора {То6!, Тоб2, ■••. при котором обеспечивается наибольшее значение уточненного коэффициента готовности, который определяется как вероятность нахождения ПМП в состоянии Е/ в произвольный момент времени.

Трудность решения этой задачи заключается в том, что при Ь «> 1, то есть старение имеет место, ПМП становиться нестационарным, а вложенная марковская цепь - неоднородной. В [3] была исследована вышеуказанная модель для случая, когда ¿=0. При этом также были получены результаты позволяющие обосновать оптимальную периодичность для нестареющих образцов ОСС. Она отыскивалась как величина Т0Б максимизирующая финальную (стационарную) вероятность застать полумарковский процесс в состоянии работоспособности в произвольный момент времени, т.е. соответствовала коэффициенту готовности ОСС

К = л, =

[Тов + Тк (РА )РТрк + РА Тв

КО.

Для случая, когда полумарковский процесс становится нестационарным, интерес представляет не финальное распределение, а интервально-нереходные вероятности, которые характеризуют полумарковский процесс в переходных (нестационарных) режимах.

При достаточно быстрых изменениях параметров ПМП, то есть в случае нестационарного процесса, или в случае, когда внимания заслуживают характеристики ПМП в переходных режимах, использовать финальное распределение вероятностей состояний при оценке средних продолжителыю-стей нахождения процесса на некотором подмножестве состояний не является правомерным.

Использование преобразование Лапласа для анализа переходных процессов ПМП в общем виде изложено в [5].

Предложенную методику возможно модифицировать. Для этого вводим интервально-переходную вероятность

Фу(0; /, / = 1,}" под которой понимаем условную вероят-

Т-Сотт Уо!.12. #6-2018

7ТТ

т

ность нахождения системы в состоянии / в момент времени /, нрн условии ее нахождения в состоянии / в момент времени /=0.

Формулу для нахождения вероятности Фц(1) получим следующим образом.

Система, находясь в начальном состоянии (, может перейти в состояние / в момент времени ( с использованием разных путей. Сели / —] она не покидает состояние I на всем промежутке времени / или, выйдя из состояния / но меньшей мере один раз, возвращается в} — 1 к моменту /. Далее система может перейти в состояние у, находясь в некоторый момент времени в промежуточном состоянии к. Вероятности двух рассмотренных несовместных событий складываются. Таким образом, получим уравнение:

{) — 1 Помимо этого [95], введем специаль-

ный тип умножения матриц, обозначив его знаком Если А, В и С. - суть квадратные матрицы размерности г х г , то запись С — А ® В означает, что элементами матрицы С являются произведения соответствующих элементов матриц А и В, то есть с. — (¡,]) — 1,1' • С учетом введенных

обозначений система уравнений (1!) перепишется в виде:

ф'(5) = \¿{S) + |«í

я

(3)

Ф,у(0 = fyMt) + X - t)dt, (1)

o

где S = J'' ' '' - символ Кронекера;

IJ [0, i « j

%(t) = 1 — F(t) - вероятность того, что система остается

в состоянии i до момента t\

и'Д — элементы матрицы W переходных вероятностей вложенной марковской цепи за один шаг; , , ч dFAr)

f ((r) = —-- - условная плотность распределения

CÍT

продолжительности нахождения в /-том состоянии до перехода в состояние к, (i,к) = 1,г .

В уравнении (!) первое слагаемое описывает вышеуказанную первую ситуацию, т. е. случай, когда система остается в состоянии i до момента времени t, т. е. i = j. Второе слагаемое описывает вероятность последовательности событий, при которых системой совершается переход из состояния i в состояние к к моменту т и далее переход из состояния к к состоянию j за оставшееся время t - т. Вероятности частных переходов можно просуммировать по всем промежуточным состояниям, в которые возможны переходы системы из начального /-го состояния (это может быть все множество возможных состояний в общем случае, следовательно

к = Л Г), и интегрируются но возможным временам перехода т, 0 < г < /.

При решении системы уравнений (1) получаем выражения для интервально-переходных вероятностей Ф,/0 через основные характеристики ПМП. Традиционный подход, применяемый к решению таких систем линейных интегральных уравнений, заключается в применении преобразования Лапласа:

со

f\s)=\exp(-st)f(t)dt. о

Применяя это преобразование к выражению (9), получим:

<*,/.*)-U (2)

i=l

Запишем полученную систему алгебраических уравнений (2) в матричном виде. Введем для этого матрицы Ф(0 = !Фц(0}, fU) = ifij(t)}, и диагональную матрицу

Таким образом, выражение (3) представляет искомую матрицу интервально-переходных вероятностей по Лапласу. К сожалению, получение точного решения в явном виде возможно лишь в простой ситуации, т.е. когда число состояний не превышает трех. Трудности, которые возникают при исследованиях реальных систем, описываемых большим числом состояний, связаны не столько с заметно растущим объемом математических вычислений, но, в основном с тем, что полученные лапласовы изображения функций, описывающих переходные процессы, оказываются настолько сложными, что получение их оригиналов становится невозможным.

Для Нахождения приближенных решений имеет смысл применить специальный метод, названный методом дробно-рациональной аппроксимации интервально-переходных вероятностей. Кроме того, при решении данных задач сталкиваемся с необходимостью решения еще одной задачи - задачи многомерной оптимизации, решение которой возможно с помощью применение модифицированного метода Нелдера-Мида [б].

Выводы

Предложена базовая полу марковская модель процесса эксплуатации ОС С, предполагающая возможность нахождения оборудования в семи состояниях: работоспособности; отказа до начала проверки; проверки при условии, что ОСС к началу проверки находится в работоспособном состоянии; проверки при условии, что ОСС к началу проверки находится в состоянии отказа; расширенного контроля при ложной регистрации отказа; функционирования с неисправностью (частичным отказом) до очередной проверки; расширенного контроля, подтверждающего наличие отказа и восстановления.

Предложен способ нахождения переходных характеристик ПМП. При разработке способа получено выражение для функции интервально-переходной вероятности, то есть условной вероятности нахождения системы в состоянии / в момент времени /, если она была в состоянии / в момент / = 0.

Учет старения обусловливает формализацию процесса эксплуатации с помощью интервально-переходных вероятностей. Для их определения обосновано применение метода аппроксимации названных вероятностей дробно-рациональными функциями, позволяющего, в отличие от известных, определить эти вероятности в виде функций времени для ПМП с произвольным числом состояний.

T-Comm Том 12. #6-2018

Литература

1. Витюк В.Л., Гузенко В.Л., Миронов Е.А., Севастьянов Д.А.. Шестопалова О. Л. Модель для расчета показателей качества функционирования системы технического обслуживания и ремонта сети связи // Фундаментальные исследования, 2015. № 5-3. С. 493498,

2. Миронов Е.А.. Гузенко В.Л.. Клёнов A.B.. Шестопалова О.Л. Обоснование предпочтительного варианта построения и функционирования системы технической эксплуатации территорнально-рае пределе иной информационной системы по вектору технико-

экономических показателей // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 3. С. 72.

3. Мищенко В.И. Особенности моделирования взаимодействия сложных технических систем вооружения с системой их эксплуатации //Измерительная техника, 1999. №10. С. 14-16.

4. Барзилович ЕЮ., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.: Сов. радио, 1971.271 с.

5. Тихонов В.И.. Миронов М А Марковские процессы. М,: Сов. радио, 1977.488 с.

6. XиммельблауД. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.534 с.

CREATION OF COMMUNICATION SYSTEMS EQUIPMENT OPERATION MODELS CONSIDERING AGING

Evgeny A. Mironov, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia, john682@mail.ru Ilya V. Mishchenko, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia, kapitan-miv2008@rambler.ru Sergey A. Platonov, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia

Abstract

Despite the current trends in the modernization of the existing telecommunication equipment, a large proportion of complex technical systems and means of communication, operated beyond the assigned resource and service life. Under the existing conditions, it is particularly important to develop adequate models of equipment operation of communication systems describing the processes of equipment operation taking into account aging. In this article we consider the use of the theory of semi-Markov processes for modeling the operation of equipment for communication systems, taking into account the physical aging of the elements entering into it. A basic semi-Markov model of the operation of the equipment of communication systems is proposed, suggesting the possibility of finding equipment in seven states: operability; refusal before the inspection; check, provided that the equipment at the beginning of the check is in working order; checks, provided that the equipment at the beginning of the test is in a state of failure; extended control in case of false failure registration; functioning with a malfunction (partial failure) until another inspection; Enhanced control, confirming the presence of failure and recovery. The features of the application of the basic semi-Markovian model are analyzed, its shortcomings and limitations are described. A modification of the considered modeling method for the case of nonstationary semi-Markov processes is proposed, a method is proposed for finding their transition characteristics. A conclusion is drawn that the accounting for aging determines the formalization of the operation process with the help of interval-transition probabilities. To determine them, it is justified to apply the method of approximating interval-transition probabilities by fractional-rational functions, which, unlike known ones, allows to determine these probabilities as time functions for semi-Markov processes with an arbitrary number of states. In addition, the article indicates the need for the solution of the next problem - the problem of multidimensional optimization, and also indicates the direction of further research to solve it.

Keywords: operation, modeling, communication systems equipment, aging, semi-Markov processes. References

1. Vityuk V.L, Guzenko V.L., Mironov E.A., Sevastyanov D.A., Shestopalova O.L. (2015). Model for calculating the performance indicators of the system of technical maintenance and repair of the communication network. Fundamental research. No. 5-3, pp. 493-498.

2. Mironov E.A., Guzenko V.L., Klepov A.V., Shestopalova O.L. (2014). Substantiation of the preferable variant of construction and functioning of the system of technical exploitation of geographically distributed information system on the vector of technical and economic indicators. Modern problems of science and education. No. 3, pp. 72.

3. Mishchenko V.I. (1999). Peculiarities of modeling the interaction of complex technical armament systems with their operation system. Measuring technique. No.10, pp. 14-16.

4. Barzilovich E.Yu., Kashtanov V.A. (1971). Some mathematical questions of the theory of servicing complex systems. Moscow: Sov. radio. 271 p.

5. Tikhonov V.I., Mironov M.A. (1977). Markov processes. Moscow. 488 p.

6. Himmelblow D. (1975). Applied nonlinear programming. Moscow. 534 p.

Information about authors:

Evgeny A. Mironov, PhD, associate Professor, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia

Ilya V. Mishchenko, PhD, Senior Lecturer, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia

Sergey A. Platonov, PhD, Deputy Head of the Department, Military Space Academy, Saint-Petersburg, Russia

7TT