CC BY
12
© В.Я. Потапов, 2013
УДК 622.771 В.Я. Потапов
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В СЕПАРАТОРЕ ПО ТРЕНИЮ И УПРУГОСТИ
Рассмотрена математическая модель движения частиц в сепараторе по трению и упругости в процессе их разделения.
Ключевые слова: сепаратор по трению и упругости, математическая модель, алгоритм разделения, коэффициенты трения и восстановления, отражающие элементы.
Л ля проведения исследований процесса разделения компонентов полезных ископаемых была разработана и создана полупромышленная модель сепаратора с двугранными отражающими элементами. Сепаратор состоит из следующих основных узлов (рис. 1): корпуса с загрузочным желобом, отражающих элементов, закрепленных консольно в раме, состоящей из подвижной и неподвижной решеток, приемных воронок для продуктов разделения, шиберов. Изменение угла наклона элементов осуществляется путем перемещения в вертикальной плоскости подвижной решетки винтом.
Эффективность разделения прутковых грохотов исследовались на основе
анализа закономерностей движения частиц в данных аппаратах. Закономерности получены теоретическими в соответствии с теориями и принципами механики и описывают движение частиц по наклонной плоскости, свободный полет, а также удары о прутки.
Если материал поступает на загрузочный лоток с начальной скоростью V0 и движется с ускорением
а = д•(э1па0 - • соэа0) , (1)
где а0 — угол наклона к горизонту, — коэффициент динамического трения частицы ]-го типа.
Скорость материала в конце лотка определяется соотношением
V = V, , (2)
0 у эта, '
где Иг, Н2 — высота точек отсчета.
253
разделительной поверхностью.
1 - корпус сепаратора; 2 - наклонный желоб; 3 -отражательные элементы
Как видно, скорость частиц зависит от коэффициента трения, угла наклона лотка и его длины.
Скорость V, приобретенная частицей в конце лотка, является начальной для свободного полета как до соударения с отражательными элементами, так и после него. Если учесть при движении влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости или квадрату скорости частиц, то для описания движения частиц, возможно, использовать дифференциальные уравнения, полученные на основании II закона Ньютона.
Стх=рх
\ тх = тд + Гу ; (3)
[ тг = тд + ,
где: т — масса частицы; х, у — текущие координаты частицы; д — ускорение свободного падения; Гх, Гу, Гг — проекции сил сопротивления движению частицы на оси координат.
В зависимости от принятого закона изменения сопротивления среды возможны два варианта записи величин силы сопротивления. При линейном изменении сил Га = - ] • V — закон Стока, где ] — коэффициент сопротивления, имеем
Более сложные зависимости соответствуют квадратному закону сопротивления:
Если Гс = т • Яс • V2, где Яс — коэффициент пропорциональности, то
Для первого из приведенных законов изменения сила сопротивления текущей координаты частицы получается в виде решения дифференциальных уравнений (3). При этом для линейного закона уравнение (3) разрешено в квадратурах, а для квадратичного — нет. В соответствии с указанными замечаниями текущие координаты удобнее не выражать в конечном виде, а получать непосредственно как решения дифференциальных уравнений по стандартным компьютерным программам.
В каждый момент времени полета частицы выполняются проверки:
• нахождение отражающего элемента, на который проектируется частица;
• сравнение координат г частицы и точки вертикальной проекции ее на отражающий элемент;
• проверка возможности взаимодействия частицы с боковой плоскостью сепаратора.
Встреча с элементом фиксируется в случае, если выполняется условие:
Гх = -} • х Гу = - х • у Г = -У • &&.
(4)
Рг = т • Ис • V х2 + у2 • г.
(5)
И = г,
(6)
Уравнение встречи частицы с отражательными элементом представлено уравнением: |г - кх + в| < е .
где: г, И — вертикальные координаты частицы и ее проекции на элемент.
Учитывая дискретность моделирования (шаг по времени г), условие (6) в точности никогда не выполнится, поэтому точка встречи рассчитывается специальной подпрограммой на основе интерполирования. В результате решения задачи о точке встречи определяются следующие параметры (рис. 2):
• координаты х, у, г точки встречи;
• угловые параметры а и в траектории в точке встречи;
• значение скорости до удара Vв — по вертикали, V- — по горизонтали;
• номер ряда т и номер элемента п;
• угловые параметры плоскости ] (угол наклона оси элемента к горизонту) и 8 (угол наклона полки уголка к горизонту).
• коэффициент восстановления скорости к.
Синус угла между вектором скорости в точке встречи и плоскостью равен: N • Н
Рис. 2. К определению точки взаимодействия частицы с плоскостью отражательного элемента
sin у =
ИI R
(7)
где: И = {A; B; C} — вектор нормали к плоскости,
R = {l; m; n} — направляющий вектор траектории частицы.
В свою очередь A = sin S ■ cos у, B = cos S ■ sin y, C = - cos S ■ cos y, l = cos в ■ cos a, m = sin в ■ cos a, n = sin a.
После подстановки получим
cos a ■ (tgY ■ sin в + tgS ■ cos в) - sin a
sin у = ■
JtgS
(8)
+ sec y
КОНЕЦ ])
Рис. 3 Блок схема алгоритма рабочего процесса сепарации
Вектор скорости частицы V раскладывается на две составляющих:
а) V = V• соэ^ — касательная составляющая, которая в результате соударения частицы с плоскостью уменьшается, сохраняя направление:
V/ = V, • (1 -2), (9)
где: X — коэффициент мгновенного трения.
б) Vн = V • эт^ — нормальная составляющая скорости, которая в результате отскока меняет направление на противоположное. При этом величина ее также уменьшается:
V/ = V, • к, (10)
где: к — коэффициент восстановления скорости.
Раскладывая векторы V/ и V/ по направлениям координатных осей и суммируя, получим:
Vx = V ■ {cos a ■ cos в ■ (1 - Aj) - sin у ■ (1 + kf - Aj)
tgS
sec2 у + tg2S
(11)
Vy = V ■ {cos a ■ sin в ■ (1 -A) - sin у (1 + kt - A) ■ tgS \, (12)
Vsec2 y + tg2S J
Vz = V ■ {sin a ■ (1 - Aj) + sin у ■ (1 + k] - A]) ■ -j
V!
tgS
sec2 y + tg S
(13)
Указанные векторы полностью определяют направление и скорость частицы после отскока ее от плоскости отражающего элемента:
в = аго^, (14)
х
а = аго1а—;= , (15)
V = ^/V:гTV27Vf, (16)
После удара об отражательные элементы частица вновь участвует в свободном полете, а потому при численном моделировании ее движения необходимо вновь обратиться к дифференциальным уравнениям (3). Алгоритм моделирования процесса движения частицы приведен на рис. 3. Указанный алгоритм реализуется на ПЭВМ со случайной выборкой начальных параметров движения (точки начала движения по наклонной плоскости и ее начальной скорости), а также случайным выбором параметров самой частицы (ее размеров и физических параметров трения и упругости). Результаты численного моделирования позволяют оценить эффективность разделения при выбранных конструктивных параметрах аппарата, а также выбрать их наиболее рациональные значения.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ЦыпинЕ.Ф., Потапов В.Я., Пелевин А.Е., Иванов В.В., Слесарев О.Ю. Коэффициенты трения частиц асбестосодержащих продуктов // Научные труды ВНИИПроектасбест «Совершенствование технологии обогащения асбестовых руд». - Асбест, 1990. - С. 110-115.
2. Тимченко Н.К. Основы механического разделения зерен щебня и гравия по упругости и трению. - Строительные материалы, 1964, № 4. - С. 17-19. ШЫЭ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Потапов Валентин Яковлевич — кандидат технических наук, доцент кафедры горной механики. E-mail Luk112@mail.ru Уральский государственный горный университет.
