Разработка математической модели для решения задачи оптимизации управления перегрузочными процессами морского порта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [681.51.033:656.614.3]: 519.872

Чан Тхи Хыонг, В. Ф. Шуршев

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕГРУЗОЧНЫМИ ПРОЦЕССАМИ МОРСКОГО ПОРТА

Введение

Морские грузовые порты, будучи звеном общей транспортной сети, предназначены для решения таких задач, как перевозка морским транспортом грузов с других видов транспорта и обратно, их хранение в порту; загрузка, разгрузка и обслуживание судов и подвижного состава сухопутного транспорта.

Морской порт рассматривается как предприятие, производящее транспортную продукцию, оцениваемую объемом перегрузочных работ и функционированием его транспорта.

Качество деятельности морского порта оценивается эффективностью управления перегрузочными процессами, включающими все операции по перевозке, погрузке, выгрузке и хранению грузов внутри порта [1].

Сложность управления перегрузочными процессами определяется специфическими особенностями. Важнейшая из них - взаимодействие элементов управляемой системы, которыми, в частности, являются все объекты портового хозяйства (причалы, склады, перегрузочные машины, подъездные пути и др.), транспортные средства (суда, вагоны, автотранспорт) и большое количество грузов различных типов.

В данной работе для оптимизации управления рассматриваются перегрузочные процессы как объекты моделирования. Ввиду того, что законы функционирования и управления нерегулярны и случайны, модель управления морским портом относится к вероятностным моделям, в частности к моделям массового обслуживания [1-4].

Граф-модель перегрузочных процессов

Применительно к порту представление модели объекта исследования в виде графа и аналог его матричной модели позволяет с различных сторон взглянуть на задачу оптимизации различных по содержанию вариантов перегрузки грузов в модели. Морской порт рассматривается как динамическая система с той или иной степенью стохастичности, т. к. на его функционирование влияет множество случайных факторов (количество входящих судов, вагонов, наличие свободных перегрузочных машин, мест площадки и т. д.).

Представим граф-модель перегрузочного процесса в следующем виде. В порту существуют такие подсистемы, как причал, железная дорога, площадка, автотранспортная дорога, склад. Эти подсистемы в транспортном узле порта представляются пунктами погрузки-разгрузки. Эти пункты на рисунке представлены вершинами графа и составляют множество К = {Кь К2,..., Км] (М = 1 ... 5) и множество дуг Е = {Е12, Е21, ..., Е15, Е51} - направление (вариант) перевозки грузов внутри порта.

Таким образом, получаем граф-модель У(К, Е). Граф V является ориентированным, т. к. все дуги имеют направленность. Кроме этого, граф представляет собой ориентированный цикл, т. к. он является замкнутой ориентированной цепью. По теории графов можно представить ее аналогично в виде матрицы перемещения М = ||ш7у|. Матрица М имеет N строк (по одной на каждой вершину) и Ь столбцов (по одному на каждую дугу). Элементы матрицы Шу для ориентированного графа определяются следующим образом:

1, если дуга выходит из 7-й вершины,

Шу = < — 1, если дуга выходит в у-й вершину,

0, если дуга не входит и не выходит из вершины.

Тогда матрица М имеет следующий вид:

Е21 Е12 Е13 Ез1 Е14 Е41 Е23 Е32 Е25 Е52 Е24 Е42 Е43 Е34 Е45 Е54 Е35 е5;

К1 -1 1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

К2 1 -1 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -I 0 0 0 0 0 0

М К3 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1

К4 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 1 -1 1 -1 0 0

К 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 -1 1

Как видно, строки матрицы являются совокупностью значений, обозначающих направления перевозки грузов в порту, и векторами перемещения графа V. Задача требует выбора наилучшего варианта перегрузочных процессов, при котором обеспечиваются минимальные затраты на перевозку грузов и сокращение времени обслуживания транспортных средств.

Множество Е является вариантами перегрузочных процессов, для которых характерно определенное и конечное местоположение груза. Известны количество приходящих судов, вагонов в порт и время их прибытия, а наличие свободных перегрузочных машин, складов является случайным. Это значит, что данная модель является стохастической и состояния вершин графа не зависят друг от друга. Для каждого момента времени 7 вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем. Тогда можно допустить, что система, изменяя состояние, подчиняется марковскому процессу [2, 3]. Рассмотрим функционирование перегрузочных процессов порта как марковский случайный процесс (цепь Маркова). Модель марковского процесса представим в виде графа-модели (рис. 1), в котором состояния системы связаны между собой связями (переходами из /-го состояния ву-е состояние). Каждый переход характеризуется вероятностью перехода Ру. Вероятность Ру показывает, как часто после попадания в /-е состояние осуществляется затем переход в у-е состояние.

Таким образом, под состоянием системы управления будем понимать пребывание грузопотока в одной из вершин графа. Перемещение грузопотока из одного пункта в другой представляет собой изменение системы, т. е. на графе это перемещение грузов из Ку в К у . Вероятность /-го состояния системы обозначим р, условную вероятность перехода из /-го состояния в у-е состояние - ру . Тогда из теории цепей Маркова следует, что

Р] = Рур , /, У =1N,

где Ру - вероятность у-го состояния системы,

N

і =1

N

Е Ру = 1, і = 1, N,

у =1

где р7у - переходная вероятность из і -го состояния в у-е состояние.

Граф, для которого эти равенства верны, называется стохастическим.

Вероятности перехода ру могут быть представлены матрицей вероятностей перехода:

П =

р11 р12 ••• Рш

р21 р22 ••• р2 N

рЖ pN 2

Р

NN

где ру - вероятность перехода за один шаг из состояния 7 в состояние у; р77 - вероятность задержки системы в состоянии 7.

Матрица П является квадратной матрицей с неотрицательными элементами, причем у каждого состояния сумма вероятностей всех переходов (исходящих стрелок) из него в другие состояния должна быть всегда равна 1, т. е. сумма элементов каждой строки равна единице [3]. Матрица П — это переходная матрица, элементами которой являются вероятности перехода из 7-го в у-е состояние за один шаг процесса. При этом динамическое состояние системы описывает вероятность состояния {Рк} (к = 1 ... Л), а динамическое - множество вероятностей всех переходов {ру}.

Граф Vявляется циклическим, т. е. в ряде вероятностей Р1, ... РЛ вероятность РЛ имеет соседями РЛ _ 1 и Р1. Допустим, что возможны переходы из одного любого состояния в любое другое. Пусть д0, Яь •••, Я™_ 1 соответственно вероятности, которые могут остаться на месте или передвинуться на 1, 2, 3, ., к - 1 единиц вправо (переход на к единиц вправо то же самое, что и переход на к - к единиц влево), тогда П будет циклической матрицей [5]. Р имеет следующий вид:

П =

Яо Я1 Я2 • •• Ям-2 Ям-1

Ям-1 Яо Я1 • т - £ Я Ям,-2

Ям-2 Ям-1 Яо • •• Ям-2 т - £ Я

Я1 Я2 Яз ... Як—1 Яо

Цепи Маркова являются частным случаем рекуррентных событий [5], в итоге получается рекуррентная формула

р(«+!)

гі]

= Е Ріт Рт

т

(п)

где Ру = Р

'і] ■

РІ = Е РітРт •

Дальнейшая индукция по т показывает, что

Е Ріт0 Рп ’•

р(Г п) ='

Это уравнение выражает тот факт, что за первые т шагов система переходит из Е, в некоторое промежуточное состояние Ец, а за последующие п шагов - из Ец в Е] •

Если начальная вероятность состояния Е, равна а,, то (безусловная) вероятность того, что система в момент п находится в состоянии Ек, равна

а, =

V

Е аіРік

(п)

Аналогично, если начальная вероятность состояния Е равна р, то получим

Это выражение в определенной степени будет отражать статические и динамические состояния системы.

Цепь является неприводимой тогда и только тогда, когда любое ее состояние может быть достигнуто из любого другого состояния. Граф V, как показано выше, сильно связан, тогда любое его состояние может быть достигнуто из любого другого состояния, поэтому цепь Маркова является неприводимой. Все состояния неприводимой цепи Маркова образуют замкнутое множество состояний. Из этого следует, что множество состояния {E} графа V замкнуто. Это значит, что сеть не может оказаться в каком-либо другом состоянии, не входящим в {E}. Данная цепь является управляемой цепью Маркова, т. к. в ней имеется возможность управлять значениями переходных вероятностей [2].

Таким образом, описание и моделирование функционирования перегрузочных процессов порта можно определить через граф-модель и математическую вероятностную модель.

Задачу оптимизации управления перегрузочными процессами морского порта можно описать следующим образом. В порту имеется некоторое число погрузочно-разгрузочных пунктов, количество идентичных транспортных средств и количество грузопотоков, проходящих через порт. Необходимо составить маршрут передвижения каждого грузопотока и транспортного средства внутри порта, чтобы обеспечивать минимум затрат на перевозку грузов и сокращение времени обработки транспортных средств.

Дугам графа характеризуются такие параметры, как gj - грузопоток по дуге (i, j); tj - время перемещения по дуге (i, j), состоящее из времени обработки грузов пункта i и времени перемещения транспортного средства от пункта i к пункту j; Cj - стоимость перемещения транспортного средства от пункта i к пункту j за единицу груза; dj - стоимость на погрузочноразгрузочные работы на j-м пункте за единицу груза; ктр - коэффициент транзита груза через

порт, ктр е [0, 1]; M - количество идентичных транспортных средств грузоподъемностью q;

к - к-е транспортное средство, к е M ; рк - вероятность перемещения к-го транспортного средства от пункта i к пункту j; [xi, y] - «временное окно» (time window) - промежуток времени, в течение которого должен быть обработан груз на i-м пункте; - время прибытия к-го транс-

портного средства к i-му пункту; X'¡¡к - переменная, принимающая значения {0, 1} и характеризующая направление движения транспортного средства: = 1 - от пункта i к пункту j, Хук = 0 -

в обратном направлении.

Обозначим: Су - затраты на перемещение грузопотока gj к-го транспортного средства; Dj - затраты на погрузочно-разгрузочные работы на j-м пункте за грузопоток gj при перемещении груза от пункта i к пункту j. Тогда

где Су - стоимость перемещения транспортного средства от пункта У к пункту j за единицу груза;

где ^ - стоимость на погрузочно-разгрузочные работы на^м пункте за единицу груза.

Таким образом, комплексные расходы перемещения грузопотока к-го транспортного средства имеют вид

Су = Cjgyp*,

Необходимо минимизировать целевую функцию (1) при ограничениях:

(2)

22 ёчХк £ ^, "к 6 М ,

(3)

'6Ы }6Ы

2 Хк(Тк + Ц - т}) £ 0, "(', }) 6 Е, "к 6 М,

(4)

}6Ы

X' £ тк £ у',6 N, "к 6 М , Хк 6 {0,1}, "(',}) 6 Е, "к 6 М .

(5)

(6)

Целевая функция (1) определяет цену всех маршрутов всех транспортных средств перевозки грузов внутри порта. Ограничение (2) показывает, что каждое транспортное средство обслуживается на одном маршруте. Ограничение (3) определяет, что транспортное средство не может перемещать количество грузов большее, чем позволяет его грузоподъемность. Ограничение (4) означает, что если транспортное средство движется из пункта У в пункт у, то время

прибытия транспортного средства в пункт j () не может быть меньше суммы времени прибытия транспортного средства в пункт У () и времени движения Уу. Ограничение (5) является ограничением по времени, прибытие транспортного средства к погрузочно-разгрузочному пункту должно быть в пределах временного окна.

Заключение

Разработанная граф-модель перегрузочных процессов позволит описать функционирование перевозки грузов внутри порта и эффективно составить маршруты передвижения грузопотоков, транспортных средств. Разработана математическая модель управления перегрузочными процессами, в которой осуществляется минимум затрат на перевозки грузов при сокращении времени обработки транспортных средств. Таким образом, данные модели позволят повысить эффективность управления деятельностью порта и ускорить процесс перевалки грузов через порт.

1. Лазарев Н. Ф. Перегрузочные процессы в морских портах. Обработка и обслуживание судов. -М.: Транспорт, 1987. - 197 с.

2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.

3. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы: учеб. для вузов / под ред. В. С. Зару-

бина, А. П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 448 с.

4. Лотоцкий В. А., Мандель А. С. Модели и методы управления запасами. - М.: Экономика, 1991. - 368 с.

5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / под ред. А. Н. Колмогорова. - М.:

МИР, 1966. - 499 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Статья поступила в редакцию 17.12.2010

DEVELOPMENT OF THE MATHEMATICAL MODEL FOR OPTIMIZATION OF MANAGEMENT OF SEAPORT TRANSFER PROCESSES

Tran Thi Huong, V. F. Shurshev

A mathematical model for managing the transfer process of the seaport is offered. The graph model of the system of transfer process management, in which all the likely routes of transportation of goods inside the port is designed. The graph-model includes a set of vertices that are loading and unloading points (piers, warehouses, railway station, etc.) and a set of arcs which is the direction (route) goods and vehicles movement. Functioning of the port cargo handling processes obeys Markov’s random processes. Therefore, the graph model of transfer processes is the state transition graph of the control system. Control system status is determined by freight stay in one of the vertices. Every transition from one vertex to another, indicating the movement of goods from one point to another, represents a change in the system. The problem to optimize the transfer process management is stated and the objective function for determining the routes of goods and vehicles movement in which the freight costs and processing of time vehicles will be minimal is defined.

Key words: a мodel, graph-model, transfer process, Markov’s random process, stations of the transfer process, port.