Разработка и применение модели шумов датчиков первичной информации при математическом моделировании работы бесплатформенной инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 528.284

А.В. Михеев

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ШУМОВ ДАТЧИКОВ ПЕРВИЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РАБОТЫ БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

Предложен способ учета шумовых параметров реальных датчиков первичной информации при математическом моделировании бесплатформенных инерциальных систем. Показано влияние компонентов шумов выходных сигналов как отдельных, так и в совокупности, датчиков первичной информации на точность работы бесплатформенной инерциальной системы.

Бесплатформенная инерциальная навигационная система, погрешности инерциальных датчиков, шумы инерциальных датчиков, вариация Аллана, математическое моделирование работы БИНС.

A.V. Mikheyev

SENSORS NOISE MODEL DEVELOPMENT AND APPLICATION FOR MATHEMATICAL SIMULATION OF THE STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEM FUNCTIONING

The way of real sensors noise parameters accommodation under the strapdown inertial navigation systems mathematical simulation is offered.

The sensors output signal noises components both separate and aggregate influence on the strapdown inertial navigation system accuracy is shown.

Strapdown inertial navigation system, inertial sensors errors, inertial sensors noises, Allan variation, mathematical modeling of SINS.

Математическое моделирование широко применяется для отработки алгоритмов функционирования различных инерциальных систем, в том числе и бесплатформенных, например таких, как бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС) [1] или бесплатформенный гирокомпас [2]. Математическое моделирование позволяет оценить качество работы инерциальной системы, поскольку вычисление погрешностей выходных параметров достигается достаточно легким путем, в отличие от, например, натурных или полунатурных испытаний, когда для определения погрешностей требуется наличие эталонной системы. В ходе моделирования оценивается поведение инерциальной системы, определяемой по алгоритмам вычисления параметров ориентации и навигации, составленным в виде программы. Вначале отрабатывается функционирование БИНС по алгоритмам идеальной работы, когда отсутствуют погрешности датчиков первичной информации (ДНИ), что позволяет оценить методические и вычислительные погрешности. Затем производят моделирование работы инерциальной системы с учетом погрешностей датчиков. Для перечисленных выше инерциальных систем, построенных на

основе триады гироскопических измерителей угловых скоростей (ТГИУС) и триады измерителей кажущихся ускорений (ТИКУ) [1], характерны погрешности, вызванные следующими погрешностями ТГИУС:

• угловая скорость дрейфа;

• погрешность масштабного коэффициента;

• нелинейность статической характеристики;

• асимметричность статической характеристики;

• шумовые компоненты выходного сигнала гироскопа, зависящие от ряда параметров,

и следующими погрешностями ТИКУ:

• смещение нулевого сигнала акселерометра;

• погрешность масштабного коэффициента;

• нелинейность статической характеристики;

• асимметричность статической характеристики;

• шумовые компоненты выходного сигнала акселерометра, так же, как и в случае для гироскопа, зависящие от ряда параметров.

Задавая конкретные величины указанных параметров погрешностей ДНИ, определяют, какими точностными параметрами будет обладать моделируемая инерциальная система. На практике, для моделирования используются параметры погрешностей уже существующих гироскопов и акселерометров, что позволяет для получения требуемых параметров инерциальной системы подобрать конкретные марки ДНИ.

В литературе [1, 13-23], описывающей математическое моделирование инерциальных систем, обычно учитываются угловая скорость дрейфа и погрешность масштабного коэффициента гироскопов, сдвиг нулевого сигнала и погрешность масштабного коэффициента акселерометров. Реже учитываются нелинейности их статических характеристик, еще реже - асимметрия. Менее всего освещен [11, 20] учет шумовых компонентов выходного сигнала ДНИ. Как правило, используется или «белый» шум [6, 19] или же коррелированный марковский процесс [16, 19], которые достаточно редко отражают реальную картину шума в выходном сигнале ДНИ.

Для описания параметров шума выходного сигнала ДНИ часто используется такая статистическая оценка, как среднеквадратическое отклонение (СКО). Однако, она наиболее пригодна для оценки упомянутых «белого» шума или коррелированного марковского процесса. Шумы реальных датчиков имеют более сложную структуру, которую невозможно оценить с помощью СКО. Однако даже при наличии связи со временем корреляции, он недостаточен для предсказания характеристик систем на основе датчиков угловой скорости.

Другим методом является метод оценки спектральной плотности мощности (СНМ) [3]. СПМ является наиболее полным представлением спектральной декомпозиции временных рядов. Данный метод хорошо подходит для анализа как периодических, так и апериодических сигналов. В стационарных процессах зависимость между двусторонним СИМ S(о) и ковариацией К(т) запишется в виде:

ад

S (о) =| в~]атК (т) ёт; (1)

—ад

1 ад

К (т) = — { S (о) еот ёо,

2п —ад

где К(т) - ковариация случайного процесса.

У определенных процессов, в частности периодических, такой параметр, как шум квантизации, лучше всего описывается их энергетическим спектром или интегральной СЛМ, так как их амплитуда в СЛМ зависит от частоты дискретизации. Это свойство используется для отделения, например, шума квантизации от белого шума. Оба параметра

имеют на СНМ наклон +2 дек/дек, но амплитуда белого шума на СНМ не зависит от частоты дискретизации (разрешение полосы пропускания), в то время как амплитуда шума квантизации на СНМ непосредственно пропорциональна периоду дискретизации.

Наиболее перспективным методом определения дрейфа и шумовых характеристик ДНИ является использование метода вариации Аллана. Это метод представления среднеквадратичного случайного дрейфа в зависимости от времени усреднения. Он прост в вычислениях, значительно лучше подходит для анализа шума, чем простое вычисление СКО, относительно прост для интерпретации и понимания. Метод не очень хорошо подходит для строгого анализа, но является разумным решением в процессе подготовки моделей ошибок инерциальных датчиков. Для применения метода определения и оценки коэффициентов случайного дрейфа требуется предварительно сформированное уравнение ошибок.

Вариация Аллана представляет собой функцию изменения среднеквадратичного случайного дрейфа в зависимости от времени усреднения [4]. Выражение для вычисления вариации Аллана [11]:

1 т—1 ^

°2(пТо) = Т7--------^£(+1(и70) — О№) , (2)

2(т — 1) г=1

где пТ0 - величина интервала осреднения (т); п - количество отсчетов в одном интервале измерений; Т0 - период дискретизации; ш/ - среднее значение угловой скорости на /-м

Т

интервале; т - количество интервалов в разбиении т = —; Т - время всего замера.

т

Среди пяти основных источников шума ДНИ можно выделить случайное блуждание по углу («белый» шум), случайное блуждание скорости, нестабильность смещения нуля (фликкер - шум), шум квантования и тренд.

Вариация Аллана позволяет выделить и оценить величины различных шумовых составляющих, присутствующих в данных. Обычно изображается график зависимости квадратного корня из вариации Аллана от времени усреднения т в логарифмическом масштабе по обеим осям.

В общем случае в данных могут присутствовать несколько случайных процессов. Опыт показывает, что в большинстве случаев различные шумовые составляющие проявляются в различных областях т. Это позволяет легко выделить различные случайные процессы в данных. Если предположить, что присутствующие случайные процессы статистически независимы между собой, то вариация Аллана при любом заданном т представляет собой сумму вариаций Аллана каждого из этих процессов при этом же значении т.

Вариация Аллана позволяет выделять следующие шумовые компоненты:

• квазидетерминированное смещение нулевого сигнала (тренд), обозначается Я;

• случайный уход по угловой скорости (для гироскопов) или по ускорению (для акселерометров), обозначается К;

• нестабильность смещения нулевого сигнала (фликкер - шум), обозначается В;

• случайный уход по углу (для гироскопов) или по скорости (для акселерометров) (белый шум), обозначается N

• шум квантования выходного сигнала, обозначается Q;

• марковский коррелированный шум с определенной амплитудой и временем корреляции, обозначаемыми дс и Тс соответственно.

а(т)

Нестабильность

нулевого сигнала I

J_______________I_______________1_______________I______________I__________

Рис. 1. График кривой вариации Аллана

На рис. 1 показан график гипотетической вариации Аллана с указанием областей, отличающихся величиной наклона графика, характер которых позволяет судить о том или ином шумовом параметре.

Указанные параметры шума позволяют достаточно точно описать шумовые процессы в выходном сигнале ДПИ, не слишком углубляясь в природу их возникновения, поскольку зачастую сделать это очень сложно. Для того, чтобы при математическом моделировании учесть шумовые параметры той или иной модели ДПИ, достаточно, имея записи выходного сигнала, провести их анализ с помощью аппарата вариации Аллана.

Таким образом, учитывая вышесказанное, имеем задачу синтеза шума по имеющимся численным значениям коэффициентов вариации Аллана реального ДПИ. Необходимо отметить, что способ синтеза шума непосредственно по коэффициентам вариации Аллана на данный момент не известен. Но в то же время в литературе [8-10, 12] известен ряд способов синтеза шумов вида 1/fa, что позволяет, при использовании формул пересчета между СПМ и параметрами вариации Аллана в зависимости от частоты 7 [3], получить способ синтеза шумов по этим коэффициентам:

(3)

Snв (7) =

(4)

[0, / > /0

где/0 - частота среза; SON(/), ЗоВ(7) - спектральные плотности мощности, соответствующие процессам случайного ухода по углу (по скорости) и нестабильности смещения нулевого сигнала; N В - величины случайного ухода по углу (по скорости) и нестабильности смещения нулевого сигнала;

2

2п

Зок (7) =

(5)

я2

(2/)3

( вш2 (п /Т0) ^ (п7 т0)2

1

(6)

2т„

где т0 - шаг дискретизации; ЗОКД Зоя/, ЗооО/ - спектральные плотности мощности, соответствующие процессам случайного ухода по угловой скорости (по ускорению), квазидетерминированного смещения нулевого сигнала и квантования выходного сигнала;

К, Я, Q - величины случайного ухода по угловой скорости (по ускорению), квазидетерминированного смещения нулевого сигнала и квантования выходного сигнала;

З (7) = (яЛ)2 (8)

OQ (Л 1 + (2п 7ТС )2, ()

где З09(7) - спектральная плотность мощности марковского коррелированного процесса; qc, ТС - амплитуда и время корреляции марковского коррелированного процесса.

В [11] производится сравнение эффективности различных способов синтеза. Наиболее простым как для понимания, так и для реализации является описываемый в [10] способ синтеза на основе быстрого преобразования Фурье по задаваемой спектральной характеристике. Основным его недостатком является требовательность к значительным объемам вычислительной памяти.

В качестве примера на рис. 2 представлены графики исходного сигнала волоконнооптического гироскопа ВГ951 («Физоптика», г. Москва) и его вариация Аллана. Здесь же изображены графики синтезированного сигнала и его вариации Аллана. Коэффициенты вариации численно равны:

Q = 3,6-10-4 угл.с; N = 0,025 °^с; В=0,5 °/с; qc = 2,33 °^с; Тс = 0,034 с.

Для того, чтобы показать влияние шумов датчиков на точность выходных параметров инерциальной системы, было проведено математическое моделирование БИНС на основе волоконно-оптических гироскопов ПНСК 40-018 («Оптолинк», Саратов) и кварцевых акселерометров АКП-2 (ПО им. Пилюгина, Арзамас). По записям ДНИ и по паспортным данным были определены параметры датчиков, которые затем применялись при моделировании.

На первом этапе проводилось математическое моделирование БИНС с учетом основных погрешностей ДПИ, но без учета шума выходного сигнала. Принимались в расчет погрешности гироскопов: систематические составляющие дрейфов - Ашх = 0,01 (/ = 1, 2, 3) угл. град/ч; погрешности масштабных коэффициентов 5шхг- = 10-4 ( = 1, 2, 3); погрешности несимметрии статических характеристик ВОГ = 10-6 (/' = 1, 2, 3) и акселерометров; сдвиг нулевого сигнала АЖх = 10-4 м/с2; погрешности масштабных коэффициентов 5Жх = 10-4 (I = 1, 2, 3).

Программы моделирования базировались на численном методе Рунге - Кутта 4-5-го порядков с автоматически варьируемым шагом интегрирования от максимального значения 0,01 с и меньше. Введена компенсация поворотных ускорений и скоростной погрешности для режима ГК. Для оценки эффективности алгоритмов произведено математическое моделирование процесса функционирования БИНС по алгоритмам идеальной работы, т. е. при отсутствии у ДПИ погрешностей, когда точные алгоритмы заменены дискретными по схеме Рунге - Кутта. Модель Земли принята в виде сферы.

Рис. 2. Графики исходного и синтезированного сигналов гироскопа ВГ951, а также их вариаций Аллана

При моделировании вначале (і < 500 с) на неподвижном относительно Земли подвижном объекте производилась начальная выставка [1]. Затем с момента времени і = 1000, с и до конца моделирования включалась качка объекта по каналам курса тангажа 0 и крена у:

т = та зіп(ю^ г + Дх*); 0 = 0а 8іп(ш0ґ + Д%0); у = у а віп(юу г + Дху), (9)

где 0а, уа, - амплитуды качки по каналам тангажа, крена и курса, изменяющиеся

плавно, по экспоненциальному закону:

0 а = 0,1 • (1 - е

- е-0,6(і-Ї0)

); = 0,1 • (1 - е

- е-0,6(і—г0) ) ;

); уа = 0,1 • (1 - е

).

(10)

Здесь - юТ, юе, ®у - угловые частоты качки по каналам курса, тангажа и крена, равные, соответственно 0,628; 0,314 и 1,256 рад/с, Д%Т, Дхе, ДХу - фазы качки по каналам курса, тангажа и крена, равные, соответственно 0 рад, 0,7 рад и 0,4 рад. Также для подвижного объекта задавалось равноускоренное движение по двум осям ^1 и ^3 с последующим движением с постоянной скоростью:

X = 1200...1220 с, уС1 =-^(Г -1200) м/с; усз =-^ (X -1200) м/с;

бх Л Л ш

Л 6^*1 Л Л

vr2 = 0 м/с; t > 1220 с, vZ1 = 20 м/с, —— = —— = 0 м/с; vr2 = 0 м/с.

Ш бх

На рис. 3 изображены результаты моделирования в виде графиков погрешностей определения декартовых координат местоположения объекта в северном (Д^1) и восточном (Д^3) направлениях, а также угла курса (ДТ). Как видно из графиков, результирующие погрешности БИНС за время X = 2-104 с составили следующие максимальные значения:

ДТ = 0,06, угл.град; Де = 7-10-3, угл.град; Ду = 1 • 10-2, угл.град.

б\,

С з

бу^ бу^3

=1 м/с ;

Рис. 3. Графики погрешностей БИНС без учета шумов датчиков

Затем было проведено математическое моделирование БИНС при аналогичных условиях, но с учетом шумов ДПИ. Результаты моделирования (рис. 3) свидетельствуют о том, что погрешности за счет шумов возросли до величин: АТ = 0,2, угл.град; Д0 = 5-10-3 угл.град; Ау = 1-10-2, угл.град.; ?е(0...2-104), с.

Таким образом, учет шумовых парамеров реальных датчиков позволяет более адекватно оценить работу инерциальной системы и принять соответствующие меры для повышения точности выходных параметров (применение адаптивной вейвлет-фильтрации).

Для оценки влияния шумов и дрейфов различных величин на точность БИНС было проведено математическое моделирование инерциальной системы на основе корректируемых кинематических уравнений Эйлера - Крылова [1].

Моделируемые сигналы гироскопов последовательно искусственно зашумлялись сигналами с заданными шумовыми параметрами:

- случайный уход по углу И„ = 0,001; 0,01; 0,1 °/^ч, „ = 1, 2, 3;

- нестабильность смещения нулевого сигнала Вп = 0,1; 1; 10 °/ч, „ = 1, 2, 3;

- случайный уход по угловой скорости К„ = 1; 10; 100 °^ч3, „ = 1, 2, 3;

- нарастание угловой скорости Я„ = 1; 10; 100, °/ч , „ = 1, 2 ,3.

Выходными параметрами БИСОН являются углы рыскания у, дифферента 0, крена у, широты ф и долготы X места. По результатам моделирования была оценена погрешность определения этих параметров при воздействии указанных видов шумов. Графики изменения погрешностей в зависимости от величины шума представлены на рис. 5 и 6. На графиках рис. 5 и 6 „ - номер параметра случайных процессов Ы, В, К, Я „ = 1, 2, 3.

ду,

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 13000

1,с

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

1,с

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

*-0

0.05 |=----1-------1-------1-------1-------1------1------1--------1-------г

о - __________________—------ ------ —■—" "

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

1,0

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Рис. 4. Графики погрешностей БИНС с учетом шумов датчиков

Рис. 5

706050 • о 40-< 3020 • 10-

-----N=0 001,0 01.01

.....В=0 1,1,10

-----К=1,10.100

-----FVI.10.100

.............

...

г^‘^жшГ~2£т'и»~ттттт.тттт»»тт » “ •

Изменение погрешности долготы при увеличении шума

N=0.001.0.01.0 1

К=1,10,100 £3=1,10.100

-

80 • 706050-\ 40.

*" эо-2010-

1.5

2.5

Рис. 6

Нетрудно видеть, что чем более низкочастотным является шум, тем более существенное влияние он оказывает. Наиболее заметным является увеличение погрешности выходных параметров при увеличении параметра шума Я. Несколько меньше влияет случайный уход по угловой скорости К. Вклад нестабильности нулевого сигнала менее существенен.

Случайный уход по углу, в силу своей природы (так называмый «белый шум») влияет незначительно - точность инерциальной системы при наличии «белого шума» на 1-2 порядка выше. Следует заметить, что воздействие «белого шума» на этапе выставки БИНС успешно снижается за счет фильтрации сигналов ДНИ. Борьба с остальными типами шумов крайне затруднена и радикальным способом повысить точность инерциальной системы является подбор ДПИ с существенно меньшими величинами данных шумов в выходном сигнале.

Заключение. Предложены методика и алгоритм учета шумовых параметров ДПИ, в достаточной степени приближенных к реальным сигналам датчиков, что при математическом моделировании инерциальных систем позволяет получить наиболее адекватную оценку ее работы. Приводится пример синтеза выходного сигнала реального датчика - волоконно-оптического гироскопа ВГ951. Также показывается влияние шумовых параметров сигналов ДПИ в БИНС на основе ВОГ (ПНСК 40-018) и акселерометров (АКП-2), имеющих следующие погрешности: сдвиги нулей ВОГ составили Ашхг- = 0,01 (/ = 1,2,3) угл.град/ч, погрешности масштабных коэффициентов 5шхг- = 10~4 (/ = 1,2,3), погрешности несимметрии статических характеристик ВОГ ЛоХ1 = 10~6 (/ = 1,2,3), шумы гироскопов с СКО 0,35 угл. град/ч, сдвиги нулей акселерометров АЖ„ = 10-4 м/с2, погрешности их масштабных коэффициентов 5Жхг- = 10-4 (/ = 1,2,3), шумы акселерометров с СКО 6-10-4 м/с2. Сравнение производилось для моделирования как без учета шумов ДПИ, так и с их учетом. Показано, что наличие шумов приводит к возрастанию погрешностей выходных параметров БИНС. Также показано влияние различных типов шумов на точность выходных параметров БИНС - чем

более низкочастотным является компонент шума выходного сигнала ДПИ, тем большую погрешность выходных параметров БИНС он вызывает.

ЛИТЕРАТУРА

1. Плотников П.К. Элементы теории работы одной разновидности бесплатформенных инерциальных систем ориентации / П.К. Плотников // Гироскопия и навигация. 1999. № 3. C. 23-35.

2. Волоконно-оптический гирокомпас на основе бесплатформенной инерциальной системы ориентации и навигации / Ю.Н. Коркишко, В.А. Федоров, В.Е. Прилуцкий и др. // Сб. докл. XI Междунар. науч. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. С. 90-91.

3. IEEE Std. 952-1997. IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Interferometric Fiber Optic Gyros. New York, IEEE, 1997. 77 p.

4. Использование вариации Аллана при исследовании характеристик микромеханического гироскопа / С.Г. Кучерков, Д.И. Лычев, А.И. Скалон, Л. А. Чертков // Гироскопия и навигация. 2003. № 2. C. 98-104.

5. Walchko K.J. Embedded Low Cost Inertial Navigation System. Florida Conference on Recent Advances in Robotics / K.J. Walchko. Dania Beach: University of Florida, 2003. Р. 7178. http://www.mil.ufl.edu/publications/fcrar03/Walchko-2.pdf

6. Woodman O.J. An introduction to inertial navigation / O.J. Woodman // Technical Report № 696. UCAM-CL-TR-696. Cambridge: University of Cambridge, 2007. 37 p. http://www.cl.cam.ac.uk/techreports/UCAM-CL-TR-696.pdf

7. Stockwell W. Bias Stability Measurement: Allan Variance / W. Stockwell. Crossbow Technology, Inc. http://www.xbow.com/support/Support_pdf_files/Bias_Stability_Measurement.pdf

8. Plaszczynski S. Generating long streams of 1/f a noise. Fluctuation and Noise Letters / S. Plaszczynski. http://arxiv.org/PS_cache/astro-ph/pdf/0510/0510081v2.pdf

9. Keshner M.S. 1/f noise / M.S. Keshner. Proc. IEEE. 1982. Vol. 70. Р. 212-218.

10. Kasdin N.J. Discrete simulation of colored noise and stochastic-processes and 1f“ power-law noise generation / N.J. Kasdin. Proceedings of the IEEE. 1995. Vol. 83. Issue 5. Р. 802827.

11. Hou H. Inertial sensors errors modeling using Allan variance / H. Hou, N. EI-Sheimy. ION GPS/GNSS 2003 Proceeding. Portland, 2003. Р. 2860-2867.

12. Greenhall C.A. FFT-Based Methods for Simulating Flicker FM / C.A. Greenhall // Proceedings of the 34th Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Systems and Applications Meeting. Pasadena: California Institute of Technology, 2002. Р. 481-492. http://tycho.usno. navy.mil/ptti/ptti2002/paper46.pdf

13. Теория и применение бесплатформенных систем ориентации и навигации подземных объектов / П.К. Плотников, А.И. Синев, В.Б. Никишин и др. // Материалы Х Междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ-ЦНИИ «Электроприбор», 2003. С. 101-103.

14. Большаков А.А. Применение кватернионных алгоритмов БСОН в системах подземной навигации / А. А. Большаков // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. XVII Междунар. науч. конф.: в 10 т.; под общ. ред. В.С. Балакирева. Кострома: КГТУ, 2004. Т. 2. С. 134-137.

15. Большаков А. А. Программно-алгоритмические аспекты моделирования интегрированных бесплатформенных систем ориентации и навигации / А.А. Большаков / Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2004. 35 с. Библиогр.: с. 34-35. Деп. в ВИНИТИ 20.10.04, № 1641-В2004.

16. Патент на изобретение РФ № 2295113. Инерциальный измерительный прибор / Ю.В. Чеботаревский, Ю.Н. Коркишко, В.А. Федоров и др. Зарег. в Гос. реестре изобретений РФ 10.03.2007, приоритет от 20.10.2006.

17. Большаков А.А. Математическое моделирование работы интегрированных бесплатформенных систем ориентации и навигации локального назначения: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.А. Большаков. Саратов, 2004. 21 с.

18. Багрова М.С. Алгоритмы комплексирования инерциального блока низкого класса точности и системы спутниковой навигации: автореф. дис. . канд. техн. наук / М.С. Багрова. М., 2001. 16 с.

19. Анучин О. Н. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов / О.Н. Анучин, Г.И. Емельянцев; под общ. ред. В.Г. Пешехонова. СПб.: Изд-во ЦНИИ «Электроприбор», 2003. 390 с.

20. Nassar S. Improving the Inertial Navigation System (INS) Error Model for INS and INS/DGPS Applications / S. Nassar. UCGE Report № 20183. Calgary: University of Calgary, 2003. 178 p. http://www.ucalgary.ca/engo_webdocs/KPS/03.20183.SNassar.pdf

21. Плотников П.К. Построение и анализ кватернионных дифференциальных уравнений задачи определения ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы / П.К. Плотников // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. № 2. С. 3-14.

22. Применение кватернионных алгоритмов в бесплатформенных инерциальных системах ориентации и локальной навигации / П.К. Плотников, Ю.В. Чеботаревский, А.А. Большаков, В.Б. Никишин // Авиакосмическое приборостроение. 2003. № 10. С. 2131.

23. Плотников П.К. К построению устойчивых кватернионных алгоритмов

функционирования бескардановых гироинклинометров / П.К. Плотников,

А.А. Большаков // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. XVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. Ростов н/Д: РГАСХМ ГОУ, 2003. Т. 5. С. 10-12.

Михеев Алексей Mikheyev Aleksey

Владимирович - Vladimirovich -

ассистент кафедры Assistant of the Department

«Приборостроение» of «Instrument marking»

Саратовского of Saratov State Technical

государственного University

технического университета

Статья поступила в редакцию 26.09.08, принята к опубликованию 10.12.08