CC BY
117
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 81-83
УДК 534.1
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗГИБНЫХ И ПРОДОЛЬНО-ИЗГИБНЫХ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
© 2012 г. В.И. Ерофеев, А.С. Зинченко
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
erf04@sinn.ru
Поступила в редакцию 10.09.2012
В рамках геометрически нелинейной модели продольно -изгибных колебаний упругого стержня рассмотрены задачи о распространении интенсивных упругих волн.
Ключевые слова: нелинейность, стержень, упругая волна.
Рассмотрим прямолинейный стержень, отнесенный к декартовой системе координат (х, у, ¿), совершающий изгибные и продольные колебания в плоскости (х,г).
Система уравнений, описывающих взаимодействие изгибных и продольных колебаний стержня с учетом геометрической нелинейности, имеет вид [1, 2]
д и 2 д и
dt2 С° дх2
2 дх
dw
дх
(1)
~\2 ^\4
д w 2 2 о w — + сУу------------------
= Сп
dt du dw
дх'
4
dw
дх
(2)
дхудх дх ) 2 дх
Здесь и(х,ґ) - продольные, а w(x,t) - поперечное перемещение частиц срединной линии стержня;
со=4Е^> - скорость распространения линейных продольных возмущений (стежневая скорость); Е - модуль Юнга; р - плотность материала; гу = ^у!Р - осевой радиус инерции;
3У =
її
- осевой момент инерции; ¥ - площадь поперечного сечения стержня.
Предполагаем, что стержень является бесконечным. Такая идеализация допустима, если на границах стержня находятся оптимальные демпфирующие устройства, т.е. параметры граничного закрепления таковы, что падающие на него возмущения не будут отражаться. В [3] на основе точных решений модельных задач для упругих систем обосновано существование согласованных концевых гасителей различных видов колебаний, не дающих отраженных воз-
мущений в системе. Это позволяет рассматривать модель стержня (1), (2) без учета граничных условий, а вибрации, распространяющиеся по стержню, рассматривать как бегущие упругие волны.
Из (1) и (2) видно, что продольные и изгибные волны в стержне взаимодействуют лишь в нелинейном приближении. При этом нелинейные слагаемые входят в уравнения (1) и (2) несимметрично: продольные волны воздействуют на изгибные волны параметрическим образом, а изгибные волны служат нелинейным источником для продольных волн.
Взаимодействие квазигармонических продольных и изгибных волн исследовано [1].
Рассмотрим случай распространения по стержню интенсивных вибраций, когда уже нельзя ограничиться изучением квазигармони-ческих процессов, а необходимо учитывать ши-рокополостность нелинейных продольно-изгиб-ных волн.
Решение уравнений (1), (2) будем искать в классе стационарных волн
и = u(Q, w = w (£), (3)
где ^ = x-Vt- «бегущая» координата, V = const - скорость волны.
Из уравнения (1) при подстановке (3) определится связь между продольным и поперечным перемещениями:
du
dt,
dw
d%
(4)
2(У2-с20)\
Уравнение (2) при подстановке (3) и с учетом соотношения (4) сведется к уравнению Дуффинга:
d2Q
dt,
+ mfi + m2Q3 = 0.
(5)
2
2
С
о
3
2
С
о
2
2
с
о
Здесь 0 = йм>/й, - угол поворота поперечного сечения стержня;
V2 1
т1=—
Фу
2гу (1 - С0/У2)
О возможности существования нелинейных стационарных продольно-изгибных волн можно судить по знакам коэффициентов т1 и т2, при этом первый коэффициент всегда положителен, а знак второго коэффициента определяется величиной отношения с0/V.
Если V > со, то есть, если нелинейная волна распространяется по стержню быстрее, чем линейные возмущения, то т2 <0. На фазовой плоскости уравнения (0, й0/й,) (5) точка (0, 0) является устойчивым положением равновесия
типа «центр», а точки
= ^(2т1 + т2Л2)/2 -
волновое число;
Л=
2У
К =
(
1 -
У
£о У2
1+52
с0Гу V! + 5
Л(с) =42 -с0
( с2 ^ 1 - -Г
V у2у
(9)
(10)
-амплитуда волны,
А = У-ГуМ
- ее ширина.
Если V < с0, то есть, если линейные возмущения распространяются по стержню быстрее, чем нелинейная волна, то т2 > 0.
На фазовой плоскости уравнения (5) в этом случае точка (0, 0) является единственным устойчивым положением равновесия. Это положение равновесия типа «центр». В стержне могут существовать только периодические стационарные волны. Они описываются эллиптическим косинусом
0 = Лсп(К,, 5).
(12)
Амплитуда (А) и волновое число (К) опреде-
ляются соотношениями:
(±^-т1 /т2,0 ) - неус-
тоичивыми положениями равновесия типа «седло». Фазовый портрет показывает, что в стержне могут существовать как периодические стационарные волны (им соответствуют движения по фазовой траекториям вокруг положения равновесия), так и уединенная стационарная волна (движение по сепаратрисе, идущей из «седла» в «седло»).
Периодическая волна описывается эллиптическим синусом, форма которого близка к меандру:
0 = Аъп(К,, 5). (6)
Здесь А — амплитуда волны; К =
Л = 2 -
К =
С -1)
(^ V1 - 5 ,
У
с0гу
1 - 52
(13)
(14)
Если срединная линия стержня является нерастяжимой, то и = 0 и рассматриваемая стационарная волна становится чисто изгибной. Она будет описываться уравнением Дуффинга (5) с коэффициентами
т, =
У2
2 2 С0Гу
т2 = --
1_
2гУ
= т2А /(2т1 + т2А ) - модуль эллиптической функции, изменяющейся в интервале 0 < 52 < 1.
Через параметры исходной задачи амплитуда и волновое число выражаются следующими соотношениями:
первый из которых всегда положителен, а второй - всегда отрицателен.
Нелинейная изгибная стационарная волна может быть как периодической, так и уединенной. Периодическая волна описывается эллиптическим синусом (6). Ее амплитуды (А) и волновое число (К) описываются соотношениями:
Л = 1У.1 5
с0 V 1 + 5
(7)
(8)
К=
У
СоГу V 1 + 5
2
(15)
(16)
Уединенная стационарная волна имеет форму перепада (кинка) и описывается гиперболическим тангенсом:
0(,) = Л(С)Ш(,/Д),
где
У
Примечательно, что отношение амплитуды стационарной волны к волновому числу является величиной постоянной,
А
■ = 2гу5 = сош!
Ку
(17)
определяемой только радиусом инерции поперечного сечения стержня.
Уединенная волна описывается гиперболическим тангенсом (9). Ее амплитуда (А(с)) и ширина (Д) описываются соотношениями
Л( с) = 72У, Со
Д=^уУ0.
(11)
(18)
(19)
С
о
1
1
С
о
1
Заметим, что произведение амплитуды уединенной волны на ее ширину является постоянной величиной
A(c) Д = 2ry = const. (20)
При 5 = 1 выражения (17) и (20) тождественны, что очевидно, поскольку при этом значении эллиптический синус выражается в гиперболический тангенс. Для стержня кругового поперечного сечения осевой радиус инерции равен половине радиуса. Соотношение (20) в этом случае можно переписать в виде 2 A(c) Д = d, где d - диаметр стержня.
Определим, как соотносятся между собой параметры нелинейных стационарных волн, распространяющихся в растяжимом и нерастяжимом стержнях. Для этого сравним соотношения (7) и (15), (8) и (16), (10) и (18), (11) и (19).
Получим:
Ласт. = аР
(с)
аст.
4е
А(с)
нераст.
= 1,
= 1.
(21)
нераст. нераст.
Из (21) следует, что амплитуды нелинейных продольно-изгибных стационарных волн (как периодических, так и уединенных) всегда
меньше, чем соответствующие амплитуды нелинейных изгибных стационарных волн. Эта разница тем заметней, чем больше скорость нелинейной волны отличается (превышает) от скорости линейных возмущений. Отношение длины стационарной периодической волны, распространяющейся в растяжимом стержне к длине стационарной периодической волны, распространяющейся в нерастяжимом стержне, всегда равно единице. Единице равны и отношения ширин уединенных стационарных волн, распространяющихся в растяжимом и нерастяжимом стержнях.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 11-08-97066-р_поволжье; 12-08-90822-мол_
рф_нр).
Список литературы
1. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 с.
2. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны в стержнях, пластинах и оболочках // Акустический журнал. 2002. Т. 48. №6. С. 725-740.
3. Весницкий А.И. Избранные труды по механике. Нижний Новгород: Изд-во «Наш дом», 2010. 248 с.
NONLINEAR FLEXURAL AND LONGITUDINAL FLEXURAL WAVE PROPAGATION IN AN ELASTIC ROD
V.I. Erofeev, A.S. Zinchenko
The propagation of intense elastic waves is considered in the framework of a geometrically nonlinear model of the longitudinal flexural vibrations of an elastic rod.
Keywords: nonlinearity, rod, elastic wave.
