CC BY
251
Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова)
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Для описания распределения напряжений и раскрытия трещин в зоне предразрушения в окрестности вершин трещин отрыва предлагается использовать подход Нейбера-Новожилова, когда решения классической теории упругости имеют сингулярную составляющую. За нулевое приближение выбрано распределение напряжений в классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Предлагается модификация этой модели, когда для зоны предразрушения используется схема пучка волокон, причем пучок волокон занимает прямоугольник перед вершиной исходной трещины. Получено в первом приближении распределение напряжений в зоне предразрушения и непосредственно перед ней, когда стандартная а-е-диаграмма материала имеет разрывы первого рода. Функция, описывающая это распределение напряжений, может иметь разрывы первого рода. Функция, описывающая раскрытие трещин, является гладкой функцией. Для критических длин зон предразрушения и критического коэффициента трещиностойкости материала получены зависимости, связывающие структурные, прочностные и упругие характеристики материала.
1. Введение
Полная постановка задачи о распределении напряжений и смещений в зоне предразрушения для упругопластических материалов и материалов с частичным разрушением относится к нелинейной механике разрушения. Эту сложную нелинейную задачу предлагается существенно упростить. Воспользуемся классическими представлениями линейной механики разрушения в том числе и для зон предразрушения, когда исходная и фиктивная трещины отрыва моделируются двусторонними разрезами. Обсуждение правомерности предлагаемых упрощений отложим до п. 3, в котором особое внимание будет уделено описанию нелинейных силовых связей в зоне предразрушения и своеобразной трактовке модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [1, 2].
Концепция зон предразрушения в вершинах трещины нормального отрыва оказалась весьма конструктивным подходом. Пусть на бесконечности заданы растягивающие напряжения а^, действующие по нормали к плоскости трещины. Чаще всего реальная внутренняя прямолинейная трещина-разрез длиной 210 моделируется некоторой фиктивной трещиной-разрезом длиной 21 = 210 + 2Д, когда используются линейные уравнения теории упругости (Д — длина зон предразрушения, каждая из которых расположена на продолжении внут-
ренней трещины). Вероятно наиболее простое описание зоны предразрушения можно получить, используя модель Леонова-Панасюка-Дагдейла [1, 2]. Поле нормальных напряжений ау (х, 0) на продолжении фиктивной трещины можно представить в виде суммы двух слагаемых (начало декартовой системы Оху координат согласовано с правой вершиной фиктивной трещины)
а у (х, 0) = К 1/(2ш)112 + О(1),
(1)
кI = К^ + Кд, к^> 0, Кд < 0,
где К1 = К1 (I, Д) — суммарный коэффициент интенсивности напряжений; К^ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями а^; К1Д — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый постоянными напряжениями атД, действующими согласно классической модели Леонова-Па-насюка-Дагдейла. Первое и второе слагаемые в соотношении (1) — сингулярная и гладкая части решения соответственно.
При описании зон предразрушения возможно построение двух классов решений:
К = 0, (2)
К1 > 0. (3)
© Корнев В.М., 2004
Третий класс решений, соответствующий неравенству К1 < 0, не рассматривается, так как в изучаемой модели при таком ограничении берега трещины-разреза перекрываются. Итак, при выполнении равенства (2) решение не содержит сингулярной части, а при выполнении неравенства (3) решение имеет и сингулярную, и гладкую части решения. Построение первого класса решений (2) можно связать с гипотезой С.А. Христиа-новича [3] об отсутствии сингулярности в вершине фиктивной трещины. При исследовании зоны предразру-шения основное внимание уделялось решениям, которые не содержат особенности [4]. Одна из последних публикаций [5] на эту тему при отсутствии сингулярности в решении содержит богатую библиографию.
Подход Нейбера-Новожилова [6, 7] позволяет расширить класс решений для сред со структурой, см. соотношения (1), (3), публикации [8-10] и библиографию к ним. По терминологии В.В. Новожилова изучаемые здесь критерии прочности называются достаточными. Бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины, см. (1) и (3), не допускаемые континуальным критерием прочности, не противоречат дискретным критериям [6, 7], если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность. Может создаться впечатление, что при использовании подхода Нейбера-Новожилова [6, 7] в модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла [1, 2] распределение напряжений в зоне предраз-рушения уже задано самой моделью. Будем рассматривать это распределение как некоторое нулевое приближение при выполнении неравенства (3).
2. Достаточный критерий прочности
Достаточный дискретно-интегральный критерий квазихрупкой прочности имеет вид (Д > 0, 8тД > 0) [810]:
1 пг0
— [ау (х,0)^ — ат0 ’ 0 — х — пг0> (4)
Ьо 0
2v (х) — 8тД, -Д — х — 0. (5)
Здесь а у — нормальные напряжения (1), они имеют сингулярную составляющую (3) с интегрируемой особенностью; г0 — характерный линейный размер структуры исходного материала; п, Ь—целые числа (п > Ь); пг0 — интервал осреднения; (п - Ь)/п — коэффициент поврежденности исходного материала на интервале осреднения; а т0 — «теоретическая» прочность зернистого материала (в общем случае ат0 Ф атД); 2v = 2v (х) — раскрытие фиктивной трещины; 2у * (-Д) = 8тД — критическое раскрытие фиктивной трещины, при котором разрушается ближайшая к центру трещины структура зоны предразрушения.
Достаточный дискретно-интегральный критерий (4), (5) допускает предельный переход к необходимому дис-
кретно-интегральному критерию (4), когда длина зоны предразрушения стремится к нулю, т.е. Д —— 0. Напряжения а^ обозначают критические напряжения, полученные по необходимому критерию (4), и соответствуют хрупкому разрушению материала. При Д — 0 отсутствует раскрытие фиктивной трещины: длины фиктивной и исходной трещины совпадают, т.е. при Д = 0 имеем 2v (0) = 0. Рассмотрим достаточный критерий (4), (5):
* '-\ * Т.Г * * *
для критических параметров а! , 2у , К1, Д соотношения (4) и (5) превращаются в равенства (критические параметры помечены звездочкой). Очевидно, что а! > а! и 0 — 2v(х) — 8тД (-Д* — х — 0), когда стандартная а-е-диаграмма материала кроме линейного участка деформирования обладает нелинейным участком. Естественно измерять длину зоны предразрушения Д в единицах длины структуры материала г0. Уточним описание а-е-диаграмм материалов для построения критических параметров разрушения.
3. Физико-механическое описание зоны предразрушения
Подчеркнем, что, вообще говоря, в соотношении (4) ат0 Ф атД для армированных или многокомпонентных материалов. Например, в работах [8, 10] используется идея пучка волокон при описании стандартной а-е-диаграммы. Обычно при применении подхода Нейбера-Новожилова [6, 7] в классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [1, 2] выбирается ограничение ат0 = атД, что соответствует поведению упругопластических материалов с ярко выраженной площадкой текучести. Изучим три достаточно типичных материала, таких что кроме стандартных а-е-диаграмм рассматриваются некоторые упрощенные аппроксимации этих диаграмм:
е тД
(атД) j=атД =------------[а°)(еме,
етД - ет0 е
е т0
т0 (6)
i = 1, 2, 3, у = 0.
Здесь ет0 — предельное относительное удлинение исходного материала, когда достигается «теоретическая» прочность исходного материала; е тД — предельное относительное удлинение материала зоны предразрушения; индекс i = 1, 2, 3 соответствует номеру типа материала; индекс у = 0 соответствует нулевому приближению в выбранной модели. На рис. 1 для трех материалов приведены стандартные а-е-диаграммы. За счет выбора масштабов по осям линейный участок этих диаграмм представлен единой сплошной прямой 1; сплошные кривые 2, 3, 4 — нелинейные участки а-е-диаграмм первого, второго и третьего материалов соответственно; штриховые горизонтальные прямые 5, 6, 7 — осред-ненные напряжения в модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла. Ради простоты принято, что для всех типов мате-
Рис. 1. Диаграммы ст-е и их аппроксимации
риалов предельные относительные удлинения е& (i = = 1, 2, 3) материалов зоны предразрушения совпадают. Только для первого материала выполняется ограничение стт0 = сттД [9], для второго материала имеем стт0 < сттД, а для третьего материала выполняется неравенство стт0 > сттД. Поведение первого материала в зоне предразрушения можно связать с поведением упругопластического материала [4, 9]. Поведение в зоне предразрушения второго и третьего материалов можно трактовать как поведение композита [8, 10], имеющего хрупкую матрицу со слабым армированием и армированную высокопрочными волокнами соответственно. Функции, описывающие реальные ст-е-диаграммы второго и третьего материалов, имеют один и два разрыва первого рода соответственно, а функция, описывающая реальную ст-е-диаграмму первого материала, — гладкая функция. Реальные ст-е диаграммы 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4 (рис. 1) аппроксимируются отрезками прямых 1 и 5, 1 и 6,1 и 7 соответственно, причем аппроксимации кривых могут иметь не более одного разрыва первого рода.
На рис. 2, а вверху приведено исходное распределение напряжений (нулевое приближение) как в зоне предразрушения согласно модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла для трещин нормального отрыва, так и непосредственно перед этой зоной с учетом осреднения согласно критерию (4) при стто > 0 (ст 1 < стто < ст!): горизонтальная прямая 1 — осредненные напряжения ст тД в изучаемой модели, см. соотношение (6); горизонтальная прямая 2 — напряжения стт0, действующие на интервале осреднения согласно критерию (4); кривая 3 состоит из сингулярной (штриховая кривая) и гладкой (сплошная кривая) частей и соответствует решениям линейной механики разрушения. Подчеркнем, что до проведения процедуры осреднения функция, описывающая распределение напряжений на продолжении трещины, имеет точку разрыва второго рода при х = 0, когда К1 > 0. На рис. 2, б в соответствующем масштабе приведена силовая схема нагружения для правой вершины фиктивной трещины в изучаемой классической
модели, искажение берегов трещины-разреза во внимание не принимается. Напомним, трещина подменяется двусторонним разрезом, а поперечник разреза в зоне предразрушения имеет нулевой размер до нагружения. На рис. 2, в приведена схема раскрытия 2v(х) берегов фиктивной трещины при ате > 0 (а! <а„ <а!), когда выполнено неравенство (3).
На рис. 3, а приведена исходная трещина 1 и расположенная перед ней зона предразрушения, эта зона предразрушения занимает прямоугольник Аха (а — поперечник зоны предразрушения). Напомним, что перед вершиной трещины отрыва на оси 0х реализуется чистое растяжение, поэтому предлагается описывать поведение материала в зоне предразрушения как поведение пучка £ волокон. Число растянутых волокон в этом пучке можно оценить как целую часть числа А/г0, т.е. £ = = [А/г0 ]. На рис. 3, б представлена качественная картина раскрытия фиктивной трещины V(х) в зоне предразрушения, когда действуют напряжения а! < ато < а!, а нелинейные силовые связи, моделируемые поведением пучка волокон, занимают деформированную зону предразрушения. Справа на рис. 3, в для сечения АА (см. рис. 3, б) приведена схема «крепления» волокон через недеформируемое устройство к берегам трещины-разреза. Рассматривается тонкая пластина 2 с трещи-
^тД
-А
Рис. 2. Распределение напряжений в окрестности вершины фиктивной трещины (а); схема нагружения фиктивной трещины (б); раскрытие берегов фиктивной трещины (в)
Рис. 3. Зона предразрушения (а); раскрытие берегов фиктивной трещины и искажение зоны предразрушения (б); «крепление» волокон к недеформируемому устройству (в)
ной, 3 — силовые связи-волокна, 4 — недеформируемое устройство «крепления» волокон к берегам трещины. Нелинейные силовые связи между берегами трещины в зоне предразрушения возникают при растяжении одномерных стержней длиной а. За счет предлагаемой схемы «крепления» волокон в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла возможна реализация критерия критического раскрытия трещин, см. п. 3.4 «Деформационные критерии в механике разрушения» в справочнике [11]. Предлагаемая схема «крепления» волокон длиной а позволяет рассматривать зону предразрушения с поперечником, отличным от нуля. Итак, мы полностью воспользовались преимуществами линейной механики разрушения, когда нелинейность исходной задачи связывается с нелинейным поведением стержней длиной а и поперечником г0. Формально критерий критического раскрытия трещин уже записан в виде соотношения (5) и входит как составная часть в достаточный критерий прочности (4), (5).
Для определения критического параметра раскрытия трещины 5тД в соотношении (5) воспользуемся поперечником зоны предразрушения а. Например, для упругопластических материалов ст т0 = ст тД поперечник а зоны предразрушения совпадает с поперечником зоны пластичности в вершине исходной трещины [9], если
воспользоваться поправкой Ирвина на пластическую деформацию при квазихрупком поведении материала, когда Д// << 1:
а = 5(К0)7(4лстт<>), К0 = ст^ТЛ/0,
где К ^ = К10(/0,0) — коэффициент интенсивности напряжений реальной трещины-разреза длиной 2/0 при известных напряжениях стто.
Из реальных ст-е-диаграмм или их аппроксимаций выбирается параметр предельного относительного удлинения материала зоны предразрушения е тД, тогда критический параметр раскрытия фиктивной трещины 5 тД подсчитывается по формуле
5 тД = (е тД — е т0)а. (7)
Для дальнейших рассуждений ограничимся квазистати-ческой постановкой, пренебрегая эволюционными процессами в зоне предразрушения. Выше мы воспользовались гипотезой о том, что зона предразрушения представляет прямоугольник со сторонами а и Д [11]. Из работ [12, 13] следует, что используемая гипотеза только качественно отражает поведение пластического материала в окрестности вершины трещины.
Для композитов поперечник а зоны предразрушения определяется значительно сложнее [10]. Вероятно, целесообразно использовать уточненную сдвиговую модель композита при разрушении.
Итак, получены в общем случае три параметра для достаточного деформационно-силового критерия (4), (5): два силовых параметра стт0 > 0 и сттД > 0 (возможные варианты стт0 = сттД, стт0 Ф сттД) и один деформационный параметр 5тД > 0. Эти параметры характеризуют поведение материала.
4. Определение критических параметров разрушения (внутренняя трещина)
Переходим к определению критических параметров разрушения только для нулевого приближения j = 0. Поэтому в этом разделе во всех формулах опущен значок j. Используются простейшие асимптотические представления для напряжений сту (х, у) в соотношении (4), когда гладкая часть решения опущена в приближенном равенстве (1), а коэффициенты интенсивности напряжений К* = К 1(/*, Д*), К1те = К1! (/*) и К1Д = = К1Д (/*, Д*) для внутренней трещины нормального отрыва определяются следующим образом [14]:
К * = К1!+ К 1Д =
=ст:л/Пт -ст „д-у/Пт
1-----arcsin
П
V
1 -Д/ *
(8)
Здесь К*, / * = /0 + Д*, Д* — критические суммарный коэффициент интенсивности напряжений, полудлина фиктивной трещины и длина зоны предразрушения.
Для раскрытия фиктивной трещины 2и(х) в соотношении (5) воспользуемся простейшим представлением, когда опущены второстепенные слагаемые порядка О(-х) в асимптотическом представлении для раскрытия трещины в окрестности ее вершины [14]:
(9)
Здесь п = 3 - 4ц или п = (3 - ц)/(1 + ц) для плоской деформации или плоского напряженного состояния соответственно; ц — коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига.
Тогда критическое раскрытие 2и * (-Д) фиктивной трещины имеет вид
1 і і ф
2у * (-д*) _Л±1 к •—. v 7 G »2я
(10)
Напомним, что для критических параметров соотношения (4) и (5) превращаются в равенства. После очевидных преобразований в равенствах (4), (5), если воспользоваться соотношениями (8), (10), для критических параметров ст!, К*, Д*, /* = /0 + Д* получим систему двух нелинейных уравнений в одном из видов:
1) для произвольной трещины
= ст.
m0,
(11)
п +1 „* д* Л
~~^к1 _ (em— - Єт0)я>
G V 2п
2) для внутренней трещины
nl* - стшДл/л/* [1 - (2fп) arcsin(1 - (Д*/1*))]
vn :
_ст
ш0,
CT„Vnl -стm—Vnl
(12)
1-----arcsin
п
1-
д*
Х’Ьг“ = (єшА -еш0)а-
2п
Если система (11) соответствует достаточному критерию (4), (5) для произвольной трещины при произвольном нагружении в зоне предразрушения, то система (12) соответствует модели Леонова-Панасюка-Дагдей-ла. Очевидно, что в системы (11), (12) входят три параметра аш0 > °, ашА > 0 8шА = (єшА - Єш0)а > 0 ха-
рактеризующие поведение материала с учетом его по-врежденности, если k < п. Поэтому достаточный кри-
терий (4), (5) является трехпараметрическим деформационно-силовым критерием.
Системы (11), (12) описывают разрушение на продолжении длинных трещин, т.е. l0/r0 >> 1, так как для нормальных напряжений сту (x, у) опущены гладкие составляющие решения порядка 0(1) в соотношении (1), а для раскрытия 2v (x) фиктивных трещин опущены составляющие порядка 0(—x) в соотношении (9). Подчеркнем, что при выбранной аппроксимации зоны пред-разрушения, когда ее поперечник есть постоянная величина a = const (см. (7)) критический параметр раскрытия фиктивной трещины 8шД достигает максимума в точке x = -Д*. Таким образом, при выполнении критерия (5) имеет место продвижение вершины реальной трещины.
Система (12) может быть упрощена для длинных трещин при квазихрупком разрушении, когда Д*/1* << 1. В этом случае имеем
arcsin(1 - Д*/1 *) = п/2 -уі2Д*/1*.
(13)
Из второго уравнения системы (12) получаем квадратное уравнение относительно параметра д/д*/1*
2лІ2
'шД
+ ■
(ешД-Є m0)a G
2(П +1)
l *
_ 0.
ст
шД
Пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим явное выражение для наименьшего корня этого квадратного уравнения
l *
V2 (ЄшД -єш0)я G
l *
CT„
(14)
Оценка (14) для длины зоны предразрушения '¡ДД]/ подставляется в первое уравнение системы (12) (безусловно принимается во внимание упрощение (13)). После преобразований имеем для квазихрупкого приближения уравнение, связывающее критические растягивающие напряжения ст! с критическими длинами 2/* внутренних длинных трещин:
ст =ст
+ ст
шД
п(п +1)
(£шД -£ш0)а G
l ст„
(15)
Для квазихрупкого приближения соотношения (14), (15) эквивалентны системе (12). Два других критических параметра К*, /* = /0 + Д* очевидным образом получаются из критических параметров ст!, Д после соответствующих вычислений (см. (8)).
+
ст
X
*
+
Критические напряжения а 1/ат0 при хрупком разрушении материала получаются из соотношения (15), когДа етД - Ет0 = 0 (Л* = 0):
(16)
Критические напряжения при квазихрупком а1 (/ *) и хрупком а 1 (/0) разрушении материала могут отличаться в несколько раз при одинаковой длине трещины. Уточним поперечник зоны предразрушения, когда критические напряжения а1, а 1 существенно различаются. Критический параметр раскрытия фиктивной трещины 5 тД подсчитывается по правилу
^ тД (£ тД £ т0) а,
а - 5( К 1°)7(4пот,о), К 0 = о1ТП/°,
(17)
где К^ = К^ (/0, 0) — коэффициент интенсивности напряжений реальной трещины-разреза длиной 2/0 при заданных напряжениях а1. Соотношение (17) подставляется в (15), после преобразований для критического безразмерного параметра растягивающих напряжений а1 /ат0 при квазихрупком разрушении имеем
^т0
1 —
(18)
п(П + 1) 0т° 0тО
Выражение (18) имеет смысл, если 5 , ч G о
(£ тД £ т°)
п(п +1)
(£ тД £ т°)
тД
^т° ит0
< 1.
(19)
В квазихрупком приближении /* ~ /0 для критического безразмерного параметра растягивающих напряжений а1 /ат0 по сравнению с а 1 /ат0 имеем поправку на пластичность материала, причем эта поправка в основном зависит от деформативности етД - ет0 пластического материала, ср. соотношения (16) и (18).
Преобразуем соотношение (14), воспользовавшись соотношениями (17) и (18). Окончательно получим простое выражение для Д*/г0 , если критическую длину зоны предразрушения измерять в г0:
. (2°)
1 0 1 0 5 1 2
Д* = к2 тД т0 _ 4(п + 1) от0 _
2п
1-
G о т
П(П + 1) от° отО
(£ тД £ т°)
Рис. 4. Зависимость длины зоны предразрушения от деформационных свойств пластического материала
Выражение (20) имеет смысл, если выполнено неравенство (19). При хрупком разрушении имеем Д = 0. Безразмерная длина зоны предразрушения Д*/ г0 (20) для достаточно длинных трещин при квазихрупком разрушении не зависит от длины трещин. Длина зоны пред-разрушения Д зависит только от структурных, прочностных и упругих характеристик материала.
Итак, для квазихрупкого разрушения получены безразмерные критические параметры растягивающих напряжений а1 /ат0 и длины зон предразрушения Д*/г0 (в нулевом приближении j = 0), см. (6), (17)-(20), причем в эти соотношения входят два силовых а т0, а тД и один деформационный 5тД = (етД - ет0)а > 0 параметры, характеризующие поведение материала.
На рис. 4 представлена зависимость безразмерной 0 зоны предразрушения от параметра
Д*/)
длины
етД - ет0, характеризующего деформационные свойства пластического материала. Кривые 1, 2, 3, 4 построены при О/ а т0 = 20, 10, 5, 2 соответственно, причем k=n=1, атД = ат0, ц = 0.3.
На рис. 5 представлены зависимости безразмерных критических параметров растягивающих напряжений а1/ат0 от безразмерных длин трещин 2/*/г0 , когда последние меняются в широком диапазоне, причем k = = п =1, атД = ат0, ц = 0.3. Кривая 5 описывает хрупкое разрушение материала с внутренней трещиной, когда етД - ет0 = 0. Кривые 1, 2, 3, 4 — кривые квазихрупкого разрушения при О/ат0 = 10, етД -ет0 = 0.1;
^от° 2, £тД '
£
тО
:°-4; &/от° - 10, £тД-£тО
= 0.05; G/от0 - 2, £тД-£т0 - °.°5 соответственно. Некоторые экспериментальные результаты по кривым разрушения целесообразно обрабатывать в двойных логарифмических координатах, поскольку кривые разрушения очень близки к прямым в этих координатах (рис. 5, б).
Явное выражение (18) для критического безразмерного параметра растягивающих напряжений о! / о т0 получено для квазихрупкого разрушения, когда Д*/1* << 1 и о! >о!, но о! =о!. Очевидно, что возможно получение аналогичных соотношений для квази-вязких разрушений, когда
CJoo /dm0 ч а
/Vi
0.8
0.4
^
0 1 1 1
i [ 10 15 20 2/*/r0
ln(a*/am0)1 ln(2/*/r0) i i i \ m
2 2.5 3
'^^^05
-1
-1.5 -
Рис. 5. Кривые разрушения в обычных (а) и двойных логарифмических (б) координатах
1) зона предразрушений по длине соизмерима с длиной исходной трещины /0, точнее Д* / /0 = 0(1) [9];
2) критические параметры растягивающих напряжений а1 и а 1 существенно различаются, точнее а1 /а 1 = 0(1) при а1 > а 1. Однако для описания ква-зивязкого разрушения в соотношениях (1) и (9) надо сохранять оба слагаемых, т.е. и сингулярную, и гладкую части решения.
5. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (внутренняя трещина)
Нулевое распределение напряжений в зоне предразрушения согласно модели Леонова-Панасюка-Дагдей-ла уже построено (см. (6)) и использовалось при определении критических параметров. Уточним распределение напряжений в зоне предразрушения при
- (Д* )0 < х < 0 для фиктивной трещины, используя критические параметры разрушения нулевого приближения 7 = 0. Для зоны предразрушения реализуется часть диаграммы а = а(е) материала при ет0 <е<етД. Рассмотрим относительное удлинение е = е(-х) как функцию продольной координаты х, причем для зоны пред-разрушения правой вершины трещины имеем
- (Д*)7 < х < 0 7 = 1, 2, 3, .... Раскрытие фиктивной трещины 2и (х) имеет вид (второстепенные слагаемые
O (- х) в асимптотическом представлении 2v (x) опущены, см. (9))
2v(х) = (к; ) ,.^2П = [£(-х) - еmcK
- (A*)j < х < С, j = С, 1, 2,....
Откуда
8( - х) = 8 mo + Па" (K * ) jj-n = 8 mC + A j ’
- (A*) j < х < 0, j = 0,1, 2, ...,
где Aj = [(n +1)/Ga]( K *) ^ 1/2п — некоторая постоянная для нулевого и последующих приближений. Функция а = а(8) рассматривается как сложная функция, т.е. а = а[8( - х)]. Окончательно имеем явное представление распределения напряжений в зоне предразрушения правой вершины трещины для первого и высших приближений
(а[е(-х)]) j = а(е mc + Aj-^4^х ),
Aj-1 = (8 mA-8 mo)/V( A* ) j-1 , (21)
- (A*)j < х < 0, j = 1, 2,3,....
На каждом шаге j = 1, 2, 3, ... последовательных приближений имеет место нелинейное растяжение масштаба (21), искажающее реальную а-8-диаграмму.
Полученное распределение напряжений (а[8( - х)]) j=1 в зоне предразрушения (21) является са-моуравновешенной нагрузкой для фиктивной трещины. Поэтому воспользуемся этой нагрузкой (а[8(-х)])j=1 для подсчета коэффициентов интенсивности напряжений ( KjA ) j=1 в окрестности правой (плюс) и левой (минус) вершин трещины (см. [14], с. 40-41):
(KiA > j = 7* j№(-х)]) j &
j = 1,2,3,.... (22)
По полученному коэффициенту интенсивности напряжений (K ± ) j=1 для правой вершины трещины в соответствии с первой частью соотношения (8) подсчитывается суммарный коэффициент интенсивности напряжений фиктивной трещины (K* ) j=1 = (Kj^ ) j=1 + + (KIA) j=1, затем уточняется постоянная Aj=1, по которой строится распределение напряжений для второго приближения, и т.д.
Рассмотрим два случая:
1) аm0 = аmA при 8m0 < 8 < 8mA >
2) а = а(8) Ф const при 8m0 < 8 < 8mA.
Рис. 6. Распределение напряжений в зоне предразрушения
В первом случае реальная a-8-диаграмма имеет вид:
a = Еє при є < є
о = о mo = G тД = const при Є mo < Є < Є тД.
Здесь E — модуль Юнга; о т0 = Еє т0. Очевидно, что в этом случае отсутствует необходимость проводить осреднение по соотношению (6). Процесс последовательных приближений обрывается на первом шаге: j = 1 в соотношении (21) (о[є( - х)]) j=! = о m0 = const. В рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла получается точное решение (18), (20), (21).
Во втором случае реальная о-є-диаграмма имеет вид
a = Еє при є < є
а = а(8) Ф const при 8m0 < 8 < 8mA.
После выполнения процедуры осреднения (6) могут
выполняться соотношения от0 = отД или от0 Ф о
JmA
m0
причем а т0 = Ее т0. Первое приближение 7 = 1 распределения напряжений (а[е( - х)]) у-=1 в зоне предразрушения описывает реальное распределение этих напряжений только качественно (см. (21)). Получено некоторое обобщение модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, когда имеет место нелинейное преобразование (21) на каждом шаге 7 = 1, 2, 3, ... последовательных приближений. Сходимость метода последовательных приближений зависит в том числе от вида функции а = а(е).
На рис. 6 приведены распределения напряжений (а[е(-х)]) 7=1 в зоне предразрушения для правой вершины трещины для материалов двух типов. Кривая 1 — гладкая кривая, так как исходная а-е-диаграмма этого материала имеет вид гладкой функции:
а = Ее при е<е т0,
а(е) = атД + °.1Еет0 ^п[п(е-ет0)/(етД -ет0)]
при ет0 <е<етД>
но ат0 = Еет0 = атД. Кривая 2 имеет разрыв первого рода, так как исходная а-е-диаграмма этого материала имеет разрывы первого рода:
а = Ее при е<е т0,
а(е) = 0.9Ее при ет0 < е < (етД -ет0^2 ’
а(е) = 0.8Ее при (етД -ет0)/2 < е < етД,
кроме того а т0 = Ее т0 < а тД, е тД = 3е т0. Кривая 2 описывает зону предразрушения гипотетического композита, содержащего высокопрочные волокна при наличии слабой хрупкой матрицы. Для кривых 1 и 2 рис. 6 предельная точка а-е-диаграмм реализуется при х = = -(Д*)7 (см. (21)). Силовая связь, ближайшая к середине трещины, находится в критическом состоянии, и имеет место продвижение вершины реальной трещины.
6. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (краевая трещина)
Рассматривается прямолинейная краевая трещина длиной /0 в полуплоскости. Считается, что трещина расположена по нормали к границе полуплоскости. Следуя концепции зон предразрушения, эта реальная трещина-разрез моделируется трещиной-разрезом длиной / = /0 + Д, где Д — длина зоны предразрушения (зона предразрушения расположена на продолжении трещины). Пусть в зоне предразрушения действуют постоянные напряжения (а^Д)7- при7 = 0 (см. (6)). Эти напряжения (а^Д )7 «стараются» закрыть трещину. Когда выполняется неравенство (3), для произвольной трещины построена система (11) двух нелинейных уравнений относительно критических параметров К *, Д*. Для рассматриваемой краевой трещины при действии в зоне предразрушения кусочно-постоянной нагрузки (а ^Д) 7-критический коэффициент интенсивности напряжений К0 * определяется следующим образом ([14], с. 112114):
K* = KlTO+ K ja , tfIe>* 1.12ател/ПГ,
l * = l0 + A*.
KIA = a mA V^1
(23)
- arcsin
і+f
v
і-A
i *
і-A
i *
(24)
Здесь /* — критическая длина краевой трещины; / (1 -д*//*) — некоторая функция, причем для квази-хрупкого приближения имеем оценку 0 < /(1 - Д*// * ) < < 0.0138, когда Д*//* < 0.1 [14]. Пренебрежем величи-
х
х
ной этой второстепенной функции /(1 - Д*//*) для ква-зихрупкого приближения Д*//* << 1. Опустим второстепенное слагаемое в первой квадратной скобке соотношения (24). После соответствующих преобразований получаются для краевой трещины результаты, практически тождественные приведенным для внутренних трещин в пп. 3, 4, так как соотношение (23) отличается только численным коэффициентом порядка единицы от первой части соотношения (8), а упрощенное соотношение (24) совпадает со второй частью соотношения (8) для внутренней трещины. Таким образом, и для краевых трещин получаются соотношения типа (17), (20), описывающие кривые разрушения а1 (/* )/ат0 и длины зон предразрушения Д*/г0.
7. Обсуждение
Все приведенные рассуждения относятся к изучению формирования зоны предразрушения в макропостановке, так как принималась во внимание макроструктура материала в подходе Нейбера-Новожилова. Достаточный критерий (4), (5) прочности является трехпараметрическим деформационно-силовым критерием, когда используется модель Леонова-Панасюка-Дагдейла. В отличие от работы [5] построения выполнены для другого класса решений, имеющих сингулярную составляющую (см. неравенство (3)).
Предложенный достаточный критерий прочности (4), (5) позволяет получить описание:
1) развития зоны предразрушения Д при изменении ее длины (0 < Д < Д*);
2) распределения напряжений а = а[е(-х)] при изменении длины этой зоны;
3) раскрытия фиктивной трещины 2и (х) при последовательном догружении и страгивания вершины реальной трещины. Пусть задается перемещение захватов и = и ^) абсолютно жесткой машины, где t — параметр нагружения или времени, причем относительное удлинение е макрообразца без трещины не превосходит предельное относительное удлинение материала
0 < е < етД. Пусть до нагружения материал не имел микроповреждений. Наиболее интересная часть а-е-диаграммы материала реализуется при испытании образца с трещиной для интервала ет0 < е^) < етД в зоне предразрушения, что моделируется нелинейными деформациями силовых связей. Безусловно при последовательном догружении изменяются длина зоны предразрушения Д = Д^), поперечник зоны предразрушения а = а(,) и раскрытие трещины 2и(х, t). Зона пред-разрушения занимает прямоугольник со сторонами Д^), а^). На необратимое деформирование материала связей затрачивается работа в зоне предразрушения. Имеет место мезо- или микроповреждение материала в зоне предразрушения. При Д = 0 (е = ет0) выполняется необходимый критерий прочности (4), а при Д = Д*
выполняется достаточный критерий прочности (4), (5), который устанавливает связь между мезо- или микроповреждениями в зоне предразрушения с критическим параметром а! макроразрушения. Когда а! = а!, т.е. нагрузка достигает критического значения, имеет место страгивание вершины реальной трещины (см. (21) и рис. 6). Поэтому коэффициент интенсивности напряжений K° реальной трещины-разреза длиной 2/0 при заданных напряжениях а! можно рассматривать как критический коэффициент трещиностойкости KIc (см. (17), (18)). Этот коэффициент KIc в рамках предлагаемой модели для квазихрупкого приближения 10 ~ I* константой материала не является, поскольку вычисляется непосредственно по общепринятым характеристикам а-8-диаграммы материала:
^0
Kjc = Kj0 =------5------ а .
1 -—^7 — — (8mA -8m0) n(n + 1) ^0 аm0
Этот коэффициент KIc определяется через параметры материала (структурный, жесткостные, прочностные и деформационный).
Рассмотрим более сложную программу нагружения макрообразца с трещиной, материал которого не имеет микроповреждений: первоначальное нагружение (растяжение), разгрузка, повторное нагружение (растяжение). Пусть при первоначальном растяжении выполняется ограничение а! < max а! (t) < а!. После первоначального растяжения поврежденный материал силовых связей в зоне предразрушения может получить дополнительные мезо- или микроповреждения как при разгрузке из-за необратимых деформаций, так и при повторном нагружении.
Выскажем некоторые предположения о возможности модельного описания разрушения материалов при усталости с позиций механики, если воспользоваться концепцией о зоне предразрушения. Рассмотрим материалы с кусочно-линейной а-8-диаграммой деформирования:
а = E8 при | 8 | < 8m0,
а = ашЛ при 8m0 < 8 < 8mA >
а = -аmA при -8mA < 8 < -8m0-
Построенное решение в (9) для раскрытия фиктивных трещин 2v(х) (слагаемые порядка O(-х) опущены) может оказаться полезным при описании диаграмм усталостного разрушения типа Велера. Изучим симметричный цикл низкочастотного нагружения а! (t) образца с внутренней трещиной, перед вершинами которой материал не имеет микроповреждений. Пусть при перемещении захватов машины реализуется такая програм-
ма нагружения, для которой справедлива оценка растягивающих напряжений а! < max а! (t) < а!, а цикл нагружения начинается с растяжения. После первого полуцикла нагружения сформировавшаяся первоначальная зона предразрушения превращается в некоторое подобие клина для фиктивной трещины. Перед этим клином может квазистатически сформироваться в некоторый момент времени вторичная зона пластичности, когда а! (t) = 0, что реализуется при разгрузке. Таким образом, зона предразрушения квазистатически подрастает и при растяжении, и при разгрузке. Предположим, что ничего существенного не происходит на втором полуцикле нагружения, соответствующем сжатию. Тогда на третьем полуцикле нагружения имеем растяжение образца с трещиной, причем материал этого образца перед вершинами трещин имеет суммарные повреждения и от растяжения, и от разгрузки. Далее процесс циклически повторяется. Вероятно для описания развития зоны предразрушения при накоплении усталостных повреждений целесообразно привлекать информацию о поведении материала на мезо- или микроуровнях [12, 13, 15, 16]. Когда на некотором цикле нагружения выполнится критерий типа (4), (5), произойдет макроразрушение образца.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00191), интеграционного проекта РАН № 3.11.1 и гранта Президента РФ № НШ-319.2003.1.
Литература
1. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391—
401.
2. DugdaleD.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.
Solids. - 1960. - V. 8. - P. 100-104.
3. Желтое Ю.П., Христианович C.A. О гидравлическом разрыве неф-
теносного пласта // Изв. АН СССР. ОТН. - 1955. - № 5. - С. 3-41.
4. Керштейн И.М., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шестериков C.A.
Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
5. Wnuk M.P., Legat J. Work of fracture and cohesive stress distribution resulting from triaxiality dependent cohesive zone model // Int. J. of Fracture. - 2002. - V. 114. - P. 29-46.
6. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехтиздат, 1947. - 204 с.
7. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 2. - С. 212-222.
8. Корнев В.М. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 1. Слабое армирование // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 3. - C. 152-160.
9. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Опи-
сание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. -C. 153-161.
10. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 2. Армирование высокопрочными волокнами // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - № 3. -С.148-156.
11. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Механика разрушения и прочность материалов. - Киев: Наукова думка, 1988. - Т. 1. - С. 89-92.
12. Данилов В.И., Нариманова Г.Н., Зуев Л.Б. Пластическое течение в зоне концетратора (трещины) в малоуглеродистой стали // Металлофизика и новейшие технологии. - 2000. - Т. 22. - № 6. - С. 5660.
13. Danilov VI., Narimanova G.N., Zuev L.B. On evolution of plasticity zone in the vicinity of crack tip // Int. J. of Fracture. - 2000. - V. 101. -P. L35-L40.
14. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Механика разрушения и прочность материалов. -Киев: Наукова думка, 1988. - Т. 2. - 618 с.
15. Зуев Л.Б., Горбатенко В.В., Данилов В.И. Экспериментальный анализ поля смещений вблизи трещины // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. - 1991. - № 4. - С. 65-68.
16. Шанявский A.A. Ротационная неустойчивость деформации и разрушения металлов при распространении усталостных трещин на мезоскопическом масштабном уровне. I. Процессы пластической деформации в вершине трещины. II. Механизмы разрушения // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 1. - С. 73-95.
Stress distribution and crack opening in the prefracture zone (the Neuber-Novozhilov approach)
V.M. Kornev
M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
To describe stress distribution and crack opening in the prefracture zone in the vicinity of mode-I crack tips, it is proposed to use the Neuber-Novozhilov approach, when solutions of the classical theory of elasticity have the singular term. Stress distribution in the classical Leonov-Panasyuk-Dugdale model is taken as a zero approximation. It is suggested that this model be modified when the fiber bundle scheme is used for the prefracture zone, and the fiber bundle occupies a rectangular zone ahead the initial crack tip. Stress distribution in the prefracture zone and immediately ahead of it is obtained in a first approximation, when the ordinary G-e diagram of the material has discontinuities of the first kind. The function describing the stress distribution may have discontinuities of the first kind. The function describing crack opening is smooth. For critical lengths of the prefracture zones and critical coefficient of material resistance to cracks, dependences relating structural, strength and elastic properties of the material are obtained.
