Расчётные исследования кинематики и динамики рядного бензинового двигателя в системе Mathcad Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.43

РАСЧЁТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ РЯДНОГО БЕНЗИНОВОГО ДВИГАТЕЛЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD

В. В. Рындин, В. В. Шалай, Ю. П. Макушев

Аннотация. Приведена программа расчёта и построения полярных диаграмм нагрузки на шатунную и коренную шейки, а также суммарного крутящего момента в системе Mathcad.

Ключевые слова: двигатель, расчёт, динамика, полярная диаграмма, система Mathcad.

Введение

Данная статья является продолжением первой статьи [1], в которой приведена программа расчёта цикла бензинового двигателя в системе Mathcad и получена функциональная зависимость давления газа в цилиндре от угла поворота коленчатого вала (у. п.к.в.). Во второй статье приводится программа кинематического и динамического расчёта криво-шипно-шатунного механизма (КШМ) бензинового двигателя в системе Mathcad с использованием примера расчёта КШМ этого двигателя в [2].

Динамический расчёт КШМ двигателя является наиболее трудоёмкой задачей расчёта двигателей, поскольку необходимо определить для каждого угла поворота коленчатого вала значения нескольких десятков тригонометрических величин (в примере [2], как и в большинстве работ, расчёт ведётся через 30о поворота коленчатого вала - 26 значений углов).

Так, в примере [2] потребовалось рассчитать пять таблиц с общим числом ячеек более 1100. Большие сложности возникают при построении графиков и расчёте средних значений величин по площадям внутри этих кривых. Применение системы Mathcad позволяет вести расчёты через один градус поворота коленчатого вала (720 значений углов) и мгновенно строить все диаграммы, необходимые для расчёта КШМ. Основным преимуществом системы Mathcad, по сравнению с другими программами, является наглядность записи формул, совпадающих в основном с общепринятой записью, а также быстрота построения графиков.

1 Кинематика и динамика двигателя

1.1 Кинематический расчёт кривошип-но-шатунного механизма

Расчёт кинематики кривошипно-шатунного механизма сводится к определению пути, скорости и ускорения поршня при постоянной частоте вращения коленчатого вала.

Перемещение поршня. Для расчёта перемещения поршня в функции от угла поворота коленчатого вала необходимо знать следующие величины (берутся из [2]):

R: = 0.035 м - радиус кривошипа (символ присваивания: = вводится клавишей двоеточия :);

X := 0.265 - отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.

Перемещение поршня определяется выражением

X

s9 := R • [1 - cos(9 • deg) + - • (1 - cos(2 • ф • deg))],

где deg = 0,01745 - встроенная функция для перевода градусов в радианы.

Здесь Бф - ранжированная (дискретная)

переменная, индекс которой вводится после нажатия клавиши с символом открывающейся квадратной скобки [).

Из-за необходимости сокращения материала в статье кривая перемещения поршня не приводится (приводятся только пять рисунков из двенадцати, получаемых в расчёте).

Скорость поршня. При перемещении поршня скорость его движения является величиной переменной и при постоянном числе оборотов зависит только от изменения угла поворота кривошипа ф и отношения X = R/Llu (здесь поясняющие формулы пишутся курсивом).

Угловая скорость вращения коленчатого вала при номинальной частоте n := 5800 мин-

1 ю := — = 607.375 c-1.

30

Скорость поршня, м/с, для дискретных (целых) значений ф

cф := ю • R • [sin^ • deg) + 0.5 • X • sin(2 • ф • deg)]. (1)

Проверка: c90 := 21.258 м/с (21,2 м/с [2]).

Максимальное и минимальное значения скорости определяются с использованием встроенных функций Mathcad:

max(c) = 21.949 м/с; min(c) = -21.949 м/с.

Максимальную скорость поршня можно найти по приближенной формуле [2]

сптах := ю • R -V1 + Х2 = 21 -992 м/с.

Максимальный ход поршня

So := 2 • R = 0.07 м.

Точность построения графика скорости по формуле (1) можно оценить путём сравнения средней скорости поршня, подсчитанной по формуле [2]

Сто := ^ = 13-5333 м/с, (2)

и найденной как среднее арифметическое дискретных скоростей, задаваемых через один градус поворота коленчатого вала, 180 Е С ф

ф=0

180

= 13.5330 м/с.

Как видим, сходимость хорошая. Если скорость поршня задать в функции от любого (даже нецелого) значения угла ф

с1 (ф) := ю • R • ^п(ф • deg) + 0.5 • X • sin(2 • ф • deg)],

то среднее значение скорости, найденное по площади под кривой скорости 180

Е с1(ф) dф

ф=0

= 13.5333 м/с,

180

будет полностью совпадать со значением сто , найденным по формуле (2).

Ускорение поршня. Ускорение поршня,

м/с2,

определяется по формуле

jф := ю2 • R • [соэ(ф • deg) + X • cos(2 • ф • deg)].

Максимальное значение ускорения поршня тах0):= 16333.219 м/с2 имеет место при

ф = 0о : j0 = 16333.219 м/с2 (16310 [2]).

Минимальное значение ускорения ттф := -9511.947 м/с2 имеет место (при X > 0.25) в точке [2]

1

фт1п := асоэ(--) = 160.630 deg ,

44

]161 =-9511.947 м/с2. На рисунке 1 приведён график ускорения поршня в функции от угла поворота коленчатого вала.

1Ш0-14140 11480 8820 6Ш)

84а. -1820 [ -4480 -1Щ -98®-

гр п.к.в

Рис. 1. Кривая ускорения поршня

1.2 Динамический расчёт кривошипно-шатунного механизма

Динамический расчёт кривошипно-шатунного механизма заключается в определении суммарных сил и моментов, возникающих от давления газов и от сил инерции. По этим силам производятся расчёты основных деталей на прочность и износ, а также определение неравномерности крутящего момента и степени неравномерности хода двигателя.

Приведение масс частей кривошипно-шатунного механизма. По характеру движения массы деталей КШМ можно разделить на массы деталей, движущихся возвратно-поступательно (поршневая группа и верхняя головка шатуна) и массы деталей, совершающих вращательное движение (коленчатый вал и нижняя головка шатуна). Для упрощения расчётов действительный кривошипно-шатунный механизм заменяется динамически эквивалентной системой сосредоточенных масс.

В терминологии принято величины, получаемые от деления на массу, называть удельными величинами, от деления на объём

- объёмными, на количество вещества - молярными, на длину - линейными, на площадь

- поверхностными. Если возникают затруднения с применением этих терминов, то добавляют слово «плотность».

При расчёте ДВС массу деталей КШМ и силы принято относить к площади поршня, поэтому такие величины будут называться соответственно поверхностной плотностью

массы д== т А , кг/м2 и поверхностной плотностью силды (поверхностной плотностью потока импульса) Д= Р /!( ,

Н/м2 = Па .

Поверхностная плотность массы поршневой группы (отношение массы к площади поршня) для поршня из алюминиевого сплава лежит в пределах от 80 до 150 кг/м2 для поршней диаметром 60-100 мм [2]. Принимаем тАп := 110 кг / м2.

Для диаметра D:= 0.08 м площадь днища

П-й2 о

поршня Ап := —— = 0.005027 м2.

Масса поршневой группы

тп := тАп • Ап = 0.533 кг.

Поверхностная плотность массы шатуна

2 2

лежит в пределах 100-200 кг/м2 для поршней диаметром 60-100 мм [2]. Принимаем тАш := 170 кг/м2.

Масса шатуна тш := тАш • Ап = 0.855 кг. Поверхностная плотность массы неуравновешенных частей одного колена стального кованого вала без противовесов лежит в пределах 150-200 кг/м2 для поршней диаметром 60-100 мм [2]. Принимаем тАк := 180

кг / м2 .

Масса неуравновешенных частей одного колена вала тк := тАк • Ап = 0.905 кг.

Масса шатуна, сосредоточенная на оси поршневого пальца,

тш.п := 0.275 • тш = 0.235 кг.

Масса шатуна, сосредоточенная на оси кривошипа,

тш.к := 0.725 • тш = 0.620 кг.

Масса частей, совершающих возвратно-поступательное движение (масса отнесённая к оси кривошипной шейки)

mj := тп + тш.п = 0.788 кг.

Масса частей, совершающих вращательное движение (масса отнесённая к оси коренной шейки)

т^ := тк + тш.к = 1.524 кг.

Силы, действующие в кривошипно-шатунном механизме. Во время работы двигателя на его детали действуют:

- силы от давления газов в цилиндре;

- давление на поршень со стороны картера рос (приблизительно равное атмосферному давлению) и силы тяжести, которые обычно не учитываются);

- силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс Р,;

- центробежные силы.

Все действующие в двигателе силы воспринимаются полезным сопротивлением на

коленчатом валу; силами трения и опорами двигателя.

Силы давления газов и атмосферного давления, действующие на днище поршня, для упрощения динамического расчёта заменяются одной результирующей силой давления газов, направленной по оси цилиндра и приложенной к оси поршневого пальца (Н).

Fгф := (рф- Рос) • 106 • Ап (Рос = 0.1 МПа).

Результирующее давление газов на поршень (МПа)

Ргф := Рф - Рос .

Силы инерции, действующие в КШМ, в соответствии с характером движения приведённых масс подразделяются на силы инерции поступательно движущихся масс и центробежные силы инерции вращающихся масс Кк.

Силы инерции от возвратно-поступательно движущихся масс (Н),

. := - т. • .¡ф.

Знак минус показывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс действуют по оси цилиндра и так же, как силы давления газов считаются положительными, если они направлены от коленчатого вала.

Поверхностная плотность силы инерции (давление) от возвратно-поступательно движущихся масс (МПа)

. :=

F¡ -10-

._

Ап

Суммарная сила, действующая на поршневой палец, определяется путём алгебраического сложения сил давления газов и сил инерции возвратно-поступательно движущихся масс (Н)

рф := ргф+ . .

Поверхностная плотность суммарной силы (поверхностная плотность потока импульса - давление), действующей на поршневой палец (МПа)

Рс := гс ф

Рф^10-6

Ап

На рисунке 2 приведены кривые сил Рг, и Р в функции от угла поворота коленчатого вала.

е

Уй 30 ШШШШНШШПМ V

Г.ПХЕ

Рис. 2 . Кривые сил Fг, Fj и Р (Н), действующих на поршневой палец

Разложение суммарной силы на составляющие. Суммарная сила Р раскладывается на на нормальную составляющую N, перпендикулярную оси цилиндра, и на силу S, действующую вдоль шатуна, составляющего с осью цилиндра угол р .

Используя соотношение для синусов угла р отклонения шатуна от оси цилиндра и угла ф поворота коленчатого вала этрф :=Х^ эт^ deg) [3], легко получить соответствующие выражения для косинуса и тангенса угла р:

э'прф соэРф .

соэРф :=д/1 -X2 • (sin(ф• deg))2 ; ^ :=

Сила N (Н), действующая перпендикулярно оси цилиндра, называется нормальной силой и воспринимается стенками цилиндра

Nф := Рф^ ^ .

Сила S (Н), действующая вдоль шатуна, воздействует на него и далее передаётся кривошипу. Она считается положительной, если сжимает шатун, и отрицательной, если его растягивает:

вф .

ф соэРф

Разложение силы 8, действующей вдоль оси шатуна, на составляющие. От действия силы S на шатунную шейку возникают две силы:

- сила, направленная по радиусу кривошипа,

Р^соэ(ф+Р) соэ(Р) .

- и тангенциальная сила, направленная по касательной к окружности радиуса кривошипа,

Р^1п( ф+Р)

к =

(3)

Используя выражения для суммы углов:

соэ(ф + р) = соэ(ф) • соэ(Р) - эт(ф) • sin(Р),

sin(ф + р) = эт(ф) • соэ(Р) + соэ(ф) • sin(Р),

выражения для сил (3) и (4) можно записать в таком виде:

- для силы по радиусу кривошипа

Кф := Рф • (^(ф • deg) - sin(ф • deg) • tgРф);

- для тангенциальной силы

Тф := Рф • ^т(ф • deg) - ^(ф • deg) • tgРф).

Крутящие моменты. Согласно общепринятой методике для построения кривой суммарного крутящего момента многоцилиндрового двигателя производят графическое суммирование кривых крутящих моментов каждого цилиндра, сдвигая одну кривую относительно другой на угол © поворота кривошипа между вспышками.

Период изменения крутящего момента четырёхтактного четырёхцилиндрового двигателя с равными интервалами между вспышками (/ = 4)

720

© :=

= 180 г.п.к.в.

Крутящий момент одного цилиндра ( Н • м) Мф := V R,

где Т - тангенциальная сила, Н; R = 0,035 м - радиус кривошипа.

ф := 0..180 - задание массива углов через 1 градус. Крутящий момент первого цилиндра М1ф := Мф . Крутящий момент от второго цилиндра М2ф := Мф+180 . Крутящий момент от третьего цилиндра М3ф := Мф+360 Крутящий момент от четвёртого цилиндра М4ф := Мф+540 .

Суммарный крутящий момент четырёх цилиндров

Мкрф := М1ф + М2ф + М3ф + М4ф .

Средний крутящий момент, рассчитанный по диаграмме суммарного момента, 180

ЕМкрф

Мкрср :=

ф=0

180

= 106.994 Н • м.

Значение среднего крутящего момента можно проще определить, сразу суммируя крутящие моменты от всех цилиндров за цикл и деля эту сумму на 720,

720

i • ЕМф

т =

cos(Р)

(4)

Мкрср :=

ф=0

720

= 106.994 Н• м.

Графики крутящих моментов отдельных цилиндров и среднего в функции от угла поворота коленчатого вала приведены на рис. 3.

М1,

800 700 600 500 М2,, 100

зоо

Я 200

к М4,, 100 2 - - -Мкрщ

-- -100

McPip-200 -300 -100 -500 -600

/ \ ч

\

Мкрср -Л

V' у

V г"' у ——

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160170180

ч>

гпкв

Рис. 3 . Графики крутящих моментов

Средний индикаторный крутящий момент по данным расчёта цикла без учёта процессов впуска-выпуска (р, = 0,9946 МПа, Vn = 1,407 л, т = 4 [1])

MicP := Pi103 Ул = 111.395 Н • м

cp пт

(в примере [2] M,cp =111,9 Н • м).

Несовпадение значений средних крутящих моментов, определённых по диаграмме крутящего момента и по данным теплового расчёта цикла (M,cp =111,395 Н • м, Мкр^ =106,994 Н • м), | Mi - Mкр |

-^-= 3.95 % .Возникает вопрос,

Micp

почему все расчётные величины определялись в системе Mathcad с погрешностью мене 1 %, а при расчёте крутящего момента погрешность составила около 4 % (в примере [2] при использовании графического метода расчёта площадей под кривой суммарного крутящего момента на листах бумаги она составила 0,2 %).

Анализ показал, что причина кроется в разных методах расчёта среднего индикаторного (внутреннего) давления, через которое определяется средний индикаторный крутящий момент, в тепловом и графическом методах. При расчёте среднего индикаторного давления цикла по формуле (3) [1] влияние процессов впуска и выпуска не учитывается (так принято), а в графическом методе рассматриваются все процессы цикла.

Среднее индикаторное давление, рассчитанное по полученной в [1] зависимости давления от угла поворота коленчатого вала рф

для процессов сжатия и расширения (без учёта насосных ходов),

Ри ;= 540 (У(ф+1)-У(ф)) (Рф+1+Рф>0.5 = 0 9914 МПа. ф=180 У Несовпадение расчёта среднего давления по формуле и по диаграмме для процессов сжатия-расширения (р/ = 0,9946 МПа, ри = 0,9914 МПа)

1 Pi1 - Pi 1 Pi

= 0.322 % .

Среднее индикаторное давление, рассчитанное по диаграмме для всего цикла (с учётом насосных ходов),

720 Мф+1)-У(ф))^(Рф+1+Рф )0.5

PiMK •= I

ф=0

Vh

0.954 МПа.

Средний крутящий момент, соответствующий среднему индикаторному давлению

p/нх,

М1ну := Р|нх 103•Ул = 106.800 Н • м.

нх пт

Несовпадение расчёта средних крутящих моментов с использованием диаграмм р- ф и

М-ф для всего цикла (с учётом насосных

ходов)

I М'нх - Мкрср I

Mi

= 0.182%.

нх

Как видим, расчёт сходится с приемлемой точностью. Мтах := тах(Мф) = 686.949

Максимальный крутящий момент Мтах := тах(Мкр) = 686.949 Н• м (в примере

[2] 688,2).

Минимальный крутящий момент Мт1п := тт(Мкр) = - 431.455 Н • м (в примере

[2] -430,5).

Задание среднего крутящего момента в функции от угла ф : Мсрф := Мкрср .

На рис. 3. приведены графики крутящих моментов отдельных цилиндров и среднего в функции от угла поворота коленчатого вала.

Расчёт сил, действующих на шатунную шейку. Угловая скорость вращения коленчатого вала при номинальной частоте п := 5800 -1

мин

ю := — = 607.375 с Л

30

Центробежная сила инерции вращающихся масс (mR = 1,524 кг, R = 0,035 м)

К, := -т, • R • ю2 = -19681.22 Н.

Центробежная сила инерции вращающихся масс ^ является результирующей двух сил: центробежной силы инерции вращающихся масс шатуна (тшк = 0,620 кг)

Крш := -тш.к • R • ю2 = -7999.04 Н.

и центробежной силы инерции вращающихся масс кривошипа (тк = 0,905 кг)

Крк :=-тк • R•ю2 =-11682.17 Н. ф := 0..900 - задание массива углов через 1 градус.

Суммарная сила, действующая на шатунную шейку по радиусу кривошипа

Ркф := Кф + КРш .

Результирующая всех сил, действующих на шатунную шейку рядного двигателя, Н,

^ф ^(Тф)2 + (ркф )2.

Максимальная сила, действующая на шатунную шейку,

Rшmax := max(Rш) = 20957.44 Н (20770 Н [2]).

Минимальная сила, действующая на шатунную шейку,

Rшm¡n := тт^ш) = 1439.07 Н (1280 Н [2]).

Среднее значение силы, действующей на шатунную шейку,

720

ЕКшф

Кшср :=

ф=0

720

= 12885.95 Н (12801 Н [2]).

Текущее значение силы, действующей на шатунную шейку, определяется путём конкретизации угла поворота коленчатого вала.

Например, при ф = 0о Rшo = 20777,7 Н (20770 Н [2]).

На рис. 4. приведена полярная диаграмма результирующей силы, действующей на шатунную шейку.

шт-

юоо -- 2000 --5000- 3000 -иАИЙг--йооо -

- 17000-20000" -23000-

\

\

? У

т,н

Рис. 4 . Полярная диаграмма нагрузки на шатунную шейку

Расчёт сил, действующих на колено вала. Суммарная сила Крк, действующая на колено вала по радиусу кривошипа, складывается из суммарной силы Рк, действующей на шатунную шейку по радиусу кривошипа, и центробежной силы инерции вращающихся масс кривошипа К^

Кркф := Ркф + КРк.

Результирующая сила, действующая на колено вала,

Rkф ^(тф)2 + (Кркф )2.

Расчёт сил, действующих на коренную шейку. Коленчатый вал рассматриваемого двигателя полноопорный с симметричными кривошипами, расположенными под углом 180°. Поэтому на каждую коренную шейку будет действовать 1/2 соответствующих сил от двух смежных колен с учётом порядка работы соседних цилиндров.

Поскольку порядок работы двигателя: 1-34-2-1-3-4-2, то для второй наиболее нагруженной коренной шейки, расположенной между 1-м и 2-м кривошипами, кривые сил для этих смежных кривошипов будут смещены на180о и суммарные проекции от соответствующих сил на вторую коренную шейку определятся выражениями:

ф := 0..720 - задание массива углов через 1 градус. Т

К

■К2ф :=-05• (Тф-Тф+180) - для тангенциальной силы; :=- 05 • (Крк ф- Крк ф+180) - для силы

к2

ф

по радиусу кривошипа. Результирующая сила, действующая на вторую коренную шейку,

Rкш2ф :=Л|(Тк2ф )2 + (Кк2ф )2

На рис. 5. приведена полярная диаграмма нагрузки на вторую коренную шейку однорядного четырёхцилиндрового двигателя.

В заключение работы можно сделать следующие выводы:

1 Разработана программа и проведён расчёт кинематики и динамики четырёхцилиндрового рядного бензинового двигателя в системе Mathcad. Результаты расчёта согласуются с расчётом аналогичного двигателя в [2].

2 Приведена методика автоматизированного расчёта и построения диаграмм скорости, ускорения, сил, действующих в КШМ двигателя, суммарного крутящего момента, а также полярных диаграмм нагрузки на шатунную и коренную шейки коленчатого вала.

3 Данная программа может быть использована как в учебном процессе (курсовые работы и дипломные проекты), так и при научных исследованиях, а также для отладки примеров расчёта динамики двигателя, приводимых в задачниках и учебниках по ДВС. 12000

9600

7208

43ЕВ

2408:

-2400 -4300 -721»: - 9608. - 12000

-5000 -3000 - 1000 1000 3000 50Я6

Т«1 т, н

Рис. 5 . Полярная диаграмма нагрузки на вторую коренную шейку

Библиографический список

1. Рындин В. В., Шалай В. В., Макушев Ю. П. Расчёт цикла бензинового двигателя в системе Mathcad // Вестник СибАДИ. - 2013. - № 6 (34). -С. 91 - 98.

2. Колчин А. И., Демидов В. П. Расчёт автомобильных и тракторных двигателей. - М.: Высш шк., 1990. - 344 с.

3. Автомобильные двигатели: Учеб. для вузов / Под ред. М. С. Ховаха.- Машиностроение, 1977.496 с.

THE CALCULATION OF KINEMATICS

AND DYNAMICS OF A STRAIGHT PETROL ENGINE IN A SYSTEM MATHCAD

V. V. Ryndin, V. V. Shalaj, J. P. Makushev

The program of the calculation and constructing of the polar load diagrams on crankpin and main neck of crank, and also of the schedule of summary torque in a system Mathcad is described.

Keywords: engine, calculation, dynamics, polar diagram, system Mathcad.

Bibliographic list

1. Ryndin V. V. Shalaev V., P. Calculation Makushev cycle gasoline engine system Mathcad // Vestnik SibADI. - 2013. - № 6 (34). - P. 91 - 98.

2. Kolchin A. I. Demidov V. P. Calculation of automobile and tractor engines. - M.: Higher wk., 1990. - 344.

3. Car engines: Textbook. for schools / Ed. M. S. Hovaha. - Mechanical Engineering, 1977. - 496.

Рындин Владимир Витальевич - кандидат технических наук, профессор кафедры «Механика и нефтегазовое дело» ПГУ им. С. Торайгыро-ва. Основные направления научной деятельности - теплофизика. Общее количество опубликованных работ: 130. e-mail: rvladvit@yandex.ru

Шалай Виктор Владимирович - доктор технических наук, профессор, ректор Омского государственного технического университета (Ом-ГТУ). Основные направления научной деятельности - летательные аппараты. Общее количество опубликованных работ: 200.

Макушев Юрий Петрович - кандидат технических. наук, доцент кафедры «Тепловые двигатели и автотракторное электрооборудование» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основные направления научной деятельности - топливная аппаратура двигателей внутреннего сгорания Общее количество опубликованных работ: 120. email: makushev321@mail.ru

УДК 621.336.2

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ИЗНАШИВАНИЯ КОНТАКТНЫХ ПАР УСТРОЙСТВ ТОКОСЪЕМА

С. А. Ступаков, О. А. Сидоров, В. М. Филиппов

Аннотация. В статье рассмотрен подход к построению математической модели изнашивания элементов контактных пар устройств токосъема электрического транспорта с учетом электрической составляющей.

Ключевые слова: математическая модель, изнашивание, токовая нагрузка, контактная пара, устройства токосъема.

Введение грузки (нажатия в контакте), скорости сколь-

Износ контактных пар устройств токосъе- жения, температуры элементов и параметров ма зависит не только от механической на- окружающей среды, но и от токовой нагрузки.