CC BY
177
construction machinery / V. S. Shcherbakov, A. V. Zhdanov. - Omsk: SibADI, 2010. - 176 p.
3. Zakin, Y. H. Applied theory of road train movement. - M.: Transport, 1967. - 252 p.
4. Krasovsky, G. I., Filaretov, G. F. Design of Experiments. - Mn.: publishing office BGU, 1982. - 302 p.
Портнова Александра Андреевна - аспирант кафедры «Автоматизация производственных процессов и электротехника» Сибирской государственной автомобильно-дорожной
академии (СибАДИ). Область научных интересов
- изучение связей, свойств объектов воздействия, кинематических, силовых, экономических и других параметров
строительных и дорожных машин. Имеет 9 публикаций, E-mail: portnova_aa@sibadi.org
Комаров Евгений Дмитриевич - аспирант кафедры ««Автоматизация производственных процессов и электротехника» Сибирской
государственной автомобильно-дорожной
академии (СибАДИ). Область научных интересов
- математическое моделирования технических систем, алгоритмы и системы управления строительной техникой, оптимизация
параметров строительной техники. Имеет 12 публикаций, E-mail: opengamer29@gmail.com .
УДК 621.43.01 (0.75.8)
РАСЧЁТ ЦИКЛА БЕНЗИНОВОГО ДВИГАТЕЛЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD
В. В. Рындин, В. В. Шалай, Ю. П. Макушев
Аннотация. Приведена программа расчёта и построения развёрнутой и свёрнутой диаграмм цикла бензинового двигателя в системе МаМсаН.
Ключевые слова: двигатель, расчёт, цикл, развёрнутая диаграмма, система Ма№саН1.
Введение
В настоящее время при решении математических задач широко используется программирование в средах Fortran, ТигЬо Pascal, Delphi и др. При этом для выполнения даже небольших математических расчётов требуется знание основ программирования. При написании формул теряется их
наглядность. Например, на языке Pascal Тх записывается как sqrt(x), степень ух как ехр(х*1п(у)) и т. п. Каждый раз при выводе на печать результатов расчёта по какой-либо формуле требуется давать специальное сообщение, а для выдачи графиков требуется написание специальных программ. Этих недостатков лишена новая математическая система МаШсаН.
Mathcad - это интегрированная математическая система, позволяющая наглядно вводить исходные данные, проводить традиционное математическое описание решения задачи и получать результаты вычислений как в аналитическом, так и в численном виде с использованием при необходимости их графического
представления. Запись математических выражений производится в традиционном виде с применением общепринятых знаков, таких как квадратный корень, знак деления в виде горизонтальной черты, знак интеграла, дифференциала, суммы и т. д.
Ниже приводится программа расчёта
цикла бензинового двигателя в системе МаШсаН. В основу программы положен пример расчёта такого цикла, приведённый в
[1]. Для сокращения текста статьи в отдельных местах изменён порядок расчёта (расчёт характеристик воздуха и продуктов сгорания приводится в одном разделе,
теплоёмкости газов даются в функции от температуры и др.).
Программа расчёта бензинового двигателя в системе МаШсаН
Всё ниже написанное, включая и комментарии, может составлять содержание программы расчёта - система сама
определяет, где текст, а где математические выражения (для наглядности буквенные
обозначения величин в тексте и в нерабочих
формулах, приводимых для пояснения,
будем писать курсивом).
Задаём исходные данные для расчёта двигателя, т. е присваиваем буквенным
обозначениям величин числовые значения. Ввод символа присваивания - двоеточия с равно «:=» осуществляется нажатием клавиши с символом двоеточия «:».
Номинальная мощность двигателя №о := 55 кВт. Частота вращения коленчатого _1
вала п:= 5800 мин . Число цилиндров Т := 4 . Степень сжатия е := 9 . Коэффициент избытка воздуха а := 0.9. Температура таяния льда
Т0 := 273.15 К.
Параметры окружающей среды:
Тос := 288.15 К; рос := 0.10 МПа.
Заметим, что буквенные обозначения величин могут содержать русские индексы, в отличие от других языков программирования. Индекс в имени переменной может записываться на одном уровне с основным символом (Ме), а может записываться ниже -Мео. В последнем случае после набора символа Ме следует нажать клавишу с точкой, а затем ввести индекс «о».
Характеристики воздуха, горючей
смеси и продуктов сгорания.
Удельная газовая постоянная воздуха Rв := 0.287 кДж/(кг К).
Молярная газовая постоянная кДж/(кмольК).
Молярная масса бензина цт := 115
кг/кмоль.
Молярная масса воздуха цв := —- = 28.970
кг /кмоль (именно так, через горизонтальную черту записывается деление «/»).
Состав бензина: С: = 0.855; Н: = 0.145;
О: = 0; S: = 0; А: = 0.
Низшая удельная теплота сгорания топлива
RМ := 8.3145
К,
[33.91 • С +125.60 • Н -10.89 • (О - S) - 2.51 •
• (9 • Н + А)] • 103 = 43929.5 кДж/кг.
Т еоретическое (стехиометрическое) удельное по топливу количество вещества воздуха (термин "удельная по топливу величина" вводится для величин,
получаемых от деления основной величины на массу топлива [2]); данная величина численно равна количеству вещества воздуха, необходимого для сгорания 1 кг топлива,
С Н О ^ 1
021
Теоретическая удельная по топливу масса воздуха (данная величина численно равна массе воздуха, необходимого для сгорания 1 кг топлива)
і := і — К -
° :=12 + 4 32
0.5119 кмоль/кг топл.
1°:=!^ + 8 • Н - О
1
0.23
14.956 кг/кг топл.
Удельное по топливу количество вещества свежего заряда (индекс 1)
1
М-1 :=а-Lo + — = 0.4694 кмоль/кг топл. и т
При внешнем смесеобразовании свежий заряд состоит из воздуха и бензина, поэтому
Мв := — + — + 0.79 • а • 1° = 0.5077 кмоль/кг ТОПЛ.
в п п °
молярная масса свежего заряда определяется по формуле
М-1 := —1+а1° 1 = 30.551 кг/кмоль.
а-^ + —
Мв Мг
Удельное по топливу количество вещества продуктов сгорания при а < 1
С Н
----1-
12 2
Теоретический коэффициент молярного (молекулярного) изменения горючего заряда
м, .
при его сгорании р° := — = 1.0816 .
М-1
Молярная масса продуктов сгорания (равна молярной массе остаточных газов)
М2 := — = 28.246 кг/кмоль.
Р°
Теплоёмкость воздуха и продуктов сгорания (добавленный подраздел). В примере [1], как обычно принято, показатель адиабаты и теплоёмкости определяются по таблицам в функции от температуры. Для автоматизации процесса расчёта в системе Mathcad теплоёмкость определяется по эмпирическим формулам, полученных путём математической обработки табличных значений теплоёмкостей [1, 4-6] (все эти формулы и добавленные приведены в [2, 3]).
Средняя молярная изохорная
теплоёмкость воздуха, кДж/(кмольК)
Сявяв(:= (20.758 + 0.268 • у + 5.4724 • у2 -
-4.957• у3 +1.591 у4 -0.205• у5) где в = Э /1000.
Средняя молярная изохорная
теплоёмкость продуктов сгорания бензина при 0,7 < а < 1 для интервала температуры 0-1300 °С
Ся0(Э) := 20.52 +1.675• а + (1.333 + 2.673•а)• 10-3)• Э
Проверка для 1300 °С и а = 0,9: Ся0(1300) = 26.888 (26.928, таблица В.13 [2]).
Средняя молярная изохорная
теплоёмкость продуктов сгорания бензина при 0,7 < а < 1 для интервала температуры 1300-2500 °С
Ся(Э):= 22.4 +1.842• а + (0.921 +1.465•а)• 10-3)• Э.
Проверка Ся(2000) = 28.537 (28.716, таблица В.13 [2]).
Процесс впуска. Температура
остаточных газов лежит в пределах Тг = 9001100 К. Принимаем Тг = 1005 К (здесь стоит знак равно, следовательно, эта температура уточняется путём глобального присваивания
из конца программы, при расчёте Т).
Давление остаточных газов лежит в пределах рг = 0,105-0,125 МПа.
Принимаем рг := 0.118 МПа.
Температура подогрева свежего заряда ДТ = ДЭ лежит в интервале от 5 до 30 К (°С).
Принимаем ДТ := 5 К.
Так как наддув отсутствует, и впуск воздуха происходит из атмосферы (окружающей среды), то параметры на входе во впускной канал принимаются равными параметрам окружающей среды
Рк := Р0с = 01 МПа и Тк := Тос = 288.15 К.
Плотность воздуха на впуске определяется из уравнения Клапейрона
Рк • 103 , з
рк:= —------= 1.209 кг/м .
Rв • Тк
Задаём значения коэффициента сопротивления впускной системы С = 2,5 -5 и скорости а = 50 -150 м/с путём глобального присваивания из конца программы (при расчёте мощности), что позволяет корректировать значение вычисленной мощности N6, приближая его к номинальному значению N6°: С = 2.8; а = 108 м/с.
Давление в конце впуска
2
Ра := Р°С -10-6 • С • р • ^ = 0.0803 МПа.
Коэффициент остаточных газов у = Мг/М1 = 0,05-0,10 [4]
У :=
Тг
Рг
Л
= 0.057.
ра - рг.
Температура в конце наполнения (320360 К)
Та ;= Тк +ДТ + ГТг = 331.51 К.
а 1 + у
Коэффициент наполнения (г|Я= 0,70-0,95)
8 ' ра ' Тк
% : =
= 0.742.
(в- 1) • Рк • Та • (1 + у)
Расчёт молярной внутренней энергии смеси свежего заряда и остаточных газов в конце наполнения иа (добавлено) для температуры Эа:
Эа := Та - Т0 = 58.4 °С; у := = 0.0584 ;
а а и 1 1000
(^в(у) = 20.791, Ся0(Эа) = 22.246);
иа := (Сяв(у) + у • Ся0(Эа)) = 1217.98 кДж /кмоль.
1+у
Процесс сжатия. Показатель адиабаты к
для процесса сжатия и температуру в конце сжатия Тс находим, решая систему уравнений, состоящую из уравнения первого закона термодинамики для адиабатного процесса и уравнения адиабаты. Система уравнений записывается между операторами Given-Find (Дано-Найти). Причём в уравнениях, входящих в систему, стоит знак жирного равно (вводится при нажатии клавиш СЭг1 =). Заранее необходимо задать приближённые значения всех величин входящих в систему:
Ф|:= 1.4; Эс = 500; у:=0.5 ; Тс := 800;
Цс: = 210 4.
к-1
Given Тс = Та сжатия; Эс = Тс -Т0 Ус =
Ус = (Сяв(Ус) + у • Ся0(Эс))
-температура в конце
Эс ;
1000 ’
1+у
- молярная
внутренняя энергия в конце сжатия;
Ru + (Тс - Та) к. = 1 + ц с а ; 1 Ус - Уа
Г Тс ' ' 760.879'
Эс 487.729
ус := Find(Tс,Эс,Ус,Uс,к1) = 0.488
Ус 1 к1 V 10659.41 ч 1378 ,
Далее остаётся только набрать искомую величину и нажать знак равенства:
Тс = 760.879 К; Эс = 487.729 0С; к1 = 1.378 (1,38 в примере [1]).
Поскольку реальный процесс сжатия протекает с теплообменом, то показатель политропы п1 = 1,3-1.38 (для бензиновых) получается меньше показателя адиабаты на поправку В. А. Петрова (ДП1 = 0,01-0,04), зависящую от частоты вращения коленчатого вала:
п = 4900 мин-1; Дт := — = 0.0172 ;
1 п
п1 := к1 - Дп1 = 1.361 (1.36 в [1].
Температура и давление в конце политропного сжатия (с теплообменом):
Тс := Та
,П1-1 =
= 732.594 К (Тс = 600-800 К);
Рс := Ра • = 1.596 МПа р = 0,9-2,0 МПа).
Молярная внутренняя энергия в конце
сжатия
11с = (СявСЯс) + у • Ся0(Э с = 10001 .9 кДж /кмоль .
)) •
Э
с
1+у
Процесс сгорания. Действительный
коэффициент молярного изменения рабочей смеси, учитывающий наличие в цилиндре к началу сгорания остаточных газов
Р° +у
Р :=-
- 1.0772 (р0 = 1.0816, у=0.057).
1 + у
Количество тепла, потерянного
вследствие неполноты сгорания топлива,
ДНи := 11950 • (1 - а) • L° = 6140.3 кДж/кг. Молярная теплота сгорания рабочей смеси (Ни = 43929.5 , М1 = 0.4691)
раб.см
Hu ahjl - 76165.3 кДж/кмоль.
М1 • (1 + у)
Коэффициент использования теплоты
= 0,85 -0,95 принимаем := 0.90 .
Температура газа Тг в конце видимого сгорания определяется из уравнения первого закона термодинамики для процесса сгорания
• Нраб.см + ис = Р • Нраб.см • Си(Эг) . (1)
Для облегчения дальнейших
преобразований введём константу
С2 := 1(52 • Нраб.см + ис) кДж/кмоль.
Тогда уравнение (1) запишется в виде Эг = С2/Сч(Эг). Решаем это уравнение методом последовательных приближений. Задаём первое приближение Эг := 2500 .
с2
Given tz =
Cv(tz) ’
tz := Find(tz) = 2465.3 UC;
Тг := Т0 + Эг = 2738.5 К.
Максимальное расчётное давление в конце сгорания (рг = 3,5-6,5 МПа)
Рг := Р • РС • — = 6.427 МПа.
ТС
Степень повышения давления в цилиндре (3,2-4,2) := ^ = 4.027.
РС
Молярная внутренняя энергия продуктов сгорания в точке г (добавлено)
иг = Ся(Эг) • Эг = 72921 кДж/кмоль.
Процесс расширения. Температуру Ть и показатель политропы расширения п2
находим из уравнения первого закона термодинамики для процесса расширения
Gb-5z)'X'
Hu
_
M1-(p0+у) п2 -1
(Эг - Эь) - и - Си (У) • fb],
(2)
где ^ь := 0.82 - коэффициент использования теплоты к концу расширения (выбирается из диапазона 0,82-0,87 так, чтобы значения Ть
не выходили за пределы 1200-1700 К [4]).
^ = 1-ДНю = 0.86- коэффициент выделения Ни
теплоты при сгорании богатой смеси (а < 1). Вычисляем вспомогательную константу С в уравнении (2) и разрешаем его относительно п2
C - Uz + (?b -5z) 'X'~
Hu
m,'P-(1+y)
- 67264.45 кДж/кмоль,
- 1 +
R^'(Tz -7b)
/л . ,
2 C-Cv(y}tb
Начальные приближения для решения системы: n2:= 1.2; Tb:= 1200; tb:= 900; y:= 0.9.
T.
Given Tb = tb = Tb - Tq; y =
= эь
1000 ’
n2 = 1 +
Г Tb ^ tb y
V n2 У
R^'(Tz-Tb);
C-Cv(y) tb ;
Г1504.5^ 1231.3
:- Find(Tb,tb,y,n2) -
1.231
1.273
Ть = 1504.5К; Эь = 1231.3 °С; п2 = 1.273 (п2 =1,22-1,28).
Давление в конце расширения
Рь := = 0.392 МПа (рь = 0,35-0,60 МПа).
8пв
Проверка ранее принятой температуры остаточных газов
Tr1 :-
_ Tb _
-1008.0 K (Tr=1005 К).
Погрешность
I Tr1 - Tr I
Tr
- 0.298% (для
r1
вывода результата в процентах, необходимо в чёрную метку числового значения ответа ввести знак %). Если несовпадение температур превышает 1 %, то нужно
изменить ^ , либо в начале расчёта изменить задаваемые значения Tr или pr .
Удобно изменять значение Tr не в начале расчёта, а непосредственно при определении погрешности её расчёта путём глобального задания её значения с помощью «тройного равно» на вкладке Evaluation (Вычисление) Tr = 1005 К. Заметим, что выше знака глобального присваивания = нельзя вводить знак местного присваивания (:=) для одной и той же величины.
Среднее индикаторное давление рТ определяем с учётом поправки на скругление
диаграммы Фп :- 0 97.
р :- Рс 'Фп ^2
Pi :----г'
Фп = 0,94-0,97 [1]. Принимаем
1
n1 -1
Rn1 -1
= Q.9946
МПа.
(3)
Среднее давление механических потерь для бензиновых двигателей при предварительно принятой скорости поршня ст :-13.5 м/с [1]
рм :- 0.034 + 0.0113 ' ст - 0.1865 МПа.
Среднее эффективное давление Pe - Pi - Рм - 0 808 МПа.
Основные геометрические параметры цилиндра и двигателя. Литраж четырёхтактного двигателя
Ne
Ne^ -1.408 л.
Pe ' n
Отношение хода поршня к его диаметру K = S/D = 0,7-1,0 [1]. В целях уменьшения скорости поршня и сокращения габаритов двигателя принимаем K: = 0,85, тогда
Vn :-120'
D := з - = 80.792 мм;
V п Кт
S := К • й = 68.674 мм.
Принимаем й:= 80 мм, Б:= 70 мм.
По окончательно принятым значениям D и
5 определяем основные параметры
двигателя.
Литраж Vn :-
nD2 'S'i
-1.407 л.
4' 106
Рабочий объём цилиндра
V-
vn
- 0.352 л.
Объём камеры сгорания
V-
Vh
- 0.044 л.
е-1
Полный объём цилиндра
V := УС ^е = 0.396 л. Эффективная мощность при полученном
литраже Ые := Ре • Ул • — = 54.968 кВт.
Несовпадение расчёта по мощности (Ме°
I---------Ые° -Ые I = 55 кВт) - °-------- = 0.06 % .
Ые°
Глобальное присваивание для скорости а = 108 м/с.
Если несовпадение мощностей превышает 0,5 %, то следует изменить выбираемые в процессе расчёта величины, например, скорость воздуха в клапанной щели а, коэффициенты С, 1г, ^ь и ДР. Так,
при скорости потока в клапанной щели 110 м/с несовпадение по мощности составляет 1,4 %, а при скорости 108 м/с - 0,06 %.
Эффективный крутящий момент
Ме := З -Ш^е = 90.501 н.
п • п
Средняя скорость поршня
ст := — = 13.533 м/с, т 30
что близко ранее принятому значению 13,5 м/с.
Расчёт промежуточных точек и
построение индикаторной диаграммы.
Отношение радиуса кривошипа к длине шатуна (Л = 0,24-0,31) Л:=0.265 [1].
Задаём расчётный массив углов ф через 1 градус от 0 до 720: ф:=0..720 (символ последовательного ряда значений «..» вводится клавишей со знаком точки с запятой «;»).
Зависимость объёма от угла поворота даётся выражением [1]
У(Ф):= [1 + 0.5 • (е-1) • [1 + 0.25 • Л - ^(Ф-Нед) -- 0.25 • Л • ^(2 -ф- Нед)]] • УС
где Нед = 0,01745 - перевод градусов в радианы.
Считаем, что процесс впуска протекает при постоянном давлении ра, кроме небольшого понижения давления от рг при 0 г.п.к.в до ра в момент закрытия выпускного клапана при фзв = 15-60 г.п.к.в. На этом участке понижение давления от угла поворота коленчатого вала считаем линейным. Принимаем фзв := 40 г.п.к.в.
Сжатие начинается при ф = 180° п.к.в. и протекает по политропе до точки (с2) момента начала видимого сгорания топлива. Принимаем угол фс2 := 342 г.пхв. (342-348 [5]).
Уравнение политропы сжатия
Р1ф :- Ра
Va
VM
n1
(4)
Здесь Р1ф - индексированная
(ранжированная) переменная, индекс которой (ф) вводится после нажатия клавиши с символом открывающейся квадратной скобки [. Давление в начале сгорания определяем по формуле (4), вводя индекс ф = фс2 = 342 ,
РС2 := Р1Фс2 = 1.183 МПа (рс = 1,596 МПа).
В результате начала сгорания топлива до прихода поршня в ВМТ действительное давление в конце процесса сжатия получается больше расчётного и лежит в пределах рсд = (1,15-1,25) рс [1]).
2
Принимаем рсд :-1.24' рс -1.979 МПа.
На участке от давления рс2 до давления рсд и от давления рсд до давления pzfl изменение давления от угла поворота коленчатого вала считаем линейным.
Процесс расширения протекает по
политропе
р2ф :=ЧщГ (5)
Из этого уравнения можно определить угол поворота коленчатого вала, при котором максимальное давление газа равно
действительному pzfl. Начальное
приближение ф :- 370 .
Given
Ргд :- Pz '(^фj 2 ; Фz ;- Find(ф) - 373.344.
Округляем до минимального целого значения фz :- floor^z) - 373 г.п.к.в.
Процесс выпуска начинается с момента начала открытия выпускного клапана в точке Ь' до прихода поршня в НМТ при
Фов - 460 - 500о . Принимаем фов :- 500о . Давления в точках Ь' и Ь определяются по формуле (5) соответственно для ф = фов и
Ф - 540о : рЛ1 :- р2Фов - 0.436 МПа;
Pb :- р2^40 - 0.392 МПа.
Действительное давление в НМТ (точка Ь") приближённо находится как среднее
арифметическое от давлений pb и рг: Pb2 :- 0 5' (Pb + Pr) - 0.255 МПа.
Считаем, что заметный отрыв реальной кривой давления от политропы расширения начинается после открытия выпускного
клапана в точке Ь"' при фЬз :- 524° .
Давление в точке Ь"' Pb3 :- р2Фьз - 0.399 МПа.
Считаем, что давление газов становится равным давлению pr при Фь4 :- 560°. На участке от Фь4 до ВМТ давление постоянно и равно pr. При расчёте суммарных сил на коренные шейки коленчатого вала в математической модели требуется знать силы вплоть до 900 г.п.к.в. Давление на участке от 720 до 900° задаётся так же, как и от 0 до 180°.
Расчёт индикаторной диаграммы производится согласно программному модулю (рис.1.).
Для создания программного модуля используется встроенная функция панели инструментов Add line, которая создаёт и при необходимости расширяет вертикальную линию слева. На рисунках 2 и 3 представлены развёрнутая и свёрнутая индикаторные диаграммы. Несовпадение расчёта среднего давления р^ - 0,9946 МПа по формуле (3) и по диаграмме для процессов сжатия-расширения р/< - 0,9914 МПа составляет 0,322 %.
Pr - (Pr - Ра)'— if 0 < ф < Фзв
фзв
Ра if Фзв < Ф < 180
р1ф if 180 < ф < фс
Рс2 + (Рсд - Рс2 )' Y60 ФС if Фс <Ф< 360
360 -фс
Рсп + (Pz„ - рс„) -Ф—if 360 < Ф < Фz
^zfl сд Фz - 360 Y Yz
Р2ф if Фz < Ф < Фьз
Рьз -(Pb3 - Pb2)'
Ф - Фьз 540 - Фьз
if Фьз < Ф < 540
Ф-540
Pb2 - (Рь2 - Pr)' Ф—----if 540 < ф < ф z
Фь4 - 540
Pr if фЬ4 < ф < 720
Pr - (Pr - Ра)' Ф
фзв
■720
if 720 < ф < фзв + 720
Рф ТПфзв + 720 <ф< 900
Рис. 1. Программный модуль для задания кривой изменения давления в цилиндре от угла поворота коленчатого вала
Р
ф
Рис. 2 . Развёрнутая индикаторная диаграмма (в координатах ф-р)
Библиографический список
Рис. 3 .
Свёрнутая индикаторная диаграмма (в координатах V -р)
В заключение работы можно сделать следующие выводы:
1 Разработана программа и проведён расчёт бензинового двигателя в системе МаШсаН Результаты расчёта хорошо согласуются с расчётом аналогичного двигателя в [1].
2 Достоинством программы является наглядность расчётных формул, что позволяет любому пользователю без специальных знаний программирования изменять её содержание.
3 Дана методика автоматизированного расчёта и построения развёрнутой и свёрнутой диаграмм цикла, что позволяет перейти к расчёту сил, действующих в КШМ двигателя.
4 Данная программа может быть использована как в учебном процессе (курсовые работы и дипломные проекты), так и при научных исследованиях, а также для отладки специальных программ расчёта ДВС с учётом горения и газообмена.
1. Колчин А. И., Демидов В. П. Расчёт автомобильных и тракторных двигателей : учеб. пособие для вузов. - М.: Высш шк, 1990. - 344 с.
2. Рындин В. В. Первое начало термодинамики в его становлении и развитии. - Павлодар: ПГУ им. с. Торайгырова, 2004. - 533 . с.
3. Рындин В. В. Теплотехника : учеб. пособие / В. В. Рындин, В. В. Шалай. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 460 с.
4. Двигатели внутреннего сгорания : Теория поршневых и комбинированных двигателей : Учеб. для втузов / Под ред. А. С. Орлина, М. Г. Круглова.
- Машиностроение, 1983. - 372 с.
5. Теория двигателей внутреннего сгорания / Под ред. Н. X. Дьяченко. - Машиностроение, 1974. - 552 с.
6. Автомобильные двигатели : Учеб. для вузов / Под ред. М. С. Ховаха. - Машиностроение, 1977. -496 с.
THE CALCULATION OF CYCLE OF A PETROL ENGINE IN A SYSTEM MATHCAD
V. V. Ryndin, V. V. Shalaj, J. P. Makushev
The Program of calculation and constructing of the unrolled and contracted diagrams of cycle of a Petrol engine in a system Mathcad is reduced.
Keywords: engine, calculation, cycle, unrolled diagram, system Mathcad.
Bibliographic list
1. Kolchin A. I, Demidov V. P. Calculation of automobile and tractor engines : studies manual for high schools. - M.: High school, 1990. - 344 р.
2. Ryndin V. V. The first law of thermodynamics in its formation and develoPment. - Pavlodar : PSU them. S. Toraigyrov, 2004. - 533. р.
3. Ryndin V. V Heat: studies manual /V. V Ryndin, V. V. Shalay. - Omsk : Omsk State Technical University Publishing House, 2012. - 460 р.
4. Internal Combustion Engines: Theory and combined Piston engines: Proc. for technical colleges / Ed. A. S. Orlin, M. G. Kruglov. - Machinery, 1983. -372 р.
5. The theory of internal combustion engines / Ed.
N. H. Dyachenko. - Machinery, 1974. - 552 p.
6. Engines: Proc. for high schools / Ed. M. S, Hovah. - Machinery, 1977. - 496 p.
Рындин Владимир Витальевич - кандидат технических наук, профессор кафедры
«Механика и нефтегазовое дело» ПГУ им. С. Торайгырова. Основное направления научной деятельности - теплофизика. Общее
количество опубликованных работ: 130. e-mail: rvladvit@yandex. ru
Шалай Виктор Владимирович - доктор технических наук, профессор, ректор Омского государственного технического университета
(ОмГТУ). Основное направления научной деятельности - летательные аппараты. Общее количество опубликованных работ: 200. e-mail: shalai@omqtu.ru
Макушев Юрий Петрович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Тепловые двигатели и автотракторное
электрооборудование» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основное направления научной деятельности -топливная аппаратура, двигателей внутреннего сгорания. Общее количество опубликованных работ: 120 e-mail: makushev321@mail.ru.
УДК.517.946
ОСОБЕННОСТИ И КЛАССИФИКАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Г. И. Шабанова
Аннотация. Статья, предложенная вниманию читателей, продолжает научное исследование сингулярной задачи Штурма-Лиувилля [3]. В статье получено несколько интересных результатов, связанных с аналитической формулой для спектральных функций, свойствами этих функций и их классификацией. Доказано две леммы и представлена теорема о взаимно однозначном соответствии между классами
функций Q* э q(у) и (7a э ст(Я) .
Ключевые слова: оператор, задача Штурма-Лиувилля, спектральная функция, предел последовательности, взаимно-однозначное соответствие.
Введение Рассмотрим задачу (1), (2) в интервале
Построим спектральную функцию [о b] b = b
оператора Штурма-Лиувилля с п
коэффициентом q(y)eQM.
1 в
(Рп (в, Я) = cosVIy + f sin лЩв -г) qn D Рп (г, Я) dz =
л/Я о
= cosVXy + f (sin Я cos лД г- cos 4Ду sin лДт^п (т)Рп (г, Я) dr- (1)
Л/Я о
1 fsinл/Д(у-г)qn(т)рп(г,Д)dr = цп(X)cos4Xy + vn(A)sinVXy + 0(1) VAy
1 со
где цп (Я) = 1 - — f sin-Яг qn (г) Рп (г, Я) dr ; (2)
ЯJ
1
VnW = -д{^л/Х гqn(г)Рп(г,ЯНг .
(3)
Изменение спектральной функции оъ (Я) в интервале (Я, Я + Л] можно записать интегралом Стилтьеса
я+д
(Я) = оь (Я + А) -оь (Я) = f dob (Я) , (4)
