Расчёт траекторий в пограничном слое и потоков с поверхности механически уносимых частиц тепловой защиты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268).

Физика. Вып. 13. С. 14-19.

Г. Ф. Костин, Н. Н. Тихонов

расчёт траекторий в пограничном слое и потоков с поверхности механически уносимых частиц

тепловой защиты

Рассматривается процесс движения в пограничном слое конденсированных частиц, выносимых механически в поток при уносе массы теплозащитных покрытий. Получены решения уравнения движения частиц в пограничном слое на пластине с учетом их догорания в потоке . Предложен аналог метода эффективной длины для расчета потока массы механически уносимых частиц с поверхности пространственных тел

Ключевые слова: пограничный слой, летательные аппараты, механический унос, траектория частицы, твердофазная компонента.

Составляющая термомеханического уноса углерод-углеродных композиционных материалов (УУКМ) в области притупления гиперзву-ковых ЛА может достигать 10...25 % от суммарной величины уноса . Механический унос теплозащитных материалов (ТЗМ) происходит и на боковых поверхностях ЛА . Если частицы не сгорают в потоке, то по мере развития пограничного слоя их концентрация накапливается . В работах [1-2] при рассмотрении механического уноса УУКМ было отмечено, что развитие запыленного частицами пограничного слоя затягивается, то есть его устойчивость повышается . Такой же результат был получен при исследовании диффузии некоторых веществ в ламинарный пограничный слой [3-4] . Вместе с тем каждая отдельно двигающаяся частица вносит возмущения в пограничный слой, и возмущения, как гидродинамические, так и тепловые, повышают степень турбулентности потока . Этот возмущающий фактор требует оценки и, при необходимости, учета Унос массы ТЗМ с поверхностей ЛА происходит при сверх- и гиперзвуковых скоростях их движения Система уравнений пограничного слоя на боковых поверхностях ЛА имеет такой же вид, как и при продольном обтекании пластины . В связи с этим рассмотрим продольное обтекание пластины, с поверхности которой идет термохимический и механический унос массы сверхзвуковым потоком газа. Принимая простейшее линейное приближение для распре -деления концентрации частиц по толщине пограничного слоя, можно записать:

где р и— плотность и продольная составляющая скорости частиц в рассматриваемом сечении; 5С — толщина пылевого (диффузионного) пограничного слоя, т = т (х) — зависи-

Г ’ мех мех 4 7

мость скорости механического уноса массы с поверхности тела от продольной координаты х .

Принимая для оценок линейным также профиль продольной составляющей скорости жидкости в пограничном слое, для толщины гидродинамического пограничного слоя можно записать [3]

8( х) = 12 = 12 —

V иеРе \ и

(1)

где ие, ре, ц, V — соответственно скорость и плотность газа на внешней границе пограничного слоя и коэффициенты динамической и кинематической вязкости

При равенстве толщин гидродинамического и пылевого слоев 5^ = 5 для плотности р частиц у стенки из предыдущих соотношений следует

3

и у X

(2)

С использованием формулы (2) можно оценивать влияние запыленности потока механически уносимыми частицами

С момента отрыва от поверхности до момента достижения скорости, близкой к скорости жидкости, частицы вносят возмущения в пограничный слой . Для оценки этих возмущений необходимо знать их траектории после выноса в пограничный слой . В общем случае частицы могут продолжать гореть в потоке, и параметры и р^ частиц должны рассчитываться с учетом уноса массы с их поверхности . Для решения уравнения движения частицы необходимо

определиться с действующими на нее силами . В непосредственной близости к стенке, где числа Рейнольдса малы, такой силой является сила Стокса, однако при сверхзвуковом обтекании в подавляющей по толщине части пограничного слоя числа Рейнольдса достаточно велики . В связи с этим будем рассчитывать движение частицы в пограничном слое под действием аэродинамической силы . Примем для оценок, что частицы сферические и что коэффициент лобового сопротивления С частиц (которые и при обгаре считаем остающимися сферическими) не меняется и равен Сх = 0,75 . Это значение характеризует некоторый средний уровень сопротивления частиц, так как коэффициент Сх сферы возрастает от значения ~0,5 при числах Маха М ^ 0 до значения ~1,0 при М > 1,5 [4] . С учетом этого для скорости потока относительно частицы А У можно записать:

.jAV.

AV2

=3 —; r = ro- j—d т (3)

p r

Г p s

0K p

где г г0 — текущий и начальный радиусы частицы; тг — скорость уноса массы с поверхности частицы, индекс «/» относится к параметрам газа в пограничном слое

Примем также модель равенства поперечных составляющих скорости твердых частиц и газа: и = иу Тогда для рассматриваемого случая линейности профиля продольной составляющей скорости газа в пограничном слое из уравнения неразрывности системы двухфазного (содержащего конденсированную фазу) пограничного слоя следует

d т = u

ГЭ u,

=u =uf =-hrd=

(4)

Механизм выноса частиц в пограничный слой может быть различным: от «пассивного» вымывания частицы и подхвата ее потоком в месте выступания над поверхностью до «мгновенного выстреливания» частицы (за счет, например, термонапряжений) в пограничный слой на различную высоту в пределах толщины диффузионного пограничного слоя . Если частица начинает движение, оторвавшись от поверхности под действием потока с уровня касания с ней, то начальная скорость потока относительно частицы равна

ЛУ = и2

s 1т—0 \ j\

2 I Г0

+ Uf ~Uf — и e-------------------.

^—r0 f e S(xH )

где xH — координата сечения, в котором частица вынесена в поток .

Унос массы с поверхности углеродных материалов определяют термодинамические параметры состояния: давление и температура. Давление вдоль пластины неизменно . Пренебрегая переменностью температуры вдоль поверхности, примем, что на траектории движения частицы mr = ms = mscp = const. Тогда из (3) следует

АУ =

8( хн)

1 -

scp

3CxP frQUe

8mscp S(XH )

ln

m

1 — scp

P pr0

. (5)

Для продольной составляющей скорости частицы, пренебрегая поперечной составляющей скорости потока в пограничном слое по сравнению с продольной, можно записать:

/ \

dx у

—- = иs ~ иа-----------

dт 8(х)

8( хн)

х

х

1 -

З^х Р froU

8m ет8( хн У

In

m

1 — scp

Р рГ0

= и„

у

8( х)

- F (т).

Если уноса массы с поверхности частицы не происходит, то Г = r0 = const, и из (3) следует

AV =

\ 3 Cxue р,

1 +-----X-JL±. т

8 5Яpd

\-i

(6)

Выражение (6) может быть использовано для оценок возмущений пограничного слоя механически уносимыми частицами

С использованием соотношения (4) можно записать

dyf

—— = uf = d т f

f

45( Xf) • Xf

dx

f

yf

x

= 4-^ vf= 4

■ — U f — U0 ----г и f

dx f 5( Xf) yf f

fdf yf d т

(7)

Можно показать, что при принятых выше допущениях при отрыве частицы от уровня выступания над поверхностью у = г0 (начальные условия) для траектории частицы из (3) и (5) с учетом (1) следует

Л (Т) = r0

1 --

о V xh

\-i

45,

J xs2(x) d Т , (8) J F (T)d T=J м

0 5 H

1 _ 3CxPfWe

8m scp 5 H

ln

1-

P pro

Y1

dT (1З)

т (

- J І

n

V

Ґ

x І ;

V

4

• F (т) • d Т

45u

J X 2 (т)d т

/

-4

(9)

Уравнения траектории (8), (9) носят интегро-дифференциальный характер и требуют численного интегрирования

Для более наглядного представления геометрии траекторий движения частиц выделим два участка: начальный участок, на котором второе слагаемое под логарифмом в выражении (5) для ^(т) мало по сравнению с единицей; конечный участок, на котором это слагаемое близко к единице

При т ^ да и (или) больших значениях гпсср функция ^(т) стремится к нулю, а траектории твердых частиц к траекториям частиц жидкости . Из (4) и (5) при ^(т) ^ 0 получим

dys _ 1 Л X

-----_ и

dx 4 x х-

ґ \4

(10)

где хп2, уп2 — координаты начальной точки конечного участка траектории, в которую частица приходит через время тя2 от момента отрыва . Зависимость для времени движения на этом участке имеет вид

d т =

5( Xs )dX = 5CXn2)Xsl dx

u у

eJ s

u у 0X\

eJ n2 n2

T — Tn2 =

45(Xn2 ) ■ Xn

5Уn2 ■ Ue

Из (11) и (10) следует

(—)4 -1

(11)

от функции ^(т) на начальном участке движения .

Интеграл (13) не выражается в квадратурах, однако при малых значениях второго слагаемого под логарифмом по сравнению с единицей (малые значения времени), используя приближение вида 1п(1 + х) ~ х при х << 1, можно записать Г о N

3схР/ие ,

1 + -

8P p S

pH

rru т. (14)

S H

Вводя переменную г = у2/х, с учетом приближения (14) и формулы для толщины пограничного слоя (1) из (4) и (7) получим

dy _ і dy dx 2dx

і

z + x— dx

\-i

vz-

Урн

(15)

V Y /

откуда, при условиях: x\%=o = Хн, y\x=o=УH = Г: ґ \ Іґ - \

4Z -

Jo

2r

-sTz

4Z = y/4X =У =

4X yfXH

і ±J і - H

x

\ У

\

(16)

Выражение (15) справедливо для любого про -филя скорости в пограничном слое, толщина которого выражается соотношением вида

5(x) = A • Vx, A = const.

В (16) из сравнения вычисленной производной

dy с выражением (15) должен быть выбран знак

dx

х, = х„

У = Уп 2

1 + -

5 У„ 2Ue

45(Xn2 ) • Хп

-(Т-Тп 2)

1+.JM^ (Х-т„2) 15

45(Xn2 ) • Xn

(12)

Из выражений (12) видно, что ордината частицы на конечном участке увеличивается очень медленно с течением времени, а абсцисса — почти линейно

Рассмотрим интеграл

«+»

Уравнение (4) с учетом (1) и приближенного соотношения для частицы

1

1

У, (Xs ) Л (Xs )

можно записать в виде

d

dys ( Xs ) d т

d

1

d т

І

Л

u

Урн 1

dx

45н xs

Подставляя в (17) выражение для у из (16) и производя замену

в =

(18)

после интегрирования получим

т= в8 + 8в6 - 8в2 -1 + 24в41п в

\6г0ие

в

Согласно замене (18) хн (1 + Р2)4

Х*(Т) = У’(Т) = !(1 + в (20)

При бесконечной инерционности частицы по отношению к потоку в рамках данного приближения х (т) = хн и из (8) следует

Уs (Т) = Г0

1-

45,

(21)

= Г

1

игп

25НХН

В случае мгновенного вброса («выстреливания») частицы на некоторую высоту, то есть при

условиях: х| т=0 = Хн, у\ т=0 = у Н, в (19)-(21) следует вместо г0 брать ун

Относительное удаление частицы х3 (т) = X (т)

X

от места отрыва при ут=0=ун = г0, то

есть в случае самого «медленного» движения, в зависимости от времени приведено на рисун-

ке. В случае «мгновенного» выстреливания частицы в начальный момент на высоту у\т=0 = ун > г0 те же расстояния частица будет проходить за более короткое время . Траектория рисунка рассчитана при условиях отрыва частицы с характерным размером (диаметром) 2г0 ~ 2-10-4 м в области вниз по потоку за звуковой точкой притупленного по сфере радиусом Япр = = 0,04 м кругового конуса при скорости набегающего потока Ух = 6 000 м/с (при расчете энтальпии торможения потока в силу большой скорости принималось I ~ 0,5- V2) . При характерном

среднем для притупления уровне приведенного

г \ а

коэффициента теплообмена —

V з У

15 кг/м2 с,

время «жизни» частицы материала 4КМС-Л раз-

210-4 '

мером (диаметром) 2г0 т„ = т„ = т„„„ = соті

м при условии

.ср ----- составляет примерно

0,0317 с. Это значительно больше, чем занимает путь частицы вдоль всего конуса с удлинением 80 и более единиц . Учитывая же, что на боковой поверхности значения коэффициента теплообмена примерно на порядок меньше, чем на притуплении, при оценках можно принять, что масса частиц такого размера данного материала не меняется

Для случаев развития пограничного слоя на криволинейной поверхности величина уноса с боковой поверхности тв (х) более сложным образом зависит от геометрии тела, чем на пластине. При расчетах плотности теплового потока

т, с

Изменение продольной координаты частицы относительно координаты точки отрыва

4

на криволинейных поверхностях используется метод эффективной длины В . С . Авдуевского [5] . При расчетах потока механически уносимых частиц с поверхностей криволинейных тел можно использовать аналогичный метод . Согласно этому методу при перемещении вдоль поверхности тела для каждой точки можно подобрать пластину (цилиндр) с эффективной длиной x^d, на которой реализуется диффузионный пограничный слой с такой же плотностью диффузионного потока в конце, как и на поверхности криволинейного тела в расчетной точке

Плотность диффузионного потока на пластине при ламинарном режиме течения в пограничном слое рассчитывается по формуле [4; 6]

qd = ad (CA0 — ) =

=D*.f(Prd) 4R, ^^idl,

2 x Vx

где A(ue, v, Pr) ~ const.

Текущей точке поверхности криволинейного осесимметричного тела с местным значением радиуса вращения R = R(x) ставим в соответствии цилиндр с таким же радиусом, омываемый потоком с параметрами u v и с коэффициентом диффузии Dab с поверхности, равными местным значениям этих параметров на теле Интеграл диффузионного потока на теле равен

л

Qd = 2 nj R( x) • 4d (x)dx.

Соответственно для плотности диффузионного потока можно записать

dx

- = 2nR ■ а, = 2nR

A(Ue, V,Prd )

(21)

так как по определению х^ диффузионные потоки в текущей точке тела и в конце эффективного цилиндра равны

Для интегрального диффузионного потока и для плотности диффузионного потока на цилиндре имеем

^ = 2яЯхЭфй ^ =

= 4пД • А(ие,V, ) ■^Xэфd,

где д а — среднее на длине цилиндра значение плотности диффузионного потока Соответственно

dQd*

~d^

= 4Пdx (Г'A(Ue’V’Prd) )’ (22)

и из (21) и (22) следует

2dx(r'A(ue’v,PrJ-'V^ )=r A(u^llr-

dxX ' д/Хф*

. (23)

Умножая правую и левую части в (23) на ком-(r ■ A(ue,v,Pr,) ) и интегрируя, по-

плекс

лучим

X3tyd = "

1

г 2(х) ■ A\ue, v,Prrf)

LdJ 0

J г 2(x) ■ A2(ue, v,Prd )dx. (24)

Таким образом, при проведении расчетов на поверхности пространственных тел по формуле (24) находится распределение эффективной диффузионной длины вдоль поверхности тела и затем по формуле (21) рассчитывается распределение плотности диффузионного потока

Полученные выражения для расчета плотности и относительной скорости в пограничном слое конденсированных частиц, выносимых механически в поток при уносе массы теплозащитных покрытий, могут быть использованы для оценок влияния запыленности пограничного слоя на его интегральные толщины, интенсификацию перехода режима течения в пограничном слое от ламинарного к турбулентному, трение и теплообмен

Полученные решения уравнения движения механически уносимых частиц в пограничном слое на пластине с учетом их догорания в потоке могут использоваться для расчета распределений плотности (концентраций) частиц в пограничном слое и времен их существования Предложенный аналог метода эффективной длины позволяет проводить расчеты потока массы механически уносимых частиц с поверхности пространственных тел

Список литературы

1 . Костин, Г Ф. Влияние структурных неодно -родностей углерод-углеродных композиционных материалов тепловой защиты гиперзвуковых летательных аппаратов на разбросы обгарных форм / М . Г Булыгин, О . Н . Дементьев, Г Ф. Костин, Ю . М . Ковалев, Ш . Ш . Ягафаров // Конструкции из композиц. материалов . 2004. № 3 . С. 3-15 .

2 . Костин, Г Ф. О влиянии неоднородностей композиционных теплозащитных материалов на теплообмен и изменение формы поверхности при уносе / Г Ф Костин, М Г Булыгин, О Н Дементьев, Ю М Ковалев, Ш Ш Ягафаров // Фундаментальные и прикладные проблемы современ-

ной механики : материалы Всерос . научн . конф . , Томск, 5-7 окт. 2004 г. Томск : Изд-во Томского ун-та, 2004. С. 369.

3 Шлихтинг, Г Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М . : Наука, 1974. 712 с .

4 . Лойцянский, Л. Г Механика жидкости и газа / Л . Г. Лойцянский. М . : Наука, 1973 . 847 с .

5 . Авдуевский, В . С . Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / В . С . Авдуевский, В . С . Галицейский, Г. А . Глебов [и др .] . М . : Машиностроение, 1975. 624 с.

6 Лыков, А В Тепломассообмен : справочник / А . В . Лыков . М . : Энергия, 1971. 560 с .