Расчетное определение контактных напряжений цилиндров в пределах площадки контакта в условиях перекоса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Schematic diagrams of the devices (units) for laser marking sheet and roll heat shrink materials suggested in the article. Working models of the units, made in natural size described. The tests conducted and analysis of experimental results assessment of the processes occurring under the action of laser radiation on various polymeric materials with shape memory: shrink flat and bag film, labels and envelope. The efficiency of the units and the possibility of their use for a tactile marking in Braille the products of transparent and opaque thermoplastic polymers shown.

Key words: remote process of recording information on polymers, laser unit, relief and pointed marking of Braille.

Mariya Konovalova, an engineer, mvk2317@ rambler. ru, Russia, Moscow, Moscow Polytechnic University,

Kondratov Aleksandr Petrovich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, аpkrezerv@,mail. ru, Russia, Moscow, Moscow Polytechnic University

УДК 620.173.21

РАСЧЕТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

ЦИЛИНДРОВ В ПРЕДЕЛАХ ПЛОЩАДКИ КОНТАКТА В УСЛОВИЯХ ПЕРЕКОСА

Ф.Г. Нахатакян

С использованием ранее предложенного автором метода решения задачи о контакте двух цилиндров при перекосе аналитически определено распределение контактных напряжений в пределах площадки контакта при взаимодействии цилиндров в условиях перекоса.

Ключевые слова: контакт цилиндров, контактные напряжения, задача Герца, перекос осей, пятно контакта.

При расчете нагруженности машин и механизмов, содержащих зубчатые передачи и роликовые опоры, возникает задача о контакте цилиндров с непараллельными осями, обусловленном как погрешностями изготовления и монтажа элементов, так и их упругими деформациями [1]. При этом актуальны как вопрос об определении коэффициента концентрации изгибных напряжений [2] и вопрос о распределении нагрузки в пределах длины 4 пятна контакта (рис. 1).

В настоящей статье расчетным методом определено распределение контактных напряжений в пределах площадки контакта в условиях перекоса, определена также форма пятна контакта.

64

У

У

х

а

Рис. 1. Пятно контакта у цилиндрических поверхностей при силовом взаимодействии в условиях перекоса

Для решения задачи воспользуемся методом, предложенным автором в работе [3] (упругое взаимодействие упругих тел конечных размеров на линейном контакте и цилиндров подробно рассмотрены в работах [4, 5]). Представим цилиндр в виде набора круглых тонких элементарных дисков (полученных рассечением тела цилиндра плоскостями, нормальными к оси цилиндра), смещенных друг относительно друга таким образом, чтобы образовался перекос у (рис.2). Пусть длина исходного цилиндра I, тогда а0 ■ п = I, где а0 - толщина элементарного диска, п - количество этих дисков. Получаем вместо исходного цилиндра другой - "ступенчатый", состоящий из п элементарных дисков, который служит расчетной моделью для поставленной задачи. В результате при приложении нагрузки каждый элементарный диск вступает в контакт без перекоса. При этом очень важно, что при стремлении а0 ^ 0 (и естественно п ^ да) получаем практически гладкий цилиндр, а угол перекоса, очевидно, останется прежним - у.

Рис. 2. Расчетная модель силового контакта при перекосе

65

Пусть после приложения нагрузки в контакт входят N элементарных дисков (^й диск только вошел в контакт, но пока нагрузку не воспринимает: PN =0), тогда длина контактной линии ¡к будет

¡к = • N. (1)

Деформация цилиндров в отсутствие перекоса определяется по формуле

3Р

w =— , I

где податливость 5 согласно работе [6] определяется по формуле

з=(_ 0,5Л

ь

рЕ

, Е и V - приведенный модуль упругости и коэф-

уи У

фициент Пуассона материалов цилиндров соответственно; Я - приведенный радиус кривизны цилиндров; Ьн - полуширина площадки контакта по

Герцу. Ьн = 1,52./ — ; ц = Р - погонная нагрузка. Тогда согласно приня-

V Е I

той модели, для I -го элементарного диска упругая деформация Wi будет определяться по формуле [3]

Wi = 33р, I = 1;2;3...N, (2)

¡1

где ¡1 = ¡2 =••• = ¡1 = а0 .

Пусть площадка контакта не распространяется на всю длину цилиндра, т.е. Iк < ¡к . При небольших углах перекоса (функцию синус можно заменить аргументом) из геометрических соотношений имеем систему уравнений

wi = ^ -I)а0у , I = 1;2;3...N . (3)

С учетом зависимости (1) формулы (2) и (3) для i -го элемента соответственно можно переписать так:

N3

wl = Р^3, i = 1;2;3..^ (4)

¡к

и

N -1

wl = ¡кГ—, I = 1;2;3..^. (5)

Из соотношений (4) и (5) можно получить

, N -1 3Ы . АТ

¡ку-= Р1— , I = 1;2;3..^,

N 1 ¡к

откуда получим

р = ^^ а^ I = ..^ . (6)

N 3

С учетом условия равновесия для данной модели [3]

N

IР = Р ,

•=1

из формулы (6), просуммировав, получим

а01кУ

8

(N -1 N - 2 N - NЛ +-+.... +

или

V N N а01к У

N

=Р

2Р

8 N -1

Подставляя последнюю зависимость в уравнение (6), для нагрузки на • -м диске окончательно получим

Р N -•

Р = I = 1;2;3...N . (7)

будет

N N -1

Распределение контактных напряжений по элементарным дискам

V

= 0,418

или с учетом (7) из формулы (8) получим & = 0,418

Р Е

, I = 1;2;3...N

и я

Ч

2Р Е N - •

яа 0 N N -1

• = 1;2;3..^.

(8)

(9)

Р Е

Легко видеть, что в формуле (9) величина &н = 0,418^у — есть

напряжение по Герцу (при контакте без перекоса), следовательно, соотношение (9) можно переписать в виде

& = &

н

2/ N -1

к ' N-1

• = 1;2;3..^,

(10)

где длина площадки контакта согласно работе [3] I ^ = Ку —, здесь

- = —— загрузочный параметр; ан - контактная деформация без переко-аН

са; Ку -коэффициент угла перекоса [3].

Учитывая, что при перекосе сближение а= 4 у (рис. 2) (параметры контакта сближение а ; длина пятна контакта 4 и его максимальная полуширина определены в работе [1]) , из формулы (10) для распределения контактных напряжений в пределах пятна контакта окончательно получим формулу

& =& н

|2/у N - • ~а N -1

• = 1;2;3..^.

(11)

Используя формулу (11), можно построить график распределения напряжений по длине пятна контакта (между элементарными дисками), который в безразмерном виде (в долях напряжений по Герцу) показан на рис. 3.

Определим размеры и форму пятна контакта. Ширина пятна контакта имеет максимальное значение на первом диске и согласно работе [3] определяется как

Ъ

ушах

ЪпЖ.

ЯлГ у

которая уменьшается по мере удаления от первого диска, и равняется нулю на И-м диске. Аналогично вышеизложенному принципу при определении напряжений на I -ом диске для полуширины Ъ на I -м диске можно получить формулу

ъ = Ън -

121у N -1 ~а N -1

I = 1;2;3...N .

1,6

1,2

0,8

0,4

11

Рис. 3. Изменение максимальных контактных напряжений в безразмерном виде (в долях напряжений по Герцу) по длине пятна контакта

Пространственная картина распределения напряжений по площадке контакта и размеры последней показаны на рис. 4.

0

3

5

7

9

Рис. 4. Распределение контактных напряжений по площадке пятна контакта

68

Здесь очевидно, что распределение напряжений поперек оси цилиндра (т.е. распределение напряжений в рамках одного диска) эллиптическое [7,8],

т.е. о = д/1 - у2 , где безразмерные напряжение и координата поперек пло-

- о - у щадки контакта соответственно о =-и у =

s max bmax

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 17-08-00849а.

Список литературы

1. Айрапетов Э.Л., Нахатакян Ф.Г. Влияние изгибной деформации зубьев прямозубых цилиндрических передач на параметры контакта зубьев // Вестник машиностроения. 1990. № 8. С. 21-23.

2. Расчетное определение коэффициента изгибных напряжений на зубьях зубчатых колес при перекосе / Ф.Г. Нахатакян, О.И. Косарев, М.Ю. Леонтьев, А.К. Пузакина // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 2. С. 61- 69.

3. Напряженно-деформированное состояние при контакте цилиндров в условиях перекоса / Ф.Г. Нахатакян, О.И. Косарев, В.В. Фирсанов, М.Ю. Леонтьев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 4. С. 198- 206.

4. Нахатакян Ф.Г. , Косарев О.И. Сближение упругих тел в контактной задаче Герца // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2010. № 1. С. 102- 106.

5. Нахатакян Ф.Г. Сближение упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии // Вестник машиностроения. 2014. № 2. С. 2427.

6. Нахатакян Ф.Г. Решение плоской контактной задачи теории упругости с помощью модели упругого полупространства // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 5. С. 63- 67.

7. Ковальский Б.С. Напряженное состояние и критерий прочности при контактном сжатии // Научные Записки Харьковского авиационного института. Харьков, 1941. Т. 5.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Т. 8. 246 с.

Нахатакян Филарет Гургенович, д-р техн. наук, вед. науч. сотр., filna-hat7@mail.ru, Россия, Москва, ИМАШим. А.А.Благонравова РАН

ACCOUNTING DETERMINATION OF THE CONTACT VOLTAGES CYLINDER WITHIN PLA TFORM OF THE CONTACT IN CONDITION OF THE SLANTING

F.G. Nakhatakyan 69

With use earlier offered by author of the method of the decision of the problem about contact two cylinders at slanting, is analytically determined sharing the contact voltages within platform of the contact at interaction cylinder in condition of the slanting.

Key words: the contact cylinder, the contact voltages, the problem of the Hertz, the slanting of the axises, spot of the contact.

Nakhatakyan Filaret Gurgenovich, doctor of technical sciences, leading research fellow, filnahat 7@,mail. ru, Russia, Moscow, Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS

УДК 655.3.022.14

ВЫБОР ПЕЧАТНЫХ ПЛАСТИН ДЛЯ ФЛЕКСОГРАФСКОЙ ПЕЧАТИ ШТРИХОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПОЛИМЕРНЫХ ПЛЕНКАХ

О.С. Янковская, Р.Г. Могинов, Е.Б. Баблюк

Рассматриваются принципы выбора пластин для флексографических форм, предназначенных для печати по невпитывающим материалам, каковыми являются полимерные пленки. В работе использован метод анализа иерархии. В данном случае в качестве критериев выбраны такие показатели, как краскоперенос, эластичность (модуль упругости), профиль, набухание, стоимость, экологичность.

Ключевые слова: формы флексографской печати, полимерные пленки, метод анализа иерархии.

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, которая обеспечивает с помощью простых и хорошо обоснованных правил решение многокритериальных задач, включающих как качественные, так и количественные факторы, причем количественные факторы могут иметь разную размерность. Метод основан на декомпозиции задачи и представлении ее в виде иерархической структуры, что позволяет включить в иерархию все имеющиеся у лица, принимающего решение, знания по решаемой проблеме и последующей обработке суждений лиц, принимающих решения. В результате может быть выявлена относительная степень взаимодействия элементов в иерархии, которые затем выражаются численно. Метод анализа иерархий включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Весь процесс решения подвергается проверке и переосмыслению на каждом этапе, что позволяет проводить оценку качества полученного решения.