CC BY
44
удк 624.044.3 В. Э. Юрченко
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ БАЛОЧНОГО ТИПА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОСТИ
Дата поступления: 06.07.2018 Решение о публикации: 17.10.2018
Аннотация
Цель: Демонстрация модификации общепринятой применительно к конструкциям балочного типа постановки метода конечных элементов, выражающейся во включении в расчет переменных параметров упругости бетона и приведения жесткостных характеристик железобетона. Методы: Используется математическое моделирование железобетонной конструкции, а именно метод конечных элементов с необходимыми дополнениями в общепринятый алгоритм расчета. Результаты: Предлагаемый способ итерации параметров упругости бетона в процессе нагружения материала позволяет более точно оценить напряженно-деформированное состояние в конечном элементе в условиях воздействия сложных нагрузок. Иллюстрируются разбиение железобетонной конструкции на слои и последовательное приведение упругих характеристик материала, исходя из объемного соотношения арматуры и бетона. Преимуществом рассматриваемого подхода является легкость интеграции с общепринятым (линейным) методом конечных элементов. Все преобразования в данном случае заключаются в модификации выражений для расчета упругих характеристик конструкции и матриц жесткости элементов, тогда как последовательность дальнейших вычислений не изменяется. Продемонстрирован положительный результат применения метода при моделировании железобетонной балки, в состав которой входит высокопрочный многокомпонентный бетон, имеющий призменную прочность при одноосном сжатии более 114 МПа. Практическая значимость: Использование предлагаемого алгоритма, в том числе в качестве подключаемого программного модуля (блока программы), расширяет возможности имеющихся вычислительных комплексов.
Ключевые слова: Механика деформируемого твердого тела, сложное напряженное состояние, метод конечных элементов, бетон, железобетон, переменные параметры упругости, приведенные параметры упругости, вид напряженного состояния.
Vitalii E. Yurchenko, postgraduate student, vitalyyurchenko@mail.ru (Russian University of Transport (MIT)) CALCULATION OF REAM-TYPE REINFORCED CONCRETE STRUCTURES BY FINITE-ELEMENTS METHOD USING VARIABLE ELESTICITY PARAMETERS
Summary
Objective: Demonstration of a modification of a finite-elements method setting, generally accepted for beam-type structures, which constitutes including variable parameters of concrete elasticity parameters and involving reinforced concrete stiffness properties into calculation. Methods: Mathematical simulation of reinforced concrete structure is used, namely the aforementioned finite-elements methods with necessary additions to the generally accepted calculation algorithm. Results: The proposed method of iteration of concrete stiffness parameters in the process of loading of material allows more precise evaluation of stress-strain behaviour in the finite element under conditions of influence of multi-axial loads. Illustrations are provided for breaking the reinforced concrete structure into layers and sequential citing of material's elastic characteristics stemming from volume rate of iron reinforcement and concrete. The advantage of the method under consideration is the ease of integration with generally accepted (linear)
finite-elements method. All the alternations in this case are modification of expressions for calculation of elastic characteristics of the structure and element stiffness matrixes whereas the order of consequent calculations is not changed. Positive result of application of the method to simulation of a reinforced concrete beam, which consists of high-strength, multi-component concrete possessing prism strength under conditions of uniaxial compression of over 114 mPa, is demonstrated. Practical importance: Application of the proposed algorithm, including as a software plug-in (program unit), expands the possibilities of the existing computing systems.
Keywords: Deformable solid mechanics, multiaxial stress, finite elements method, concrete, reinforced concrete, variable elasticity parameters, reduced elasticity parameters, stress pattern.
1. Введение
Известно, что бетон и железобетон отличает физическая нелинейность, выражающаяся в различном характере деформаций при сжатии и растяжении: как предельными значениями прочностей при воздействии сжимающих и растягивающих нагрузок, так и промежуточными, - отчетливо проявляется нелинейность траектории достижения экстремальных величин, особенно в случае высоких сжимающих нагрузок. Причиной этого служит неоднородность структуры бетона: наличие пустот, трещин, различных включений обусловливает сложный характер внутреннего напряженного состояния в материале.
В настоящее время при проектировании бетонных составов часто используются разнообразные мелкодисперсные добавки с целью улучшить эксплуатационные характеристики композита, в том числе применительно к конкретным условиям работы возводимых конструкций. Повышая устойчивость составов к высоким температурам, воздействию агрессивных сред, их морозостойкость и т. д., указанные добавки имеют тем не менее весьма ограниченное воздействие на характер достижения пределов прочного сопротивления материала.
Попытки вывести аналитические зависимости для оценки напряженного состояния рассматриваемых композитов, в том числе при сложных нагружениях, принимались неоднократно [1-8]. В большинстве случаев предлагаемые выражения и алгоритмы достаточно сложны и громоздки, а также применимы лишь для бетонов определенных типов и марок.
Таким образом, получение универсальных решений (в том числе для современных высокопрочных и/или многокомпонентных составов), которые легко могут быть встроены в существующие расчетные комплексы, является актуальной и практически значимой задачей.
2. Переменные параметры упругости и секущие модули бетона в случае плоского напряженного состояния
Использование линейных зависимостей для выражения связи между напряжениями и деформациями вносит наибольший вклад в погрешность оценки деформированного состояния конструкций, изготовленных из анизотропных материалов. Чем точнее определяющие соотношения отражают физический закон, по которому материал сопротивляется различным видам деформаций, тем меньшая ошибка будет допущена при оценке его напряженно-деформированного состояния.
Значения переменных параметров упругости - модуля упругости первого рода (Е*) и коэффициента Пуассона (ц*) - изменяются в зависимости от уровня прилагаемой нагрузки и вида напряженного состояния, поэтому при расчете конструкций в полной мере можно учесть протекающие в структуре бетона изменения.
В работах [9-11] показано, что характер напряженно-деформированного состояния плоских конструкций, широко применяемых в строительстве, позволяет получить для них относительно простые основные физические
соотношения, в которые входят параметры, учитывающие нелинейность свойств бетона в зависимости от схемы и величины прилагаемой нагрузки:
80 = nV
Y 0 = V"
3K
(1)
от кривых деформирования к условию прочности бетона.
Опуская промежуточные преобразования (их можно найти, например, в работах [9, 10]), приведем окончательные выражения для расчета функций у и п:
V =
1 + (п2 -1)(Т0 (Т ))2
-0,5
(3)
где £0, а0 - октаэдрические нормальные деформации и напряжения; у0, т0 - сдвиг и касательные напряжения на октаэдрических площадках; О , К0 - начальные модули упругости второго и третьего рода соответственно; П, у - функции, математически описывающие нелинейную работу бетона и развитие пластических деформаций в материале.
Главным критерием, на значении которого строятся расчеты в выражениях (1), служит параметр, позволяющий однозначно определить вид напряженного состояния в конечном элементе:
Ç = 00 / 80
(2)
П = 1-(1-ПЖ (00 )-1)* , (4)
в которых п, о0, т0 - предельные значения соответствующих величин, определяемые видом напряженного состояния и физико-механическими характеристиками бетона. Их расчет для подстановки в выражения (3), (4) производится в соответствии с рекомендациями, приведенными в работах [9, 13].
Аналитические выражения для расчета Е* и ц* имеют вид [12]
E
3En
Выражение (2) для каждого вида напряженного состояния сохраняет постоянное значение, а именно: при двухосном равномерном
сжатии ^ = ->/2 , при одноосном сжатии ^ = -72/2 и т. д. [12].
Уравнения для функций у и п выбираются на основе следующих гипотез и предпосылок [9]:
• относительное изменение объема в0 -непрерывная нелинейная функция среднего напряжения а0 и вида напряженного состояния £,;
• сдвиг на октаэдрических площадках у0 является непрерывной нелинейной функцией октаэдрического касательного напряжения т0 и вида напряженного состояния £,;
• физические соотношения в начальной точке деформирования должны соответствовать формулам теории линейной упругости;
• обеспечивается возможность непосредственного перехода в предельном состоянии
*
ц =
V (п(1- 2ц-0 ) + 2 (1 + Ц ))'
(1-2Ц )nl[2 + (1-2Ц )П
1 + Ц0
1 + Ц0
(5)
(6)
здесь Е0 - начальный модуль упругости первого рода, ц0 - начальный коэффициент Пуассона для бетона.
Исходные данные, необходимые для расчета вышеприведенных функций и параметров (выражения (1)-(6)), могут быть получены с использованием общепринятых формул механики деформируемого твердого тела, опираясь на экспериментальные данные испытаний исследуемого бетона при одноосном сжатии.
На рис. 1 представлены результаты моделирования работы состава высокопрочного бетона [14] при одноосном (а) и неравномерном двухосном (б) сжатии с учетом переменных параметров упругости при расчете деформаций композита в сравнении с экспериментальными данными.
0
0
<—£
(хЮ3)
О -1 -2 -3 -4
Рис. 1. Зависимости а-е для высокопрочного бетона тяжелого класса:
- теоретические зависимости;
экспериментальные кривые
К ключевым достоинствам рассматриваемого метода относится возможность детального моделирования поведения композита при плоском нагружении без необходимости проведения сложных и дорогостоящих испытаний.
Далее будет проиллюстрирован механизм включения переменных параметров упругости в формируемые при разбиении балочных конструкций на треугольные конечные элементы матрицы жесткости и упругости.
3. Определение начальных параметров жесткости железобетона
Для получения релевантных результатов при расчете железобетона необходимо при формировании матриц жесткости и упругости конструкции учесть наличие и количество арматурных стержней. При получении начальных параметров жесткости железобетона применяется принцип сложения слоев, жесткостные характеристики которых либо заранее известны (слои бетона), либо рассчитываются в процессе выполнения кода на основании исходных данных о геометрии
и физико-механических параметрах арматуры (слои, содержащие арматурные стержни).
Принимая во внимание предпосылки, изложенные в [15], упругие характеристики определены с учетом нелинейности материала на базе деформационной теории пластичности.
Применительно к плоской конструкции расчеты могут быть проведены следующим образом:
£ (Ел ) £ (j)
E _k_1_ G _k_1_
E _ s . G _ s .
(7)
£(j )
Vy _ -, U j _ 1,2,3
здесь Е .,, О, ц.. - соответственно модули упругости первого и второго рода, а также коэффициент Пуассона для конструкции в целом; Ен , Оу , ц у - вышеуказанные показатели для к-го слоя; £, зк - толщина конструкции и к-го слоя соответственно; к - количество слоев разбиения.
Упругие параметры армированных слоев в соответствующих направлениях рассчиты-
ваются в соответствии с выражением (7), исходя из объемного содержания арматуры:
Ek
(e varm)+(e v
у arm гt J \ con co
varm + V
con
(g varm )+(G V
ßk _ V arm tj V con con, („
tj varm I v '
j con
Ц j
(-rrarm \_j_ / it Цarmv tj )+{P-convcc
varm + v
con
где У"гт, V - объем арматуры /'-го направления и объем бетона в слое соответственно
( /', У = 1, 2, 3).
Для того чтобы соотношения (8) были релевантны, характерные размеры элементов должны подбираться таким образом, чтобы обеспечивать равномерное распределение внутренних усилий и деформаций в конечном элементе, исключая влияние крупного заполнителя и зон контакта бетона с арматурой [10].
4. Учет переменных параметров упругости и принципа сложения слоев при расчете железобетонных конструкций балочного типа методом конечных элементов
Балочные конструкции, выполняемые из сборного и монолитного железобетона, широко распространены как при возведении транспортных сооружений, так и в гражданском строительстве. В случае мостовых переходов и путепроводов балочные пролётные строения воспринимают как постоянную, так и переменную нагрузку от подвижного состава и/или автотранспортных средств.
Рассмотрим вариант модификации линейной постановки метода конечных элементов (МКЭ) включением в расчет переменных параметров упругости и принципа сложения слоев, рассмотренных в пп. 2, 3.
Разбиение на треугольные конечные элементы целесообразно ввиду достаточной релевантности конечноэлементной модели
описываемого типа по отношению к балочным конструкциям, работающим в основном на изгиб. В этом случае большая часть напряжений и деформаций реализуется в плоскости изгиба, тогда как в третьем направлении внутренние силовые и деформационные факторы выражены слабее.
Для вычисления напряжений и деформаций на октаэдрических площадках возможно усреднение получаемых результатов по соседним треугольным элементам и использование известных соотношений механики деформированного твердого тела, в общем случае имеющих следующий вид [9, 10]:
g2
G
3 7'
То _-Х
1 3
- Gn
80 _ 3 (81
3
Y0 _-Х о3
(9)
(10) (ll)
(12)
- sn
82 83
83 81
Вычисление матриц градиентов, упругости и жесткости конечного элемента производится с использованием общепринятых выражений [16]
K
J[B]T [D][B]dv,
B =
2 A
0
b о b
0 ct с
c b c
0 bk 0
c; 0 c,r
(l3)
(14)
D
1 -ц2
1 ц 0
ц 1 0
0 0 1 -ц
2
(15)
1
где К, В, Б - матрицы жесткости, градиентов и упругости конечного элемента соответственно (Т - оператор транспонирования матрицы); А, V- площадь и объем треугольного элемента; Ь, с - компоненты функций формы конечного элемента; г, j, к - индексные переменные (по числу узлов в элементе).
Элементы матрицы градиентов (14) вычисляются на основании положения узлов конечного элемента в глобальной системе координат:
Ь = Уj - Ук, <Ь) = Ук - Уг, (16)
Ьк = Уг- У);
сг = Хк - X),
<с) = X - Хк, (17)
ск = Х) - Хг •
Модуль упругости и коэффициент Пуассона железобетона рассчитываются с учетом наличия арматуры по слоям разбиения конструкции, основываясь на предпосылках, изложенных в п. 3.
Определенные значения деформаций и напряжений в конечных элементах (соотношения (9)-(12)) уточняются итерационным пересчетом путем подстановки в выражение (15) переменных параметров упругости, которые находятся из величины октаэдрических деформаций и напряжений, т. е. из вида напряженного состояния в элементе.
Данный подход по сравнению с обычным линейным расчетом позволяет более точно оценивать напряженное состояние как в отдельных конечных элементах, так и в конструкции в целом.
5. Применение модифицированного метода конечных элементов для расчета железобетонной балки, изготовленной из многокомпонентного высокопрочного тяжелого бетона
В целях апробации предлагаемого алгоритма расчета проведено сопоставление получаемых при его применении результатов с эксперимен-
тальными данными работы [14]. В состав опытной балки включен модифицированный бетон тяжелого класса, обладающий повышенными прочностными и эксплуатационными характеристиками, а также низким удельным расходом цемента на единицу призменной прочности. Данные параметры достигаются за счет включения в состав бетонной смеси целого ряда мелкодисперсных добавок, оптимизирующих состав и внутреннее строение материала.
Для тестовой расчетной схемы за основу взят вышеописанный эксперимент, а также принято, что армирование конструкции выполнено четырьмя арматурными стержнями диаметром 4 и 5 мм, распределенная нагрузка пресса заменена сосредоточенными силами, приложенными в девяти узлах верхнего пояса балки. Физико-механические параметры конструкционных материалов и расчетная схема приведены в табл. 1 и на рис. 2.
Послойное приведение параметров жесткости балки (ЕПрИВ,., цПрИВ {) произведено в соответствии с расчетной схемой: упругие константы вычислялись отдельно для каждого из двух горизонтальных рядов конечных элементов в зависимости от коэффициента их армирования.
Полученные с использованием ЭВМ результаты свидетельствуют о более высокой точности предлагаемого подхода по сравнению с обычным линейным МКЭ; они также хорошо коррелируют с экспериментальными значениями: расхождение расчетных величин и прогиба в центре балки, определенного опытным путем, составляет в среднем не более 2,5 % (табл. 2).
Некоторое занижение расчетных результатов, в том числе модифицированным МКЭ, вызвано, вероятно, не абсолютной идентичностью схем армирования и приложения нагрузки при конечноэлементном моделировании и опытном эксперименте.
6. Заключение
В статье рассмотрен вариант модификации линейной постановки МКЭ, позволяющий бо-
ТАБЛИЦА 1. Основные параметры моделируемой балки
Параметр Значение Единица измерения
Габариты балки (ДхШхВ) 1000x60x120 мм
Суммарная площадь арматуры 39.25 мм2
Модуль упругости бетона первого рода 61.49 ГПа
Модуль упругости бетона второго рода 24.6 ГПа
Призменная прочность бетона на сжатие 115 МПа
Призменная прочность бетона на растяжение 14.9 МПа
Коэффициент Пуассона для бетона 0.24 -
Предельная относительная деформация при одноосном сжатии для бетона 0.002 мм/м
Модуль упругости арматуры первого рода 206.01 ГПа
Модуль упругости арматуры второго рода 79.236 ГПа
Коэффициент Пуассона для арматуры 0.3 -
о
см
1
м м 0 1 ^ 1000
ЧО' X СМ
1-1
Е,«. iVa
V \ \
*
♦
60
. Арматура А111 (ГОСТ 5781-82) 0 4 мм
Арматура А111 (ГОСТ 5781-82) 0 5 мм
10x100 мм
Рис. 2. Конечноэлементная схема моделируемой железобетонной балки
2x30 мм
ТАБЛИЦА 2. Результаты моделирования работы железобетонной балки
Нагрузка пресса. кг Расчетный прогиб в центре балки, мм Измеренный прогиб в центре балки, мм
линейный МКЭ . общей постановке модифицированный МКЭ
200 0.0216 0.0218 0,0225
1000 0.2522 0.2572 0,2655
1800 1.841 1.8962 1,9585
2300 10.6579 11.003 11,102
2500 Разрушение конструкции
лее точно оценить напряженное и деформированное состояние плоских железобетонных конструкций балочного типа.
Выражения для расчета переменных параметров упругости (см. (5), (6)) и алгоритм их включения в матрицу упругости конечных элементов (формулы (9)-(17)) позволяют реализовать описываемый подход в форме расчетного модуля для существующих программных комплексов, используемого в случае необходимости, в том числе для сравнительной оценки уже имеющихся результатов.
Продемонстрировано применение разработанного подхода для моделирования железобетонной балки, изготовленной с применением многокомпонентного высокопрочного бетона тяжелого класса. Полученные результаты подтверждают релевантность предлагаемого решения в отношении современных составов.
Библиографический список
1. Берг О. Я. Прочность бетона и других материалов, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию, в условиях сложного напряженного состояния / О. Я. Берг // Труды ЦНИИС. -М. : Трансжелдориздат, 1960. - Т. 36. - С. 5-41.
2. Жиренков А. Н. Деформирование и прочность обычного тяжелого бетона при сложном напряженном состоянии : дис. ... д-ра техн. наук, специальность : 01.02.04 / А. Н. Жиренков. - М. : Моск. гос. открытый пед. ун-т им. М. А. Шолохова, 2009. - 205 с.
3. Лукша Л. К. Расчет прочности железобетонных конструкций с учетом сложного напряженного состояния бетона : дис. . д-ра техн. наук, специальность : 05.23.01 / Л. К. Лукша. - Минск : МГИПС, 1978. - 378 с.
4. Зенин А. В. Определение напряженно-деформированного состояния элементов мостовых железобетонных конструкций с учетом свойств материалов и характера нагружения : дис. ... канд. техн. наук, специальность : 05.23.15 / А. В. Зенин. -Новосибирск : СГУПС, 1987. - 213 с.
5. Кулик И. И. Прочность, деформации бетонов и расчет железобетонных конструкций при плоском напряженном состоянии : дис. . канд.
техн. наук, специальность : 05.23.01 / И. И. Кулик. -Минск : МГИПС, 1982. - 249 с.
6. Лифшиц М. Б. Учет напряженного состояния в критерии прочности бетона / М. Б. Лившиц // Строительные конструкции транспортного назначения. - 1979. - № 2. - С. 19-30.
7. Петров А. А. Деформационная модель нелинейной ползучести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных элементов и систем из них : дис. . д-ра техн. наук, специальность : 05.23.01 / А. А. Петров. - М. : МИИТ, 2001. - 326 с.
8. Ермакова А. В. Метод дополнительных конечных элементов для нелинейного расчета железобетонных конструкций по предельным состояниям / А. В. Ермакова. - М. : АСВ, 2017. - 63 с.
9. Круглов В. М. Нелинейное сопротивление элементов железобетонных мостовых конструкций : дис. . д-ра техн. наук, специальность : 05.23.15 / В. М. Круглов. - Новосибирск : СГУПС, 1988. - 385 с.
10. Карпенко Н. И. Нелинейное деформирование бетона и железобетона / Н. И. Карпенко, В. М. Круг-лов, Л. Ю. Соловьев. - Новосибирск : Изд-во СГУПС, 2001. - 275 с.
11. Юрченко В. Э. Критерии прочности модифицированных бетонов в плоском напряженном состоянии / В. Э. Юрченко // Вестн. РГУПС. - 2015. -№ 2. - С. 110-115.
12. Круглов В. М. Об одном подходе в построении основных физических соотношений бетона в плоском напряженном состоянии / В. М. Круглов,
B. Э. Юрченко // Вестн. РГУПС. - 2016. - № 2. -
C. 102-110.
13. Круглов В. М. Основные физические соотношения для бетона в плоском напряженном состоянии / В. М. Круглов, А. И. Козачевский // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1988. - № 3. - С. 25-32.
14. Хвастунов А. В. Порошково-активирован-ный высокопрочный бетон и фибробетон с низким удельным расходом цемента на единицу прочности : дис. ... канд. техн. наук, специальность : 05.23.05 / А. В. Хвастунов. - Пенза : Пенз. гос. ун-т архитектуры и строительства, 2011. - 218 с.
15. Круглов В. М. Жесткостные характеристики трехмерных железобетонных элементов с трещинами / В. М. Круглов // Вопросы надежности и долго-
вечности искусственных сооружений железнодорожного транспорта. - 1990. - Т. 1. - С. 38-51.
16. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд ; пер. с англ. А. А. Ше-стакова; под ред. Б. Е. Победри. - М. : Мир, 1979. -393 с.
References
1. Berg O. Ia. Prochnost betona i drugikh mate-rialov, obladaiushchikh razlichnym soprotivleniem rastiazheniiu i szhatiiu, v usloviiakh slozhnogo napri-azhennogo sostoianiia [Strength of concrete and other materials possessing different resistance to extension and compression, under multiaxial stress conditions]. Trudy TsNIIS [Central Transport Constr. Inst. Proc.]. Moscow, Trans-zheldorizdat Publ., 1960, vol. 36, pp. 5-41. (In Russian)
2. Zhirenkov A. N. Deformiromanie i prochnost obychnogo tiazhelogo betonapri slozhnom napriazhen-nom sostoianii [Deformation and strenghth of normal-weight concrete under multiaxial stress]. D. Eng. Sci. dissertation: 01.02.04. Moscow, Moscow State open Pedagogic University named M. A. Choloxova Publ., 2009, 205 p. (In Russian)
3. Luksha L. K. Raschet prochnosti zhelezobeton-nykh konstruktsii s uchetom slozhnogo napriazhennogo sostoianiia betona [Calculation of reinforced concrete structures ' strength accounting for multiaxial stress state of concrete]. D. Eng. Sci. dissertation: 05.23.01. Minsk, MGIPS Publ., 1978, 378 p. (In Russian)
4. Zenin A. V. Opredelenie napriazhenno-deformiro-vannogo sostoianiia elementov mostovykh zhelezobe-tonnykh konstruktsii s uchetom svoistv materialov i kharaktera nagruzheniia [Determination of stress-strength state of bridge reinforced concrete elements accounting for material qualities and load character]. Cand. Eng. Sci. dissertation: 05.23.15. Novosibirsk, SGUPS Publ., 1987, 213 p. (In Russian)
5. Kulik I. I. Prochnost, deformatsii betonov i raschet zhelezobetonnykh konstruktsii pri ploskom napriazhen-nom sostoianii [Strength, concrete deformations and calculation of reinforced concrete structures in biaxial stress state]. Cand. Eng. Sci. dissertation: 05.23.01. Minsk, MGIPS Publ., 1982, 249 p. (In Russian)
6. Lifshits M. B. Uchet napriazhennogo sostoianiia v kriterii prochnosti betona [Accounting for state of
stress amongst concrete strength criteria]. Stroitelnye konstruktsii transportnogo naznacheniia [Transportpurpose engineering structures], 1979, no. 2, pp. 1930. (In Russian)
7. Petrov A. A. Deformatsionnaia model nelinei-noi polzuchesti zhelezobetona i ee prilozhenie k ra-schetu ploskonapriazhennykh elementov i sistem iz nikh [Stress-strain model of nonlinear creep of reinforced concrete and its application to calculation of plate stress elements and systems comprised of them]. D. Eng. Sci. dissertation: 05.23.01. Moscow, MIIT Publ., 2001, 326 p. (In Russian)
8. Ermakova A. V. Metod dopolnitelnykh konech-nykh elementov dlia nelineinogo rascheta zhelezobeton-nykh konstruktsii po predelnym sostoianiiam [Method of additional finite elements for non-linear calculation of reinforced-concrete structures by limit states]. Moscow, ASV Publ., 2017, 63 p. (In Russian)
9. Kruglov V. M. Nelineinoe soprotivlenie elementov zhelezobetonnykh mostovykh konstruktsii [Non-linear resistance of elements of reinforced concrete bridge structures]. D. Eng. Sci. dissertation: 05.23.15. Novosibirsk, SGUPS Publ., 1988, 385 p. (In Russian)
10. Karpenko N. I., Kruglov V. M. & Solov'ev L. Yu. Nelineinoe deformirovanie betona i zhelezobetona [Nonlinear deformation of concrete and reinforced concrete]. Novosibirsk, SGUPS Publ., 2001, 275 p. (In Russian)
11. Yurchenko V. E. Kriterii prochnosti modifitsiro-vannykh betonov v ploskom napriazhennom sostoianni [Strength criteria of modified concrete in biaxial stress state]. VestnikRGUP [Proc. of Rostov State Transport University], 2015, no. 2, pp. 110-115. (In Russian)
12. Kruglov V. M. & Yurchenko V. E. Ob odnom podkhode v postroenii osnovnykh fizicheskikh soot-noshenii betona v ploskom napriazhennom sostoianii [On one approach to setting up main physical interrelations of concrete in biaxial stress state]. Vestnik RGUP [Proc. of Rostov State Transport University], 2016, no. 2, pp. 102-110. (In Russian)
13. Kruglov V. M. & Kozachevskii A. I. Osnovnye fizicheskie sootnosheniia dlia betona v ploskom napri-azhennom sostoianii [Main physical interrelations for concrete in biaxial stress state]. Soprotivlenie mate-rialov i teoriia sooruzhenii [Strength of materials and theory of structures], 1988, no. 3, pp. 25-32. (In Russian)
14. Khvastunov A. V. Poroshkovo-aktivirovan-nyi vysokoprochnyi beton i fibrobeton s nizkim udelnym raskhodom tsementa na edinitsu prochnosti [Powder-activated high-strength concrete and fibre concrete with low rate of consumption of cement per unit of strength]. Cand. Eng. Sci. dissertation: 05.23.05. Penza, PGU architecture and construction Publ., 2011, 218 p. (In Russian)
15. Kruglov V. M. Zhestkostnye kharakteristiki trekhmernykh zhelezobetonnykh elementov s tresh-
chinami [Stiffness properties of fractured three-dimensional reinforced concrete elements]. Voprosy nade-zhnosti i dolgovechnosti iskusstvennykh sooruzhenii zheleznodorozhnogo transporta [Problems of reliability and durability of railway transport engineering structures], 1990, vol. 1, pp. 38-51. (In Russian)
16. Segerlind L. Primenenie metoda konechnykh elementov [Applied finite element analysis]. Per s angl., tr. by A. A. Shestakov, ed. by B. E. Pobedria. Moscow, Mir Publ., 1979, 393 p. (In Russian)
ЮРЧЕНКО Виталий Эдуардович - аспирант, vitalyyurchenko@mail.ru (Российский университет транспорта (МИИТ)).
