CC BY
26
УДК 624.04:539
К.Ф. Шагивалеев, Е.К. Сурнина, С.В. Васильцов РАСЧЕТ ЗАМКНУТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК НА НАГРУЗКУ, ДЕЙСТВУЮЩУЮ В ТАНГЕНЦИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ
Рассмотрена замкнутая цилиндрическая оболочка под действием тангенциальной нагрузки. При решении системы дифференциальных уравнений технической теории оболочек Власова использовано операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа. Решения получены в общем виде.
Оболочка, нагрузка, система, уравнение, операционное исчисление, оригинал, изображение, решение, перемещение
C.F. Shagivaleev, E.C. Surnina, S.V. Vasiltsov CALCULATION OF THE CLOSED CYLINDRICAL COVER ACCORDING TO THE TECHNICAL THEORY OF COVERS ON LOADING OPERATING IN THE TANGENTIAL DIRECTION
The closed cylindrical cover under the influence of tangential loading is considered. When deciding the system of differential equations to the Vlasov technical theory of covers, the operational calculation connected with Laplace transformation was used. The general solution to the equation was received.
Cover, loading, system, equation, operational calculation, original, image, solution, movement
Многие современные сооружения можно рассматривать как тонкостенные упругие оболочки, контактирующие между собой, либо с различными подкрепляющими элементами. При решении большинства контактных задач учитываются только нормальные контактные усилия. Однако, во многих случаях в зависимости от конструктивных решений сопряжений контактирующих тел помимо нормальных контактных усилий необходимо учитывать возникающие в области контакта тангенциальные контактные усилия.
В настоящее время в научной литературе имеется небольшое число работ, посвященных расчету замкнутых цилиндрических оболочек при действии тангенциальной нагрузки. Решению указанной проблемы и посвящена данная работа.
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку под действием тангенциальной нагрузки Y = Y {а,0) , распределенной по поверхности оболочки по закону (рис. 1):
0, при 0 <а<т;
q1 sin nfi, при t<a<T+a1;. (1)
0, при т+а1 <а<а0,
где n - любой член натурального ряда.
Примем, что оболочка при X = 0 и X = (Х0 имеет шарнирные закрепления (v = w = N1 = M1 = 0).
Для определения напряженно деформированного состояния оболочки используем уравнения моментной технической теории оболочек Власова [1].
В случае, когда граничные условия заданы в перемещениях, удобнее использовать исходные уравнения в перемещениях:
y (а,р)=■!
э2
Рис. 1
1 —v Э2u 1+v Э2v
-+-
Эw
. . — v-----= 0 •
Эа2 2 Эр2 2 ЭоЭр Эа
Э2v 1—v Э2u 1 + v Э2u Э^ = (1 —v2 )r2
- + -
■ + -
Эр 2 Эа 2 ЭаЭр Эр
Эu Эи
Eh
Y ;
(2)
+ c 2V2V2 w + w = 0.
Эа Эр
,2
где с
12R2
V 2V2 =
Э4
+2
Э4
+
Э4
Эа4 Эа2Эр2 Эр4 '
Основные функции u (а,р), и(а,р), w (а,р) определяем в виде:
u (а,р) = Un (а) cos nfi; и(а,р) = Vn (а>т nfi; w (а,0) = Wn (o)cosnfi .
(3)
Подставляя (3.) в (2), получим систему из трех дифференциальных уравнений относительно ип (а) , Уп (а) , Жп {а) :
с12и 1 -V 1 + п йУ
da2
n Un +-n—n- — v n- = 0 ;
2 2 da da
1 + v dU-.—„2V + bvfV,+nW.
n
1 — v
Eh
йа n 2 ёа2
0, при 0 < а < t; q1, при т<а<т + ах; .
0, при т + ах <а<а0;
R
(4)
-v-
d Un da
а—2n 2 а+n w
аа аа
Для определения ип (а) , Уп (а) , Wn (а) применим операционное исчисление, связанное
с преобразованием Лапласа [2].
2
h
2
Речь будет идти исключительно о вычислении п-го члена, поэтому для упрощения обозначений мы будем опускать значки п.
Полагая и (а) ои (р), V (а) о V (р) , W (а) о W (р) и учитывая граничные условия
при а = 0 (и = Н = N1 = М1 = 0), по теореме дифференцирования оригинала получим:
и1 (а) о ри (р) - и (0); и " (а) о р 2и (р)-ри (о);
V' (а) о р V (р) ; V"(а) о р2У(р)-V1 (0) ;
W' (а) о р W (р) ;
W" (а) о р2W(р)- W'(0);
W(а)о р3W(р)-pW'(0) ;
WIV(а)о р^(р)-р^1 (0)-W(0) ,
где и(0), V1 (0), W' (0), W(0) - произвольные постоянные.
Изображение правой части второго уравнения (4) имеет вид:
(5)
1 -V2 .1 - е~ра
ЕН
■Я1 я
е
-Т
р
(6)
Переходя в уравнениях (4) от оригиналов к изображениям (5), (6), получим систему операторных уравнений:
2 1 - V 2N . 1 + П
р2---— п2 |и(р)+—— прУ(р)-урЖ(р) = ри(0);
1 -V
2 1 + V 2
пр
гри(р)+ ------р2 - п2 |У(р)+ пЖ(р) =
(1 - V)2 д1 Я2 1 - е - ра
-Т р
1 + V
1 - V
2 пи(о)+ 2 у'(0);
(7)
ЕН р
-Vри(р)-пУ(р)+с2(р2 -п2)2 +1 Ж(р) = = ^и(0)+ с2(р2 -2п2)ж'(0) + с2Ж'"(0) .
Решая эту систему, находим:
Ж(р) = |-(1 Я2 п [(2 + v)р2 - п2 ] — ”
+
ЕНс2
1 -V п2 / 2 ^Л\ 1 -V п
------г \ур2 + п2 )и (0)
е-Тр +
р
+
[(2 + v)р2 -п2]У'(0)
+
+ (р6 -4п2р4 + 5п4р2 -2п6)Ж’(0) + (р2 -п2)2Ж’"(0) }х
1
(р2 -п2)4 + 4®
е
и (р )=) п
(1 + е)(р2 - п2)2 + Х—Е- (1-е-ра1)
3 +Е 2/2 2\2 3 / 2 2\2 1 V 2 1 V 3
-у-п2р(р2 -п2)2 -р3(р2 -п2)2 -—п2р-— р3
и (0 )-
-т1у [(1 + е) с2( р2 - И2)2 + (1 -е)] пру' (0) +
2с
+ р[ Vр4 + (1 -2е)п2р2 -2п4 ]ж'(0) + р(Vр2 + п2)Ж'"(0) }х
1
х-
(р2 -п2)4 + 4®4р4 ’
У (р) = -I-2(1+е)
\2 1-е
р2(р2 -п2)2-Еп2 (р2 -п2)2 + 4®4р2 -
2
1^Е
2с2
п
х
х-
1 - е
- ра
е -Тр +■
р
[(і+е)с2(р2 - п2)2 + (і-е) п3 и(0)+
+
р
1 -V
-2(р2 -п2)2 + 4®4р2 - — п2(р2 -п2)2 -
\2 1 -V
2
2
п
у ' (0)-
-п[ (2 + е)р4-(5 + 2е)п2р2 + 2п4 ]Ж'(0)-
1
[ (2 + е)р2 - п" ] }
(р2 - п2)4 + 4®4р4
. 4 1 -V"
где 4 О =--------—
Переходим в выражениях (8) от изображений к оригиналам. Формулы перехода приведены в [3, 4]. Подставляя найденные выражения для и (а) , У (а) , Ж (а) в (3), получим искомое решение:
и
(а,0) = —(---)С°5пЬ 2---ці- 2 (1 + е)о2 ^Я2 х
8(1 + е)о3п (а + Ь ) ЕНп
х[( §1 2 2 + §2 2 3 + &3^2 + ^4^3 )^(а-т)-(§1 2 2 + §2 2 3 + §3^2 + §4^3 )^(а-Т-а1 ) ]}+
+ О п (§21%4 + §2221 - §23^4 - §24 ^1 ) и(0) +
+ °2 (§924 + §ю%1 + §11#4 + §12^1 ) У' (0)-
-(1 + е) ПЪ (§2524 - §26%1 - §2?6>4 + §28^1 ) Ж'(0) -
- (1 + V)п (С 1724 + ^18^1 + С 19^4 + С 20^1 ) Ж(0)) ;
(9)
8 (1 + е)®3п 4 (а2 + Ь
ЕНп
-х
с
2
х-
{[ - 4 (1 -V2 )ап4 (а2 + Ь2)-16 о5 (а2 + Ь2)+
+ ( ё13 24 + ё 14 21 - ё15 @4 - ё16 @1 ) ]^(а - т) -
-[ - 4(1 -V2)оп4(а2 + Ь2)-16о5 (а2 + Ь2)+
+ ё13 2 4 + ё14 21 - ё15@4 - g16вl \Л(а-Т-а1 ) } +
+ °2 п ( ё 122 + ё2 23 + ё3@2 + ё4@3 ) и (0) +
+ 0 ( ё 1722 + ё1823 + ё 19 @2 + ё20 @3 ) V (0) --(1 + п)П (ё2922 + ^3023 + ^31^2 + ^32^3 ^'(0) --(1 + п)п (£ 2 2 + £23 + ^ ^) W "'(0));
(а,ь)--
СО5 пЬ /о (1 +п)о2
|оп3(а2 + Ь2) \ ( ) Екп1
4 (1 + V )оп3 (а2 + Ь
-х
х{ [8о3(а2 + Ь2)-£24-£621 -^А-£„@1 ] ц(а-т)-8о3(а2 + Ь2)-£524 -£621 -С7®4 -С8@1 т1(а-т-а1)
-+
+ 0 п (ё3322 + ё3423 + ё35 @2 + ё36 @3 )и(0) + + °2 (£2222 + £2123 + ^24^2 + ^23^3 )V' (0) +
+ (1 + V)п3 [ (3 оЬ - а2 - Ь2)Х2 +(3оа - а2 - Ь2 )23 -- (3 оЬ + а2 + Ь2)@2 -(3 оа + а2 + Ь2)@3 ]W1 (0) +
+ (1 + V) п(-£322 + £23-^2 + ^Д )W’"(0)},
где Г/(а-т) - единичная функция, которая при а > Т равна 1 и при а < Т равна 0; 77 (а - Т - а) единичная функция, которая при а > Т + а1 равна 1 и при а < Т + а1 равна 0;
а =
. 4 1 4 2
п +—о4 + п
ь =
1 1 1 1
X = — о + Ь ; Х2 = ~® + а ; Х3 =-о- Ь ; Х4 = —о- а ;
4 14 2
п + —о4 -п
2 2
21 = соб ха екх2а ;
2 2 = эт хаекха ;
23 = соб ха якх2а ;
24 = эт х1а^кх2а ;
2Х = СОБ Х\ (а - т)екх2 (а - т) ;
22
@1 = соб Х3а екХ4а ; в2 = эт Х3а екх Аа ;
@3 = соб Х3а якхАа ;
@4 = эт х3а якх4а ;
@1 = соб Х3 (а - т ) екх4 (а - т) ;
2
4
2 2 =81п Х1(а - т) ек х 2(а - т) ;
23 = соб Х\ (а - т)якх2 (а - т) ;
24 = э1п Х1 (а - т)якХ2 (а - т) ;
@2 = э1п Х3 (а - т)екх4 (а - т) ; вз = СОБ Х3 (а - т) якх4 (а - т) ; @4 = э1п Х3 (а - т)якх4 (а - т) ;
21 = соб х1 (а - т - а1) екх2 (а - т - а1) 2 2 = э1п х1 (а - т - а1) екх2 (а - т - а1) 23 = соб х1 (а - т - а1) якх2 (а - т - а1)
2 4 = э1п х1 (а - т - а1) якх2 (а - т - а1) @1 = собх3 (а-т-а1) екх4 (а-т-а1) @2 = б1п х3 (а - т - а1) екх4 (а - т - а1) @3 = собх3 (а-т-а1) якх4 (а-т-а1)
@4 = б1п х3 (а-т-а1) якх4 (а-т-а1);
£5 =(1 + V)п4(а -Ь)- 2v оп2 (а2 + Ь2 )-(2 -v)a2n2(а + Ь) + 2 о4(а -Ь); £6 =-(1 + v)n4(а + Ь) + 4о3 (а2 + Ь2)-(2 -v)ю2n2(а - Ь)- 2о4(а + Ь); £7 = -(1 + v)n4(а - Ь)- 2v оп2 (а2 + Ь2)+ (2 - v)о2п2(а + Ь)- 2о4(а - Ь); = (1 + V)п4(а + Ь) + 4о (а2 + Ь2)+ (2 - V)о2п2(а - Ь) + 2о4(а + Ь);
£9 =-£11 =-2 о2 [ п2 (а + Ь)-о2 (а - Ь) ];
£10 = 2 о2 [ 2 о (а2 + Ь2)- п2 (а - Ь)-о2 (а + Ь) ];
£12 = 2о2[ 2о(а2 + Ь2)+ п2(а-Ь)+о2(а + Ь) ];
£13 =оЬ -(а2 + Ь2);
=-£20 =-°2 (а - Ь)+(1 + 0п 2 (а + Ь);
£19 = о2(а + Ь)+ 2о(а2 + Ь2)+ (1 + V)п2(а -Ь);
£21 =-2о2 (а2 + Ь2 )-(1 -v)юn 2Ь + 2о3 а - (1 + v) п2 (а2 + Ь2);
£14 — — со а + (а + Ь );
£15 =-оЬ -(а2 + Ь2);
£16 =оа + (а + Ь );
£17 = -о2 (а + Ь)+ 2 о (а2 + Ь2)- (1 + V)п2 (а - Ь);
z22 =— 2w2 (a2 + b2 )+(l — v)an2 a + 2w3b + (l + v) n2 (a2 + b2);
Z23 = —2 a2 (a2 + b2)+ (l — v)wn2b — 2 a3a — (l + v)n2 (a2 + b2);
z24 =— 2w2 (a2 + b2)—(l — v)wn2 a — 2w3b + (l + v) n2 (a2 + b2);
Z25 = (l —v)wa — (l + v)(a2 + b2);
Z 26 = —(l — v)wb + (l + v)(a 2 + b 2 ) ;
Z27 = —(l — v)wa — (l + v)(a2 + b2);
Z28 = (l —v)wb + (l + v)(a2 + b2); z29 =—Z31 =— w2 (a — b)—(l + v) n2 (a + b);
Z30 = — a2 (a + b)+ 2 w(a2 + b2)+ (l + v) n2 (a — b);
Z32 = a2 (a + b)+ 2 a (a2 + b2)— (l + v)n2 (a — b); g1 =(l + v)2 n4 (a2 + b2)—(l + v)2wn4b + 2 a2n2 (a2 + b2 )—
— 6a3n2 a — 4a5b + 4 a4 (a2 + b2); g2 = (l + v)2 n4(a2 + b2)— (l + v)2an4a — 2 a2n2(a2 + b2)+
+ 6a3n 2b — 4 a5 a + 4 a4 (a2 + b2); g3 = (l + v)2 n4(a2 + b2)+ (l + v)2con4b + 2a2n2(a2 + b2)+
+ 6 a3 n2 a + 4a5b + 4 a4 (a2 + b2); g4 = (l + v)2 n4 (a2 + b2)+ (l + v)2an4a — 2 a2n2 (a2 + b2 ) —
— 6 a3 n2 b + 4 a5 a + 4 a4 (a2 + b2); g5 = (l + v)(3 — v)an 2b + 2a2 (a2 + b2)— 2a3a — (l + v)2 n2 (a2 + b2); g6 = (l + v)(3 — v)a n2a — 2a2(a2 + b2)+ 2a3b — (l + v)2n2(a2 + b2); g7 = —(l + v)(3 — v)a n2b + 2a2(a2 + b2)+ 2a3a — (l + v)2n2(a2 + b2); g8 = (l + v)(3 — v)a n2a + 2a2(a2 + b2)+ 2a3b + (l + v)2n2 (a2 + b2); g9 = — (l + v)2 n4 (a + b) — 2a2n2 (a — b) + 4a3 (a2 + b2) — 2a4 (a + b);
g10 = (a — b)[ — (l + v)2n4 + 2a2 (a2 + b2)— a4 ]; g11 = (l + v)2 n4 (a + b) + 2 a2 n2 (a — b) + 4 a3 (a2 + b2)+ 2 a4 (a + b);
g12 =(a — b) [ (l + v)2n4 — 2a2(a2 + b2)+a4 ];
g13 = (l + v)2n6 (a + b)+ (з + 4v — V2 )a2n4(a — b)— 8v a3n2 (a2 + b2) —
- 4 (1 -v)w4 п2 (а + Ь)+ 4 о6 (а - Ь); ё14 = (1 + V)2 п6 (а - Ь)- (3 + 4 V - V2 )о2п4 (а + Ь) +
+ 2 (1 -V2 )оп4 (а2 + Ь2)- 4 (1 -v)ю4 п2 (а - Ь)-4 о6 (а + Ь)+ 8 о5 (а2 + Ь2); ё15 =(1 + V)2п6(а + Ь)+ (3 + 4v-v2 )о2п4(а - Ь) + 8vо3п2 (а2 + Ь2 )-- 4 (1 -v)w4 п2 (а + Ь)+ 4 о6 (а - Ь); ё16 = (1 + V)2 п6 (а - Ь)- (3 + 4 V - V2 )о2п4 (а + Ь)-- 2 (1 -V2 )оп4 (а2 + Ь2)-4 (1 -v)w4 п2 (а - Ь)-4об (а + Ь)-8о5 (а2 + Ь2); ё17 = (1 + V)(3 - v)оп4Ь + (1 + V) п4 (а2 + Ь2) + 4 о5Ь +
+ 2(1 + 2v)w2п2 (а2 + Ь2)+ 2 (1 - 2v)w3n2а - 4о4 (а2 + Ь2); ё 18 = (1 + V)(3 - v)юn4а + (1 + V)2п4 (а2 + Ь2)+ 4 о5а -- 2 (1 + 2v)w2 п2 (а2 + Ь2)-2 (1 - 2v)w3n 2Ь - 4о4 (а2 + Ь2); ё19 = - (1 + v)(3 - V)оп4Ь + (1 + V) п4 (а2 + Ь2)- 4 о)5Ь +
+ 2(1 + 2v)w2п2 (а2 + Ь2)-2(1 - 2v)w3n2а - 4о4 (а2 + Ь2); ё20 = -(1 + v)(3 - v)юn4а + (1 + V)2п4(а2 + Ь2)- 4о5а -- 2 (1 + 2v)w2 п2 (а2 + Ь2)+ 2 (1 - 2v)w3n 2Ь - 4о4 (а2 + Ь2); ё21 = -(1 + V )2п4 (а + Ь) + 2 (2 + у)о2п2 (а - Ь) - 4о3 (а2 + Ь2) + 2о4 (а + Ь); ё22 = -(1 + V)2 п4 (а - Ь)-2 (2 + v)w2n2 (а + Ь)+4 (1 + v)wn2 (а2 + Ь2)+2о4 (а - Ь); ё23 = - (1 + v) п (а + Ь)+ 2 (2 + v)w п (а - Ь)+ 4о (а + Ь )+ 2 о (а + Ь); ё24 = -(1 + V)2п4(а - Ь)- 2(2 + v)w2n2(а + Ь)- 4(1 + v)юn2(а2 + Ь2)+ 2о4(а - Ь); ё 25 = (1 + V) п2 (а - Ь ) + (2 -v)о2 (а + Ь)- 2 (2 + v)w(а2 + Ь2);
ё26 =(1 + v)п2(а + Ь)-(2-v)о2(а -Ь); ё27 = (1 + V) п2 (а - Ь) + (2 -У)о (а + Ь) + 2 (2 + v)w(a2 + Ь2); ё28 =(1 + v)п2(а + Ь)-(2-v)ю2(а -Ь); ё29 =- (1 + V)п2 (а2 + Ь2)+ (1 + 3 v)wn2а - 4 (оъЬ + 4 о2 (а2 + Ь2);
ё30 =(1 + V) п2 (а2 + Ь2 )-(1 + 3v)wn 2Ь - 4о3а + 4о2 (а2 + Ь2); ё31 =- (1 + V)п2 (а2 + Ь2)- (1 + 3v)wn2а + 4 а>ъЬ + 4 о2 (а2 + Ь2); ё32 = (1 + V) п2 (а2 + Ь2)+ (1 + 3 v)оn 2Ь + 4о3а + 4 о2 (а2 + Ь2);
ё33 =(1 + V) п2 (а2 + Ь2 )-(3 +v)wn2a - 2о3Ь + 2о2 (а2 + Ь2); ё34 =-(1 + V)п2(а2 + Ь2) + (3 +v)юn2Ь - 2о3а + 2 о2(а2 + Ь2);
ё35 =(1 + V) п2 (а2 + Ь2)+ (3 + V) оп2 а + 2о3Ь + 2 о2 (а2 + Ь2); ё36 = -(1 + V)п2 (а2 + Ь2)- (3 + v)оn2Ь + 2 о3а + 2 о2 (а2 + Ь2).
Аналитические выражения (9) удовлетворяют условиям равновесия и граничным условиям при а = 0 . Другие четыре произвольные постоянные определяются в зависимости от граничных условий на другом конце оболочки. Имея и , V, ^ можно определить усилия и моменты [1].
Решения получены в общем виде. Они позволяют инженеру-проектировщику решать широкий класс практических задач как при расчете отдельной замкнутой цилиндрической оболочки при действии тангенциальной нагрузки, так и при рассмотрении различных контактных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В.З. Общая теория оболочек / В.З. Власов. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.
2. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1968. 416 с.
3. Шагивалеев К.Ф. Расчет на прочность замкнутой цилиндрической оболочки / К.Ф. Шаги-валеев. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 208 с.
4. Шагивалеев К.Ф. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки на радиальную нагрузку / К.Ф. Шагивалеев // Строительная механика и расчет сооружений. 1979. № 2. С. 16-20.
Шагивалеев Камиль Фатыхович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Сурнина Елена Камилевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Васильцов Сергей Викторович -
аспирант кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Camil F. Shagivaleev -
Ph. D., Associate Professor Department of Building Structures Theory,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Elena K. Surnina -
Ph. D., Associate Professor Department of Building Structures Theory,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Sergei V. Vasiltsov -
Postgraduate
Department of Building Structures Theory,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 19.10.13, принята к опубликованию 15.12.13
