CC BY
27
УДК 624.04
Серазутдинов М.Н. - доктор физико-математических наук, профессор
E-mail: serazmn@mail.ru
Убайдуллоев М.Н. - кандидат технических наук, доцент
E-mail: madgidpwn@rambler.ru
Казанский национальный исследовательский технологический университет
Адрес организации: 420015, Россия, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68
Расчет стержневых конструкций из упрочняющихся и идеально упругопластических материалов
Аннотация
Постановка задачи. Цель работы - разработка вариационного метода расчета стержневой конструкции с учетом пластических деформаций. Предполагается, что при деформировании стержней связь между нормальными напряжениями и продольной деформацией стержня описывается диаграммой линейно-упрочняющего тела.
Результаты. Разработан вариационный метод расчета стержневых конструкций из упрочняющегося и идеально упругопластического материала. Представленная методика расчета основана на разделении продольной деформации стержня на две части: упругую и пластическую. Достоинства такого подхода заключаются в том, что можно по единой схеме проводить расчеты для стержневых конструкций из упрочняющегося и идеально упругопластического материала. В частности, эти достоинства проявляются при определении предельной нагрузки для системы из идеально упругопластического материала.
Выводы. С использованием предлагаемой методики решены различные задачи изгиба и растяжения-сжатия стержней при упругопластических деформациях. В данной статье представлены результаты расчетов статически неопределимой стержневой системы. Полученные расчетные данные по данному методу согласуются с аналитическими решениями рассматриваемой задачи.
Ключевые слова: стержневые конструкции, вариационный метод, упругопластические деформации, предельная нагрузка.
Излагается вариационный метод расчета стержневой конструкции с учетом пластических деформаций. Предполагается, что при деформировании стержней связь между нормальными напряжениями и продольной деформацией стержня описывается диаграммой линейно-упрочняющего тела. В отличие от исследований [1-9] представленная методика расчета основана на разделении продольной деформации стержня на две части: упругую и пластическую. Достоинства такого подхода заключаются в том, что можно по единой схеме проводить расчеты для стержневых конструкций из упрочняющегося и идеально упругопластического материала. В частности, эти достоинства проявляются при определении предельной нагрузки для системы из идеально упругопластического материала. В случае использования традиционных методик расчета, информацию о величине предельной нагрузки получают только на основе аварийного останова компьютерного счета. При использовании представленной методики, можно определять предельную нагрузку на основе графической информации, получающейся в результате расчетов.
Предполагается, что при упругопластическом деформировании элементов стержневой системы превалирующими являются возникающие в поперечных сечениях нормальные напряжения ах. Следовательно, представленные результаты применимы в случаях, когда элементы системы в виде стержней испытывают деформацию растяжения-сжатия и изгиба. В этих случаях, как известно, нормальные напряжения ax в поперечных сечениях значительно больше касательных т.
Диаграмма линейно-упрочняющего тела показана на рис. 1. Модуль упругости материала при упругих деформациях (участок OA на рис. 1) обозначим через E, а при упругопластических деформациях (участок AB) - Ek.
Рис. 1. Диаграмма о х = / (е) Представим продольную деформацию стержня ех в виде суммы:
е х = еГ + е X™, (1)
е упр е ПЛ
где ьх , ьх - соответственно, упругая и пластическая деформации. Введем коэффициент а, определяющий части этих деформаций:
е?4" = аех, ех"" = (1 - а) ех. (2)
Как видно из рис. 1:
о Т = Ее хупр = Еае х, (3)
следовательно:
а = ат /(Ех), (4)
Очевидно, что при ех < 0, а = ат /(Е\ех\).
Если деформации являются упругими, то а = 1 и зависимость между нормальными напряжениями и деформациями выражается законом Гука охупр = Е е^. При упругопластических деформациях (а <1), как видно из рис. 1:
Ох = ог + Ек (ех - ехп).
Подставляя в эту формулу соотношения (1), (2), получим:
ах = Е* £х, (5)
где
Е*= Е а + Ек (1- а). (6)
Значение приведенного модуля упругости материала Е зависит от величины деформации ех. При упругих деформациях а = 1, а при упругопластических деформациях а <1 и определяется по формуле (4). В тех случаях, когда величина ех заранее не известна, для нахождения а следует использовать итерационный метод, последовательно определяя ех и а.
В случае Ек = 0, деформирование материала описывается диаграммой идеально упругопластического тела. Формула (5) для этого случая имеет вид:
ах = Е £х а . (7)
При упругих деформациях касательные напряжения связаны с угловой деформацией законом Гука при сдвиге: тупр = G7yпp, где G - модуль сдвига. Как известно при растяжении прямолинейного стержня зависимость между углом сдвига у и относительной линейной деформацией ех имеет следующий вид:
у = (1 + V) ех. (8)
Касательное напряжение на площадке, составляющей угол а = 45 с продольной осью стержня Ох, связаны с нормальными напряжениями ах формулой:
т = ах/2. (9)
С учетом (8)-(9), как известно, получается G = E/2(1+v).
Соотношения (8) и (9) являются геометрическими и не зависят от того, что деформации являются упругими или пластическими.
Исходя из этого, с учетом (5)-(6), полагаем, что при упругопластических деформациях:
т = в'у, (10)
где О* = ^ а + ^^ *) (1 " а); V* - коэффициент поперечных деформаций материала
при упругопластических деформациях.
В соответствии с диаграммой растяжения (рис. 1), удельная потенциальная энергия деформации стержня при растяжении и сжатии равна площади фигуры ОАВС:
и0 = - о е™ + оТ е +1 опл е =1Е (еупр )2 + оТ е +1Е (е )2.
0 2 х х Т х 2 2 Т х 2
С учетом (2) получается:
и0 = 1Еа2е1 + оТ (1 - а)ех + 2Ек(1 - а)2 е2.
Учитывая, что при вычислении вариации потенциальной энергии деформации следует варьировать величинами ех и а, находим:
8 и0 = Е(е]а8а + а2ех8ех) + оТ [(-ех8а + (1 - а) 8ех ] + Ек ^ - е2 (1 - а)8а + (1 - а)2 ех8ех ^. (11)
Используя (2), вычисляем:
8а = -Ог 8е х =- -8ех. (12)
Ее2 ех у '
Подставляя выражение (12) в (11), получаем:
8щ = От 8ех + Ек (1 - а) ех 8ех. (13)
Используя равенство (3), соотношение (13) можно представить в виде:
8 ио = Е"ех8ех. (14)
Аналогично, при возникновении деформации сдвига:
8 и0 = О>8у. (15)
Напряженно-деформированное состояние стержневой конструкции определяется из вариационного уравнения Лагранжа:
8и - 8Ж = 0. (16)
В данном выражении ёи - вариация потенциальной энергии деформации стержневой системы; ёЖ - вариация работы внешних сил.
При определении перемещений стержневой системы из условия (16), используется методика, изложенная в [1].
Для конструкции из линейно-упрочняющего материала:
8и = | ДО(Е( + О'7хУ8Гху + ОУ^)
Сх, (17)
где
е =^-у^з + ^, =^2-ф -^, = ^ + ф + ^. (18)
х 1 ^ 1 1 ' ху 1 тз 1 ' ! х! 1 т 2 1 V ^
Сх Сх Сх Сх Сх Сх Сх
Подставляя (18) в (17), после преобразований получим:
8и =/[ Л х,у,г)СА ] Сх. (19)
I А
Здесь
„, „ ч (Си, Сф3 Сф2 | ~ Си, (Си2 Сф | ~ Си2
Ф1(х,у,!) = Е I—1 - у—^ + — 18—1 + О I—1 - ф3 - - 18—1 +
^ Сх Сх Сх 0 Сх ^ Сх Сх 0 Сх
+ОI ^ + ф2 + уф]8 ^ + О*|-! I——2- - ф3! + ( 2 + у 2 )) + у (Сиз + ф2 || ф +
^ Сх Сх 0 Сх ^ ^ Сх 0 4 Сх ^ Сх 0 0 Сх
( Си. Сф3 2 Сф2 I ~ Сф2 ( Си3 Сф1
+Е I !—1 -у^^-3 + !—^ 18—— + О I —3 + ф2 + у—-^ Сх Сх Сх 0 Сх ^ Сх Сх
+Е*(-уС± + у2ф-укф 18 Сф + о*(-Си! + ф3 + 18ф3. ^ Сх Сх Сх 0 Сх ^ Сх Сх 0
После интегрирования по площади А поперечных сечений стержней условие (16), с
учетом (20), принимает вид:
I ФФ1(х) Сх = 8Ж, (21)
(20)
где
+о
Ф%1( х) = Е •( Л^ - + 1 5 + +о*{ Л^ - Лф3 - 3 15 ^ +
^ ёх ёх ёх 0 ёх ^ ёх ёх0 ёх
*{ л^ + Лф2 + Б,** 15 ^ + с(-8у { - * 1 + ( + ^)) + { ЛЬ.+ * Ц .
^ ёх ёх0 ёх ^ ^ ёх 0 х ' йх ^ ёх 00 ёх
+А 3 - J,йf + Jyйf 15 Ь + О *{Л {^ + ф2 1 + ^ 15ф2 + ^ ёх ёх ёх 0 ёх ^ ^ ёх 0 ёх 0
+Е '{-^ + Jzйf - Jr2ййf 15 ь + о*(- Л {^ - ф31 + Б,?* 15ф3; ^ ёх ёх ёх 0 ёх ^^ ёх 0 ёх 0
I
Ш = |5~ + ~2 5~2 + ~35~3)+ ^5й1(х,.) + Р2. 5~2(х1) + 5~3(х,.)) +
(22)
I„
+Е М ] <%и (х) + ф2] (х1) + м, Фъ, (х1)).
1=1
Здесь Л, Бу, Б,, Jy, Jz, JyZ - геометрические характеристик сечений элементов стержневой системы; дь q3, Рц, Р2и Р3., Му, М2], М3], - проекции распределенных и сосредоточенных нагрузок на координатные оси Ох, Оу, О,; щ, й2, й3, фу, ф2], ф3]- -компоненты вектора перемещения и углов поворота поперечных сечений, определяемых в глобальной системе координат Охуг.
Для нахождения геометрических характеристик поперечных сечений элементов стержневой конструкции Л, Бу, Б,, Jy, Jz, Jyz используется численное интегрирование [1, 4].
При определении напряженно-деформированного состояния конструкции с учетом упругопластических деформаций, расчеты необходимо выполнять итерационным методом. На первом шаге итерации в выражении (19) полагается а = 1 и размер зоны пластических деформаций Лпл = 0. Далее, на последующих итерациях, в точках поперечного сечения проверяется выполнение условия ах < ат. Если это условие выполняется, то а = 1 и в данной точке сечения деформации являются упругими. В случае, когда ах > ат, данная точка относится к области пластических деформаций, следовательно а < 1. Величина коэффициента а находится по формуле (4).
Итерационный процесс завершается в том случае, если будет выполнено условие:
(IеШ)Х -е(X1)/еШ))-100%<Л,
. с(и) с("-1)
где Д - заданная величина погрешности, ьшах, ьшах - максимальные относительные деформации в сечениях элементов стержневой системы на двух последующих итерациях.
С использованием описанной методики были решены различные задачи изгиба и растяжения-сжатия стержней при упругопластических деформациях. Полученные расчетные данные хорошо согласуются с известными аналитическими решениями.
Рис. 2. Стержневая система
Представим результаты расчетов статически неопределимой стержневой системы (рис. 2), полученные по описанной методике. Система нагруженной силой Р, и состоит из
1=1
четырех стержней с одинаковой площадью поперечного сечения А = 1 см2, выполненные из одного материала, для которого аТ = 240МПа, Е = 2-105 МПа, Ек = 0. Так как Ек = 0, то деформирование каждого из стержней описывается диаграммой идеально упругопластического материала (рис. 3). В результате расчетов находилась величина предельной нагрузки Е^, при действии которой стержневая система теряет несущую способность. Полагалось А = 0,001.
О
В
/
414*
Рис. 3. Диаграмма идеально упругопластического материала
В соответствии с точным решением [10], при Е = Еупр деформации в стержнях являются упругими, а усилия в стержнях получаются следующими: N = 0,134Еупр, Л2 = 0,261Еупр, Лз = 0,454Еупр, N4 = 0,319Еупр.
Наиболее загруженным является третий стержень. При Еупр = 52,863 кН усилие в наиболее загруженном стержне достигает своего предельного значения Л3 = аТА. Предельное состояние стержневой системы наступает при Л2 = Л3 = Л4 = аТА. В этом случае усилие в первом стержне N1 = 0,293аТА, а предельная нагрузка, согласно [10], Ещ, = 66,725 кН.
При проведении расчетов по представленной здесь методике для определения предельной нагрузки использовалось пошаговое нагружение системы. На первом шаге полагалось, конструкция нагружался наибольшей силой Еупр = 52,863 кН при которой деформации в стержнях остаются упругими. Далее, до достижения предельного состояния, шаг нагрузки принимался равным АЕ = 1,4725 кН. По результатам расчетов получен график изменения вертикального перемещения узла С стержневой системы в зависимости от величины нагрузки Е (рис. 4). С использованием этих данных можно определить предельную нагрузку, которая будет соответствовать горизонтальному (почти горизонтальному) участку графика АВ (рис. 4). На этом горизонтальном участке нет однозначного соответствия межу wc и Е. Эта особенность отражает тот факт, что для идеально упругопластического материала при достижении предела текучести нет однозначного соответствия межу а и е (линия АВ на рис. 3). Поэтому при наступлении в стержневой системе предельного состояния также не будет однозначного соответствия между предельной нагрузкой и перемещениями в системе.
Рис. 4. Зависимость вертикального перемещения узла С от силы
При расчетах в качестве предельной нагрузки принимается такое значение силы Р, для которого на очередном шаге нагружения для малого приращения нагрузки АР получается достаточно значительное возрастание величины перемещения (по сравнению с приращением, полученным на предыдущем шаге).
В рассматриваемом случае (рис. 4), нагрузке Р = 65,26 кН соответствует перемещение wс = 73•Ю-4«, а нагрузке Р = 66,73 кН соответствует ^с = 114^10-4м. Следовательно, на этом шаге нагружения, увеличение силы на величину АР = 1,4725 кН (на 2,3 %) приводит к значительному возрастанию (более чем на 55 %) перемещения wс. На предыдущих шагах нагружения такого не наблюдается. Поэтому в качестве значения предельной нагрузки принимается Рпр = 66,73кН. Эта величина практически совпадает со значением Рпр, определенным аналитическим методом [10].
В таблице представлены результаты расчетов предложенным вариационным и аналитическим методом [10]. Как видно из числовых данных, результаты этих расчетов различаются очень незначительно.
Таблица
Результаты расчетов различными методами__
Метод расчета Усилия в стержнях в предельном состоянии, кН Деформации стержней, м Предельная нагрузка ^р, кН
n n2 n3 n4 Л11 Л13 Л13 Л14
Аналитич. метод 7,029 24,0 24,0 24,0 0,0199 -0,0055 -0,0113 -0,014 66,725
Вариацион. метод 7,037 24,0 23,95 23,95 0,0199 -0,0055 -0,0113 -0,014 66,730
График на рис. 4 наглядно иллюстрирует одно из достоинств представленной методики расчета, которая предполагает разделение продольной деформации стержня на упругую и пластическую часть (1) и введение коэффициента а, определяющий части этих деформаций (2), (4). В результате, на основе расчетов получаются графики, позволяющие, в частности, определять для стержневых конструкций из идеально упругопластического материала предельную нагрузку. Как известно, в случае использования традиционных методик расчета, информацию о величине предельной нагрузки получают только на основе аварийного останова компьютерного счета. Информация о деформировании системы в виде графиков подобных графику на рис. 4, является более надежной, чем аварийный останов компьютерного счета.
Список библиографических ссылок
1. Серазутдинов М. Н., Убайдуллоев М. Н. Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Казань : Мин. обр. и науки России. Казан. нац. исслед. технол. ун-т, 2016. 144 с.
2. Серазутдинов М. Н., Убайдуллоев М. Н., Сагдатуллин М. К. Вариационный метод расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня открытого профиля // Вестник Казанского технол. ун-та. 2014. № 8. С. 255-260.
3. Серазутдинов М. Н., Убайдуллоев М. Н., Абрагим Х. А. Вариационный метод расчета стержневых систем при пластических деформациях : сб. трудов Международной научно-технической и образовательной конференции «Образование и наука - производству» / КГИЭА, Набережные Челны, 2010. С. 43-46.
4. Серазутдинов М. Н., Убайдуллоев М. Н., Абрагим Х. А. Повышение несущей способности усиливаемых нагруженных конструкций // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2011. № 3. С. 23-30.
5. Nagy-Györgya T., Sasb G., Däescua A.C., Stoian V. Experimental and numerical assessment of the effectiveness of FRP-based strengthening configurations for dapped-end RC beams // Engineering Structures. 2012. Т. 33, Т. 44. Р. 291-303.
6. Iskhakov I., Ribakov Y. Ultimate limit state of pre-stressed reinforced concrete elements // Materials & Design. 2015. Т. 75. Р. 9-16.
7. Убайдуллоев М. Н. Повышение несущей способности эксплуатируемых сооружений // Строительство уникальных зданий и сооружений. 2013. № 4 (9). С. 64-122.
8. Валиуллин А. Х. Упругопластический изгиб балки из материала с линейным упрочнением // Вестник Казанского технологического университета. 2010. № 9. С.453-458.
9. Валиуллин А. Х. Упругопластический изгиб балки // Вестник Казанского технологического университета. 2013. № 21. С. 221-224.
Serazutdinov M.N. - doctor of physical and mathematical sciences, professor E-mail: serazmn@mail.ru
Ubaidulloyev M.N. - candidate of technical sciences, associate professor
E-mail: madgidpwn@rambler.ru
Kazan National Research Technological University
The organization address: 420015, Russia, Kazan, K. Marks st., 68
Calculation of rod structures from reinforcing and ideally elastic-plastic materials
Problem statement. The purpose of this work is the development of a variational method for calculating a rod structure taking into account plastic deformations. It is assumed that when the rods are deformed, the relationship between the normal stresses and the longitudinal deformation of a rod is described by the diagram of a linearly strengthening body.
Results. A variational method has been developed for calculating the rod structures from a reinforcing and ideally elastic-plastic material. The presented calculation technique is based on the separation of longitudinal deformation of a rod into two parts: elastic and plastic. The advantages of this approach consist in the fact that it is possible to carry out calculations for rod structures from a reinforced and ideal elastic-plastic material according to a single scheme. In particular, these advantages are manifested when determining the ultimate load for a system of perfectly elasto-plastic material.
Conclusions. Using the described technique, various problems of bending and stretching-compression of rods for elasto-plastic deformations were solved. In this article presents the results of calculations of a statically indeterminate rod system. The obtained calculated data are in good agreement with known analytical solutions.
Keywords: rod structures, variational method, elasto-plastic deformations, ultimate load.
References
1. Sezrutdinov M. N., Ubaidulloev M. N. Variational method for calculating rectilinear and curvilinear thin-walled rods. Kazan : Ministry of Education and Science of Russia. Nat. Research Technol. Un-t., 2016. 144 p.
2. Sezrautdinov M. N., Ubaidulloev M. N., Sagdatullin M. K. Variational method for calculating the stress-strain state of a thin-walled rod of an open profile // Vestnik Kazanskogo tekhnol. un-ta. 2014. № 8. P. 255-260.
3. Sezrutdinov M. N., Ubaidulloev M. N., Abraham Kh. A. Variational method for calculating rod systems under plastic deformations : dig. of art. International Scientific, Technical and Educational Conference «Education and Science to Production» / KGIEA, Naberezhnye Chelny, 2010. P. 43-46.
4. Seprasdinov M. N., Ubaidulloev M. N., Abraham Kh. A. Increase of load-bearing capacity of reinforced loaded structures // Construction mechanics of engineering structures and structures. 2011. № 3. P. 23-30.
5. Nagy-Gyorgya T., Sasb G., Daescua A.C., Stoian V. Experimental and numerical assessment of the effectiveness of FRP-based strengthening configurations for dapped-end RC beams // Engineering Structures. 2012. Т. 33, Т. 44. Р. 291-303.
6. Iskhakov I., Ribakov Y. Ultimate limit state of pre-stressed reinforced concrete elements // Materials & Design. 2015. Т. 75. Р. 9-16.
7. Ubaidulloev M. N. Increase of bearing capacity of operated structures // Construction of unique buildings and structures. 2013. № 4 (9). P. 64-122.
8. Valiullin A. Kh. Elastic-plastic bending of the beam from a material with linear hardening // Vestnik Kazanskogo tekhnol. un-ta. 2010. № 9. P. 453-458.
9. Valiullin A. Kh. Elastic-plastic bending of the beam // Vestnik Kazanskogo tekhnol. unta.. 2013. № 21. P. 221-224.
