Расчет спектра ядерного квадрупольного резонанса дейтерозамещенной метильной группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА

УДК 530.145

А. И. Иванов, А. А. Талатай, А. Т. Халиков

РАСЧЕТ СПЕКТРА ЯДЕРНОГО КВАДРУПОЛЬНОГО РЕЗОНАНСА ДЕЙТЕРОЗАМЕЩЕННОЙ МЕТИЛЬНОЙ ГРУППЫ

Определены квадрупольные уровни энергии молекулы CD3. Стационарные состояния этой системы кроме энергии характеризуются проекцией M полного спина на ось симметрии молекулы. Правило отбора для радиационных переходов имеет вид AM = + 1. Вычислены частоты разрешенных радиационных переходов и показано, что спектр имеет характерную дублетную и триплетную структуру.

Values for quadrupole energy levels of CD3 molecule are obtained. Besides the energy values stationary states of this system is marked by total spin projection on the molecular symmetry axis. Nuclear selection rule for radiative transitions is AM = +1. The radiative transition frequencies are calculated and it is obtained, that spectrum have a dublet and triplet structure.

Ключевые слова: ядерный квадрупольный резонанс, мультиплетность.

Key words: nuclear quadrupole resonance, multiplicity.

Ядерный квадрупольный резонанс — один из наиболее информативных методов исследования твердых тел. В связи с этим весьма актуальным представляется совершенствование теоретических методов расчета спектров ядерного квадрупольного резонанса и параметров, определяющих этот спектр. Данная работа посвящена расчету спектра ядерного квадрупольного резонанса дейтерозамещенной метильной группы CD3. Эта молекула обладает симметрией C3v. Ядра дейтерия имеют спин I = 1. Ось симметрии является осью квантования спина. Гамильтониан ядерного квадрупольного взаимодействия в этой группе запишем в следующем виде:

К Q = HQ(1) ® 1(2) ® 1(3) +1(1) ® Hq(2) ® 1(3) +1(1) ® I(2) ® HQ (3), (1)

где Hq = 4 (J 1) [ 3 JZ - J2 J — оператор квадрупольного взаимодействия одного отдельно взятого ядра дейтерия; I — единичный оператор размерности 3 х 3.

Система из трех ядер дейтерия может находиться в состоянии со спином jtot = 3, 2,1. В соответствии с принципами квантовой теории углового момента [1] построим собственные функции операторов квадра-

49

© Иванов А. И., Талатай А. А., Халиков А. Т., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2016. Сер. : Физико-математические и технические науки. № 1. С. 49-55.

50

та полного спина, проекции полного спина на ось квантования, квадратов операторов спина каждого ядра дейтерия и квадрата суммарного спина первого и второго ядер дейтерия.

В частности, для jtot = 3 получаем следующие выражения:

|3,3) = | + + +),

|3,2)=тИ+0+н 0++>+'++^

1

|3,1) = -¡= (2|00 +) + 210 + 0 + 2 +00) + |- + +) + | + + -) + | + -+)), V15 1

|3,0) = -¡= (| -0 +) + | 0-+) + |- + 0 + | 0 + -) + | + - 0 + 1+0 — + 2|000)), 10

1

|3, -1 ^^15(2|00 -) + 2|0 - 0 + 2| -00) + | + --) + |--+)+|- + -)),

I3, -2=^(l -0 ->+10-->+1--0» -3=i--->.

Для f°o = 2 спиновые функции примут виц

I2,2) = ^(1 +0 +Н0 + +>) |2,1) = ±(| +00-| 0 + 0 + I + -+H- + +)), I2,0) =^2(1 +0-Н0+->+И+Н0-+>+^1+-0 ->£|-+0» I2, -1=1(1 -00-10 - 0+1+--н-+-> )

I2, -2=^(1 -0 2-10-->).

Для f°° = 1 получаются три набора (три триплета): 1

|1,1). = -¡= (6| + + -)- 3| +00) - 3|0 + 0 + | + -+) + |- + +) + 2|00 +)), V60

1

|1,0)_ = -¡= (3| +0 -+ 3|0 + -) + 3| -0 +) + 3|0- + -2| + -0)-2|- + 0)-4|000)),

-s/60

1

|1, -11 ^^ --+-3 -00)-3|0+1+-->+|-+-}+2100 -),

I1,1) и = 1(1 +00>-10+2-I+-+M-++)), I1,0) и = 1(1 +0-)-|0+2-I-0+>+10-2 )

|1 -2 = 1(1+-->-|-+->-|-cg>+10 - (J^

1

|1Д) -=тИ+_+н 00 +>+'-++>

М> ш = ^(1+" 0)-1000>+1-+0»

1

|1 -1 ш =^(1+--Н00 -М-+-)).

В вышеприведенных выражениях приняты следующие сокращенные обозначения для одночастичных спиновых состояний ядер дейтерия:

Л |+Н+>, 1 |->Ч->' ЛИ = 10).

Далее удобно определить обезразмеренные гамильтониан и энергию Н ' е = "А' где А = , тогда уравнение Шредингера можно записать в следующем виде:

Н Т = еТ. (2)

Важно отметить, что гамильтониан (1) коммутирует с оператором проекции полного спина, но не коммутирует с оператором квадрата полного спина. Отсюда следует вывод, что стационарные состояния можно характеризовать значением проекции полного спина на ось квантования. В силу принципа суперпозиции допустимым состоянием с М = 1 для рассматриваемой системы является также линейная комбинация вида

Т+ = С111,1 ш + С2\1,1) и + С3 11,1) ш + С 412'1 + С 513' 1).

Потребуем, чтобы функция Т+ удовлетворяла уравнению Шредингера (2), и запишем это уравнение в матричной форме НС = еС, где матрица гамильтониана Н имеет вид

51

Н ,1 Н,2 со Н, 4 Н, 5

Н11 4 5 0 2 л/5 0 8 5

Н 21 0 0 0 -3 0

Н31 2 Тз 0 1 0 4

Н41 0 -3 0 0 0

Н51 8 5 0 4 л/5 0 9 5

В развернутой матричной форме уравнение Шредингера примет следующий вид:

Г _4_

75 0 2

75 0

52

0 0 0

-3 0

2

75 0

0 4

75

0

-3 0 0 0

Л

5 0 4

75 0

- 9 5

Г с1 ' Г с 1

С2 С2

С3 = е С3

С4 С 4

1С5 V 1С5 J

Условием существования нетривиальных решений этой системы уравнений выступает равенство нулю определителя:

4 0 2 0 8

75-е 75 5

0 -е 0 -3 0

2 75 0 1 -е 0 4 75

0 -3 0 -е 0

8 0 4 0 9 ---е

= 0.

Раскрыв определитель и приравняв его к нулю, получим кубиче-2 64

ское уравнение е - 9е + — = 0, которое имеет три корня:

е+° = 2,8634, е+2) = -0,2868, е+3) = 3,1331

и квадратное уравнение е2 - 9 = 0 с корнями

е+4) = 3,0, е+5) =-3,0.

Допустимым состоянием с М = - 1 для рассматриваемой системы является линейная комбинация вида

Т- = С111, -1), + С211, -1) п + С311, -1) ш + С412, -1) + С5|3, -1).

Эта функция дает те же уровни энергии, что и в предыдущем случае. Допустимым состоянием с М = 0 для рассматриваемой системы является линейная комбинация вида

Т 0 = С1|1,0), + С2|1,^ ш + С313,0).

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению Шре-дингера (2) и запишем это уравнение в матричной форме НС = еС, где матрица гамильтониана Н имеет вид

Нп Н,2 со

Н11 8 5 4 _75 476 5

Н21 4 _75 _2 V 5

Н31 476 5 V 5 12 5

53

В явной форме матричное уравнение записывается следующим образом:

4л/бЛ л/5 5

6

5

4/6 2 /6 12

5 V 5 5

Г С ^

С2

V С3 У

= е

Г С ^ С2

V С3 У

Условием существования решений системы уравнений является равенство нулю определителя:

8

---е

5

_ _4_ 476

75 5

_2 _е 2.

= 0.

„ 6 12

2,---е

5 V 5 5

Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, получим кубическое уравнение, корнями которого являются

- <

= 0, е(02) = 5,0884, е103) =_2,6884.

(3) _ 0

Таким образом, определены энергетические уровни рассматриваемой системы (рис.). Как мы уже отмечали выше, стационарные состояния этой системы кроме энергии характеризуются проекцией М полного спина на ось симметрии молекулы. Значение М в виде нижнего индекса приведено около каждого вычисленного значения энергии.

54

Рис. Квадрупольные уровни энергии дейтерозамещенной метильной группы

Правило отбора для радиационных переходов уже обсуждалось нами ранее [2], оно имеет вид ДМ = + 1. В соответствии с этим можно вычислить частоты разрешенных радиационных переходов. Часть таких переходов приведена на рисунке, где видно, что спектр имеет характерную дублетную и триплетную структуру.

Список литературы

1. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Л., 1975.

2. Иванов А. А., Иванов А. И. К расчету спектров ядерного магнитного резонанса // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 4. Калининград. 2015. С. 7 — 11.

Об авторах

Алексей Иванович Иванов — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E- mail: AIvanov@kantiana.ru

Анастасия Алексеевна Талатай — ассист., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E- mail: ALebedkina@kantiana.ru

Александр Тохирович Халиков — магистрант, Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E- mail: A Khalikov@kantiana.ru

About the authors

Prof. Alexey Ivanov, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E- mail: AIvanov@kantiana.ru

Расчет спектра ядерного квадрупольного резонанса метильной группы

Anastasyja Talatay, lecturer, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E- mail: ALebedkina@kantiana.ru

Alexander Khalikov, student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E- mail: A Khalikov@kantiana.ru