CC BY
22
УДК 531.383
Н.Н. Желтова
магистрант,
Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
В.И.Обухов
канд. техн. наук, доцент, кафедра авиационных приборов и устройств, Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
РАСЧЕТ МАКСИМАЛЬНОГО ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА И МАКСИМАЛЬНОГО НОРМАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА
Аннотация. В статье рассмотрены конструкция и принцип действия микромеханического гироскопа, описываются виды движения инерционной массы в режиме движения и режиме чувствительности, рассмотрены основные виды напряжений, возникающие при изгибе и кручении, представлен алгоритм расчета максимальных напряжений.
Ключевые слова: микромеханичекий гироскоп, упругий подвес, нормальное напряжение.
N. N. Zheltova, Nizhni Novgorod State Technical University (Arzamas Branch)
CALCULATION OF THE MAXIMUM BENDING MOMENT AND THE MAXIMUM NORMAL VOLTAGE
MICROMECHANICAL GYROSCOPE
Abstract. The article considers the design and operation of the micromechanical gyroscope, outlines the types of motion of inertial mass in the running mode and the mode of sensitivity, the basic types of stresses arising in bending and torsion, an algorithm for calculating the maximum stress.
Keywords: mikromehanicheky gyroscope, an elastic suspension, the normal stress.
Развитие современной микросистемой техники привело к созданию нового класса датчиков - микромеханические гироскопы (ММГ). Появление ММГ ознаменовало революционный процесс в инерциаль-ной технологии. Данные гироскопы обладают рядом привлекательных качеств: малая масса, низкое потребление электроэнергии, малые габариты, способность работать в жестких условиях эксплуатации (вибрация, перегрузка) и имеют значительно меньшую стоимость, чем их традиционные аналоги.
В данной работе рассчитаем максимальный изгибающий момент и максимальное нормальное напряжение упругих элементов микромеханического гироскопа ММГ-2, разработанного в ЦНИИ «Электроприбор». Кинематическая схема ММГ-2 представлена на рисунке 1.
Ось первичных Z^XjOOcb чувствительности
Рисунок 1 - Микромеханический гироскоп
На рисунке 2 показана схема расположения упругих элементов. Данный гироскоп имеет четыре упругих элемента, имеющие попарно разную длину и ширину. Толщина элементов совпадает с толщиной инерционной массы.
Режим движения ММГ осуществляется электростатическим гребенчатым приводом, который на рисунке 2 обозначается буквой Д [1].
В режиме движения инерционная масса ММГ выполняет колебания по координате У. В этом слу-
чае два упругих элемента (по оси Х) подвергаются изгибным деформациям, два других (по оси У) подвергаются деформации на кручение [1].
Рисунок 2 - Схема расположения упругих элементов
В режиме чувствительности возможны два случая в зависимости от угловой скорости основания. В первом случае движение осуществляется по координате а вокруг оси Х, при этом короткие торсионы работают на изгиб, а длинные на кручение. Во втором случае движение осуществляется по координате р вокруг оси У, при этом короткие торсионы работают на кручение, а длинные на изгиб.
Расчет максимального изгибающего момента.
Торсионы ММГ закреплены с двух концов. Таким образом, получаем статически неопределимую задачу сопромата. На рисунке 3 представлена схема нагружения торсионов.
Рисунок 3 - Схема закрепления и нагружения торсиона (статически неопределимая задача)
В данном случае F - сила, предаваемая от электростатического привода, Ма - реактивный момент в заделке, RА - реакция в заделке, I - длина торсиона.
Для того чтобы задача имела решение, необходимо заменить правую заделку реактивным моментом Мв.
Рисунок 4 - Схема нагружения торсиона (статически определимая задача)
По схеме нагружения торсиона, представленной на рисунке 4, произведем расчет моментов и реакции опор:
X Ма = 0,£ МВ = 0,£ F = 0. (1)
МА + МВ - F ■ I = 0, МА + Мв - RA ■ I = 0, RA - F = 0.
МА + Мв = Г ■ I,
МА = Мв = Г ■ 2,
RA = г.
Воспользуемся формулой:
,1
М(х) = Мв - Г(х) = Г ■ - - Г(х) = Г(- - х)
2
2
(2)
(3)
где х - переменное расстояние от точки В.
Далее построим эпюру изгибающего момента и эпюру единичной силы. Перемножим эпюры по правилу Верещагина и найдем смещение конца торсиона А под действием силы Г [2].
I Г - М1 =
5 ■ Г ■ I3 Г ■ I3 Г ■ I3
48
48
12
А =
Г ■ 13 12■Е■J'
(4)
Таким образом, получается, что максимальный момент, который возникает в заделке, при смещении конца балки на величину А равен:
Мтах =
6 ■ Е ■А^ J
? '
(5)
где Е - модуль упругости материала торсиона (Н/м2), J - момент инерции поперечного сечения торсиона (м4).
Рисунок 5 - Эпюра изгибающего момента и эпюра единичной силы
Расчет максимальных нормальных напряжений.
Проведем расчет максимальных нормальных напряжений, которые действуют в заделке торсио-нов. Также произведем расчет напряжений для режима движения и двух режимов чувствительности. При этом расчет производится отдельно для торсиона длиной Ц и торсиона длиной Ц.
В режиме движения угол поворота у ММГ принимается равным 10. Данный угол обеспечивает хорошие частотные характеристики и достаточную чувствительность. Углы а и р выбираются аналогично.
Максимальное нормальное напряжение при изгибе рассчитывается по формуле:
М.
W
(Па),
(6)
где
W = ст ЬТ - момент сопротивления при изгибе в режиме движения, (м3),
w = сЬ
6
момент сопротивления при изгибе в режиме чувствительности (м3).
Момент инерции, входящий в формулу расчета изгибающего момента, определяется из соотношения:
, ст ■ Ьът
- для режима движения: J = ——L ■
12
- для режима чувствительности: J =
сТ ■ Ьт 12
Из-за удлинения торсиона при изгибе возникают нормальные напряжения, которые можно рассчи-
тать по формуле:
- Е ■
Г 'T +А2 It
-1
(7)
Далее напряжение а6 суммируется с напряжением аё для каждого варианта расчета:
а = + . (8)
В режиме чувствительности торсионы помимо изгиба работают на кручение. Касательные напряжения при кручении определяются по формуле:
= ^о™ (Н . м). (9)
kwk
При этом
= a-G ■ ^ (10)
k max . ' V
lT
где a - максимальный угол закручивания (рад),
lk = k ■ b4 - момент инерции сечения при кручении (м4), k - специальный коэффициент.
Wk = r ■ bT - момент сопротивления торсиона при кручении (м4| r - коэффициент аналогичный k.
Наибольшее нормальное напряжение будет возникать в точке пересечения граней, когда одновременно торсионы изгибаются в двух направлениях. Данное нормальное напряжение определяется по формуле:
ан =Vа2 + а2 . (11)
Таким образом, максимальное нормальное напряжение, возникающее в заделке торсиона равно [2]: Результаты решения: Исходные данные для расчета: Толщина торсиона: с = 25 ■ 10-6 м; Длина длинного торсиона: l1 = 0,8 ■ 10-T м; Длина короткого торсиона: l2 = 0,4 ■ 10-T м; Ширина длинного торсиона: b1 = 20 ■ 10-6 м; Ширина короткого торсиона: b2 = 15 ■ 10-6 м; Частота электростатического привода: F = T000 Гц;
Модуль упругости для кремния: E = 1,68 ■ 1011 —2
м
Модуль сдвига для кремния: G = 0,79 ■ 1011 —2 .
м
1. В режиме движения все четыре торсиона работают на изгиб.
а) для длинного торсиона:
- максимальный момент при изгибе: Мтах = 3,67-10~7 (Нм);
- максимальное нормальное напряжение: ии = 2.19 • 108 (Па);
- нормальное напряжение из-за растяжения: <гу = 2,54 -107 (Па).
б) для короткого торсиона:
- максимальный момент при изгибе: Мтах = 3,09 • 10~7 (Н м);
- максимальное нормальное напряжение: ии = 3.29 • 108 (Па);
- нормальное напряжение из-за растяжения: <гу = 2,56 -107 (Па).
2. В режиме чувствительности два торсиона работают на изгиб, а два на кручение. 2.1. Короткие торсионы работают на изгиб, а длинные на кручение.
а) для коротких торсионов:
- максимальный момент при изгибе: Мтах = 8,59 • 10~7 (Н . м);
- максимальное напряжение при изгибе: ии = 5.49 ■ 108 (Па);
- нормальное напряжение из-за удлинения: <гу = 2,56 ■107(Па).
б) для длинных торсионов:
- максимальный момент при кручении: Мтах = 5,97 ■ 10-8 (Н . м);
- касательное напряжение при кручении: тк = 2,72■ 107 (Н . м).
2.2. Длинные торсионы работают на изгиб, а короткие на кручение.
а) для длинных торсионов:
- максимальный момент при изгибе: Мтах = 5,73 ■ 10-7 (Н . м);
- максимальное напряжение при изгибе: ии = 2,75 -108 (Па);
- нормальное напряжение из-за удлинения: <гу = 2,56 -107 (Па).
б) для коротких торсионов:
- максимальный момент при кручении: Мтах = 6,14 ■ 10-8 (Н . м);
- касательное напряжение при кручении: тк = 4,56 -107 (Н . м).
3. Максимальная сумма напряжений из-за удлинения торсиона:
а) максимальное нормальное напряжение для длинного торсиона с учетом касательных напряжений: аи = 3.89 ■ 108 (Па);
б) максимальное нормальное напряжение для короткого торсиона с учетом касательных напряжений: сттах = 6.79 -108 (Па).
Таким образом, на основе исходных данных и методик расчета максимального изгибающего момента и максимального нормального напряжения упругих элементов микромеханического гироскопа, рассмотрели основные виды напряжений, которые возникают при изгибе и кручении торсиона. По представленному алгоритму, рассчитали величины напряжения для длинного и короткого торсиона.
Вышеприведенные расчеты позволяют определять предельно допускаемые напряжения в тор-сионах, оценить предельные режимы работы микрогироскопа.
Список литературы:
1. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учебное пособие / В.Я. Распопов. - М.: Машиностроение, 2007. - 400 с.
2. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. - М.: Высш. школа, 1975. -
656 с.
