CC BY
71
РАСЧЕТ КОМПЕНСАТОРА ШМИДТА
А.П. Грамматин
Зеркально-линзовый объектив Шмидта [1, 2] состоит из сферического зеркала и компенсатора сферической аберрации, выполненного в виде пластины с одной плоской, а другой деформированной поверхностями, установленной в центре кривизны зеркала. Входной зрачок объектива совмещен с оправой пластины. Поэтому в нем отсутствуют кома, астигматизм и дисторсия. Сферическая аберрация зеркала устраняется за счет деформации одной из поверхностей пластины. Хроматизм положения и сферо-хроматическая аберрация невелики благодаря малым величинам отступления асферической поверхности от плоскости. Размер безаберрационного поля ограничивается кривизной изображения, радиус поверхности которой равен фокусному расстоянию объектива. Достоинствами объектива Шмидта являются высокая светосила при дифракционном качестве изображения и возможность работы в широкой области спектра, не свойственная обычно зеркально-линзовым объективам. Основные недостатки - большая длина, равная двум фокусным расстояниям, кривизна изображения и технологические проблемы, связанные с изготовлением асферической поверхности.
Как будет показано ниже, объектив Шмидта может найти достойное применение для приборов, работающих в ИК области спектра, интерес к которым проявляется в последние годы весьма интенсивно. Однако и для видимой области спектра, благодаря достижениям в технологии изготовления асферических поверхностей, он не является бесполезным. Кроме того, компенсатор Шмидта может использоваться в сочетании с более сложными системами, чем одиночное зеркало, например, с двухзеркальными системами [1].
Расчет объектива Шмидта с помощью современных оптимизационных программ не представляет принципиальных трудностей, поскольку коррекции подлежат лишь аберрации осевого пучка лучей. Целью настоящей публикации является получение формул, выражающих зависимости волновых аберраций и максимальной деформации асферической поверхности при оптимальной коррекции от фокусного расстояния, диа-фрагменного числа и спектрального диапазона. Наличие таких зависимостей позволяет оценить возможности объектива Шмидта, не прибегая к выполнению коррекционного расчета.
Ограничимся рассмотрением поперечной сферической аберрации третьего порядка. Тогда в волновой мере эта аберрация ч для сферического зеркала может быть представлена так:
ч = Ь1 т2 + Ь2 т4, (1)
где т - координата луча на входном зрачке, Ь1 - коэффициент, соответствующий смещению плоскости установки относительно плоскости Гаусса, Ь2 - коэффициент, соответствующий сферической аберрации третьего порядка. Плоский волновой фронт после прохождения через пластину, у которой вторая поверхность деформирована и описывается уравнением
2 = а2 у2 + а4 у4 , (2)
примет форму, соответствующую волновой аберрации
Поскольку волновая аберрация при обращении хода лучей сохраняет свою величину, то аберрация зеркала в ходе лучей от изображения к предмету также описывается уравнением (1). Поэтому для компенсации сферической аберрации зеркала волновые фронты, описываемые уравнением (1) и уравнением (3), должны совпадать. Принимая во внимание, что у = т , получаем
ч = ( п - 1) (а2 у2 + а4 у4)/Х.
(3)
а2 = Ь{к / ( п - 1),
(4)
а4 = Ы/ ( п - 1), (5)
где п - показатель преломления материала пластины для основной длины волны.
Минимизируем волновую аберрацию зеркала, введя плоскость установки. Если пренебречь аберрациями высших порядков, то, как известно [3], минимальное значение волновой сферической аберрации имеет место, когда для края отверстия она равна нулю. Из уравнения (1) следует, что при этом волновая аберрация достигает максимума
wm для луча с координатой т3= -\/0.5 т1 , где т1 - радиус входного зрачка, и равняется wm = -0.25 Ъ2 т4. (6)
В этом случае достигается наименьшая деформация второй поверхности компенсационной пластины. Максимальное значение деформации Дг (рис. 1) имеет место там, где волновая аберрация достигает максимума, т.е. на основании формулы (6) для координаты на зрачке т3. Очевидно, что на краю входного зрачка толщина пластины такая же, что и по оптической оси. По этой причине сферохроматическая аберрация для любых длин волн будет отсутствовать на краю отверстия и достигать максимума на зоне с координатой т3, что соответствует оптимальной коррекции. Принимая во внимание, что сферическая аберрация для основной длины волны и зоны зрачка отсутствует, нетрудно получить зависимости сферохроматической волновой аберрации от величины максимальной деформации пластины Дг:
W] = Дг ( п - п1 )/Хь (7)
W2 = Дг ( п - п2 )/ Х2, (8)
где п1 - показатель преломления пластины для длины волны Х1, п2 - то же для длины волны
-дг
ш
\/05
111
а4 = 1/32/ (п - 1). Из уравнения (1) и (4) нетрудно найти также, что а2 = - а4 т2.
Рис. 1. К оценке максимального значения деформации
Волновая сферическая аберрация четвертого порядка w сферического зеркала с фокусным расстоянием / ' и радиусом входного зрачка т для лучей с длиной волны X может быть представлена в виде
w = т4 /32 X/ . (9)
Сопоставляя формулы (1) и (5), нетрудно получить
3 (10)
(11)
Максимальная деформация второй поверхности пластины может быть вычислена по формуле
Дг = т4/128/ (п - 1), (12)
что позволяет оценить технологичность асферической поверхности пластины, не прибегая у подробному коррекционному расчету.
Коррекционный расчет системы Шмидта рекомендуется выполнять, используя формулы (10) и (11) для определения исходных значений коррекционных параметров. Поскольку при выводе вышеприведенных формул использовалась теория аберраций третьего порядка, а сферическая аберрация пятого порядка проявляется у сферического зеркала даже при небольшой светосиле, необходимо в качестве дополнительного кор-рекционного параметра использовать коэффициент а6 при у6 в уравнении асферической поверхности.
Предельное значение светосилы (диафрагменного числа) объектива Шмидта ограничивается сферохроматической аберрацией в соответствии с формулами (7) и (8). Практически при любом диафрагменном числе сферическая аберрация может быть полностью устранена. Проанализируем сферохроматическую аберрацию для различных диапазонов длин волн. Предварительно преобразуем формулу (7), подставив в нее значение Лг из формулы (12). Для некоторой длины волны X рабочего спектрального диапазона при исправленной волновой сферической аберрации для основной длины волны волновая аберрация wi составит
ч, = (п - щ) m4/128(n- 1) X'. (13)
При ч, = 0.25, что обеспечивает апохроматическую коррекцию и число Штреля, равное 0.8 для длины волны X , из формулы (13) следует, что радиус входного зрачка т, равен
т = 2.38У0'75 [( п - 1) V! п - п, |]0 25. (14)
Для видимой области спектра, когда основная длина волны X = 546.1 нм (спектральная линия е), спектральный диапазон ограничен длинами волн 479.99 нм (линия р') и 643.85 (линия Сг), а в качестве материала пластины использовано стекло К8, меньшее значение выражения, заключенного в квадратные скобки, имеет место для линии ¥' . Выражение (14) при этом принимает вид
т = 1.18/а75. (15)
Проверим полученные выше формулы на численном примере. Пусть фокусное расстояние объектива равно У = 500 мм. Тогда из выражения (15) получаем, что т = 125 мм. Пластину выполним из стекла К8. Воспользовавшись формулами (10) и (11), находим приближенные значения коэффициентов уравнения асферической поверхности пластины а4 = 4.83-10" , а2 = - 7.55-10" . При этом на краю отверстия волновые аберрации составляют че = -0.75, = -0.64, = - 0.85, что свидетельствует об удовлетворительной точности вышеприведенных формул. После автоматизированной коррекции, выполненной при условиях, приведенных выше, коэффициенты уравнения асферической поверхности приняли значения а2 = - 7.60-10-6, а4 = 4.75-10-10, а6 = 7.39-10-16. Волновая аберрация че не превышает нескольких тысячных длины волны, максимальные значения волновых аберраций для дополнительных длин волн имеют место на зоне и составляют = -0.26, = 0.19. На краю отверстия величины этих аберраций практически равны нулю. Числа Штреля составляют 100% (е), 79% (р), 89%(С"). Кома полностью отсутствует. Максимальная деформация второй поверхности, вычисленная по формуле (12), составляет 0.029 мм, реальная - 0.03 мм.
Для дальней инфракрасной области спектра X = 8-14 мкм, когда в качестве материала компенсатора используется германий, формула (15) приобретает вид:
т =6/'75, (16)
откуда следует, что при диафрагменном числе К = У/2т = 1 максимальное фокусное расстояние, при котором достигается число Штреля, не меньшее 0.8 для всего диапазона длин волн, равно _/= 20736 мм. При меньших фокусных расстояниях и меньшей светосиле гарантируется лучшее качество изображения.
По сравнению с объективом Максутова, не содержащим асферических поверхностей, рассматриваемая система обладает несравненно большей светосилой. Линейное
поле изображения у' обеих сравниваемых систем ограничивается кривизной, которая в волновой мере может быть представлена в виде:
w = у'2/16 К2/Х , (17)
где К - диафрагменное число.
Линейное поле параболоидального зеркала ограничивается комой, которая выражается формулой
w = у' /32К3Х. (18)
В соответствии с выводами Марешаля [3] допустимое значение кривизны изображения, обеспечивающее дифракционное качество изображения, составляет 0.25, а допустимое значение комы 0.6. Подставив эти значения в формулы (17) и (18) соответственно, получаем
у' = 2К(А)0'5. (19)
у' = 19.2К3Х. (20)
Так, при У = 1000 мм, К = 2 и X = 500 нм безаберрационное поле объектива Шмидта составит у' = 3 мм, а безаберрационное поле параболоидального зеркала у' = 0.08 мм. Преимущество объектива Шмидта очевидно.
Литература
1. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 638 с.
2. Запрягаева Л.А., Свешникова И.С. Расчет и проектирование оптических систем. М.: Логос, 2000. 581 с.
3. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. М.: Мир, 1964. 295 с.
