Расчет геометрически нелинейных конструкций методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

С. В. Шлычков, С. П. Иванов, С. Г. Кузовков, Ю. В. Лоскутов

РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ1

Представлены результаты численных исследований деформирования гибкой струны под действием поперечной статически приложенной нагрузки. Задача решается методом конечных элементов. В рамках плоской задачи получены расчетные соотношения для вычисления матриц жесткости и геометрической жесткости конструкции. Построен итерационный алгоритм расчета, учитывающий нелинейную зависимость между прикладываемой нагрузкой и перемещением точек конструкции.

Введение

Существуют две причины нелинейного поведения конструкций. Первая обусловлена нелинейностью диаграммы прочности конструкционного материала даже в пределах малых перемещений - физическая нелинейность [1]. Вторая связана с изменением геометрии конструкции, которое вызывается значительным искажением ее формы в процессе деформирования - геометрическая нелинейность. Таким образом, некоторые элементы конструкций могут оказываться нелинейными, даже если они изготовлены из линейно упругого материала. Расчету таких конструктивных элементов посвящается данная работа.

В настоящее время для практических расчетов в самых различных областях науки используется метод конечных элементов (МКЭ). Известен ряд широко известных и хорошо зарекомендовавших себя конечно-элементных программных комплексов для проведения численных расчетов: ANSYS, NASTRAN, ABAQUS и т.п. Некоторые из используемых в этих комплексах конечных элементов (КЭ) предназначены для дискретизации геометрически нелинейных конструкций: нить, трос, струна, упругая опора. Однако при этом существуют ограничения при формировании вектора нагрузок. Так, например, в программном комплексе ANSYS 10.0 дискретизация геометрически нелинейных конструкций возможна с помощью КЭ LINK 10, а расчетные соотношения для этого КЭ предполагают задание только простейших видов силовых воздействий - растяжение-сжатие. В действительности спектр нагрузок, действующих на подобные механические системы, значительно шире. Достаточно проанализировать работу таких конструкций: линии электропередач, растяжки для крепления рекламных плакатов, канатные дороги для транспортировки людей и грузов и т.п. В этих случаях силовое воздействие имеет не только существенную продольную, но и значительную поперечную составляющую, ответственную за нелинейное поведение. Следовательно, актуальна разработка КЭ, способного адекватно моделировать статическое и динамическое поведение геометрически нелинейных конструкций под действием поперечных нагрузок. Настоящая работа ставит своей целью разработку КЭ гибких элементов конструкции с учетом начальных деформаций.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проект № 07-01-96605-р_поволжье_а; № 07-08-96620-р_поволжье_а; 09-08-00928_а).

Расчетные соотношения

Рассмотрим предварительно натянутую струну, закрепленную по концам и нагруженную сосредоточенной силой Р (рис. 1). Для определения V -перемещения точки приложения силы, используем МКЭ.

Рис. 1 Объект исследования

Задача статики описывается системой обыкновенных линейных алгебраических уравнений

№№} • (•)

Порядок уравнений равен числу степеней свободы, которое определяется степенью дискретизации конструкции. Здесь [К] - матрица жесткости конструкции; {д} - вектор узловых перемещений; {^} - вектор узловых нагрузок,

[ К ] = [К] + [0 ], (2)

[ К ] - упругая составляющая матрицы жесткости; [О ] - матрица геометрической жесткости, учитывающая силу натяжения струны. Коэффициенты

этой матрицы находятся в зависимости от узловых перемещений КЭ струны. Следовательно, для построения [О] необходимо решить систему уравнений

(1), что может быть достигнуто посредством последовательных итераций.

Представим КЭ в виде прямолинейного плоского стержня, направив ось х вдоль линий центров тяжести сечений (рис. 2). Вкладом в энергию деформирования от кручения и изгиба будем пренебрегать. В качестве обоб-

г 1 \и ]

щенных перемещений примем {и} = <! V Г. Здесь и - перемещение вдоль оси X,

V - перемещение вдоль оси у. Положительные направления перемещений показаны стрелками на рис. 2. Функция перемещений задается в виде полинома первой степени

и(х) = а1 + а2х, V(х) = аз + а4х. (3)

Для нахождения четырех постоянных (а, - = 1.. .4) используем граничные условия:

1) и(х = 0) = иг-;

2) V (х = 0) = V-;

3) и(х = Ь) = и]-;

4) V(х = Ь) = Vj .

В результате уравнения (3) переписываются следующим образом:

и(£) = и (1 -£) + и$, У(£) = V (1 -£) + У-£ . (4)

Здесь £ = Ь - безразмерная координата. В матричной форме соотноше-

ния (4) можно записать в следующем виде:

1 -£ 0 £ 0'

0 1 -£ 0 £

и У и-і У- і

(5)

или в сокращенной матричной форме:

{«} = №}, (6) где [Ф] - матрица аппроксимирующих функций (функций формы).

Связь между деформациями и перемещениями принимается согласно [2]:

ди 1 ( дV )2 £ =---+ -1----I . (7)

дх 2 ^ дх )

В случае аппроксимирующих функций типа (3) деформация в пределах КЭ является постоянной (не зависит от координаты) и вычисляется по формуле

1 -2

Е = 02 +-

(8)

Для нахождения матрицы жесткости используется известная формула [3]

[К] = \ [В]Т Е[В]с1 фоХ), (9)

Vol

где Е - модуль Юнга; [В] - матрица, полученная дифференцированием аппроксимирующих функций согласно формуле (7):

■1 о I

Ь Ь

1 1

[£] =

0

0 --

0

2 Ь2

2Ь2

(10)

В случае однородной струны с постоянной (в пределах КЭ) площадью поперечного сечения (А) формула (9) запишется в виде

[К] = |[Б] ЕЛ[Б]сЬ .

(11)

Тогда симметричная матрица К] для КЭ длиной Ь имеет следующую структуру:

[К ]■

ЕЛ

Ь

0

ЕЛ

4 Ь

3

_ ЕЛ

Ь

0

ЕЛ

Ь

0

ЕЛ

3

4Ь

0

ЕЛ 3

(12)

4Ь

Для нахождения матрицы геометрической жесткости используется формула [4], адаптированная для данного КЭ:

[С] = |[5] N[5]сЬ.

(13)

Здесь N - сила натяжения струны; [S] - матрица, полученная дифференцированием аппроксимирующих функций (4), определяется выражением

"0 0 0 0'

[5 ] =

0 -1 0 I

Ь Ь.

(14)

Соответственно матрица геометрической жесткости для КЭ длиной Ь

имеет следующую структуру:

[С ] =

0 0 N

Ь

0

0

0

0

_ N

Ь

0

N

ь .

(15)

В процессе деформирования струны будет происходить изменение силы натяжения N. Соответственно значения матрицы геометрической жесткости [С] будут меняться. Именно поэтому решение системы уравнений (1) может быть получено только с помощью итерационных алгоритмов. Используется шаговый метод нагружения вкупе с методом последовательных приближений.

С этой целью в уравнение (1) вводится параметр нагрузки X, изменяющийся в пределах от 0 до 1. В нашем случае разбиваем интервал изменения X

на 10 отдельных участков: 0; 0,1; 0,2...1. При отсутствии сходимости решения количество интервалов необходимо увеличить. Тогда уравнение (1), записанное в виде

К

М=Чр }■

(16)

необходимо будет решать 10 раз. При этом на каждом шаге будет накапливаться величина вектора перемещения. Рассмотрим первый шаг этой процедуры.

Общая матрица [К] на каждом этапе (і = 1, 2, 3, ..п) решения системы (16) определяется через узловые перемещения, полученные на предыдущем этапе:

[К(*м)]{<&}=ОД-1. (17)

На первом этапе значения узловых перемещений для каждого КЭ определяются без учета изменения силы натяжения струны, т.е. задача решается в линейной постановке. Полученное приближенное решение соответствует точке А\ на рис. 3. Для данных значений узловых перемещений определяются деформации (8), в соответствии с которыми уточняется значение сил натяжения {N} = ЕЛ {є} . Уточненное значение N подставляется в формулу (13). Затем по формуле (2) определяется матрица жесткости и согласно (1) рассчитывается вектор узловых нагрузок (^\ на рис. 3), соответствующий нелинейному решению. Таким образом, получается точка В\ на рис. 3.

Рис. 3 Итерационный алгоритм

Второе приближение по перемещениям определяется согласно [5] с поправкой на характер исследуемой кривой = Д5)):

И )

§2 — 81 —

К

И)

(18)

Полученное решение соответствует точке А2 на рис. 3. Процесс последовательных решений уравнений с процедурой уточнения матрицы жесткости продолжается до тех пор, пока разница между результатами решения, полученными на этапах п-1 и п не будет достаточно малой. Критерием сходимости итерационного процесса установлено условие И — §г—1 )/§■ -£,

где е = 10-6 - заданная точность решения.

Затем уравнение (16) решается снова уже для следующего интервала нагрузки, при этом учитываются перемещения, рассчитанные на предыдущем этапе, и изображенные на рис. 3 итерационные процедуры повторяются. Такой цикл происходит для каждого интервала нагрузки.

Эксперимент. С целью апробации разработанной методики расчета геометрически нелинейных конструкций поставлена серия натурных экспериментов. Для этого использовалась лабораторная установка, схема которой приведена на рис. 4. Установка включала в себя объект исследования 1 -стальную струну диаметром й = 0,4 мм и длиной I = 0,5 м, один конец которой неподвижно закреплялся. Другой конец, проходящий через специальное зажимное устройство 2, прикреплялся к динамометру 3. После создания требуемой силы натяжения второй конец также фиксировался посредством устройства 2. Затем на расстоянии 0,2 м от зажимного устройства подвешивался груз весом Р и измерялась величина прогиба V.

Измерения проведены при различных силах натяжения струны и весах подвешиваемого груза. Результаты эксперимента сведены в табл. 1.

Здесь же представлены данные расчета, полученные для струны с модулем упругости Е = 2-105 МПа. Для оценки влияния геометрической нелинейности на величину прогиба в табл. 1 даны значения V, рассчитанные без учета эффекта изменения силы натяжения. Анализ представленных данных позволяет сделать следующий вывод. Учет нелинейности нецелесообразен, если отноше-

Ы0

ние начальной силы натяжения к величине поперечной нагрузки а =-р- > 30.

Если а < 10 величина ошибки составляет уже 12-20 %, а по мере уменьшения этого отношения ошибка становится все более заметной. При а < 0,7 ошибка

достигает 300 %. Таким образом, пренебрежение эффектами геометрической нелинейности в ряде случаев может привести к недопустимо большим ошибкам.

Таблица 1

Величина начальной силы натяжения Ы0 = 20 Н

Вес груза Р, [Н] Расчет V, 10 2 м Эксперимент V, 10 2 м

Учет изменения силы натяжения Без учета изменения силы натяжения

2,9 0,90 1,12 0,9

4,9 1,27 1,86 1,2

12,8 2,10 4,84 2,0

14,7 2,25 5,59 2,2

17,7 2,45 6,70 2,4

19,6 2,56 7,45 2,5

29,4 3,03 11,17 3,0

Величина начальной силы натяжения N = 50 Н

2,9 0,55 0,58 0,5

4,9 0,86 0,96 0,8

12,8 1,73 2,51 1,7

14,7 1,88 2,89 1,9

17,7 2,095 3,47 2,0

19,6 2,22 3,86 2,3

29,4 2,73 5,78 2,8

Величина начальной силы натяжения N = 100 Н

2,9 0,32 0,32 0,3

4,9 0,52 0,53 0,5

12,8 1,23 1,39 1,2

14,7 1,38 1,60 1,5

17,7 1,59 1,92 1,7

19,6 1,72 2,14 1,8

29,4 2,25 3,21 2,3

Для наглядного отображения полученных данных расчетно-экспериментальные результаты представлены на рис. 5. Сопоставление расчетно-экспериментальных результатов показывает их хорошее соответствие.

Эксперимент Расчет

Рис. 5 Результаты расчетно-экспериментальных исследований

Список литературы

1. Иванов, С. П. К расчету на устойчивость физически нелинейных пластин в упругой среде / С. П. Иванов, Е. С. Иванова, О. Г. Иванов, Ю. В. Лоскутов, С. В. Шлычков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 1. - С. 175-182.

2. Лукаш, П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А. Лукаш. - М. : Стройиздат, 1978. - 204 с.

3. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. - Л. : Судостроение, 1974. - 344 с.

4. Куликов, Ю. А. Механические колебания дек музыкальных инструментов / Ю. А. Куликов, С. В.Шлычков. - Йошкар-Ола : Изд-во МарГТУ, 2006. - 188 с.

5. Ливсли, Р. Матричные методы строительной механики / Р. Ливсли. - М. : Стройиздат, 1980. - 224 с.