Расчет динамической системы на синтезированные акселерограммы Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИА СИНТЕЗИРОВАННЫЕ АКСЕЛЕРОГРАММЫ

О.В. Мкртычев, А.А. Решетов

МГСУ

В статье рассматриваются два способа синтезирования акселерограмм сейсмического воздействия. Полученные акселерограммы прикладываются в качестве внешней нагрузки к системе с одной степенью свободы. Проведён сравнительный анализ реакции рассматриваемой системы.

The article discusses two ways of synthesizing seismic accelerograms. These accelerograms are applied as external loads to the system with one degree of freedom. A comparative analysis of the reaction of the system.

Моделирование случайного сейсмического воздействия предполагает получение последовательности значений ускорения грунта основания для разных отсчётов времени. График зависимости ускорения движения грунта от времени называется акселерограммой. Представим функцию зависимости ускорения от времени следующим образом:

a(t) = (р(t) • x(t) , (1)

где (p(t) - стационарный случайный процесс; x(t) - некоторая детерминированная функция (огибающая).

Рассмотрим моделирование случайного сейсмического воздействия двумя методами, а именно: методом формирующего фильтра и методом канонических разложений. Далее исследуем реакцию системы с одной степенью свободы на полученные реализации случайного процесса.

Из исходного представительного набора 35 акселерограмм, используемых при расчетах в атомной энергетике, выделяем огибающие, аппроксимируем функцией Бер-лаге:

x(t) = At • exp(-Bt), (2)

Результаты расчета показаны на рис.1. Сплошной график обозначает усреднённую огибающую, а пунктирный аппроксимацию функцией Берлаге.

Рис.1. Построение огибающей функции

2/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Получение спектральной плотности мощности каждой акселерограммы будем осуществлять при помощи быстрого преобразования Фурье (FFT). Усреднение получим путем аппроксимирования по следующим законам: линейному, при частотах от

V = 0 до V — V m далее по гиперболическому S (v) = a / V + b , где V m -

частота, при которой спектр достигает максимума. Результаты расчетов приведены на рис.2. Сплошной график обозначает усреднённый спектр, а пунктирный его аппроксимацию.

2

Рис.2. Аппроксимация спектральной плотности акселерограмм

Рассмотрим далее моделирование стационарного случайного процесса с помощью двух различных методов.

Основная идея метода формирующего фильтра (метода скользящего суммирования) заключается в линейном преобразовании стационарной ортонормированной последовательности нормально распределённых случайных чисел в последователь-

ность (рп, коррелированную по заданному закону:

м

<Рп =£С,

n-k

n=1,...,N

(3)

k=0

где ^п - ортонормированная, нормально распределённая случайная величина; Ск - весовой коэффициент (ядро свёртки).

Можно доказать, что весовые коэффициенты можно находить, как коэффициенты Фурье от функции, пропорциональной корню из спектральной плотности:

1

ck -к В s и

2 ' kmo ^ da

cos

1 ^ )

(4)

где О - частота ограничения спектра; Ю — 2жУ .

Так как С к достаточно быстро убывает, то М выбирается таким, что при к>М весовой коэффициент С к мало отличается от нуля.

Построим спектр случайного процесса и сравним его с исходным (рис.3).

2 1.5 сл 1

0.5 □

/ . 1 1

к

Йжг^З

частота. Гц

Рис.3. Синтезированная акселерограмма и ее спектральная плотность (метод формирующего фильтра)

На рисунке пунктиром обозначен исходный спектр. Как видно полученный спектр практически совпадает с исходным.

Применим метод канонических разложений. В этом методе случайный процесс раскладывается в ряд Фурье:

ф(г) = ^ (ик ео8 Ш г + ук Бт к О. г), 0 < г < Тт

(5)

2л

где ик ,Ук - случайные коэффициенты, Т - интервал моделирования, Q =

Тп > Тт, Мик) =Ыук)-0, М(укуг) - 0 при к Ф 1,Тп - период реализаций (р (г ) .

Период Тп должен быть значительно больше интервала корреляции случайного процесса Тк : Тп >> Тк , тогда для определения дисперсий <Г? случайных коэффици-

ентов ик и Ук можно записать:

1

ап =

1 П да

|Я (т)ёт «-|Я (г)ёт

5(0).

2Т„ '

(6)

а 2 =

2

|я(т)ео8 кПтёт « |Я(г)ео8 к0.тёт =

5 (Щ) 2Т „

П 0 п 0

где 5((у) - спектральная плотность моделируемого процесса. Для компьютерного моделирования число членов ряда (5) приближённо может

быть определено как М = —- Тп, где 6)Б - значение характерной верхней частоты.

2к

Получим синтетическую акселерограмму и проведём обратную проверку (рис.4). Из рис.3 и 4 видно, что два метода моделирования случайных процессов дают сходные результаты.

к = 0

2/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

20 25 30 частота, Гц

Рис.4. Синтезированная акселерограмма и ее спектральная плотность (метод канонических разложений)

Приложим полученные акселерограммы в качестве внешней нагрузки к системе с одной степенью свободы. Дано: статически определимая балка на двух шарнирных

опорах (рис.5); т=10 т; 1=6 м; £ = 21 • 104 сечение балки - двутавр I №22.

та® 1

1 = 6 м

Л'

Рис.5. Система с одной степенью свободы

Поведение данной системы описывается следующим дифференциальным уравнением движения:

ту + су + ку = -та; (7)

Выполним расчет на полученные акселерограммы и сравним реакцию системы -вертикальные перемещения у(г).

На рис.6 изображён график у(г), соответствующий сейсмической нагрузке, полученной методом формирующего фильтра. На рис.7 изображён график у(г), соответствующий нагрузке, полученной методом канонических разложений.

Рис.6. Реакция системы на внешнее воздействие (метод формирующего фильтра)

Рис.7. Реакция системы на внешнее воздействие (метод канонических разложений)

Анализ полученных реакций системы с одной степенью свободы свидетельствует о практической близости результатов. Это позволяет сделать вывод о возможности использования рассмотренных методов моделирования синтезированных акселерограмм при расчетах зданий и сооружений на сейсмические воздействия.

Литература

1. Бакалов В.П. Цифровое моделирование случайных процессов. Москва: МАИ, 2002.

2. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений. Москва, Стройиздат, 1982.

3. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Моделирование сейсмического воздействия в виде случайного процесса методом канонического разложения // Фундаментальные науки в современном строительстве. Третья научно-практическая и учебно-методическая конференция, МГСУ, 22.12.2003г. Сборник докладов, с. 79-84.

Ключевые слова: Синтезированная акселерограмма, динамическая система, случайное воздействие, случайный процесс, вероятностные методы.

Keywords: Synthesized accelerogram, dynamic system, random effects, random process, probabilistic methods.

Статья представлена редакционным советом «Вестник МГСУ»

e-mail авторов: mkrtychev@yandex.ru, andrew331@bk.ru