Псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева плоскости, наделённые финслеровыми геометриями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

Математика и механика

№ 6(44)

МАТЕМАТИКА

УДК 514.756:514.763.6 Б01 10.17223/19988621/44/1

В.А. Киров

ПСЕВДОГЕЛЬМГОЛЬЦЕВА И ДУАЛЬНОГЕЛЬМГОЛЬЦЕВА

ПЛОСКОСТИ, НАДЕЛЁННЫЕ ФИНСЛЕРОВЫМИ ГЕОМЕТРИЯМИ

Известна полная классификация двумерных феноменологически симметричных геометрий. Она содержит как хорошо известные геометрии (евклидова, псевдоевклидова, симплектическая, сферическая и т.д.), так и неизвестные (собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельм-гольцева и симплициальная). Простой анализ доказывает однородность метрической функции псевдогельмгольцевой и дуальногельмгольцевой геометрий. Поэтому данные геометрии принадлежат классу финслеровых пространств. В данной работе применяются методы финслеровой геометрии для исследования псевдогельмгольцевой и дуальногельмгольцевой двумерных геометрий: проверяются финслеровы аксиомы, находится финслеров метрический тензор, финслеровы основной и дополнительный тензоры, вычисляются финслеров скаляр и специальный тензор кривизны.

Ключевые слова. Метрическая функция, псевдогельмгольцева геометрия, дуальногельмгольцева геометрия, финслерова геометрия.

Известна классификация Г.Г. Михайличенко двумерных феноменологически симметричных геометрий [1], то есть геометрий, для которых шесть взаимных расстояний между четырьмя произвольными точками функционально связаны. Расстояние понимается в обобщенном смысле как значение некоторой функции, для которой метрические аксиомы не обязательно выполняются. Было доказано, что феноменологически симметричные геометрии наделены максимальной подвижностью, то есть для них существуют группы движений максимальной размерности равной трем [2, 3]. Классификация таких двумерных геометрий содержит как хорошо известные геометрии (евклидова, псевдоевклидова, симплектическая, сферическая и т.д.), так и неизвестные (собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельмгольцева и симплициальная). В данной работе применяются методы изучения финслеровых пространств для исследования псевдогельм-гольцевой и дуальногельмгольцевой двумерных геометрий. Эта статья является продолжением работы [4], опубликованной автором, в которой исследуется собственно гельмгольцева двумерная геометрия как финслерово пространство.

1. Псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева плоскости

Возьмем в арифметической плоскости Я2 метрические функции [1]:

2Р аг(с)Л

/(х, у) = [(х1 - у1)2 - (х2 - у2)2]е х-у ,

где в = const, в Ф 0, в Ф 1, х1 Ф у1, причем при

<1 берем

, u 2 1 1 + u 2 / u1 aim—- = — ln--—-, а при

u1 2 1 - u2/ u1

, u2 1, u2 / u1 -1 > 1 -arcth—- = — ln——-- и

u1 2 u2/ u1 +1 g(x, у) = (x1 - у1)2 e2

2 2

2 X - y

где х1 Ф у1.

Рассмотрим касательную плоскость Тх (Я2) к Л2 в произвольной точке х = (х1,х2). Обозначим через Т(Я2) касательное расслоение. Зададим в прямом произведении Я2 х Т (Я 2) метрическую функцию

f (u) = J(l

и1)2 - (и2)2 е "', (1)

где и е Тх(Я2), и1 Ф 0 . Касательный вектор и е Тх(Я2) называется неизотропным по отношению к функции (1), если для него определено значение этой функции. Множество неизотропных касательных векторов относительно метрической функции (1) в точке х обозначим через Б/х (Я2) с Тх (Я2). Пусть

Б? (Я2) с Т(Я2) - расслоение неизотропных касательных векторов. Очевидно,

метрическая функция (1) определена в прямом произведении Я2 хБ?(Я2).

Аналогично в прямом произведении Я 2 х Т (Я 2) задаем метрическую функцию

и2

g(и) = и1еи', (2)

где и е Тх(Я2), и1 Ф 0, и определяем неизотропный по отношению к функции (2) касательный вектор и е Тх (Я2) как вектор, для которого определено значение этой функции. Множество так определенных неизотропных касательных векторов в точке х обозначим через Dgх(Я2) с Тх(Я2). Введем обозначение Б (Я2) с Т(Я2) для расслоения таких неизотропных касательных векторов. Очевидно, метрическая функция (2) определена в прямом произведении Я2 х (Я2).

Определение 1. Тройка (Я2, Б? (Я2), /) задает псевдогельмгольцеву двумерную геометрию (плоскость), а тройка (Я2,(Я2),g) - дуальногельмгольцеву

двумерную геометрию (плоскость).

Теорема 1. Метрические функции (1) и (2) положительно однородны степени один.

Доказательство. Действительно,

„ , ^ , Хи2 Хи2

I-—-7Т в аг(с)Л ~ . —-

/(Хи) = у](Хи )2 - (Хи2)2е Хи = Х/(и), g(Хи) = (Хи1)еХи =Хg(и), для любого X > 0. □

в ar(c)th—

u

Таким образом, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева двумерные геометрии являются финслеровыми пространствами [5].

Очевидно, метрическая функция (1) положительна в области

< 1, то есть

/(и) > 0, причем и е Б/ (Я2).

Теорема 2. Псевдогельмгольцева геометрия является положительно опреде-

ленной двумерной финслеровой геометрией в области

< 1, при |р| > 1.

Доказательство. Вычисляем производные первого порядка:

д/ 2 2раг(с>Ь—-

= 2(и1 -ри 2)е и1

ди

дГ 2 1 2Р аг(с)Л—

-Ц- = 2(-и 2 +Ри1)е и1,

ди2

потом производные второго порядка:

д2 / 2

(и1)2 + (2Р2 - 1)(и 2)2 - 2ви и2 2ваг(с)Л— -е и ,

2.Л.2

ди'ди1 ~ (и1)2 - -(и 2)2

д 2 / 2 „Р((и1)2 + (и 2)2) - 2Р

ди1ди2 ~ (и1)2 - (и 2)2

д 2 / 2 ,(2Р2 - 1)(и:)2 + (и2)2 -

ди2ди2 " (и1)2- - (и2)2

Затем вычисляется определитель

д2/2 д2/2

Д = ди'ди1 ди1ди2 д2/2 д2/2 = 4(Р2

ди 2 ди1 ди 2ди 2

4раг(с)1Ь—

который положителен при |р| > 1. Элемент в левом верхнем углу данного определителя, очевидно,равный

2

д2/2 „ (и1 - Ри2)2 + (Р2 - 1)(и2 )2 2ваг(с)Ли~г ■ = 2- ^ и

ди'ди1

также положителен, если |В| > 1 и

(и1)2 - (и 2)2

< 1. Таким образом, из приведенных рассу-

ждений следует, что при |Р| > 1 в области

< 1 квадратичная форма

д/2

диг ди1

%1 = 2 gг, % $1

(3)

2

и

и

2

и

и

2

2

2

2

и

2

2

2

и

и

2

и

и

положительно определена. Если же еще учесть положительность метрической функции (1), то приходим к утверждению теоремы 2. □

Метрическая функция (2) положительна, то есть g(и) > 0, в области где и1 > 0 , причем и е Dg(Я2).

Теорема 3. Дуальногельмгольцева геометрия является положительно определенной двумерной финслеровой геометрией в области и1 > 0 .

Доказательство. Вычисляем производные первого порядка:

2

ди

= 2(и1 - и 2)е и:

ди

2—г

= 2и:е и ,

потом производные второго порядка:

1 \2

д2 g 2 = .(и1)2 + 2(и 2)2 - 2и'и 2 ^

ди1ди1

(и1)2

я2 2 д g

ди1ди2

и

2и 2 - и1 2"Г = -2-;-е и ,

.2 „2

д2 g

ди 2ди 2

= 4е

2 и2

Затем вычисляется определитель

^2 2 д g

Д =

я2 2 д g

ди1ди1

г<2 2 д g

ди1ди2

з2 2 д g

ди 2 ди1

ди2ди2

4~ = 4е и > 0.

Элемент в левом верхнем углу данного определителя, очевидно, равен

з2 2 д g

ди1ди1

„(и1 - и2)2 + (и2)2 2—г > 0

= 2-е и > 0.

(и1)2

Видно, что квадратичная форма (3), в которой берем вместо / метрическую функцию g, положительно определена. Учитывая дополнительно положительность метрической функции (2) в области и1 > 0 , приходим к утверждению теоремы 3. □

2. Псевдогельмгольцево двумерное многообразие

Это многообразие определено в работе автора [6], и локальное его изучение было темой кандидатской диссертации. Ниже все индексы принимают значения 1 и 2. Рассмотрим касательную плоскость Тх (М) к двумерному многообразию М в

произвольной точке х и касательное расслоение Т (М). В прямом произведении

М х Т (М) зададим метрическую функцию, которая в координатной окрестности

2

2

2

2

2

2

U с M имеет явный вид

_ Par(c)th

f (х,u) = yj(a1u' )2 - (biui )2 e "<"', (4)

где u e Tx (M), а ai = ai (x), bi = bi (x) - функции класса C3, в = const, в Ф 0, в Ф 1. В каждой точке x векторы au', bu' линейно независимы, то есть a1b2 - a2b1 Ф 0 . Касательный вектор u e Tx (M) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (4). Множество неизотропных касательных векторов в точке x обозначим через Dfx (M) с Tx (M). Пусть Df (M) с T(M) -расслоение неизотропных касательных векторов.

Определение 2. Тройка (M, Df (M), f ) задает геометрию двумерного псевдо-

гельмгольцева многообразия.

Заметим, что для псевдогельмгольцевой плоскости a\ = 1, a2 = 0, b\ = 0, b2 = 1. Теорема 4. Метрическая функция (4) положительно однородна степени один. Доказательство. Действительно,

_ Par^th^

f (x, Xu) = y](atXu1 )2 - (b1 Xu1 )2 e a'Xu' = Xf (x, u), для любого X > 0. □

Итак, двумерное псевдогельмгольцево многообразие является финслеровым пространством [5].

Метрическая функция (4) положительна, то есть f (x,u) > 0, в области

bul

a^u1

< 1, где u e Dfx (M).

Теорема 5. Псевдогельмгольцево двумерное многообразие (М, Б? (М), / ) является положительно определенным двумерным финслеровым пространством в

Ь—

области

a u

< 1 при |в| > 1.

Доказательство. Сначала вычисляем производные первого порядка:

(2)

df 2( xu) 2P ar(c)th-(—

= 2[(a' +pb' )(1) - (b' +Pa' )(2)]e (1),

ди

где для удобства введены сокращающие обозначения

(1) = акик, (2) = Ькик. Потом вычисляются компоненты финслерова метрического тензора

1 д2 / 2( х, и)

2 ди'ди]

псевдогельмгольцева двумерного многообразия:

g'1 (x,u) = т „ ^ 1 (5)

Ail (1)2 + В! (2)2 + C'1 (1)(2) 2Par(c)th^

(1)2 - (2)2

(6)

где

а. = +р«ь; +РЬа+(2Р2 - ,

Б. = (2Р2 - 1)«га; +р«гй; +рьл. + ЬгЬ],

С = -2Р(аа + РагЬ; +РЬг«; + ЬгЬ. ). Затем вычисляется определитель

Д =

„ g 4раг(с)1Ь—~

, °12 = -^21 = (Р2 - 1)(а-Ь2 -«2Ь-)2е и. (7)

.521 ¿522

Видно, что он положителен, если |р| > 1. Несложно преобразовать элемент в верхнем левом углу данного определителя:

= (Ц + РЬ2 )(1) - Ра (2))2 + (фа1 + Ь )(2) - РЬ2 (1))2 - а* (2)2 - Ь2 (1)2 2Р

^11 = 9 9 е .

(1)2 - (2)2

Можно доказать его положительность в области

ЬМ

а,и

< 1 при |Р| > 1. Из полу-

ченных результатов следует, что квадратичная форма (3) положительно определена. Учитывая еще положительность метрической функции (4) в области

ЬМ

а,и

< 1, приходим к утверждению теоремы 5. □

Предложение 1. Контравариантный финслеров метрический тензор псевдо-гельмгольцева двумерного многообразия задается формулой

(2)

А (1)2 + Б (2)2 + Сг (1)(2) я-2ваг(с)а^

(Р2 - 1)(«Ь - а2Ь1)2((1)2 - (2)2)

(8)

где А11 = А22, А21 =-А12, А22 = Аи, Б11 = Б21, Б21 =- Бп, Б22 = Б„, С11 = С22,

21 22 С = -С12 , С = С11 .

Доказательство. Контравариантный финслеров метрический тензор ¿3 определяется из формулы gvgjk = 8 к, где 8к - символ Кронекера, gjk - финслеров

метрический тензор псевдогельмгольцева двумерного многообразия, определенный формулой (6) . Тогда

„22 = Ап(1)2 + Б11(2)2 + С„(1)(2) _е-2Р

(Р2 - 1)(«Ь - а2Ь1)2((1)2 - (2)2)

А21(1)2 + Б21(2)2 + С21(1)(2) е-2Р (Р2 - 1)(а1Ь2 - а2Ь1)2((1)2 - (2)2) *

(2) "(1)

(2)

11 = А22(1)2 + Б22 (2)2 + С22(1)(2) -2Р аг|»ь(1)

(Р2 - 1)(а1Ь2 - а2Ь1)2((1)2 -(2)2)

2

Если ввести обозначения:

А11 = A A21 =- A A22 = A

11 21 22

B = B22, B =-B12, B = B\\,

11 21 22

С = С22 , С = -С12 , С = СП ,

то для компонент контравариантного метрического тензора получим формулу (8). □ Основной и дополнительные финслеровы тензоры [5] определяются формулами

Qk (х,и) = - ^(х: и) =1 д312(х и). , ' (х,и) = /(х,u)C1¡k (х, и). (9)

1 2 дик 4 дигди1дик 1 1

Очевидна полная симметрия по индексам:

Сук = = С1 = С1'к и 41'к = 41к = = А1'гк .

Предложение 2. Основной и дополнительный финслеровы тензоры псевдо-

гельмгольцева двумерного многообразия в области явный вид:

bU

üjUJ

< 1 при |ß| > 1 имеют

2ß(ß2 - 1)pi]k 2ßar(c)th(2 2ß(ß2 - 1)pi]k 3ßar(c)th(2)

a, = —;—^ e (1), Ak = —=—^ e

-'ijk

(1)

((1)2 -(2)2)2

((1)2 - (2)2)3/2

(10)

где введено сокращающее тензорное обозначение:

Р'к = (Ьк (1) - ак (2))(Ь' (1) - а' (2))(Ьг (1) - аг (2)).

Доказательство. Для доказательства необходимо вычислить производные от компонент метрического тензора (6) и привести подобные. □

ь—

——- < 1 при |р| > 1 можно определить единичный вектор, а также

В области

üjUJ

ковариантный нормальный к нему вектор:

li =-

f ( x, u)

mi = -%1 , гДе % =

0 л/Ä

-Va о

(11)

Учитывая (7), приходим к выражениям для единичного вектора и ковариантного нормального вектора псевдогельмгольцева двумерного многообразия в области

bU

а,и

< 1 с условием |ß| > 1:

li =

и e

-ßar(c)th— (1)

V(ß2 -1) (bi (1) - аг (2))e

ß ar(c)th(-) (1)

л/(1)2 - (2)2 ' i л/(1)2 - (2)2

В финслеровой геометрии доказано соотношение

Ak = Jm^m,

где J - скаляр [5].

и

Предложение 3. Финслеров скаляр 3 псевдогельмгольцева двумерного мно-

Ъи

гообразия в области

а ¡и1

< 1 при |Р| > 1 вычисляется по формуле

2р

3 = , = сош1

л/р1—1

Доказательство. Найдем сначала тройное произведение

3Раг(с>Ь^

(Р2 -1)3/2(ъ (1) - аг (2))(Ъу (1) - а] (2))(Ък (1) - ак (2))е (1)

тт1тк =-—-„ -

г 1 к ((1)2 - (2)2)

3Ваг(с)1Ь(-)

= (Р2 -1)3/2 р1]ке (1)

((1)2 - (2)2)3/2

Затем найденное и выражение для тензора А1к, вычисленное в предложении 2,

подставим в формулу (12), получаем явное выражение для скаляра 3 . □

Следует отметить, что в теории двумерных финслеровых пространств этот скаляр, который для двумерного псевдогельмгольцева многообразия принимает постоянное значение, является важной характеристикой. Заметим, что для рима-новых двумерных многообразий этот скаляр равен нулю. По тензорам (9) строятся новые тензоры:

С)к = £1С1к , А)к (х,и) = /(х, и)С'к (х,и). (13)

В явном виде для двумерного псевдогельмгольцева многообразия в области

ъи

< 1 с |р| > 1 они имеют вид

а и

= -2Р(Ък (1) - ак (2))(Ъу (1) - а} (2))((а' + рЪ )(1) - (Ъ1 + Ра1 )(2)) 1 ЦЪ2 -а2Ъг)((1)2 -(2)2)2 ,

А = -2Р(Ък (1) - ак (2))(Ъ (1) - а} (2))((а1 + рЪ )(1) - (Ъ + Ра1 )(2)) ^(0*1).

1 = (аЪ - а2Ъ\ )((1)2 - (2)2)3/2 е ,

где а2 = а1,Ъ2 = Ъ1, а1 = а2,Ъ1 = Ъ2 .

С помощью второго тензора из (13) можно определить финслеров специальный тензор кривизны [5]:

1 = А1А]Ъ - АЛАг]к. (15)

Теорема 6. Финслеров специальный тензор кривизны для псевдогельмгольцева двумерного многообразия равен нулю.

Доказательство. Действительно, воспользуемся выражением (14) для тензора А'1к при вычислении финслерова специального тензора кривизны (15):

. 4в2 Зра^с^Ь^2-$' =__е (1) х

к ЦЪ2 -а2Ъх)\{\)2 -(2)2)3 х((а' +рЪг )(1) - (Ъ' +р а' )(2))((аг +рЪГ )(1) - (Ъг +Раг )(2)) х х[((Ъ; (1) - а} (2))(Ък (1) - ак (2))(ЪЙ (1) - аь (2))(ЪГ (1) - аг (2)) --Ъ (1) - а} (2))(Ък (1) - ак (2))(ЪЙ (1) - аь (2))(ЪГ (1) - аг (2))] = 0.

Проведенные вычисления доказывают, что 8']к1 = 0. □

В работе [6] проводилось исследование кривизны двумерного псевдогельмгольцева многообразия, построенной через согласованную связность. Найден соответствующий тензор кривизны:

дГ'к дГ'

и' — 1к I__Л_Г' Л-Г' г5,

К]к1 = г + дхк Г 5кГ А +Г Г Зк, где символы Кристоффеля согласованной связности определяются по формуле

г- 1 &+£ Ъ К ((- +> ),

причем = аа : - ЪЪ : + Р(а'Ъ : - а Ъ), Хрк = Ъ, —'- - а, —'—. Оказалось, что тен-

1 дхк ' дхк

да' дЪ

Ъ

зор Яг]Ы тождественно не обращается в нуль.

3. Дуальногельмгольцево двумерное многообразие

Это многообразие, как и псевдогельмгольцево, также определено в работе автора [6]. Пусть М - двумерное многообразие. Рассмотрим Ух е М касательную плоскость Тх (М) и касательное расслоение Т (М). В прямом произведении М х Т (М) зададим метрическую функцию, которая в координатной окрестности и с М имеет явный вид

ь/

g(х, и) = (а/ )еа/ , (16)

где и е Тх (М), а а' = а{ (х), Ъi = Ъi (х) - функции класса С3. Векторы а/ , Ъ/ линейно независимы, то есть а1Ъ2 - а2Ъ1 Ф 0 . Касательный вектор и е Тх (М) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (16). Множество неизотропных касательных векторов в точке х обозначим через Dgx (М) с Тх (М). Пусть Dg (М) с Т(М) - расслоение неизотропных касательных векторов.

Определение 3. Тройка (М, Dg (М), g) задает геометрию двумерного дуаль-ногельмгольцева многообразия.

Заметим, что для дуальногельмгольцевой плоскости ах = 1, а2 = 0, Ъ = 0, Ъ2 = 1. Справедлива теорема, аналогичная теореме 4.

Теорема 7. Метрическая функция (16) положительно однородна степени один.

Таким образом, двумерное дуальногельмгольцево многообразие является финслеровым пространством [5].

Метрическая функция (16) положительна, то есть g(х, и) > 0 в области

а^1 > 0, где и е Dgx (М).

Теорема 8. Дуальногельмгольцево двумерное многообразие (М, Dg (М), g) является положительно определенным двумерным финслеровым пространством в области аи1 > 0.

Доказательство. Сначала вычисляем производные первого порядка: дГ(х,и) ,..........

ди'

причем

= 2[(аг + Ь' )(1) - а (2)]е

(1) = акик, (2) = Ькик.

Потом вычисляются компоненты финслерова метрического тензора по формулам (5) дуальногельмгольцева двумерного многообразия:

А (1)2 + В'} (2)2 + С'} (1)(2) г!2) gij =--^--е , (17)

где

А = аа} + аЬ] + Ьга] + 2ЬЬ, В = 2аа1, Сц = -2(аа; + аЬ] + Ь'а}).

Вычисляется определитель:

и (2)

Д =

= g22 - gl2g21 = (а1Ь2 - а2Ь1)2 е (1) > 0. (18)

11 <512 g21 g22

Можно доказать положительность элемента в верхнем левом углу:

((а1 + Ь1)2 - Ь12)((1) - (2))2 + 2Ь12(2)2 + (2а12 - (д + Ь1)2 + Ь12)(2)2 2~

\2

(2) (1) >0.

(1)2

Из полученных результатов и положительности метрической функции (16) в области а^ > 0 следует, что квадратичная форма (3) положительно определена. □

Предложение 4. Контравариантный финслеров метрический тензор дуально -гельмгольцева двумерного многообразия задается формулой

2(2)

2 2

(а1Ь2 - а2Ь1) (1)

, = А' (1)2 + В' (2)2 + С' (1)(2)

где А11 = А22, А21 = -А12, А22 = Ац, В11 = В22, В21 =-В12, В22 = В„, С11 = С22,

21 22

С = -С12 , С = С11 .

Доказательство. Контравариантный финслеров метрический тензор gy определяется из формулы giJgjk =§к, где 5к - символ Кронекера, g ^ - дуально-гельмгольцев финслеров метрический тензор. Тогда

,22 = Лп(1)2 + Вп(2)2 + Сп(1)(2) (а1Ь2 - а2Ь)2(1)2

(2) е (1),

.21 = А21 (1)2 + В21 (2)2 + С21 (1)(2) -2§

(аЬ - а2Ь1)2(1)2

= А22(1)2 + В22 (2)2 + С22(1)(2)

(аЬ - а^ )2 (1)2 '

Если ввести обозначения: Л11 = Л22, А21 = -Л12, А22 = А11, В11 = В22, В21 = -В12,

22 11 21 22 В = Вп, С = С22, С = -С12, С = С11, то для компонент контравариантного

метрического тензора получим искомую формулу. □

Предложение 5. Основной и дополнительный финслеровы тензоры дуальногельмгольцева двумерного многообразия задаются формулами

2рк 2® 2рк г = ^е(1), А* = ^е(1), (19)

ук (1)4 (1)3

где введено сокращающее тензорное обозначение

р1]к = (Ь (1) - аг (2))(Ь} (1) - а} (2))(Ьк (1) - а* (2)).

Доказательство. Для доказательства необходимо воспользоваться формулами (9). □

По формулам (11) вычисляем единичный вектор и ковариантный нормальный к нему вектор для дуальногельмгольцева двумерного многообразия, причем используем выражение (18) для определителя:

(2) (2) и1е (1) (Ь1 (1) - аг (2))е(1)

I1 =-

(1) (1)

Предложение 6. Финслеров скаляр 3 дуальногельмгольцева двумерного многообразия равен 2.

Доказательство. Находим тройное произведение

3(2) 3(2) (!) р е (!)

щш]шк =

(Ь (1) - а (2))(Ь; (1) - а} (2))(Ьк (1) - ак (2))е (1) = руке

(1) (1)

Подставляем найденное произведение и выражение для тензора Л1]к, вычисленное

в предложении 5, в формулу (12), получаем явное выражение для скаляра 3 . □

Далее по формулам (13) с использованием выражений для второго тензора из (19) вычисляем тензоры

С' =

2(Ь; (1) - а} (2))(Ьк (1) - ак (2))((а1 + Ь1 )(1) - а1 (2))

]к (аЬ - а2Ь1)(1)4

. 2(Ьк (1) - ак (2))(Ьj (1) - а (2))((а1 + Ь1 )(1) - а1 (2)) § _

Лк =-----3-е(1), (20)

(а1Ь2 - а2Ь1)(1)

где а2 =-а1,Ъ2 = Ъ1, а1 =-а2, Ъ1 = Ъ2. Затем находим финслеров специальный тензор кривизны.

Теорема 9. Финслеров специальный тензор кривизны для дуальногельмголь-цева двумерного многообразия равен нулю.

Доказательство. Действительно, воспользуемся выражением (20) для тензора Л']к при вычислении финслерова специального тензора кривизны (15):

4 2® 5«. =_4_е (1) х

]кк (аЪ - а2Ъ1)2(1)6 х((а' + Ъ' )(1) - а' (2))((аг + Ъг )(1) - аг (2)) х х[(Ъ} (1) - а. (2))(Ък (1) - ак (2))(ЪЙ (1) - аь (2))(Ъг (1) - аг (2)) --(Ъ. (1) - а. (2))(Ък (1) - ак (2))(ЪЙ (1) - аь (2))(ЪГ (1) - аг (2))] = 0.

Проведенные вычисления доказывают, что 8']к1 = 0. □

В работе [6] проводилось исследование кривизны двумерного дуальногельм-гольцева многообразия, построенной через согласованную связность. Найден соответствующий тензор кривизны:

дГ':к дГА

Щы =--Г + ~4- -Г'к Г + Г'„ Г * ,

дх1 дхк 1

где символы Кристоффеля согласованной связности определяются по формуле

Г'. = 1 hk (j +dhM dhj

v 2 I dx dx] dxk

da: db.

'j- hlk ( jkl kg -4k):

причем к.. = аа. + аЪ. - а.Ъ, = Ъ,—- а.—. Оказалось, что тензор кри-

1 1 ' дхк дх

визны л'— тождественно не обращается в нуль.

Заключение

Из данных исследований и работы [4] следует, что в классификации Михайли-ченко двумерных феноменологически симметричных геометрий [1] геометрии собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева, задаваемые метрическими функциями

2 2 x - У 2Y arctg 1 ^

f (x, y) = [(x1 - y1)2 + (x2 - y2)2]e x-y ,

2ß ar(c)th i^2

f (x, y) = [(x1 - y1)2 - (x2 - y2)2]e x-y ,

f (x, y) = (x1 - yl)ex -y ,

где у = const, у Ф 0, P = const, P Ф 0, P Ф 1, являются финслеровыми. Других финс-леровых неримановых геометрий в той классификации нет.

В работе В.Х. Лева [7] приводится классификация трехмерных феноменологически симметричных геометрий, среди которых есть собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева трехмерные геометрии с метрическими функциями

2 - 2

2 у arctg Х—— + 2 z1 + 2 z2

f (x,y) = [(x1 - y1)2 + (x2 - y2)2]e x-y ,

2 - 2

2 p ar(c)th X i У1 + 2 z1 + 2 z 2

f (x, y) = [(x1 - y1)2 - (x2 - y2)2]e x-y ,

+ 2 z1+2 z 2

f (x, y) = (x1 - yV- y .

Для этих метрических функций не выполняется основное свойство финслеровой геометрии - свойство однородности, то есть данные геометрии не являются финс-леровыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайличенко Г.Г. Двумерные геометрии // ДАН СССР. 1981. T. 260. № 4. C. 803-805.

2. Михайличенко Г.Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометрии // ДАН СССР. 1983. T. 269. № 2. C. 284-288.

3. Богданова Р.А. Группы движений двумерных гельмгольцевых геометрий как решение функционального уравнения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. 12. № 4. С. 12-22.

4. Кыров В.А. Собственно гельмгольцева плоскость как финслерова геометрия // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 4(42). С. 15-22.

5. РундХ. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981.

6. Кыров В.А. Гельмгольцевы пространства размерности два // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46. № 6. С. 1343-1361.

7. Лев ВХ. Трехмерные геометрии в теории физических структур // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. Вып. 125. С. 90 - 103.

Статья поступила 31.10.2016 г.

Kyrov V.A. THE PSEUDO-HELMHOLTZ AND DUAL HELMHOLTZ PLANES WITH THE FINSLER GEOMETRY. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 6(44). pp. 5-18

DOI 10.17223/19988621/44/1

There exists the complete classification of two-dimensional phenomenologically symmetric geometries, i.e., geometries for which the six mutual distances between the four arbitrary points are functionally connected. In these geometries, the distance is understood in a generalized sense as the value of a function called the metric function. Axioms of a metric are not obligatorily satisfied. For all these geometries, groups of motion are three-dimensional. The classification of such two-dimensional geometries includes both well-known geometries (Euclidean, pseudo-Euclidean, symplectic, spherical, etc.), and unknown ones (the properly Helmholtz, pseudo-Helmholtz, dual Helmholtz, and simplicial geometries).

In this paper, we use methods of Finsler geometry to study the pseudo-Helmholtz and dual Helmholtz two-dimensional phenomenologically symmetric geometries. In particular, in the first section, we introduce the definition of pseudo-Helmholtz and dual Helmholtz planes, and then prove that they are positive definite Finsler spaces (homogeneity and positivity of the metric

18

B.A. KupoB

function, as well as the positive definiteness of the Finsler metric tensor are verified), though, in contrast to the actual Helmholtz geometry, with some restrictions on the domain. In the second section, the psevdo-Helmholtz two-dimensional manifold is defined and it is proved that it is a positive definite Finsler space for |P| > 1 in a certain domain. Then, the metric tensor gy, basic Finsler tensor Cyk, and additional tensor Aijk are calculated. With these tensors, the Finsler scalar J is obtained and it is proved that the special Finsler curvature tensor S'Jkl for the two-dimensional pseudo-Helmholtz manifold is zero. In the third section, the dual Helmholtz two-dimensional manifold is defined and it is proved that it is a positive definite Finsler space in the domain of definition. Then, as in the second section, the metric tensor, basic Finsler tensor Cyk, and additional AiJk tensor are calculated. Then, it is proved that J = 2 and the special Finsler curvature tensor S'Jkl = 0.

Keywords: metric function, pseudo-Helmholtz geometry, dual Helmholtz geometry, Finsler geometry.

KYROV Vladimir Alexandrovich (Candidate of Physics and Mathematics, Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, Russian Federation) E-mail: kyrovVA@yandex.ru

REFERENCES

1. Mikhaylitchenko G.G. (1981) Geometries a deux dimensions dans la theorie de structures. Comptes Rendus de L'Academie des Sciencen. Paris. 293(2). pp. 529-531

2. Michailichenko G.G. (1983) On group and phenomenological simmetries in geometry. Soviet Math. Dokl. 27(2). pp. 325-326.

3. Bogdanova R.A. (2009) Gruppy dvizheniy dvumernykh gel'mgol'tsevykh geometriy kak reshenie funktsional'nogo uravneniya [Groups of motions of two-dimensional Helmholtz geometries as a solution of a functional equation]. Sibirskii Zhurnal Industrial'noiMatematiki. 12(4). pp. 12-22.

4. Kyrov V.A. (2016) Sobstvenno gel'mgol'tseva ploskost' kak finslerova geometriya [The properly Helmholtz plane as Finsler geometry]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(42). pp. 15-22. DOI 10.17223/19988621/42/2.

5. Rund H. (1959) The differential geometry of Finsler spaces. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag.

6. Kyrov V.A. (2005) Two-dimensional Helmholtz spaces. Siberian Mathematical Journal. 46(6). pp. 1082-1096. DOI 10.1007/s11202-005-0103-1.

7. Lev V.H. (1988) Trekhmernye geometrii v teorii fizicheskikh struktur [Three-dimensional geometries in the theory of physical structures]. Vychislitel'nye sistemy - Computation Systems. 125. Novosibirsk: Institute of Mathematics Publ. pp. 90-103.