CC BY
39
УДК 629.735.017.083
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОЛУМАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ ПОДДЕРЖАНИЯ ЛЕТНОЙ ГОДНОСТИ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ
А.А. ИЦКОВИЧ, Н.Н. СМИРНОВ, И.А. ФАЙНБУРГ
Приведена методика проверки адекватности полумарковской модели управляемых процессов поддержания летной годности воздушных судов и примеры ее применения.
Ключевые слова: воздушные суда, управляемые процессы поддержания летной годности, полумарковская модель, проверка адекватности, методика, примеры применения.
Возможность описания управляемых процессов поддержания летной годности воздушных судов с помощью аппарата полумарковских процессов [1, 2] может быть подвергнута экспериментальной проверке гипотез:
А. Для проверки гипотезы о том, что вложенная цепь смены состояний может считаться с достаточно большой вероятностью однородной марковской цепью 1-го порядка, может быть использовано несколько тестов [3]. Асимптотические результаты.
Предположим, что имеется однородная эргодическая марковская цепь 1-го порядка с состояниями 8р..., 8т, вероятностями перехода Р у и пусть имеется выборка, состоящая из п наблюдаемых объектов. Наблюдения за их состояниями осуществляются в моменты времени t = 0,1,...,Т (объект переходит из состояния ^ в состояние ^, где ,»1 £ А).
Введем обозначения: п1 () - число объектов, находящихся в состоянии ^ в момент t,
1 £ t £ Т; () - число объектов, находящихся в состоянии ^ в момент t — 1 и переходящих
Т
в состояние ^ в следующий момент времени; п^ = ^ п^ (Т) - число наблюдаемых состояний
t=1
Т
I ; ПЫ ^ Пк!
^ ) - число наблюдаемых переходов из ^ в ^.
t=1
Оценка максимального правдоподобия для переходных вероятностей Рц имеет вид
р =
' У
п (1)
Нас интересует асимптотика случайной величины р при Т —>+¥. Как отмечено в [4], это требование эквивалентно тому, что число наблюдаемых объектов п — +¥ и марковская цепь стартует из стационарного состояния.
Основные результаты асимптотической теории заключаются в следующем:
а) случайные величины Ху =^1^ (Ру — Ру) имеют предельное нормальное распределение со средним, равным 0, и дисперсией р у (1 — у );
б) случайные величины Х у и Хк1 некоррелированны, если I Ф к либо у Ф I;
2 - ((ру - ру )2) 2 ,
в) = А пг-имеет асимптотическое X -распределение с (т — 1) степенями
М Ру
свободы, если все Р ■ Ф 0, 1 £ у £ т (в общем случае число степеней свободы при Р Ф 0 равно числу у , уменьшенному на 1);
( рг] У*
г) если 1 отношение правдоподобия 1 = П , то — 2log1 имеет асимптотическое
у V рч
С -распределение с т(т — 1) степенями свободы, когда все Р ■ Ф 0 (в общем случае число степеней свободы равно числу ненулевых ру, уменьшенному на количество строк, причем в отношении правдоподобия произведение распространено на индексы у, при ШТфЫХ Р ■ Ф 0).
Б. Для проверки гипотезы марковского свойства вложенной цепи рассмотрим тест проверки гипотезы о том, что процесс описывается марковской цепью 1-го порядка в предположении, что он может быть описан марковской цепью 2-го порядка.
Введем обозначения: '.ук(^)- число объектов, находящихся в состояниях Б, Б у, , соответственно в моменты времени t — 2 , t — 1, t, где 2 £ t £ Т ; ук = А Пг у к () ; Рук - вероятность перехода в состояние Бк из состояний (Б., Б у), оценка максимального правдоподобия для рук имеет вид
_ Пук
Рук т
А п
(2)
у
I=1
Гипотеза Н: исходная марковская цепь 2-го порядка является цепью 1-го порядка. В предположении верности гипотезы Н мы должны иметь
Р . = Р =... = р ; 1 £ у,к £ т.
1 ] к 2 ] к тук
Используя рассмотренные выше асимптотические результаты для марковских цепей 2-го порядка, получим тесты.
х 'у
Тест максимального правдоподобия: если 1 = П
ук
р.. Ж р..
\у;
отношение максимального
правдоподобия, то из справедливости гипотезы Н следует, что — 2log1 имеет асимптотическое X1 -распределение с т(т — 1)2 степенями свободы, если все р ук > 0.
2
X -тест: если гипотеза Н верна, то
А 'у ( Рук — Рук ) Р у
X = ^-, (3)
* 2 2 где п*у = X П1ук имеет асимптотическое % -распределение с (т — 1) степенями свободы при
всех Рук > 0 (в общем случае число степеней свободы равно (^(0 — 1)(^(к) — 1), где ^(г) -
число ненулевых Р у, 1 £ I £ т • I^ (к) - число ненулевых Рук, 1 £ к £ т ).
Следует отметить, что возможны вариации этих тестов: построчный (постолбцовый) тест
2
для отношения правдоподобия; объединенный % -тест
% X/ % у
у
В. Проверка гипотезы о постоянстве вероятностей перехода осуществляется следующим образом.
Гипотеза Н: Ру () = Ру, t = 1,2,...,Т ; оценка вероятности перехода в момент 1 Ру = Пу (t )/ п (t — 1) .
Т ■■()
При выполнении гипотезы Н функция правдоподобия максимизируется и равна ППУ ;
t=l у
Т
Шппу^) (t)
= у . Отношение
жений определяет отношение правдоподобия
= этих двух выра-
1=ПП
( Р Уу ^) У
V у л
V у У
Р У (t)
у .
Если гипотеза Н верна, то величина —21о§Я распределена по закону % с (Т — 1)[т(т — 1)] степенями свободы (если все Ру > 0).
%2 -тест для проверки однородности выглядит следующим образом
% = П(t —1)[Ру ^)— Ру ]/Ру
(4)
2
имеет % -распределение с (т — 1)(Т — 1) степенями свободы, если все Ру > 0 (иначе это распределение имеет (I(у) — 1)(Т — 1) степеней свободы). Так же, как при проверке гипотезы о марковской цепи 1-го порядка, здесь возможны варианты этих тестов.
Г. %2 -тест проверки марковского свойства, основанный на агрегированных данных.
Пусть п^) - число наблюдаемых объектов в момент t, 0 £ t £ Т ; п() - число объектов, находящихся в состоянии в момент ^ у ¡^)=п- наблюдаемые частоты распределения
объектов в момент t по состояниям 8р...,8Г; - оценки вероятностей перехода; уу (t) = X У (t — 1) ру - прогнозируемые частоты распределения объектов по состояниям t.
г У
Тогда статистика X (п (t) — п (t) УУ (t)) ^ (t) УУ (t) распределена по закону % с (г — 1) -степенями свободы.
2 2 2 2 Объединенный X -тест: статистика С = ^^ хг _1 ^ имеет X -распределение с (г _ 1)Т
степенями свободы.
Д. Примеры применения тестов при обработке статистического материала по эксплуатации парка однотипных самолетов авиапредприятия за три месяца [2].
Всего было зафиксировано 2300 смен состояний самолетов наблюдаемого парка. Для получения достаточной информации по всем переходам пришлось провести объединение ряда состояний процесса поддержания летной годности и оставить лишь четыре (рис. 1).
Для проверки гипотезы о постоянстве вероятностей перехода в качестве данных используем матрицы абсолютных частот Пу переходов самолетов из состояния в состояние $ у за три месяца и за первый месяц из этих трех (табл. 1, 2).
Рис. 1. Граф состояний и переходов ПТЭ самолетов: $1 - самолет в рейсе соответствует состоянию И; $ 2 - подготовка к рейсу в базовом аэропорту соответствует состоянию Е; $3 - ожидание рейса соответствует состояниям Г, А, М; $4 - неисправные состояния состояниям ОБ, ТБ, У, ОП, ТП, Тсд, Ш, Д, З, С, В, Л, ДВ, ОР, Р, ЖР (рис. 2.3 в [1])
Таблица 1
Матрица абсолютных частот Пу переходов за три месяца
Si (рис. 1)
Sl S2 Sз S4
Sl 0 10 577 117
S2 425 0 108 96
Sз 6 621 0 82
S4 279 1 11 60
Таблица 2
Матрица абсолютных частот пу переходов за первый месяц
Б, (рис. 1)
§1 Б2 Бэ Б4
§1 0 3 191 35
82 146 0 31 27
§3 1 201 0 31
§4 86 0 3 16
Оценка вероятностей переходов самолетов за три месяца и за первый месяц выполнена по формуле (1), результаты приведены в табл. 3, 4.
Таблица 3
Матрица вероятностей переходов Ру за три месяца
Б, Б, (рис. 1)
Б2 Б3 Б4
0 0,0142 0,8196 0,1661
Б2 0,6757 0 0,1717 0,1526
Б3 0,0085 0,8759 0 0,1156
Б4 0,7947 0,0028 0,0313 0,1721
Таблица 4
Матрица вероятностей переходов Ру за первый месяц
Б, Б, (рис. 1)
Б3 Б4
0 0,0131 0,8341 0,1528
0,7157 0 0,1520 0,1323
Б3 0,0043 0,8627 0 0,1330
Б4 0,8190 0 0,0286 0,1524
2
Применяя % -тест (4) к табл. 3, 4, получим:
%51 =0,3440 - 2 степени свободы, %82 =0,1612 - 2 степени свободы, %8Ъ =0,5310 - 2 степени свободы, %84 =0,6340 - 3 степени свободы
%5обш =4,121 - 9 степеней свободы.
общ
Это значение соответствует 90% уровню значимости.
Для проверки гипотезы о том, что вложенная цепь является марковской цепью 1-го порядка, может быть использован %81 - тест, так как имеется достаточное количество информации о
переходах вида . Матрица абсолютных частот Пцу и оценок вероятности переходов рпу
(2) приведены в табл. 5, 6.
Таблица 5
Матрица абсолютных частот переходов у
Si Sj (рис. 1)
S1 S2 S3 S4
S1 0 0 0 0
S2 0 95 0 10
S3 0 485 5 56
S4 0 9 0 0
Таблица 6
Матрица вероятностей переходов Püj
Si Sj (рис. 1)
S1 S2 S3 S4
S1 0 0 0 0
S2 0 0,904 0 0,096
S3 0 0,8723 0,009 0,1187
S4 0 1 0 0
Используя данные о вероятностях переходов Ру (табл. 3) и Рщ (табл. 6), по формуле (3) определены оценки
С$2 =1,4308 - 2 степени свободы, =0,0858 - 2 степени свободы, =1,2487 - 2 степени свободы
С^общ =2,7631 - 6 степеней свободы.
Это значение соответствует 80% уровню значимости.
Предложенная методика и приведенные примеры подтверждают правомерность использования аппарата полумарковских процессов для описания управляемых процессов поддержания летной годности воздушных судов [1, 2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ицкович А.А. Управление процессами технической эксплуатации летательных аппаратов: учеб. пособие. - М.: МГТУ ГА, 1994. - Ч. 1. - 2002. - Ч. 2, 3.
2. Файнбург И.А. Построение полумарковской модели управления процессом поддержания летной годности воздушных судов // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. - 2007. - № 123.
3. Ли Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам. - М.: Статистика, 1977.
4. Anderson T.W., Goodman L.A. Statistical Interenc about Mfrkov Chains? Nhe Anals of Mathematical Statistics, 28, 1957, p. 89-110.
INDICATORS OF THE EFFICIENCY OF PROCESSES OF MAINTENANCE OF THE AIRCRAFTS AIRWORTHINESS
Itskovich A.A., Smirnov N.N., Faynburg I.A.
The system of indicators of the efficiency of processes of maintenance of aircrafts airworthiness is resulted, new indicators of the using efficiency of aircrafts are offered.
Key words: aircrafts, processes of maintenance of the airworthiness, the efficiency, indicators of using efficiency.
Сведения об авторах
Ицкович Александр Абрамович, 1934 г.р., окончил УАИ (1957), профессор, доктор технических наук, профессор кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей МГТУ ГА, автор более 250 научных работ, область научных интересов - эксплуатационная надежность и эффективность эксплуатации авиационной техники, управление процессами технической эксплуатации и поддержания летной годности летательных аппаратов.
Смирнов Николай Николаевич, 1928 г.р., окончил КИИГА (1952), заслуженный деятель науки и техники РСФСР, академик Академии транспорта РФ, профессор, доктор технических наук, профессор кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация и эксплуатационно-технические характеристики гражданской авиационной техники, поддержание летной годности и повышение эффективности эксплуатации воздушных судов.
Файнбург Инна Александровна, окончила МИИВТ (1989), доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей МГТУ ГА, автор 44 научных работ, область научных интересов - управление процессами технической эксплуатации и поддержания летной годности летательных аппаратов.
