Пространства Стоуна некоторых булевых алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2015. Вып. 1 (45)

УДК 515.122.536 © Р. А. Головастое

ПРОСТРАНСТВА СТОУНА НЕКОТОРЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР

Работа посвящена изучению пространств Стоуна различных булевых алгебр и установлению соотношений подмножеств этих пространств с пространством Стоуна—Чеха ßw, канторовым совершенным множеством и другими. Рассмотрены три счетных частично упорядоченных множества и для каждого из них два вида алгебр подмножеств. Первое рассматриваемое пространство — это пространство Sпостроенное Беллом. Доказано существование копий пространства ßw и сходящихся последовательностей в пространстве SB^. Дадее рассматривается прострапство SBij2. Доказано существование открыто-замкнутых копий пространства ßw в пространстве SBij2, а также существование изолированных точек в его наросте. Описаны подмножества пространства N2, замыкание которых есть открыто-замкнутая копия ßw. Построены примеры подмножества иространства N2, замыкание которого не открыто-замкнуто в SBi,2, то является ко пней ßw, и подмноже ства N2, замыкание которого открыто-замкнуто в SBi,2, то те является копией ßw. Также доказано, что SBi,2 вложимо в SBi,i в качестве замкнутого подмножества, нарост которого нигде не плотен в SB^. Далее рассматривается пространство SB^. Доказано, что подпространство свободных ультрафильтров пространства SBii3 удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно. Описаны точки пространства SBij3 как ультрафильтры, обладающие базисами определенного вида. В конце рассматриваются пространства SB2ji, SB2,2 и SB2,3. Булевы алгебры, пространствами Стоуна которых они являются, имеют более простую структуру. Доказано, что пространство SB2,3 гомеоморфно канторовому совершенному множеству, а его подпространство свободных ультрафильтров гомеоморфно множеству иррациональных чисел. Доказано, что подпространства свободных ультрафильтров пространств SB2ji и SB2,3 гомеоморфны канторовому совершенному множеству.

Ключевые слова: бикомпактное расширение, булева алгебра, пространство Стоуна, ультрафильтр.

Введение

Понятие пространства Стоуна булевой алгебры имеет важное значение в теории бикомпактных расширений.

Максимальное бикомпактное расширение топологического пространства, называемое расширением Стоуна-Чеха, основано на конструкции пространства Стоуна. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают максимальные бикомпактные расширения Стоуна-Чеха дискретных пространств, являющиеся пространствами Стоуна булевых алгебр подмножеств дискретных пространств.

Этим расширениям посвящены работы У. Рудин [31], 3. Фролика [20, 21], М.Е. Ру-. шн [28, 29, 30], К. Купена [22, 23, 24], Я. ван Милла [25, 26, 27], В.И. Малыхина [12], A.A. Грызлова [7, 16, 17].

Развитие теории бикомпактных расширений вызвало потребность в рассмотрении и изучении бикомпактных расширений дискретных пространств, являющихся пространствами Стоуна других булевых алгебр.

М, Белл [15] построил пространство Стоуна булевой алгебры, для которого подпространство свободных ультрафильтров не сепарабельно, но удовлетворяет условию Суслина. Это пространство является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства.

Используя расширение М, Белла, Я. ван Mii.i.i [25] и A.A. Грызлов [16] доказали существование новых типов точек в пространстве ßw, тем самым решив несколько важных проблем теории бикомпактных расширений.

В силу актуальности расширения М, Белла для теории бикомпактных расширений возникла задача подробного его изучения.

Исследованию расширения М, Белла посвящены работы A.A. Грызлова, Е.С. Бает-рыкова и P.A. Головастова [18, 8, 19, 4, 9]. В этих работах изучена внутренняя структура этого пространства, получены различные типы его точек и их свойства.

Доказано, что в расширении Белла существуют как сходящиеся последовательности, так и копии пространства ßw.

Пространство, построенное М, Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры подмножеств множества

Ni = {/|n: n С w, / G Pi},

где Pi = {/ G шш: 0 ^ /(k) ^ k + 1 для всех k G w},

n

и множество {0, 1,..., n — 1}.

Булева алгебра этого пространства порождена семейством

Bi,i = {СП: п G Ti},

где Ti = {п G N: domп(п) = n + 1 для всex n G w}. В работе рассмотрены множества

Ni = {/|n: n С w, / G Pi} N2 = {/|n: n С w, / G P2}, где P2 = {/ G wш: 0 ^ /(k) ^ 1 для всех k G w} = {0, 1}ш,

N3 = {/|n: n С w, / G Ps}^e P3 = ww.

Отметим, что N2 С Ni С N3. Определим множества

Ti = {п G N^: domn(n) ^ n + 1 для всех n G w} (i =1, 2, 3).

В качестве семейств, порождающих булевы алгебры, мы рассматриваем следующие семейства:

BM = {СП: п G Ti},

B2,i = {Cs: s G Ni} (i =1, 2, 3).

Пространства Стоуна этих булевых алгебр обозначим SBj-)i (i = 1, 2, 3; j = 1, 2). Отметим, что SBi)i — это пространство, построенное М. Беллом.

Рассматриваемые булевы алгебры представляют собой основные характерные варианты булевых алгебр подобного типа.

В работе рассмотрены следующие вопросы, выясняющие строение и свойства указанных пространств Стоуна.

Какова внутренняя структура указанных пространств Стоуна? Каковы взаимосвязи этих пространств между собой?

Как связаны эти пространства с такими широко известными пространствами, как ßw и канторовым совершенным множеством?

Каким свойством обладают сходящиеся последовательности и копии проетранет-ßw

Какая взаимосвязь между открыто-замкнутыми подмножествами пространств и под-

ßw

Какими необходимыми характеристиками можно описать множества, гомеоморф-ные вш?

Каковы кардинальнозначные характеристики указанных пространств, каковы число ('ус. 1нна и плотность подпространств свободных ультрафильтров?

Решению этих вопросов посвящена данная работа.

§ 1. Предварительные сведения

Большинство обозначений и терминов этой работы взяты из книг Р. Энгелькин-га [14], А.В.Архангельского, В.И.Пономарёва [2] и Сикорского [13].

Множество всех подмножеств X обозначим ехр X, Через ш обозначается вполне упорядоченное множество {0, 1, 2, ... } неотрицательных целых чисел, а также мощность этого множества. Множество, имеющее мощность ш, называется счетным. Под п в зависимости от контекста будем понимать и натуральное число, и множество {0,1,..., п — 1}.

Для множества А С X обозначим: |А| — мощность множества А; [А] — замыкание множ ества А в пространстве X; А* = [А] \ А.

Приведем определения основных кардинальных инвариантов, используемых нами в работе.

Определение 1.1. Базой пространства X называется семейство открытых множеств В, удовлетворяющее следующему условию: для произвольной точки х € X и произвольной ее окрестности Ох найдется и € В такое, что х € и С Ох. Наименьшее кардинальное число вида |В где В — база пространства X, называется весом, пространства X и обозначавтея w(X),

Определение 1.2. Подмножество А пространства X называется всюду плотным, если [А] = X. Наименьшее кардинальное число вида |А|, где А —всюду плотное подмножество пространства X, называется плотностью пространства X и обозначается ¿(X), Пространства со счетной плотностью называют сепарабельными.

Определение 1.3. Наименьшее кардинальное число т такое, что любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства X имеет мощность, не превосходящую т, называется числом Суслина пространства X и обозначается с^), Если с^) = ш, то говорят, что пространство X удовлетворяет условию Суслина.

Более подробно о кардинальных инвариантах написано в [3].

Определение 1.4. Пространство У называется бикомпактным расширением, или компактификацией пространства X, если У — бикомпакт и X гомеоморфно неко-

У

Определение 1.5. Бикомпактным расширением, (компактификацией) Стоуна-Чеха, пространства X (обозначаем вX) будем называть максимальное бикомпактное расширение пространства X, что означает, что для любого бикомпактного расширения ^ пространства X существует непрерывное отображение f: вX ^ 6X5 тождественное на X.

Определение 1.6. Непрерывное отображение ф: X ^ У называется гомеоморфизмом, если ф взаимно-однозначно отображает X на У и обратное отображение ф-1 из У в X непрерывно. Два топологических пространства X и У называются гомеоморф-ными, если существует гомеоморфизм пространства X на пространство У,

В работе рассматриваются различные частично упорядоченные множества функций N1, N2 и N3, Отношение порядка на них определяется по следующему правилу. Для произвольных £ € N г (г =1, 2, 3) 5 ^ £ тогда и только тогда, когда £ является продолжением то есть £|аот« = Соответственно, можно ввести понятия цепи и антицепи.

Определение 1,7, Цепью в пространстве N называется линейно упорядоченное множество,

Определение1,8, Антицепью в пространстве N называется множество, элементы которого попарно несравнимы.

Определение 1,9, Антицепь А С N будем называть строгой антицепью, если для любых различных € А выполнено ёош 8 = ёош¿.

Определение 1,10, Цепь (антицепь) А С N будем называть полной цепью (антицепью), если для всякого п € ш \ {0} найдется 8 € А такое, что ёош 8 = п.

§1.1. Пространство Стоуна булевой алгебры, основные понятия и факты

Определение 1,11, Булевой алгеброй называется непустое множество В, на элементах которого определены три операции А и В, А П В, А, удовлетворяющие для всех А, В € В следующим условиям:

1) А и В = В и ДА П В = В П А;

2) А и (В и С) = (А и В) и С, А П (В П С) = (А П В) П С;

3) (А П В) и В = В, (А и В) П В = В;

4) А П (В и С) = (А П В) и (А П С), А и (В П С) = (А и В) П (А и С);

5) (А п А) и В = В, (А и А) п В = В.

Мы будем рассматривать булевы алгебры В = {и С X} в множестве ехр X с теоре-тико-множеетвенными операциями «объединение», «пересечение» и «дополнение».

На множестве булевых алгебр из ехр X можно ввести отношение порядка по включению и, соответственно, говорить о наименьшем элементе. Заметим, что пересечение любого числа алгебр вновь будет алгеброй. Тогда для произвольного множества О С ехр X существует наименьшая алгебра В, содержащая множество О, Очевидно, В может быть

О

ВО ВО

Для алгебры, порожденной множеством, справедливо следующее утверждение.

Предложение 1,1, Если О С ехрX не пусто, то А С X принадлежит алгеб-

ВО

в виде

А = (Ам П ... П А1>Г1) и (А2,1 П ... П А2,Г2) и ... и (Ам П ... П А^), (1) где или Ат>п € С, или Ат>п € С для любых т, п.

Доказательство. Заметим, что класс элементов вида (1) замкнут относительно операции объединения. По формулам Моргана дополнение к элементу A также может быть представлено в виде (1), Тогда класс элементов вида (1) замкнут и относительно операции дополнения, а этого достаточно, чтобы соответствующий класс образовывал алгебру B, содержащую G,

A

жащей G. Поэтому В является наименьшей алгеброй, содержащей G. □

Для определения пространства Стоуна нам необходимо ввести понятия фильтра и ультрафильтра.

Определение 1,13, Семейство £ непустых элементов булевой алгебры B называется фильтром, если выполнены следующие условия:

1) если A, B е £, то A П B е £;

2) если A е £ и A С B, то B е £,

Определение1,14, Ультрафильтром в булевой алгебре B будем называть такой фильтр £ С B, что от те содержится ни в одном отличном от £ фильтре в булевой алгебре B,

Выделяются два основных типа ультрафильтров: фиксированные и свободные.

Определение 1,15, Если n{A: A е £} = 0, то ультрафильтр £ будем называть фиксированным, в противном случае ультрафильтр называется свободным.

Определение 1,16, Булеву алгебру B С expX будем называть приведенной, если для двух различных точек x, y е X найдется A е B такое, что x е A и y / A,

Для фиксированных ультрафильтров справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.2. Пусть булева, алгебра, B С expX является приведенной. Тогда каждый фиксированный ультрафильтр £ на, B определяется, одной точкой x е X и n{A: A е £} = {x}.

Доказательство. Предположим, что найдутся две различные точки x, y е n{A: A е £}. В силу приведенности B найдется Ax е B такое, что x е Ax и y / Ax. Каждый элемент £ содержит точку y, то есть Ax / £. Тогда система {A: A е £} U {Ax} является фильтром (все ее элементы пересекаются по точке х), а это противоречит максимальности £. □

В дальнейшем мы будем рассматривать приведенные булевы алгебры.

Фиксированный ультрафильтр в точке x е X будем обозначать как X, а множество всех фиксированных ультрафильтров обозначим XX.

Определение 1.17. Пространством Стоуна SB булевой алгебры B называется множество ультрафильтров в B с топологией, задаваемой базой, состоящей их открыто-замкнутых подмножеств [A] следующего вида:

[A] = {£ е SB: A е £} доя A е B.

Множество свободных ультрафильтров из [A] будем обозначать A* = [A] \ A, Множество всех свободных ультрафильтров будем обозначать SB*.

Определение 1,18, Базисом ультрафильтра £ будем называть его подсемейство а удовлетворяющее следующему условию: для произвольного ^ € £ найдется ^' € а такое, что ^' С

Отметим, что если в пространстве Стоуна а — базис ультрафильтра £, то семейство а = {[^]: ^ € а} является базой в точке £ как точке пространства Стоуна,

Теорема 1,1, [13] Пространство Стоуна БВ является бикомпактным.

Доказательство. Пусть 5В — пространство Стоуна некоторой булевой алгебры В, Рассмотрим центрированную систему замкнутых множеств {^г: г € Я} в простране тве Б В, Тогда по определению топологии МВ для каждого г € Я найдется семейство {Ад: А € В, д € Qr} такое, что = П [Ад], Получим центрированную систему мно-

д&Ят

жеств {[Ад]: д € Q}, где Q = и Qr,

геЯ

Но тогда центрированной является и система {Ад: д € Q} С В, а значит, ее можно

дополнить до некоторого ультрафильтра £ € Р| [Ад\ = Р| Рг. □

геЯ

Докажем некоторые свойства пространства Стоуна Б В произвольной булевой алгебры В С ехр X, необходимые в дальнейшем.

Предложение 1,3, Пусть и и V подмножества X, V—элем,ент булевой алгебры и и П V = 0, тогда [и] П [V] = 0.

Доказательство. Поскольку V С X — элемент булевой алгебры, то и' = X \ V также является элементом булевой алгебры и при этом и С и', Согласно определению топологии [V] и [и'] состоят из ультрафильтров, элементами которых являются V и и' соответственно,

Так как V П и' = 0, то нет ультрафильтров, содержащих оба множества одновременно, Получаем [и] С [[/'] и [[/'] П [V] = 0, тогда [и] П [V] = 0, □

Предложение 1,4, Пусть и и V подмножества X и V — элем,ент булевой алгебры, тогда [и П V] = [и] П [V].

Доказательство. Действительно, и = (и П V) и (и \ V), и мы имеем, учитывая предложение 1.3,

[и] П [V] = [(и П V) и (и \ V)] П [V] = ([и П V] и [и \ V]) П [V] = = ([и П V] П [V]) и ([и \ V] П [V]) = [и П V] и [(и \ V) П V] = [и П V].

□

Предложение 1,5, Для, любого открыто-замкнутого и С 5В* найдёт ся V С X такое, что [V] П БВ* = и.

Доказательство. Так как и —открытое множество, то для каждой точки х € и найдется окрестность Ох = [^Х] (V € В) такая, что Ох П БВ* С и. Таким образом, семейство

Л = {Ох П БВ* : х € и}

и

и

ства 5В*, можно выделить Л' — конечное подпокрытие Л:

Л' = {Ох» П БВ* : г ^ п}.

То есть

и = и{[^] : г ^ п} П БВ* = [и {V.. : г ^ п}] П БВ*. Множество V = и {УХ1 : г ^ гг} есть элемент В, и [/ = |У] П 5В*, □

Заметим, что максимальное бикомпактное расширение Стоуна-Чеха дискретного пространства X можно рассматривать как пространства Стоуна булевой алгебры множества всех подмножеств пространства X, А одноточечное расширение Александрова бесконечного дискретного пространства X — рассматривать как пространство Стоуна булевой алгебры, порожденной семейством конечных подмножеств пространства X,

§1.2. Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр

Определим множества функций

Р1 = { / € шш: 0 ^ / (к) ^ к + 1 для всех к € ш },

Р2 = { / € шш: 0 ^ /(к) ^ 1 для всех к € ш }, Рз = шш.

В качестве множеств, на которых будем строить булевы алгебры, возьмем сужения данных функций:

N1 = { /|га : /€Р1,п С ш },

N2 = { / 1п : /€Р2,п С ш},

N3 = { / 1п : /€Рз,п С ш }.

Каждое N (г = 1, 2, 3) можно рассматривать как частично упорядоченное множество со следующим отношением порядка: для £ € ^считаем, ч то 5 ^ ¿, если £ является продолжением 8 (то есть £|аот« =

Для каждого 5 € N количество его продолжений на следующий шаг растет с ростом ёош Для 8 € N количество его продолжений па следующий шаг всегда равно 2, а для 5 € N оно всегда счетно.

Для произвольного 5 € N (г = 1, 2, 3) определим

С = {£ € N: £ является продолжением 5}.

Рассмотрим два класса булевых алгебр па множествах N (г = 1, 2, 3), Булевы алгебры первого класса определим нaN¿ (г = 1, 2, 3) следующим образом. Определим множество

Т = { п € N : ^ош п(п) = п + 1 для вс ех п € ш }.

Для каждого п € Т (г = 1, 2, 3) обозначим

СП = и{ СП(п) : п € ш }.

Обозначим через В1,» (г = 1, 2, 3) булеву алгебру, порожденную семейством

Вм = { СП : п € Т }.

Определим Б В ^ как пространство Стоуна булево й алгебры В1)» (г =1, 2, 3), Докажем несколько лемм, общих для данных пространств.

Предложение 1,6, Для каждого s £ N справедливо Cs £ B1;j (г =1, 2, 3).

Доказательство. Пусть s £ Nj, докажем, что Cs £ B1;j, Построим п0,п £ Tj следующим образом: рассмотрим f0, f £ Р2 С Р С Р3 такие, что fj = j (j = 0,1), Определим

t \ (fj|n+1 для n = doms - 1, .

nj (n)=S , j = 0,1

s n = doms - 1,

Так как f0 и f1 различны, то, очевидно, ни одно продолжение п0 (n) не может являться продолжением никакого n1(m) для n,m £ ш, n = dom s — 1, m = dom s — 1,

Таким образом, Сп0 П Сп1 содержит только n0(doms — 1) = n1(doms — 1) = s и все его продолжения, то есть Сп0 П Сп1 = Cs,

Получаем, что Cs £ 931^. □

Предложение 1,7, Для каждого s £ N справедли во {s} £ B1)j (г = 1, 2).

Доказательство. Поскольку для всякого s £ N при г = 1, 2 количество продолжений его на следующий шаг конечно, то не трудно показать, что для всякого s £ N справедливо {s} = Cs \ U{Ct: t £ OT^s < t, dornt = doms + 1} £ 93i;j, □

Таким образом, подпространства фиксированных ультрафильтров N 1 и N2 в пространствах Стоуна булевых алгебр B1;1 и B1)2 являются дискретными. Соответственно, подпространства N 1 и N2 можно отождествить с дискретными N4 и N2 соответственно, а сами пространства Стоуна SB1;1 и SB1)2— рассматривать как бикомпактные раеши-

N1 N2

В пространстве SB1)3 подпространство фиксированных ультрафильтров N3 не является дискретным.

Предложение 1,8, Семейство

[( П Сп)п(П N \ Сп)] : T' С Tj, T" С Tj, |T'| < ш, |Т''| < ш

пет' пет''

есть база пространства SB1)j (г = 1, 2, 3).

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку ж и ее окрестность [A], где A £ B1)j. Точка ж является ультрафильтром, состоящим из элементов булевой алгебры B1)j.

Согласно предложению 1,1 каждый элемент A булевой алгебры B1,j представим в виде

A = (A0,0 П ... П A0,ro) U (A1,0 П ... П A1>n) U ... U (A^ П ... П A^),

где либо Ajtk £ Т>м, либо Aj^ £ T>i,i для всех к ^ г,-, j ^ q. Тогда найдется j ^ q такое, что Aj,0 П ... П Aj,^. есть элемент ультрафпльтра ж и, следовательно,

ж £ [(Aj,0 П ... П Aj,r.)] С [A] = Ua.

□

Данные базы довольно громоздки и неудобны в работе. Нами были построены другие базы для данных пространств, которые описаны далее. Для их построения приведем ряд вспомогательных результатов.

Для произвольного п £ Tj (г = 1, 2, 3) и M С ш определим Сп|М = U Сп(п).

пем

Предложение 1,9, Для произвольных п € Т (г =1, 2, 3) и М С ш найдутся пьп2 € Тг такие, ч,то СП|М = СП1 П СП2.

Доказательство. Пусть М = {к1; к2,..., к,...}, Постройм п^ и п2 € Т следующим образом. Для всех 0 ^ п < определим п^п) как тождественный 0 на множестве п, а п2(п) как тождественную 1 па множестве п. Для к, ^ п < /,+1 определим п1 (п) и п2(п) как произвольные продолжения п(к,) на п (при п = к, они будут совпадать с п(к,)),

Из построения тп и тт2 вытекает требуемое свойство Сж\м = СЖ1Г\СЖ2. Следовательно, Сж\м € -01,1 ДЛЯ произвольных 7Г € Т^ И М С Ш, □

Лемма 1,1, Пусть {п.,-: 3 ^ п} С Тг (г = 1, 2, 3), п € ш. Тогда, для семейства { СП/|М/ : 3 ^ п } верно следующее:

Р) СП/.|М/. = СП, 1м>. для некоторых М, С М, (3 ^ п). Доказательство. Докажем индукцией по п. Пусть п = 1. Построим множества Мд и М1

Определим

Спо |Мо П СП1|М1 = Спо|М' и СП1|М1 •

Мд = е к € Мо : п0(к) € С^м С,

М1 = { к€М1 : п1(к) € Спо|мЛ .

Заметим, что для любых в и Ь из N С либо содержит С^, либо содержится в С (в частности, они могут быть равны) или эти множества не пересекаются. Отсюда следует, что

Спо|М' и СП1|М1 = Спо|Мо П СП1|М1.

Далее по индукции предположим, что Р| СП/|М/ = и СП/|М'., Тогда П С/|М/) П Сп„+1|М„+1 = (и СП,|М/) П Сп„+1|М„+1 =

/|М/ П Спп+1|Мп+1) =

ЦК^м» и Сп„+1|Мп+1) = Сп,|м/, где Ми+1 = У Ми+1.

^^ ^ "'"Л-1"/ ' ' ""и ' 1 _ ' ' 'УТЗ

,^и ,1 ,^и

□

Следствие 1,1, Пусть х € 5В]; г (г = 1, 2, 3) и х € [ Р| СП/.|М/.], тогда, найдут-сд п,о и М,о С М,о шо/ше, что х € [С, |м'о ] С [ р| СП,|м,] •

Определим

Гм = { Сп|м ^ СП : п € Т, Т С Тг, |Т'| < ш, М С ш } (г = 1, 2, 3).

пет'

Заметим тот факт, что N1 и N можно представить в виде объединения двух множеств из Г1;1 и Г1)2 соответственно, тогда как, в силу бес конечности {в € N3: ёош в = п} для каждого п € ш, для N это неверно. Поэтому нам необходимо определить еще семейство ©1,3 = {N3 \ Ш СП) : Т' С Т3, |Т'| < ш}.

пет'

Теперь по предложению 1,9 и следствию 1,1 мы получаем

Теорем а 1,2, Семейства

В 1,1 = е [и]: и € Г1,1 С,

В 1,2 = е [и] : и € Г1,2С,

В 1,3 = е [и]: и € Г1,3 и ©1,3 С являются базам,и пространств БВ^ь БВ^2 м БВ^3 соответственно.

Теперь рассмотрим булевы алгебры второго типа на наших частично упорядоченных множествах N4, N3 и порожденные другими семействами множеств. Обозначим В2,г булеву алгебру, порожденную семейством множеств

В2,г = {С: в € N}.

Соответственно, БВ2,г — пространство Стоуна булевой алгебры В2,г (г = 1, 2, 3), Аналогично предложению 1,8 определяются базы пространств БВ2,г.

П р е д л о ж е н и е 1,10, Семейство

( П С*)П( р| N \ Ськ)] : И' С Шг, И'' С N |И'| < ш, |И''| < ш

«ем' «ем''

есть база пространства БВ2,г (г = 1, 2, 3).

Доказательство данного предложения основывается на предложении 1,1 и повторяет доказательство предложения 1,8,

Построим другие базы данных пространств.

Предложение 1,11, Если {в,: 3 ^ п} С то Р| С, = 0 тогда, и только тогда, когда, {в,: 3 ^ п} является, цепью.

Доказательство. Непосредственно из определения С« следует, что С« ПС не пусто тогда и только тогда, когда в и Ь сравнимы (то есть один является продолжением другого). Отсюда и следует данное предложение, □

Следствие 1,2, Если, Р| С, = 0 для, {в,: 3 ^ п} С то Р| С, = С,, где

doш в,о = шax{doш в,: 3 ^ п}.

Определим

Г2,г = { С« \ и С : в € N, И' С |И'| < ш, } (г = 1, 2, 3),

©2,3 = { N3 ^ С: И' С N3, |И'| <ш,}.

Тогда справедлива следующая теорема. Теорем а 1,3, Семейства

В2,1 = е [и]: и € Гз,1 С,

В 2,2 = е [и] : и € Г2,2 С,

В2,3 = е [и]: и € Г2,3 и ©2,3 С являются, базам,и пространств БВ2,1; БВ2,2 и БВ2,3 соответственно.

§ 2. Основные результаты

§2.1. Пространство Б В1;1

В данном подпараграфе рассматривается 5В1;1, построенное Беллом [15], Данное пространство изначально было первым объектом нашего изучения пространств Стоуна булевых алгебр. Здесь приведены результаты Белла о том, что нарост БВЦ1 удовлетворяет условию Суелина, но не сепарабелен. Данные результаты доказаны Беллом на основании леммы о представлении булевой алгебры В1;1 в виде счетного объединения 2-сцепленных семейств множеств.

Также приведены результаты о существовании в БВ1;1 сходящихся последовательностей и открыто-замкнутых копий вш. Полученные результаты опубликованы в [18, 8], Пространство 5В1;1 строилось Беллом, как пространство Стоуна булевой алгебры В1;1 порожденной семейством

Вм = {СП : п е Т }. Обозначим В'1;1 = [и е В1;1: |и| = ш}.

Приведем основные результаты, полученные Беллом, для данного пространства.

Теорема 2,1, [15] БВЦ 1 не сепарабелно.

Доказательство. Пусть X = {хп: п е ш} С БВЦ1. Заметим, что для всех п е ш выполнено

= и{с;: аош 5 = п + 1}.

Тогда для каждого п е ш найдется е N такое, что х е [С5п] и doш = п + 1, Тогда можно определить п е Т1 следующим обр азом: п(п) =

Получаем X С [СП], и при этом (N4 \ СП )* является непустым открыто-замкнутым в БВ^ 1 множеством, которое не пересекается с X, □

Лемма 2.1. [15] Алгебра, В 1,1 является счетным объединением 2-сцепленных семейств.

Доказательство. Покажем, что В11 = {и е В1,1: |и| = ш} есть объединение счетного числа 2-ецепленных семейств. Для каждого 7 е ш и 5 е N такого, что doш 5 ^ 27 — 1, определим

В(7, 5) = {и е В11: найдется конечноеК С Т! и Ь е ехр^- Т1 такое, что

5 е (П{СП: п е К}) П (П{^ \ СП: п е Ь}) е ехрш и}.

Покажем, что каждое В(7, 5) является 2-ецепленным семейством.

Зафиксируем 7 е ш и 5 е N1 такие, что dom 5 ^ 27 — 1. Пусть ио, и1 е В(7, в). Тогда существует конечное Кг е Т! и Ьг е ехр^- Т1 (г = 0, 1) такие, что

5 е А = (П{Сп: п е Кг}) П (П{^ \ СП: п е Ьг}) е ехрш иг (г = 0, 1).

Теперь построим Н е Р1 такое, что {Н|п: п ^ doш 5} С Д0 П

Строить Н е Р1 будем то индукции по п ^ doш Пусть Н|аот« = 5. По построению имеем Н|аот« е Д0 П

Предположим, что мы определим Н|п для п ^ doш 5 так, что Н|п е Д0 П Определим Н|га+1 как продолжение Н|п на п +1 так, что

Н|п+1 / {п(п): п е Ьо и Ь1}.

Это возможно, поскольку существует п + 2 различных продолжений к|и на п + 1, а |Ь0иЬ11 ^ 23 ^ п+1 < п+2, Тогда найдется требуемое продолжение к|и до к|и+1, Итак, к € Р1 с нужным там свойством {к|и: п ^ dom в} С Р0 П построено и, следовательно, |Р0 П Д1| = ш.

Остается показать, что В11 = и{В(3, в): 3 € ш, dom в ^ 23 — 1}. Это следует из того, что, во-первых, всякое бесконечное и € В1,^ |и| = ш, содержит некоторое бесконечное множество Р, являющееся пересечением элементов или дополнений элементов из В1,1, и, во-вторых, всякое бесконечное подмножество N содержит элементы со сколь угодно большими областями определения, □

Непосредственно из данной леммы получаем

Теорема 2,2, [15] Пространство Б ВЦ 1 удовлетворяет условию Суслина.

Заметим, что в доказательстве леммы 2,1 можно изменить условие, накладываемое на в при определении В(3, в), заменив 23 — 1 ^ dom в на п3 — 1 ^ dom в. Тогда В11

п

Рассмотрим свойства пространства БВ1,1, которые существенно отличают данное пространство от вш.

Теорема 2,3, Пусть семейство {С^: г € ш} такое, что {вг: г € ш} — бесконечная, строгая, антицепь в Nъ и X = {хг : г € ш} такое, что хг € [С^]. Тогда, [X] гомеоморфно вш.

Доказательство. Рассмотрим семейство Л = {С^: г € ш}. Для ультрафильтра £ € вш \ ш и Р € £ определим

^ = и{С«г: г € Р}, Л, = {Жр: Р € £}, = П{[Жр]: Жр € Л,}.

Легко видеть, что

1) Ь, П = 0 для £ = п;

2) {X П : Р € £} — ультрафильтр на множестве X;

3) П [X]| = 1.

Пусть х, = П{^ П ]: Р € £}.

Из конструкции следует, что X и {а^: £ € [Зш \ а;} = [X] гомеоморфно [Зш. □

Заметим, что X* нигде те плотно в БВ* 1, поскольку с(БВ* 1) = 2Ш, Следствие 2.1. Существует А С N1 такое, ч то [А] гомеоморф но вш.

Доказательство. В качестве А достаточно взять бесконечную строгую антицепь в N1,

□

Следствие 2,2, Если, X = {хг : г € ш} — дискретное подмножество БВ11 такое, что хг € С*^, и при эт ом, С*. П С/ = 0 для г = 3, тогд а [X ] гомеоморф но вш.

Доказательство. Для доказательства данного следствия достаточно заметить, что С* = и {С* : dom Ь = dom в + 1, в ^ ¿} для произволь ного С*.

□

Из данных теорем и свойств ßw мы получаем некоторые кардинальные характеристики нашего пространства,

Следетвие2,3, Вес, теснота и наследственное число Суслина (спред) пространства SB1;1 равны, 2Ш, а мощность равна 22.

Если замыкание строгой антицепи в S B1,1 гомеоморф но ßw, то цепь из N1 является сходящейся последовательностью в SB1)1.

Теорема 2,4, Пусть A = (s^ : i G w} — бесконечная цепь на, N1. Тогда A является, сходящейся, последовательностью в SB1)1.

Доказательство. Рассмотрим бесконечную цепь A = (sj: i G w} в N1. Предположим, x G [A] \ A и Ox = Сп|М \ U — базисная окрестность точки x.

Поскольку A С N^ и x G [A], имеем ( Сп|М \ U Cn 1 HA = 0, то есть найдется i0 G w

^ пёТ' '

такое, что st0 G СП|м Поскольку A-цень, то st G Сп|м для всех i ^ io. С другой стороны, мы имеем

IJ Сп H A = 0.

пёТ'

Действительно, в противном случае, поскольку A — цепь, (J Сп содержало бы всё мно-

пёТ'

жество A, за исключением конечного числа точек, И тогда Ox H [A] = 0,

Итак, ж —предел сходящейся последовательности А = {s^: г G а;}. □

Копий ßw и пределов сходящихся последовательностей в SB1,1 достаточно много.

Теорема 2,5, Пусть

Q = (x G SB* 1: x — предел сходящейся последовательности, точек N1},

ß = (A*: A С N1; ^гомеоморф но ßw}. Тогда, Q всюду плотно, а, сем,ейство ß является, ж-сетью в SB*1. Доказательство. Рассмотрим V = Сп|М \ (J Сп4—элемент Г1,1 такой, что |V| = w.

i^m

По индукции построим две последовательности (sk : k G w} и (tk: k G w} элементов V такие, что

(1) (sk: k G w} — цепь в N1;

(2) (tk: k G w} — строгая антицепь в N1;

(3) sk < tk+1 для всех k G w.

Положим % и s G Сп|М \ U Сп4 такие, что n0 ^ m + 1 и dom s = n0 + 1.

i^m

Определим s0 = t0 = s.

Пусть мы определили (sk: k ^ l} и (tk: k ^ l}, удовлетворяющие условиям (l)-(3). Определим s1+1 и i1+1. Посюшу l ^ n0 ^ m +1, то существует не менее двух продолжений s^, лежащих в Сп|М \ ( (J ), Определим одно из них как sl+1, а другое — как

i^m

Тогда семейства (sk: k ^ l + 1} и (tk: k ^ l + 1} удовлетворяют условиям (1)-(3).

В результате получаем две последовательности (sk: k G w} и (tk: k G w}, удовлетворяющие условиям (l)-(3). Из условий (l)-(3) и теорем 2,3, 2,4 получаем, что (sk: k G w} С V, (sk: k G w} — сходящаяся последовательноеть и lim sk G V*, а также

{ifc: k E ш} С У, [{¿fc: fc G а;}] гомеоморфно ßuo и ({tfc: fc G w})* С У*. □

A.A. Грызловым в [19] были описаны сходящиеся последовательности и множества, замыкания которых гомеоморфны ßw.

Те орема 2.6. [19] Если множество A С N такое, что |[A] \ A| = 1, тогда, существует конечное множество K С A такое, что A \ K — цепь.

Теорема 2.7. [19] Если, замыкание [A] множества A С Ni — копия ßw, тогда, A — объединение конечного числа антицепей.

Следствие 2.4. [19] Если, замыкание [A] множест ва A С Ni — копия ßw, тогда,

A

Точки пространства SBi,i можно рассматривать как максимальные центрированные системы некоторых классов множеств из Bi)i.

Теорема 2.8. Если, £ = {СП|М} - максимальная центрированная си,стем,а, элементов сем,еи,ства,

{CV|M: neTi, M С w},

то

n{ Сп|М: Cn|M G £ }| = 1.

Доказательство. Из центрированности системы £ = {СП|М} и бикомпактности БВ1,1

следует, что П {С*|М: СП|м € £} = 0.

Покажем, что |П {[СП|М]: Се|М € £}| = 1, ПСедположим противное: пусть найдутся две различные точки х,у € П{С*|М: СП|М € £}. Рассмотрим произвольную базисную

Х

Ox

С

0|M0

\ U с

с

0|M0

\[и с

пет'

пет'

такую, что у / Ох.

Множество [СПо|Мо] является открыто-замкнутым множеством, содержащим точку х, отсюда СПо|Мо П СП |М бесконечно для всякого СП |М € £, В силу максимальности £

СПо|Мо] э у.

и Сп пет'

(J [Сп]. Тогда найдется п' G T' такое,

пет'

получаем СП0|Мо £ £ и; следовательно, Так как y / Ox, получаем, что y £

что y £ [СП' ].

Так как [СП] открыто-замкнуто и [СП'] Э y £ П{C*|M: СП|M £ £}, получаем, что СП' П СП |M бесконечно для всякого СП |M £ £, а значит, СП' £ £

Получаем П{C*|M: Сп|м £ £}^ С*,, и, следовательно, x / П{C*|M: Сп|м £ £}■ Это противоречие доказывает теорему. □

Теорема 2.9. Если, £ = {G} — максимальная центрированная систем,а, элементов семейства

[С = Ni Сп : T' С Ti, |T'|

гет'

то

П{ С* : С € £ I1 = 1.

Доказательство. Из центрированности системы £ = {С} и бикомпактности БВ1,1 еле дует, что П {С*: С € £} = 0. Предположим, что найдутся х, у € П {С*: С € £}, х = у.

х Ох

Спо|Мо \ U СП пет'

такую, что у / Ox. Заметим, что

Сп о | Мо \ U Сп = [Сп о | Мо] \ U Сп = [Спо|Мо] \ ( [Сп ]) •

гет'

тет'

гет'

Имеем: [Спо|Мо] и П N1 \Сп] — открыто-замкнутые множества, содержащие точку х,

пет'

Отсюда и из максимальности системы £ следует, что Р| (N4 \ Сп) е £, из этого вытекает,

пет'

что у е Р| [N4 \ Сп], Так как у / Ох, получаем, что у / [Спо|Мо]■

пет'

По предложению 1,9 существуют п1,п2 е Т1 такие, что Спо|Мо = Сп1 П Сп2, Но тогда

у / [Сп1 П Сп2 ] = [Сп1 ] П [Сп2 ].

Пусть у / [Сп1 ]. Тогда у е N \ Сп1 ], Из открыто-замкнутости множества N \ Сп1 ] и максимальности £ следует, что N \ Сп1 е £. Отсюда [N4 \ Сп1 ] Э х, следовательно, х / [Сп1 ], что противоречит тому, что

[Сп1] 3 [Спо|М„] Э х.

Это противоречие доказывает теорему, □

Данные теоремы послужили основанием для введения следующих определений. Определение 2,1, Точку х е Б В* 1 назове м м-точкой, если

х = П{ спм: Сп|м е £ }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {Сп|М} в семействе множеств

{ Сп|м: пеТ1, М С ш }. Определение 2,2, Точку х е Б В* 1 назове м I-точкой, если

хе П{ С *: С е £ }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {С} в семействе множеств

{N1 \ и Сп : Т' С Т1, |Т'| <ш}.

пет'

Из определений следует, что м-точки суть точки Б ВЦ 1; которые имеют базу окрестностей в БВ11, состоящую го множеств вида С*|м> гДе п е Ть М С I-точки суть точки Б В1 ь которые имеют базу окрестностей в БВ* 1; состоящую из множеств вида (N1 \ и Сп)*, где Т' С Ть |Т'| < ш.

пет'

В [4] доказана теорема об эквивалентных определениях I-точек.

Теорема 2,10, [4] Для точки х е Б ВЦ 1 следующие утверждения эквивалентны:

(a) точка х есть предел некоторой цепи : к е ш } элементов N4;

(b) точка х имеет базу в Б ВЦ 1; состоящую из открыто-замкнутых окрестностей вида

(N1 \ и Сп)*;

пет'

(c) из того, что х е [Сп|м] для некоторых п е Т1; М С ш, следует, что существует г е М такое, что х е [Сп(г)].

Данная теорема показывает, что /-точки являются пределами цепей, В [9] доказана теорема 2,11, определяющая предельные точки антицепей в терминах центрированных систем множеств.

Будем говорить, что СП|М приведенное, если п(М) — строгая антицепь, и положим Мм = {СП|М;: М = М П {п: п ^ г} ,г € ш} ,

Мь = {С = N1 \ у СП: Т' С Т1, |Т'| <ш},

пет'

Мп|м = Мь иМП|М.

Определение 2,3, Центрированную систему £ = {С} в семействе МП|М будем называть п|М-^ентрмрованной для, СП|М, если МП|М С £,

Всякую п| М-центрированную систему можно дополнить до максимальной п|М-цептрироваппой системы.

Теорема 2.11. [9] Пусть множество СП|М приведённое и |М| = ш. Если £ = {С} — максимальная п|М-центрированная си,стем,а, для, СП|М, то

|П{С*: С € £}| = 1.

§ 2.2. Пространство БВ12

Прежде всего выясним соотношение пространств БВ1;1 и БВ1>2,

В1,1 = {С}

Тогда, сем,ейство {С П N: С € В1;1} — это булева, алгебра, В1>2.

Доказательство. Нетрудно видеть, что семейство {С П N: С € В1;1} есть булева алгебра на Ш:2, Покажем, что {С П N: С € В1;1} = В1>2, Для этого достаточно заметить, что для всякого в € N выполняется

С« П N2 = {Ь € N1: ¿|асш« = в} П N2 = {Ь € N2: ¿|асш« = в}.

Отметим, что для «б^Д Ш2 справедливо С3 П = 0, □

Теорема 2,12, Существует гомеоморфизм ф: ^2]5В1Д — БВ1>2 такой, что — тождественное отображение.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку нароста х € ^2]5Вм \ Точка х = {С € В1,1: х € [С]5В11} — это ультрафильтр в булевой алгебре В1)1.

Тогда £х = {С П N: С € х} является ультрафильтром в В1;2, то есть точкой раеши-БВ1,2

ф

ф(х) = £х для х € ^2]5В11 \ N^5 на множестве N2 отображение ф тождественно,

ф

Пусть £ = {С} — ультрафильтр в В1)2. Тогда | П {[С']5Вм: С' € £}| = 1, Действительно, если бы нашлись х, у € П{[С']5В11 : С' € £}, х = у, то нашлись бы и Сх € х, Су € у (х и у можно рассматривать как ультрафильтры на В1;1) такие, что Сх П Су = 0, В силу того, что [Сх]5В11 и [Су]5В11 — открыто-замкнутые множества, получаем следующее: С'х = Сх П N2 = 0 и Су = Су П = 0 СХ, С'у € В1>2 и СХ, С'у € £, что невозможно.

Положим х = П{[С']5В11: С' € £}, По определению отображения ф имеем ф(х) = £,

ф

ность ф очевидна. Таким образом, ф: рЯг^^д ~^ «^ЯЗ^ — искомый гомеоморфизм, □

БВ1 2 БВ1 1 БВ1 2

БВ1 1

Оказалось, что в наросте данного пространства есть изолированные точки, а в самом пространстве есть открыто-замкнутые копии вш,

БВ1 2

1) А = {^ е N: г е ш} — полная цепь. Тогда, А е В1 , 2, [А] является, открыто-замкнутым множеством в БВ1 , 2 и [А] \ А состоит из одной точки.

2) Если А = = /|га: п е М}-цепь, где /еР^ |М| = |ш \ М| = ш. Тогда [А] не является, открыто-замкнутым множеством в БВ1 , 2.

3) А = {п(п): п е М С ш} — бесконечная строгая, антицепь. Тогда, А е В1 , 2 и [А] является, открыто-замкнутым множеством в БВ1 , 2 и гомеоморфно вш.

Доказательство. 1. Покажем, что А е В1 , 2. Для этого построим п1,п2 е Т2 такие, что

А = Сп1 \ Сп2-

Определим п1(г) = 5г для всякого г е ш. п2(0)(0) = (50(0) + 1)шо^ 2 и п2(г)|г = 5г-1, п2(г)(г) = (5г(г) + 1)шо^ 2 при г > 0 (другими словами, п2(г) — это продолжение 5г-1 на г, отличное от 5г), Из построения очевидно, что А = Сп1 \ Сп2,

В теореме 2.4 доказано, что бесконечная цепь из N есть сходящаяся последовательность. Поскольку БВ1 , 2 вложимо в БВ1 д как замкнутое множество и в силу тео-

[А] \ А А В1 2 [А]

является открыто-замкнутым множеством в БВ1 , 2.

2. Предположим противное: пусть [А] — открыто-замкнутое множество в БВ1 ,2. Множества А и А' = = /|п: п е ш \ М} являются подпоследовательностями последовательности : п е ш}, Отсюда [А] = А и {х} и [А'] = А' и {х}, где х —предел последовательности : п е ш}. При этом А' С БВ1)2 \ [А].

В силу нашего предположения множество БВ1>2 \ [А] замкнуто. Тогда получаем, что {х} и А' = [А'] С БВ1)2 \ [А], Это противоречит тому, что х е [А].

3. По предложению 1.9 имеем Сп|М е В1)2. Положим М' = {п + 1: п е М}. Построим п0,п1 е Т2 такие, ЧТО А = Сп|м \ (Спо|М' и Сп1|М')■

Для п е М ПОЛОЖИМ п0(п +1)|п+1 = п1(п +1)|п+1 = п(п). ПоложИМ п0(п +1)(п+1) = 0 и п1(п+1)(п+1) = 1. Другими словами, п0(п+1) и п1(п+1) —это два различных продолжения п(п) на следующий шаг. В точках п / М' п0 (п) и п1(п) выбираем произвольно.

Требуемое равенство выполнено в силу построения, так как Спо|М' и Сп1|м' вырезает из Сп|М все продолжения элементов антицепи, оставляя только их. В теореме 2.3 доказано, что замыкание бесконечной строгой антицепи из N4 гомеоморф но вш. Отсюда

[А] вш А В1,2 [А]

открыто-замкнутым множеством в БЯЗ^г. □

Заметим, что согласно пункту (1) доказанной теоремы предел цепи из N есть изолированная точка нароста Б ВЦ 2,

Для неизолированных точек нароста доказан следующий результат.

Теорема 2.14. В любой окрестности, Ох произвольной неизолированной точки из

нароста х е БВ* 2 содержится, открыто-замкнутая копия вш.

и

точки нароста Ох = [Сп|М \ и Сп], Т' С Т2, |Т'| < ш. Докажем, что найдется бес-

пет'

конечная строгая антицепь {^: г е ш} С Сп|М \ и Сп = С,

пет'

Поскольку х — точка нароста, то |С| = ш. Введем обозначение, 5 + 1 — это множество продолжений 5 на dom 5 + 1, то есть 5 + 1 = {Ь е N: ¿|аот« = 5, domЬ = doш 5 + 1}.

Определим множества /0х = (в € С: |в + 1 П С| = 0} = (в € С: |в + 1 П С| = 2} и и0х = (в € С: |в + 1 П С| = 1}, Они задают разбпение С = /0х и и [70х,

Докажем, что если |/0х| = ш, то теорема верна, Поскольку N = (Ь € N2: Ь = п} конечно для всех п € ш, то найдется бесконечное М С ш такое, что /0х П N = 0 для всех п € М, М = (п1, п2,..., п^,...}.

В качестве в, выбираем произвольный элемент из /0х П . В итоге получаем бесконечную строгую антицепь (в,: г € ш} С /0х С С. Далее будем считать, что /0х конечно.

Теперь рассмотрим 1/0х- Если оно конечно, то |и0х| = ш, и найдется по такой, что ^ш ^ < п0 для всех ^ € /0х и Тогда для веех т > п0 выполнено N1^ П С = ОТТ" П и0х. Рассмотрим произвольное в € ОТТ" П С при т > п0, Поскольку в € [70х, то в + 1 = (в', в''}, где в' € Ц0х и в'' € и СП-. Так как в € С и в'' / С, то найдется п € Т' такое, что

пет'

в'' = п,(т + 1),

Заметим, что для различных в^ в2 € ЩТ" П С при т > п0 найдутся п', п'' € Т' такие, что в1 < п'(т + 1) и в2 < п''(т + 1), то есть П С| ^ |Т'| для всех т > п0. При этом для любого в € Шт П С при т > п0 найдется в' € Щ^1 П С, которое является его продолжением.

Таким образом, С \ (в € С: doш в ^ п0} представляет собой не более |Т'| беско-

С

изолированных точек. Это противоречит тому, что х — не изолированная точка.

Осталось рассмотреть случай, когда |"^0Х| = ш. Возможны два варианта,

1, |С5ПУ0ж| < ш для всех в € V' С где IV'| = ш. В качестве в1 берем произвольный в € V', при этом IV'\ С811 = ш. В качестве в2 берем в € V' \С81 такое, что dom в2 > doш в1.

На к-ом шаге получаем: (в,: г ^ к} — строгая антицепь и IV' \ и | = ш. После

счетного числа шагов получим бесконечную строгую антицепь

(в,: г € ш} С V' С С С.

2, Найдется в0 € такое, что |С80 П = ш.

Построим бесконечную цепь (Ь,: г € ш} С В качестве возьмем в0. Если для всех в € С41 П выполнено С П < ш, то переходим к пункту 1, где V' = С41 П

В противном случае найдется ¿2 € С^ П 'УОж такое, что |С^2 П | = ш. Для ¿2 повторяем рассуждения, что и для ¿1. И так далее, В итоге либо будет построена бесконечная строгая цепь (Ь,: г € ш} С Vоx1 либо па конечном шаге мы обратимся к пункту 1 и построим искомую антицепь,

В качестве в, будем брать то продолжение ^ на dom+1, которое не равно ¿¿+1|аоти-В итоге получим бесконечную строгую антицепь (в,: г € ш} С С С,

Согласно пункту 3 теоремы 2,13 [{з^: г Е а;}] гомеоморфно [Зш. □

Следствие 2,5, Для, любой неизолированной точки нароста х € БВ2 и произвольной ее окрестности, Ох справедливо с(Ох) = 2Ш.

Удалось описать множества из N2 замыкания которых являются открыто-замкнутыми копиями вш.

Теорема 2.15. Пусть А С |А| = ш. Замыкание [А] является, открыто-замкнутой копией вш тогда, и только тогда, когда, А есть объединение конечного числа строгих антицепей из

Доказательство. Докажем необходимость. Согласно теореме 2.12 и следствию 2.4 длины всех цепей, входящих в А, ограничены некоторой константой К, Посколку [А] открыто в Б В 1)2 и является бикомпактом, то существует коне чное покрытие [А] = у [Ц ], где

= СП;|М; \ У Сп;-

К";

Напомним, что Ц = < Спг(п) \ и Спг: п е Мг > и при этом длины цепей, входящих

в [7г, ограничены одной конетантой к.

Заметим, что для любых < 52 е Ц и произвольного Ь е N такого, что ^

Ь ^ £2, выполнено Ь е Ц (другими сливами, в цепях, еидержащихея в Ц нет «дырик»),

пискильку в притивпим случае Ь е У Спг, то тигда е С С у 7 ^ пгСпг и / Ц,

З <пг 3 3

Отсюда следует, чти для всех п е Мг и любоги Ь е Спг(п) \ и 7 ^

пг Спг выполнепи п ^

doш Ь ^ п + к — 1,

Пискильку у каждиш элемента продолжении на следующий шаг рог,но два, ти

е Спг(п) \ У Спг: doш Ь = п + к|

■г'

< 2к.

Тогда для всех п е М^ ^^мнени |Спг(п) \ и Спг | ^ 2Л

Представим Мг в виде объединения к непересекающихся подмножеств Мг = и Мг?

ыь

таких, чти для всякиги I ^ к и любых ш1,ш2 е М" и т1 = т2 выполнени |т2 — т1| ^ к. Рассмотрим множество Ц = Сп.|мг \ и Спг, Заметим, чти для любых двух различ-

г З^^г 3

ных ш1,ш2 е Мг? и любых е Спг(т1) \ и Спг и Ь2 е Спг(т2) \ и Спг выпилнени

З^^г 3 3

dom = doш Ь2, Тогда построим раз биение Ц на конечние числи стригих антицепей.

Для каждиги п е М" отметим пи тичке в Спг(п) \ и Спг (если данние множество не

З 3

пусти). Эти и будет первий стришй антицепью Д^'1,

Затем для каждиги п е М" отмечаем то точке в не пустых (Спг(п) \ и Спг) \ Д^'1, эти

будет Д2'г, И так далее.

Прицеее истанивптся не билее чем через 2^ шагов, так как |Спг(п) \ и Спг | ^ 2^ для

З<пг 3

всех п е Мг, Значит Ц можно представить в виде объединения не более чем 2^ строгих антицепей, аЦ-в виде объедиеения не более чем к • 2^ строгих антицепей,

В итоге получаем, что А = и Д", где — строгая антицепь, а п0 ^ п • к • 2^,

г^гао

Докажем достаточность. Пусть А = и Дг, где Дг —строгая антицепь элементов N

г^га

и Дг П = 0 ири г = 7 Покажем, что для произвольного А' С А справедливо А' е В1,2. Действительно, множество = Дг П А' для всех г ^ п я ваяется строгой антицепью, а значит, по пункту (3) теоремы 2,13 е В^, Тогда А' = и е В1,2.

г^га

А1 , А2 С А А1 П А2 = 0 А1

и А2 элементы булевой алгебры В^, а значит [А1 ] П [А2] = 0. Тогда [А] гомеоморфно ¡ЗА и А — счетное дискретное множество. □

Следствие 2.6. Если Ц С БВЦ 2 — открыто-замкнутое множество, гомеоморф-ное вш \ ш. Тогда, Ц = [А] \ А и при этом, А является объединением, конечного числа антицепей из

Доказательство. Данное следствие непосредственно вытекает из теоремы 2.15 и предложения 1.5. □

В связи с доказанной теоремой возникает вопрос о существовании не открыто-вш БВ1'2

вш

служат следующие примеры.

Пример 2,1, Пример не открыто-замкнутой копии вш в БВ1)2.

Построим множество А С N такое, что [А] гомеоморф но вш и [А] не открыто в БВ1>2,

Рассмотрим произвольную бесконечную строгую антицепь Р = (п(г): г € М, М С ш},

н

возрастающей мощности, то есть Р = и р, где |р| = г. Для каждого Р определим

мажорирующую ее нестрогую антицепь А,, для этого каждому в € Р сопоставим его продолжение в' такон, что doш в' = max{dom Ь: Ь € Р} = п(г).

Определим А = у А,. Согласно теоремам 2,3 и 2,12 [А] гомеоморфно вш, при этом

открыто-замкнутым в БВ12 оно быть те может, так как в противном случае А, согласно теореме 2,15, можно было бы представить в виде конечного объединения строгих антицепей, то есть количество элементов антицепи, имеющих один и тот же dom, не превосходило бы количества строгих антицепей, А это невозможно в силу того, что для любого п € ш найдется г(п) € ш: |А,(п)| > п, а все элементы А,(п) имеют одинаковый dom,

Замечание 1. Согласно теореме 2.14, нарост нашего пространства представим следующим образом: 5ВЦ 2 = [А и В], где А—множество всех изолированных точек нароста, В— объединение наростов отрыто-замкнутых копий вх А и В открытые подмножества 5^1,2 и А П В = 0. По теореме 2.14 имеем [В] = 5ВЦ 2 \ А и, в силу приведенного примера 2.1, [А] = 5В,2 \ В.

вш

без изолированных точек в наросте.

Построим множество А С такое, что [А] является открыто-замкнутым в БВ1>2, вш [А] \ А

Рассмотрим произвольную бесконечную строгую антицепь Р = (п(г): г € ш}, По индукции построим семейство конечных цепей со следующими свойствами:

(1) А, С СП« и А| = г;

(2) А, — цепь без «дырок», то есть для любых в, Ь € А, и произвольного к € N из того, что в ^ к ^ ¿следует к € А,;

(3) для произвольных г € ш, Ь € А, и в€ А,+1 выполне но doш Ь < doш в,

В качестве А1 возьмем (п(1)}, Пусть поетроены А, для всех г ^ п, тогда в качестве первого элемента цепи А,+1 возьмем то продолжение п(п + 1), для которого выполнено условие (3), далее нетрудно достроить цепь до нужной длинны (|А,+1| = г + 1) с выполнением условия (2),

Все элементы цепи А,, за исключением последнего, имеют в качестве одного продолжения на следующий шаг другой элемент А,, а в качестве второго продолжения элемент из дополнения к данной цепи, И только оба продолжения последнего элемента цепи, не будут элементом данной цепи.

Определим А = У А,. Нетрудно показать, что А является элементом булевой алгебры В1)2. Легко построить 7г € Т2 и М С ш такие, что 7г(М) = А.

Тогда А = СП|М \ (СП'|М' и Сп»|м"X гДе СП'|М' обрезает те продолжения элементов наших цепей, которые туда не попадут, Сп»|М'' нужно для удаления вторых продолжений последних элементов наших цепей.

[А] вш А

ни одной бесконечной цепи, а значит в силу теорем 2.6 и 2.12, А* = [А] \ А не содержит изолированных точек.

В итоге мы получили подмножество N2, замыкание которого открыто в SB1)2 и не гомеоморфно а нарост не содержит изолированных точек.

Таким образом, нарост нашего пространства SB1>2 помимо копий ew \ w и изолированных точек содержит и другие точки.

Следующие результаты показывают тесную связь полных цепей и полных антицепей в N2.

Теорема 2,16, Для пространства SB1>2 справедливо следующее:

1) если {n(n): n G w} — полная, строгая, антицепь, то N2 \ Cn = {tn: n G w} — полная, строгая, цепь и tn = n(n + 1)|n+1 для, всex n G w.

2) Пусть Nn = {t G N2: dom t = n + 1} для, вс ex n G w. Есл и {n(n): n G M} таково, что |Nn \ Cn|M | = 1 для, вс ex n G w, m 0 {n(n): n G M} — полная, строгая, антицепь.

Доказательство. 1, Пусть Nn = {t G N2: dom t = n + 1} для вс ex n G w. Покажем, что |Nn \ Cn | = 1 для всяко го n G w и N2 \ Cn = U{Nn: n G w} \ Cn — полная строгая цепь. Доказательство проведем по индукции. Для n = 0 верно.

Пусть верно для n ^ п, то есть {tn} = Nn \ Cn для всех n G {0,..., п} и они образуют цепь.

Рассмотрим = {t G N2: dom t = п + 2} Для люб ого s G Nn \ {tn} (n ^ п)

верно s G СП- Тогда всякий элемент t G N!J+1 \ Ctn является продолжением некоторого s G Nn \ {tn} С Cn, и поэтому он не равен n(n + 1), так как {n(n): n G w} есть антицепь. Следовательно, п(п + 1) есть одно го продолжений элемента tn на п + 1, то есть n(n + 1)|n+1 = tn- Тогда другое продолжение tn на n + 1 и есть элемент tn+1. Получаем, что {tn+1} = N+1 \ Сп.

Построенное таким образом множество {tn: n G w} = N2 \ Сп и есть искомая полная цепь,

2, Обозначим Mn = w П {0,1,..., n} для вс ex n G w.

Заметим, что Nn \ СП|М = Nn \ ОП|мп- Предположим, что {n(n): n G M} не является полной строгой цепью.

Тогда найдется n' = min{n: n/^ш (n G M и n(n) G Cn|Mn_i )}■ В случае если n' = 0 получаем СП|Мо = чег0 быть те может. Имеем Сп|мп, = СП|М„/_1- По условию

теоремы Nn'-1 \ СП|мп/-1 = {t'}, тогда Nn' \ Cn|Mn, = Nn' \ СП|мп/-1 = Nn' П CV состоит из двух продолжений t' на n', а это иротиворечит |Nn' \ Cn|Mn' | = 1-

Таким образом, паше предположение неверно и {n(n): n G M} является полной строгой антицепью, □

Следствие 2,7, Для всякой полной антицепи A = {sn: n G w} найдется f G P2 такое, что [A] \ A С F/, gcte Ff = P| [Cf |n].

A

{tn: n G w} = N2 \ (U{CSn: sn G A}). При этом для всех n G w справедливо tn < sn+1. Данная полная цепь и определяет искомое f G P2 (f |n+1 = tn для всех n G w).

Получаем, что A П Cf|n = {s^: i > n}, To есть Cf|n+1 = Ctn содержит все элементы нашей антицепи начиная с некоторого. Но [Cf|n+1 ] открыто-замкнуто в SB1)2 и {(Cfln+Iy: п Е ш} образуют базу Ff в S*Bl2- Отсюда следует, что [А]\А С Ff. □

Предложение2,1, Для, всякой полной цепи, A = {п (n): n G w} найдется полная, антицепь {n'(n): n G w} такая, ч,mo A = N2 \ Cn'.

Доказательство. Определим n' G T2 следующим обр азом: n'(n)|n = n(n—1) для всякого n G w \ {0} и n'(n)(n) = (n(n)(n) + 1) mod 2 для вс ex n G w.

Таким образом, n'(n + 1) является продолжением n(n) на n + 1 отличным от n(n + 1) для всех n G ш, а значит, {n'(n): n G ш} является полной антицепью. Заметим, что А П Сж/ = 0 и в силу теоремы 2,14 имеем А = \ Сж>. □

Следствие 2,8, A = {n(n): n G M С ш} — строгая анти цепь. A можно дополнить до полной антицепи, тогда, и только тогда, когда, G = {n(n)|n: n G M \ {0}} образует цепь.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть A' = {п(n): n G ш}— полная антицепь и A С A', Тогда по теореме 2,16 получаем, что

G' = N \ C = {íra = n(n +1)Ui: n G ш}

есть полная цепь. Очевидно, что G С G', а значпт, G является цепью.

Докажем достаточность. Пусть найдется полная цепь G' = {ni(n): n G ш} такая, что G С G' и A П G' = 0, Тогда то предложению 2,1 найдется п2 такое, что G' = N2 \ СП2 и A' = {n2(n): n G ш} является полной антицепью.

Поскольку n(n)|n = n1(n — 1) = n2(n)|n для всех n G M \ {0} и A, A' — антицепи, то n(n)(n) = ^(n)(n) и n2(n)(n) = n1(n)(n) для bcex n G M, Тогда n(M) = n2(M), то есть А С А'. □

Также приведем пример строгой антицепи, которую нельзя продолжить до полной антицепи.

Пример 2,3, Для начала пронумеруем произвольным образом элементы N2, то есть N2 = {sn: n G ш}. Строить нашу антицепь A = {ín: n G ш} будем по индукции. Положим sni = s1; в качеетве í1 берем произвольное собственное продолжение sni, Пусть выбраны sni,..., snfc и их собственные продолжения ¿1,..., ík такие, что {íj: i ^ k} — антицепь и dom¿1 < ... < domík.

Тогда положим nk+1 = min{n: sn ^ íj и íj ^ sn для всex 1 ^ i ^ k}, В качестве ík+1 берем собственное продолжение snfc+1: dom ík < dom ík+1, В силу выбopa nk+1 имеем, что {íj: i ^ k + 1} — строгая антицепь.

Этот процесс продолжается до бесконечности, В итоге получим строгую антицепь A = {ín: n G ш}.

Докажем следующие свойства полученной антицепи:

1) для любого s / U Ctn найдется но мер k G ш такой, что s < ík;

ín€A

2) для всякого / G Pa = {/ G P2: / |n / |J Ct для всех n G ш} выполнено A*ПР/ = 0;

teA

3) Существует ультрафильтр £ G A* такой, что для любой строгой полной антицепи D найдется A' G £ такое, что A' П D = 0

1, Предположим противное. Пусть нашелся sn такой, что sn / (J Ctn И Sn ^ ífc для

tneA

всех k G ш, Но тогда для nk > n (такое nk найдется в силу бесконечности {snfc: k G ш}) получаем противоречие с выбором nk, так как его роль должен был играть ñ, в силу его минимальности,

2, Достаточно доказать, что |С/|n П A| = ш для любого / G PA и n G ш. Предположим противное: |С/|n П A| < ш, Данное пересечение не пусто, поскольку / G Pa-Пусть С/ |n П A = {íkl, ...,íkm}. В силу dom / |n < dom íkl < ... < dom íkm получаем |С/|n \ U Ctfc. | = ш. То есть найдется s такое, что /|n < s, dom s > domím

j=1,...,m

и s G С/|n \ U Cífc.. Значит, s / U Ct„.

j=1,...,m tneA

Тогда из построения A следует, что найдется k / {k^..., km} такое, что s < Получаем G Cf |n П A, Что противоречит предположению.

Множество Pa бесконечно. Из следствия 2,7 и того факта, что нарост A пересекается со многими Ff, следует, что A нельзя продолжить до полной антицепи,

3, Рассмотрим систему 7 = {A* \ D* : D — строгая толная антицепь}. По следствию 2,7 для любой строгой полной антицепи D найдется f G P2 такое, что D* Ç Ff,

В силу доказанного свойства 2 имеем A* \ (J D* = 0, Тогда система 7 центрирована

г^га

и ее элементы замкнуты в силу пункта 3 теоремы 2,13, В бикомпактном расширении SBi,2 пересечение центрированной системы замкнутых множеств не пусто, а значит, найдется £ G n{U: U G 7}, £ и есть искомый ультрафильтр,

В S B 1,1 были введены понятия и-точки и /-точки. Аналогичные построения можно провести и для SB1)2.

Определение 2,4, ж G SB*,2 назовем и-точкой, если {ж} = П{С*|М: Cn|M G £} для некоторой максимальной центрированной системы £ = {Cn|M G £} в семействе множеств

{Cn|M : п G T2, M Ç w}.

Определение 2.5. ж G SB*2 назовем /-точкой, если {ж} = П{С * : C G £} для некоторой максимальной центрированной системы £ = {C} в семействе множеств

{N2 \ U Cn : T С T2, |T'| <w}.

пет'

Доказательства существования и и /-точек в пространстве SB1>2 полностью повторяют соответствующие доказательства, проведенные для пространства SB1,1 (теоремы 2.8, 2.9).

В SB1)2, как и в пространстве SB1,1 (теорема 2.10), полностью перенеся соответствующее доказательство, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.17. Для точки ж G SB1 2 следующие утверждения эквивалентны:

1. Точка, ж является, I-точкой, то есть имеет базу открыто-замкнутых окрестностей вида [N2 \ U Сп].

пет'

2. Точка, ж является, пределом, сходящейся, последо вательности, { f |n : nGw } Ç N2.

Отсюда получаем, что каждое из условий 1 или 2 является необходимым и достаточным для того, чтобы точка ж G S B* 2 был а /-точкой.

Так как SB1)2 то теореме 2,12 вложимо в пространство SB1)1, возникает вопрос: как соотносятся понятия и- и /-точек в данных пространствах? Ответом па данный вопрос служат следующие теоремы.

Теорема 2.18. Если ж G S B1>2, m о ж не является и-точкой в пространстве S B1)1.

Доказательство. Построим бесконечную строгую антицепь D Ç N1 \ N2, Сначала упорядочим N2 = {tn : n G w}, Для всякого tn G N2 фиксируем G N1 \ N2 такое, что

< dom > dom — 1 и (m) = 2 гДе m = dom + 1, Таким образом, в качестве tn берем достаточно длинное продолжение tn, которое уже в точке m = dom + 1 выходит из N2,

D

случае нашлись бы = tn2 из N2 такие, что ini < in2. Поэтому либо tni ^ tn2 (чего

быть не может, поскольку ¿П1 / Ш2), либо ¿„2 < ¿П1. Тогда либо ¿П1 < ¿„2 (в этом случае ¿„2 (аош + 1) = % ЛИ6О ¿„2 < ¿„1-

Получаем, что ¿„2 |т = ¿П1 |т, где т = doш¿„2 + 1, А это противоречит тому, что ¿П1 € Ш2, Антицепь Р является строгой в силу того, что domíra < doшín+1.

Тогда найдутся п € и М С ш такие, что п(М) = Р. При этом С [СП|М

[СП|М_ открыто-замкнутое множество и [СП|М]й'В1,1 П [Ш^^д = 0. ТОГДа Р^д П [Ш2]5®1,1 = 0-

Докажем, что х € [Ш2]^В11 те может быть и-точкой в БВ1;1, Предположим противное, тогда у точки х есть база из множеств вида СП|М- Поэтому если £ € Ш2 П Ох, то £ € Р П Ох. Поскольку х € [Ш2^^д, то х € [Р]б1®1Д, а это противоречит тому, что

№®1Д п = 0. ' ' □

Следствие 2.9. х является и-точкой из БВ1;2, тогда х не является и-

точкой в пространстве БВ1;1.

Теорема 2.19.

1. х является, I-точкой в БВ1;2, то х является, ¡-точкой и в объемлющем пространстве БВ1;1.

2. Если х является, ¡-точкой в БВ1>2, то для, любого X С Ш1: [Х]^В1Д \ X = {х} выполнено |Х \ Ш2| < ш.

Доказательство. 1. Поскольку любая цепь из Ш2 также является цепью и в а БВ1)2

вложнмо в БВ1,1 как замкнутое подмножество (теорема 2.12), то теорема верна согласно

¡

2. По теореме 2.6 найдется бесконечное X' С X такое, что |Х\X'| < ш, и X' является цепью из которая сходится к х. С другой стороны, согласно теореме 2.17, найдется бесконечная цепь X'' С Ш2, которая также сходитея к х.

Если IX' \ Ш2| = ш, т0 найдется в' € X 'такое, ч то Су П X'' = 0 и IX' \ Су | < ш. Таким образом, цепи X 'и X'' можно отделить базисными окрестностями, что противоречит тому, что они сходятся к одной точке.

Получаем, что \Х' \ 9Т2| < ои, а значит, и |Х \ 9Т2| < и. □

§ 2.3. Пространство БВ13

Данное пространство отличается от двух рассмотренных ранее тем, что множество фиксированных ультрафильтров N3 не является его дискретным подпространством.

Лемма 2.3. Множество свободных ультрафильтров БВ 3 всюду плот но в БВ1)3.

Доказательство. Рассмотрим произвольное и € Г1)3 и в1)3. Легко построить бесконечную цепь : п € ш} С и. Для этого достаточно заметить, что для произвольного в € и количество его продолжений на следующий шаг бесконечно, а по определению Г1)3и в1)3

и

Для каждого к € ш определим = : п ^ к}, Тогда для вся кого (к € ш) выполнены следующие свойства:

1) [А ] П N3 =

2) [А] С и.

Получаем центрированную систему замкнутых множеств {[Ак]: к € ш} и, в силу бикомпактности БЗЗ^з, Р| ф 0, и при этом Р| С □

Выделим несколько типов точек данного пространства с базами определенного вида.

Лемма 2,4, 61,3 = {N3 \ ( и Сп) : Т' С Т3, |Т'| < ш} является базисом некоторого

пет'

ультрафильтра, £0.

Доказательство. Семейство 61;3 центрировано, Пусть £0 € 5Т81;3 — ультрафильтр, мажорирующий 61>3, Никакое тожество из Г13 гада Сп|М \ и Сп (Т' С Т3, |Т'| < ш)

пет'

ультрафильтру £0 те принадлежит, поскольку N \ Сп|М € 01;3, Таким образом, 61;3 — базис ультрафильтра £0. П

Лемма 2,5, Пусть в € Ш:3. Семейство м,ножеств

^ = {С \ и Сп: Т' С Т3, |Т'| < ш, в / У Сп}

пет' пет'

является, базисом, фиксированного по в ультрафильтра ГГ.

Доказательство. Во-первых, отметим, что всякое множество семейства содержит в и является элементом булевой алгебры В1>3, следовательно, принадлежит ультрафильтру гг.

Если множество Сп|М \ и Сп € ГГ для некоторых п € Т3, М С ш и конечного

пет

Т' С Т3 то Сп|м € г, А это значит, что Сп(п) Э в для некоторого п € М, Таким образом,

Сп(га) \ II Сп€ и Сп(га) \ и а с \иа. □

пет пет пет

Лемма 2,6, Пусть а = {вп: п € ш} — бесконечная цепь в Тогда, сем,ейство непустых мможеств

= {С ^ Сп: Т' С Т3, |Т'| <ш, а П ^ Сп) = 0}

пет пет

является, базисом, свободного ультрафильтра, £а.

Доказательство. Из определения семейства аа следует, что семейетво аа центрировано.

Дополним аа ДО ультрафильтра, обозначим его £а, Покажем, что аа является базисом

этого ультрафильтра.

Пусть Сп|М \ и Сп € £а для некоторых п € Т3, Т' С Т3, |Т'| < ш и М С ш. Тогда пет

найдутся вп € а и т € М такие, что Сп(т) Э вга. Действительно, в противном случае

а П Сп|М = 0 и найдется п' € Т3 такое, что п'|М = п|М и а П Сп' = 0,

Тогда для вп € а имеем и = С5п \ (( и Сп) и Сп') € аа и, следовательно, и € £а,

пет т

С другой стороны, поскольку Сп' ^ Сп|м, имеем и П (Сп|М \ и Сп) = 0, что протпво-

пет

речпт центрированности £а как ультрафильтра.

Поскольку а — бесконечная цепь, то £а является свободным ультрафильтром. При этом для всякой бесконечной цепи а'С« имеем £а/ = £а, □

Множество свободных ультрафильтров £а, построенных те бесконечным цепям а из N3 будем обозначать Г, а сами ультрафильтры £а будем называть ультрафильтрами первого рода.

Лемма 2,7, Если £ € 3 — свободный ультрафильтр и £ / и {£0}, то ной-дется множество Сп|М такое, что п € Т3, М С ш, |М| = ш, и {п(п): п € М} есть строгая, антицепь и

£ Э Сп|М и Сп(п) / £ для, всякого п € М.

Доказательство. Предположим, что для всякого СП|М такого, что СП|М € найдется п € М такое, что СП(„) € С-

Рассмотрим семейство Л = {в € Ш3: С € С}. Тогда Л —цепь,

В силу нашего предположения ультрафильтр С обладает базисом следующего вида: а = {С \ и СП: Л П ( и СП) = 0, Т' С Т3, |Т'| < ш}, Тогда С есть или фиксированный

пет' пет'

ультрафильтр, или свободный ультрафильтр 1 рода, что противоречит условию леммы,

□

Свободные ультрафильтры из множества Р2 = БВ^ 3 \ (Р и {Со}) будем называть свободными ультрафильтрами второго рода. Из лемм 2,4, 2,5, 2,6, 2,7 следует

Теорема 2.20. БВм = {Со} и N3 и Р и Яг.

Лемма 2.8. Пусть С € р и Р2 — свободный ультрафильтр. Тогда существует Сп|м € В 1,3

1) |М| = ш;

2) С Э Сп | м /

3,) если {Мк: к ^ к0}—конечное разби,ение М, то найдется к', к' ^ к0, такое, что |Мк| = ш и С Э Сп|мк'.

Доказательство. Если С € ^Р! — свободный ультрафильтр 1 рода, порожденный полной цепью а = : п € ш}, то определим п € Т3 то правилу п(п) = Положим М = ш. Тогда Сп — искомое множество.

Если С € -Р2 — свободный ультрафильтр 2 рода, то по лемме 2.7 существует СП|М такое, что |М| = ш, {п(п): п € М} есть строгая антицепь и при этом

С € [Сп|м] \и{[Сп(„)]: п € М}.

Тогда Сж\м~ искомое. □

Теорема 2.21. с(БВ*3) = ш.

Доказательство. Рассмотрим в БВЦ 3 произвольную дизъюнктную систему открытых множеств V = {иа: а € А}, По теореме 1,2 найдется система множеств V' = {УО,: а € А} такая, что Уа € Г1>3 и 61>3 и [УО,] П БВ1,3 С иа для всех а € А,

Покажем, что V' дизъюнктно. Предположим противное. Тогда найдутся а, в € А такие, что Уа П Уд = 0. Заметим, что Уа П Уд € В1)3, а значит, [Уа П Уд]— открыто-замкнутое множество, и по лемме 2,3 справедливо У П Уд] П БВ^ 3 = 0,

Получаем 0 = У П Уд] П БВ^3 С [У^] П [Уд] П БВ^3 С иа П ид, что противоречит дизъюнктноети V,

Предположим, что |А| > ш. Тогда из дизъюнктноети V следует существование на счетном *Я3 несчетной системы дизъюнктных множеств, чего быть не может, □

Теорема 2,22, Подпространство свободных ультрафильтров Б ВЦ 3 не сепара-бельно.

Доказательство. Пусть А = {£;: п € ш} — счетное подмножество ¿ВЦ 3 \ {£0}. Мы покажем, что существует строгая антицепь {в;: п € ш} такая, что А С [и{С5п : п € ш}],

Рассмотрим произвольное п € ш и £; € А Обозначим Спп|Мп множество булевой алгебры В1)3, удовлетворяющее условиям леммы 2,8,

Тогда существует число тп € {0,..., 10га+1 — 1} такое, что для класса вычетов тп по тос1 10га+1, определяемого числом т,п, выполняется СЖп^пм £ Класс вычетов тп состоит из точек вида р; = 10га+1- г + т;, где г € ш, п € ш.

Обозначим тп' = {'[/п € т^: г ^ 1},

Для любых чисел р^, р^-1 € т^' (г ^ 1) мы определим числа к^ и ¿^ € 9Т3 такие, что выполнены следующие условия:

(1) 1 ^ < рга;

(2) асш ¿; = к; + 1;

(3) п; (р;) ^

(4) к; = к;'', если не выполнено п = п' и г = г'.

Мы будем обозначать М; = {к;: г ^ 1}. Построение множеств {М;: п € ш} будем осуществлять по индукции.

Для п = 0 положим М0 = {то'}.

Пусть построены множества М^ для г < п. Построим множество М;.

Рассмотрим произвольные г ^ 1 и р^ € тп', то есть ргп = 10га+1- г + тп. Рассмотрим также р;-1 = 10;+1^ (г — 1) + т;.

Обозначим I = [10;+1^ (г — 1)+т;, 10;+1^ г+т;] отрезок натуральных чисел. Нетрудно видеть, что |1 П (и{М^: г < п})| < 10;+1, Тогда найдется число к; € I \и{М^: г < п}. Обозначим М; = {к;: г ^ 1},

Для чисел к; выберем и зафиксируем элемент ¿; € N такой, что

^ п;(р;^ ¿сш =к; +1

Тогда для множеств {М^: г ^ п} и {¿Г: г ^ п, г ^ 1} выполнены условия (1)-(4).

Таким образом, построены множество М = у М; и множество {¿(к;) = ¿;: к; € М},

В силу условия (4) множество и{С^(кг): к; € М} есть элемент булевой алгебры В1)3.

В силу условия (3) мы имеем £; Э и{С^(кг): к; € М} для всех п € ш, и, следовательно, {£;: п € ш} лежит в открыто-замкнутом множестве [и{С4(кг): к; € М}], При этом

£Ш1>3\ [и{С4(*й): □

§2.4. Пространства £В2)1, БВ2,2 и БВ2;3

Данные пространства существенно отличаются от рассмотренных ранее. Это связано с тем, что булевы алгебры здесь порождены другими семействами множеств. Прежде всего отметим, что пространства БВ2)1, БВ2,2 и БВ2)1 являются нульмерными бикомпактами и обладают счетной базой, поэтому пространства БВ2>3, БВ21 и 2 как пространства без изолированных точек гомеоморфны канторову совершенному множеству.

Мы рассмотрим внутреннее строение этих пространств, дадим классификацию их точек. На этой основе нами будут построены гомеоморфизмы данных пространств и их подмножеств на канторово совершенное множество и пространства ему гомеоморфные.

БВ2 3

графе тем, что фиксированные ультрафильтры в нем не являются изолированными точками.

Рассмотрим пространство БВ2 , 2,

С БВ2 2

/ € Р2 такад, нто семейство а/ = {С/|п: п € ш} является базисом, ультрафильтра, С-

Доказательство. Покажем, что для всякого п € ш, п ^ 1, найдется г € Ш2 такой, что dom г = п и Сг € С-

Действительно, пусть найдется п0 € ш такое, что Сг / С Для всякого г € Ш2, dom г = п0, Тогда множество Ш2 \ и{Сг: dom г = п0} или пусто, еели п0 = 1, или

СС что противоречит нашему предположению.

По предложению 1,11 множество {г: Сг € С} является цепью, и, следовательно, найдется / € Р2 такая, что {Сг: Сг € С} = {С/|п: п € ш} = а/. Будем обозначать ультрафильтр ^к С/

Покажем, что а/ является базисом ультра фильтра С/- Пуст ь С \ ( и С^) (М' С Ш2,

|М'| < ш) _ элемент базиса ультрафильтра С/ Пусть к = тах^от dom£: £ € М'}, По предложению 1.11 С/|?с+1 СС8и Сдк+1 П ( и С4) = 0. Тогда С/|?с+1 СС8\(и С(). □

Очевидно, что если /, $ € Р2 различны, то С/ = Са и всякая функция / € Р2 определяет свободный ультрафильтр, для которого семейство а/ = {С/|п: п € ш} является базисом.

Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие к: Р2 — БВ2 2, определенное по правилу к(/) = С/ для всякого / € Р2, Если множество Р2 наделить тихоновской топологией, то справедлива следующая теорема.

Теорема 2.23. Отображение к: Р2 — БВ2 2 является, гомеоморфизмом.

Доказательство. Заметим, что семейство множеств вида 0(в) = {/ € Р2: /|аот« = в}, где в € Ш2, определяет базу тихоновской топологии на Р2.

Отображение к: Р2 — Б В2 2 определили по ведающему пра в илу: если / € Р2, к(/) = С/ к Р2 к

ся взаимно-однозначным, непрерывным, вместе с обратным, отображением пространства Р2 на БЗЗ^. □

Р2

вершенному множеству (см., например, [1]) и, следовательно, БВ2 2 гомеоморфно кан-торову совершенному множеству.

БВ2 1

Р1

БВ2 3

рассмотрим внутреннюю структуру этого пространства, дав характеристики его точкам.

Рассмотрим три вида ультрафильтров из БВ2 , 3, Для всякого в € Ш3 обозначим через Р фиксированный ультрафильтр из БВ2 , 3, определяемый в, то есть состоящий из всех элементов булевой алгебры В2 , 3, еодержащих в.

Обозначим Ш3 = {Р: в € Ш3} — множество всех фиксированных ультрафильтров из БВ2 3

Лемма 2,10, Пусть Ng NN3. Тогда семейство

= {Cs \ U Ct : s / U Ct, N' С N3, |N'| < ш}

teN' teN'

является базисом, ультрафильтра, N.

Доказательство. Отметим, что as Ç N, поскольку всякий элемент семейства as содержит s Рассмотрим базис ультрафильтра N, состоящий из элементев вида Cr \ (J Ct,

teN'

где r G N3, N' С N3, |N< ш, И пусть Cr \ (J Ct — один из элементов этого базиса,

teN'

Поскольку Cr \ U Ct Э s r ^ s и всякий элемент t G N' либо не сравним с s, либо

teN'

s < t, то для множества Cs \ (J Ct G as выполнявтся Cs \ (J Ct Ç Cr \ (J Ct, Таким

tew tew tew

образом, семейство as есть базис ультрафильтра s'. □

Лемма 2.11. Пусть f G P3 и {sn = f |n : n G ш} — полная, цепь в N3. Тогда, семейство а/ = {Csn : n G ш} является, базисом, некоторого ультрафильтра, £/ G SB2 ,3.

Доказательство. Поскольку а/ является центрированной системой множеств, ее можно дополнить до ультрафильтра £/ G SB2, 3, Покажем, что а/ является базисом этого ультрафильтра, Отметим, что отсюда будет следовать единственность ультрафильтра £/, а/

Рассмотрим базис ультрафильтра / состоящий из элементов семейетва Г2 ,3 U в2 , 3:

Г2 ,3 = { Cs \U Ct : s G Ni, N' С N3, |N'| < ш, }, teN

©2,3 = { N3 Ct : N' С N3, |N'| < ш,}.

teN

Пусть Cr \ U Ct — одно из множеств этого базиса,

teN

Рассмотрим множество Csn0 G а/ такое, что dom sn0 > max{dom r, dom t (t G N')}, Так как а/ Ç / то по предложению 1.11 имеем Cr 1Э Csn0 и Csn0 П Ct = 0 для всех t G N'. Следовательно, Csn Ç Cr \ U Ct, Таким образом, семейство а/ есть базис

° t&N'

ультрафильтра □

Заметим, что если f, g G P3 различны, то ультрафильтры £/ и определяемые цепями а/ = {C/|n : n G ш} и ай = {Cg|n : n G ш}, различны.

Отметим также, что всякая полная цепь в N3 — это множество вида {f |n : n G ш} для некоторой f G P3,

Обозначим P = {£/ : f G P3}, где £/— ультрафильтр, мажорирующий семейство а/ = {C/|n : n G ш} для f G P3.

Лемма 2,12, Семейство ©2,3 = < N3 \ (J Ct: N' С N3, |N'| < ш, > является

teN

базисом, некоторого ультрафильтра, £0 G SB2)3.

Доказательство. Семейство ©2,3 центрировано, Пусть £0 G SB2)3—ультрафильтр, мажорирующий ©2,3. Имеем, с одной стороны, ©23 Ç (Г23 U ©2,3), с другой стороны, никакое множество из Г23 гада Cs\ U Ct ультрафильтру £0 не принадлежит. Таким образом,

teN'

02 3 базис ультрафильтра ¿¡о- □

В качестве итога этих лемм мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 2.24. SB2,3 = {£0} U F U NN3.

Доказательство. Пусть £ G SB2,3 — произвольный ультрафильтр. Положим A = {Cs: Cs G £, s G N3}, Возможны три случая: (1)A = 0; A A

(1) Пусть A = 0. Тогда а0 = {N3 \ Cs: s G N3} С £ и, следовательно, £ = £0,

(2) Пусть A конечно, A = {Csi: i ^ k}, По предложению 1,11 множество A является

конечной цепью, будем считать, что Cs0 С ... С CSfc, Тогда Р| Csi = CSfc и Csk G £,

í^fc

Покажем, что £ есть фиксированный ультрафильтр sk, что означает, что всякий элемент £ содержит sk, Рассмотрим базис ультрафильтра £, состоящий из элементов семейства Г2,3 U в2)3.

Пусть Cr \ U Ct — одно го множеств этого базиса. Отметим, во-первых, что r ^ sk,

teN'

Действительно, если r не сравним с s^o (Cr \ (J Ct)flCSfc = 0; если sk < r, то получаем

teN'

противоречие с максимальностью sk в A.

Итак, r ^ sk, следовательно, s G Cr, Для всякого t G N' имеем ли60 sk < t, либо t не сравним с sk, В противном случае Csk / £,

Следовательно, sk G Cr \ (J Ct, Таким образом, всякий элемент Cr \ (J Ct базиса

teN' teN'

ультрафильтра £ содержит sk и £ = sk-

AA Пусть а/ = {/|n: n G w} для некоторой функции / G — полная цепь, содержащая A. Тогда оf является базисом ультрафильтра £/ G F и £/ = £. □

Таким образом, пространство SB2,3 состоит из точки £0, множества пределов цепей элементов из N3 и множества фиксированных ультрафильтров.

Теорема 2.25. Подпространство F пространсmea SB2,3 гомеоморфно множеству иррациональных чисел.

Доказательство. Множество P3 является счетным произведением счетных множеств. Для всякого s G ^определим множество O(s) = {/ G P3: / |dom s = s}. Тогда семейство {O(s): s G N3} является базой тихоновской топлогии на P3. Известно, что P3 = шш с тихоновской топологией гомеоморфно множеству P иррациональных чисел (см., например, [1]).

Покажем, что подмножество F С SB2,3 гомеоморфно P3 с тихоновской топологией. Построим отображение ф: P3 ^ F то следующему правил у: если / G P3, то Ф(/) = £/■ Нетрудно видеть, что ф есть взаимно-однозначное отображение P3 на Р. Его непрерывность и непрерывность обратного отображения следуют из того, что ф(0(з)) = [Cs] ПР. □

Пример 2.4. Множество J — совершенное нигде не плотное ограниченное подмножество прямой.

Построим нигде не плотное совершенное подмножество J отрезка [0,1], гомеоморф-ное пространству SB2>3.

Для произвольного отрезка [а, 6] семейство отрезков {[а*, 6*]: г € ш} назовем правильным, если ао = > 6^ для всякого г Е ш, и последовательность {а^: г Е ш} сходится к точке 6,

Рассмотрим отрезок [0,1]. Обозначим: Д0 = {[а*о, 6*о]: г0 € ш} — правильное семейство для отрезка [0,1]. Положим: Д0 = и{[а*о, 6*о]: г0 € ш} — тело семейства Д0, А0 = [До]- Очевидно, Д0 = До и {1},

Пусть $*о = {[а*о*1, ]: г1 € ш} — правильное семейство для отрезка [а*о, 6*о ] (г0 € ш), Положим: = и{^о: б а;}, Д1 — тело семейства Д1, Д1 = [Д1]. Нетрудно видеть, что Д1 = Д1 и {1} и {6*о: € ш}.

Пусть ^*о*1 = {[а*о*1*2, 6*о*1*2]: г2 € ш} — правильное семейство для отрезка [а*о*1, 6*о*1 ], (г0,«1 € ш). Тогда Д2 = и{^*о*1: г0,«1 е а;}, Д2 — тело Д2, Д2 = [Д2], Нетрудно видеть, что Д2 = Д2 и {1} и {Ь*о: е а;} и {6*0*1: г°, г1 € ш}.

Продолжая этот процесс построения, получим для всякого к € ш семейство

Дк = и{^*о...*к: г0,..., гк € ш},

где ¿*о...*к — правильное семейство для отрезка [а*о...*к, 6*о...*к],

¿*о...*& = {[а*о...*к*к+1, 6*о *к+1 ]: г^1 € ш},

Ак — тело Ак, Ак = [Д^,

Имеем Ак = Ак Ц_{1} и {6*о: € а;} и ... и {6¿о...¿к : г°,..., гк Е ш}. Положим 3 = П{Дд;: к Е а;}. Нетрудно видеть, что 3 — совершенное нигде не плотное [0, 1]

Точками множества 3 являются точки {1} {6*о...*к: г0,...,гк € ш,к € ш}, а также точки х(/), где / € Р3, определяемые следующим образом

х(/) = [а/(0), 6/(0)] П ... П [а/(0).../^ 6/(0).../(к)] П ....

Базу окрестностей в точке {1} образуют множества вида ([0,1] \ [а*о, 6*о...*к]) П 3, Базу окрестностей в точке {6*о...*к} образуют множества вида

([а*°...*к,6*о...*к] \ [а*0...*к*к+1,6*о...*к*к+1 ]) П 3 Базу окрестностей в точках х(/), / € Р3 образуют множества вида

[а/(0).../(й^6/(0).../(к)] П 3 БВ2,3

Доказательство. Рассмотрим отображение к: БВ2,3 — 3, определяемое по следующему правилу:

-ад = 1 р

- для фиксированного ультрафильтра Р € N3, вде в € то есть в = / |п для некоторой функции / € Р3 и п € ш, положим к(Р) = 6/(0).../(п-1);

- для ультрафильтра С/ € Р, определяемого функцией / € Р3, положим к(С/) = х(/).

Из конструкции и определения топологий пространств БВ2,3 и 3 следует, что к: БВ2,3 — 3 — взаимно-однозначное и непрерывное вместе с обратным отображение 5532;3 на 3. □

Так как всякое совершенное нигде не плотное ограниченное подмножество прямой

БВ2,3

канторову совершенному множеству.

Список литературы

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

2. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

3. Архангельский А.В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33. № 6. С. 29-34.

4. Бастрыков Е.С. О некоторых точках расширения Белла счетного дискретного пространства // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С. 3-6.

5. Головастов Р.А. Об одном бикомпактном расширении счетного дискретного пространства // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 14-19.

6. Головастов Р.А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 19-24.

7. Грызлов А.А. О бикомпактных расширениях дискретных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 3. С. 803-848.

8. Грызлов А.А, Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения N II Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. С. 10-17.

9. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 76-82.

10. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О пространствах Стоуна булевых алгебр и канторовом совершенном множестве // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. С. 11-16.

11. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О плотности и числе Суслина подмножеств одного пространства Стоуна // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 4. С. 18-24.

12. Малыхин В.И. Ненормальность некоторых подпространств вХ гДе X — дискретное пространство // Докл. АН СССР. 1973. Т. 211. С. 781-783.

13. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969.

14. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. С. 751.

15. Bell M.G. Compact ссс non-separable spaces of small weight // Topology Proceedings. 1980. Vol. 5. P. 11-25. URL: http://topo.math.auburn.edu/tp/reprints/v05/tp05002s.pdf

16. Grvzlov A.A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters // Topol. Appl. 1997. Vol. 76. P. 151-155.

17. Grvzlov A.A. Independent matrices and some points of вт // Topol. Appl. 2002. Vol. 107. P. 79-81.

N

Proceedings. 2010. Vol. 35. P. 177-185.

19. Grvzlov A.A. On convergent sequences and copies of eN in the Stone space of one boolean algebra // Topology Proceedings. 2013. Vol. 42. P. 165-171.

20. Frolik Z. Homogenitv problems for extremallv disconnected spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1967. Vol.' 8. P. 757-763.

21. Frolik Z. Sums of ultrafilters // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 87-91.

22. Kunen K. Ultrafilters and independent sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 172. P. 295-306.

23. Kunen K. Some points in eN // Math. Proc. Cambrige Phil. Soc. 1976. Vol. 80. P. 385-398.

24. Kunen K. Weak p-points in N * // Coll. Math. Soc. Janos Bolvai, 23. Topology. 1978. P. 741-749.

25. van Mill J. Weak p-points in compact P-spaces // Topology Proceedings. 1979. Vol. 4. № 2. P. 605-628.

26. van Mill J. An introduction to в^ \ w. Amsterdam: Vrige Univ, 1981.

27. van Mill J. Weak p-points in Chech-Stone compactifications // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 173. № 2. P. 657-678.

28. Rudin M.E. Types of ultrafilters // Topology Seminar. Wisconsin. 1965. P. 145.

29. Rudin M.E. Partial orders on the types in eN // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 155. № 2. P. 353-362.

30. Rudin M.E. Lectures on set-theoretic topology // Reg. Conf. Ser. Math. 23, Univ. Wyoming. 1974.

31. Rudin WT. Homogenetv problems in the theory of Cech compactifications // Duke Math. J. 1956. Vol. 23. № 3. P. 409-426.

Поступила в редакцию 30.03.2015

Головастов Роман Александрович, старший преподаватель, кафедра алгебры и топологии, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: rpa4@bk.ru

R. A. Golovastov

Stone spaces of some Boolean algebras

Keywords: compactification, Boolean algebra, Stone space, ultrafilter. MSC: 54D35

We study the Stone spaces of some Boolean algebras and establish relations between subsets of this spaces and Chech-Stone space в^, Cantor set, and other spaces. We consider three countable partially ordered sets and two type of Boolean algebras for each set. First, we consider space SBiд constructered by M. Bell. We prove existence of subsets homeomorphic to в^ and convergent sequences in SB1 д. For space SB1 , 2, we prove that there are clopen subsets which is homeomorphic to в^ and remainder SB1 2 consists of isolated points. We describe clopen subsets of SB1 д which are gomeomorphic to в^. We construct two examples: subset of N2 which closure is non-open copy of в^ and subset of N2 which closure is clopen and not gomeomorphic to в^. SB1 , 2 is closure subset of SB1 д and SB1 2 is nowhere dense in SB1 1. Next, we consider the space SB1 , 3. The subspace of free ultrafilters of SB1 , 3 has the countable Suslin number, but is not separable. The points of the space are described as ultrafilters possessing basis of certain types. Next, we consider the spaces SB21, SB2 2, and SB2,3. Boolean algebras for those Stone spaces have more simple structure. SB2,3 is homeomorphic to Cantor set. The subset of free ultrafilters SB2 3 is homeomorphic to the set of irrational numbers with natural topology. The subsets of free ultrafilters SB1 3 and SB1 3 are homeomorphic to Cantor set.

REFERENCES

1. Aleksandrov P.S. Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu (Introduction to the set theory and general topology), Moscow: Nauka, 1977.

2. Arkhangel'skii A.V., Ponomarev V.I. Osnovy obshchei topologii v zadachakh i uprazhneniyakh (Fundamentals of general topology in problems and exercises), Moscow: Nauka, 1974.

3. Arkhangel'skii A.V. Construction and classification of topological spaces and cardinal numbers, Usp. Mat. Nauk, 1978, vol. 33, no. 6, pp. 29-34 (in Russian).

4. Bastrykov E.S. About some points of Bell's compactification of countable discrete space, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2009, no. 4, pp. 3-6 (in Russian).

5. Golovastov R.A. About one compactifications of countable discrete space, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, no. 1, pp. 14-19 (in Russian).

6. Golovastov R.A. About Stone space of one Boolean algebra, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 3, pp. 19-24 (in Russian).

7. Gryzlov A.A. On compactifications of discrete spaces, Fundam. Prikl. Mat., 1996, vol. 2, no. 3, pp. 803-848 (in Russian).

8. Gryzlov A.A., Bastrykov E.S., Golovastov R.A. About points of compactification of N, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2010, no. 3, pp. 10-17 (in Russian).

9. Gryzlov A.A., Bastrykov E.S. Some centered systems of sets and points defined by them, Tr. Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2011, vol. 17, no. 4, pp. 76-82 (in Russian).

10. Gryzlov A.A., Golovastov R.A. The Stone spaces of Boolean algebras, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2013, no. 1, pp. 11-16 (in Russian).

11. Gryzlov A.A., Golovastov R.A. On the density and Suslin number of subsets of one Stone space, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, no. 4, pp. 18-24 (in Russian).

12. Malykhin V.I. Some non-normal subspaces of fiX where X is discrete space, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1973, vol. 211, pp. 781-783 (in Russian).

13. Sikorski R. Bulevy algebry (Boolean algebras), Moscow: Mir, 1969.

14. Engelking R. Obshchaya topologiya (General topology), Moscow: Mir, 1986, 751 p.

15. Bell M.G. Compact ccc non-separable spaces of small weight, Topology Proceedings, 1980, vol. 5, pp. 11-25. http://topo.math.auburn.edu/tp/reprints/v05/tp05002s.pdf

16. Gryzlov A.A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters, Topol. Appl., 1997, vol. 76, pp.151-155.

17. Gryzlov A.A. Independent matrices and some points of fir, Topol. Appl., 2002, vol. 107, pp. 79-81.

18. Gryzlov A.A., Bastrykov E.S., Golovastov R.A. On Bell's compactification of N, Topology Proceedings, 2010, vol. 35, pp. 177-185.

19. Gryzlov A.A. On convergent sequences and copies of fiN in the Stone space of one boolean algebra, Topology Proceedings, 2013, vol. 42, pp. 165-171.

20. Frolik Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae, 1967, vol. 8, pp. 757-763.

21. Frolik Z. Sums of ultrafilters, Bull. Amer. Math. Soc., 1967, vol. 73, pp. 87-91.

22. Kunen K. Ultrafilters and independent sets, Trans. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 172, pp. 295-306.

23. Kunen K. Some points in fiN, Math. Proc. Cambrige Phil. Soc., 1976, vol. 80, pp. 385-398.

24. Kunen K. Weak p-points in N*, Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23. Topology, 1978, pp. 741-749.

25. van Mill J. Weak p-points in compact P-spaces, Topology Proceedings, 1979, vol. 4, no. 2, pp. 605-628.

26. van Mill J. An introduction to fiw \ w, Amsterdam: Vrige Univ., 1981.

27. van Mill J. Weak p-points in Chech-Stone compactifications, Trans. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 173, no. 2, pp. 657-678.

28. Rudin M.E. Types of ultrafilters, Topology Seminar. Wisconsin, 1965, p. 145.

29. Rudin M.E. Partial orders on the types in fiN, Trans. Amer. Math. Soc., 1971, vol. 155, no. 2, pp. 353-362.

30. Rudin M.E. Lectures on set-theoretic topology, Reg. Conf. Ser. Math. 23, Univ. Wyoming, 1974.

31. Rudin W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifications, Duke Math. J., 1956, vol. 23, no. 3, pp. 409-426.

Received 30.03.2015

Golovastov Roman Aleksandrovich, Lecturer, Department of Algebra and Topology, Udmurt State

University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.

E-mail: rpa4@bk.ru