Простейшие звенья линейной пространственной реологической модели асфальтобетона Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 625.85

ПРОСТЕЙШИЕ ЗВЕНЬЯ ЛИНЕЙНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АСФАЛЬТОБЕТОНА

В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н.,

С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ

Аннотация. Рассмотрены трехмерные математические модели напряженно-деформированного состояния элементов: Гука, Ньютона, Максвелла, Кельвина.

Ключевые слова: реологическая модель, девиатор, тензор, напряжения, деформации.

НАЙПРОСТІШІ ЛАНЦЮГИ ЛІНІЙНОЇ ПРОСТОРОВОЇ РЕОЛОГІЧНОЇ МОДЕЛІ АСФАЛЬТОБЕТОНУ

В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н.,

С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ

Анотація. Розглянуто тримірні математичні моделі пружно-деформованого стану елементів: Гука, Ньютона, Максвелла, Кельвіна.

Ключові слова: реологічна модель, девіатор, тензор, пружний стан, деформації.

ELEMENTARY LINKS OF LINEAR SPATIAL RHEOLOGICAL MODEL OF ASPHALT-CONCRETE

V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU

Abstract. The article deals with three-demensional mathematical models of the deformation mode of Hook, Newton, Maxwell and Kalvin elements .

Key words: rheological model, deviator, tensor, stress, deformation.

так называемых одномерных, или одноосных задач.

Цель и постановка задачи

Целью настоящей работы является совершенствование 3-0 реологических моделей простейших элементов: Гука, Ньютона, Максвелла, Кельвина, на базе которых впоследствии можно построить вязко-упругую 3-0 модель асфальтобетона и других строительных материалов, являющихся составными частями дорожной одежды.

Тензор и девиатор

Асфальтобетон работает в условиях трехмерного нагружения. В каждой точке его на-

Введение

В асфальтобетонных покрытиях при определенных температурах и режимах нагружения появляются остаточные деформации, посчитать которые возможно только при условии использования вязко-упругой модели.

Анализ публикаций

В настоящее время накопился огромный массив исследований реологического поведения асфальтобетонов. Только некоторые из них [1-4].

На наш взгляд, основным недостатком большинства таких исследований является то, что в них математические модели записаны для

пряженно-деформированное состояние представляется в виде тензоров [5]

Т = Я + Аш;

Т = А + Ао

(1)

(2)

Реологическая модель

Многие исследователи [1-4] отмечают, что для описания реологических свойств асфальтобетона может использоваться физическая модель Биргерса (см. рис. 1, а).

где Тн ,Т - тензоры напряжений и деформаций; £>н , Од - девиаторы напряжений и деформаций; £>ш - шаровый тензор напряжений; Д, - объемный тензор деформаций.

И именно из пространственной модели нагружения будет более правильным получать одноосный тип напряженно-деформированного состояния как частный случай более общей модели.

Напомним, что [5, 6]:

Ан =

а -а

ср ’

ху ’

а у аср,

А,, =I-а„

Тх,

Т у, а, -ас

(3)

(4)

I =

Ад =

а х +ау + а, .

аср 3

х 1 8 о 1 21 ху, 1 21 х

1 21 ух, 8 у 1 8 о 43 1 21 у

1 21 ,х, 1 21 ”, ,8 1 8 о

(6)

, (7)

где сх, су, сг - напряжения растяжения-сжатия в точке; т ...т2у - касательные напряжения; вх, в , 8 г - относительные деформации растяжения-сжатия; у ...уу - угловые деформации сдвига;

8ср =

А = I ^р.

(8)

(9)

Из линейной теории вязкоупругости [7] известно, что модель рис. 1, а имеет еще как минимум три аналога (см. рис. 1, б, в, г). При этом использование схемы рис. 1, а имеет несомненные преимущества при экспериментальной оценке коэффициентов 0„ 02,

02

О,

і

1

02 ^1П2

' 1 0 0 >

0 1 0 - единичная матрица; (5) П1и

0 0 1V

01

П1

у

02

П2

Рис. 1. Четырехэлементные реологические модели: G1, G2, п1, П2 - коэффициенты, характеризующие жесткостные и вязко -стные свойства асфальтобетона

Схему рис. 1, б выгодно применять, если в элементы п1 и п2 вводятся пороговые значения в виде элементов Шведова [4], см. рис. 2, при этом четырехэлементная модель (рис. 1, б) преобразуется в шестиэлементную. Хотя, надо сказать, что любая из моделей (рис. 1) может быть преобразована в пяти-шести-элементную, подобно тому, как это сделано на рис. 2.

Схема рис. 1, г хорошо приспособлена для численного интегрирования, а также формирования на ее основе нелинейной реологической модели.

б

г

в

3

П1

01

іііі

_| 001

02

т

Рис. 2. Шестиэлементная реологическая модель с двумя элементами Шведова: а01, а02 - пороговые значения срабатывания элементов Шведова

Но все они имеют общий признак: структурно они составлены из простейших звеньев [6, 7], представленных на рис. 3.

0

б

О

п

0

Рис. 3. Простейшие звенья реологической модели: а - упругий элемент; б - вязкий элемент; в - модель Максвелла; г - модель Кельвина

Упругий элемент Гука

Пространственная модель упругого элемента (рис. 3, а) может быть записана в виде обобщенного закона Гука [5, 6, 8]

Ан( у) = 20Ад( у),

(10)

где Е - модуль продольной упругости; ц -коэффициент Пуассона; К = .20(1 + ц)

3(1 - 2ц)

объемный модуль упругости.

Для одноосного случая из (10), (11) можно легко получить известные зависимости, например

Сх = ЕвX ; ТХУ = ОУ ХУ . (12)

Вязкий элемент Ньютона

Для вязкого элемента (рис. 3, б) по аналогии с (10) принято [5, 6, 7, 8] записывать

Ан(в) = 2пАд(в),

д(в)’

(13)

где п - коэффициент вязкого сопротивления, определяемый из опытов на простое растяжение, сжатие образца; (в) - индекс, означающий принадлежность к вязкому эле-

менту; Ад(в) = деформаций.

йА

д(в)

девиатор скоростей

Связь между Аш(в) и Ао(в), в общем случае

о (в) :

для рассматриваемого элемента можно записать, исходя из [9, 10]

а =3 п 8

ср IV ср

(14)

где Пу - объемный коэффициент вязкого сопротивления, определяемый из опытов на всестороннее сжатие образца, например, в барокамере.

С другой стороны, по аналогии с (11), очень часто записывают

где О - модуль сдвига; (у) - индекс, означающий принадлежность к упругому элементу.

2п(1 + Ц)

(15)

Как видно из (4, 9), чтобы записать где ц - коэффициент объемного расширения.

Аш( у), Ао( у), необходимо определиться с сСр и вср . Эти величины связаны между собой известным выражением [5, 8]

Для Ньютоновской вязкой жидкости принято считать [5], что цу = 0,5, поэтому для нее

а = 8

ср ср

Е =8 20(1 + ц) =8ср3К (11) (1 - 2ц) ср (1 - 2ц) ср

8ср = 0.

(16)

И в этом случае, из (13, 16) для одноосного напряженного состояния имеет место

а

в

г

где

с х = п рв х ; тху =пт ху, п р = 3п,

(17)

(18)

п р - видимый коэффициент вязкого сопротивления при растяжении-сжатии.

Справедливость соотношений (17, 18) для полимеров экспериментально и теоретически подтверждается многими исследованиями, например [11, 12] и др.

Элемент Максвелла

Для него (рис. 3, в) справедливы соотношения [5, 6, 7 и др.]

Тн(у) = Тн(в) = Тн(м) ; Тд(м) = Тд(у) + Тд(в) , (19)

где (м) - индекс, указывающий на принадлежность к модели Максвелла в целом. Отсюда

Ан(у) Ан(в) Ан(м);

(20)

Ад(м) = Ад( у) + Ад(в); Ад(м) = Ад(у) + Ад(в). (21)

Поскольку из (10), (13) следует, что для рис. 3, в

А = 2ОА • А = Ан(у) • ^н(у) ~АКуид{у)> ^д(у)- 2О 5

Ад( у) = ‘

А,

н( у)

2О

и с учетом (20)

а также из (13)

и с учетом (20)

Ад( у) = '

А

н(м)

2О

Ад(в) = ‘

А

н(в)

2п

Ад(в) = ‘

А

н(м)

2п

(22)

(23)

(24)

(25)

подставим (23, 25) в (21) и после соответствующих преобразований получим дифференциальное соотношение

л

О

Ан(м) + Ан(м) 2пАд(м). (26)

Рассуждая аналогичным образом, для Аш(м) и Ао(м) в общем случае получаем

К

ср(м) ср(м)

= 3Пу8

ср(м)

(27)

Легко убедиться, что при выполнении (16), уравнение (27) трансформируется в (11). Таким образом, алгоритм вычисления перемещений и напряжений в объемной модели Максвелла может осуществляться по следующей схеме.

После совместного решения (26, 27) или (26,

11) записываем Тн(м) и Тд(м) , см. (1, 2). Упругую составляющую деформаций можно получить при помощи уравнений (11, 19, 20, 22), а затем по - формуле

Тд(в) = Тд(м) Тд(у) .

(28)

Определяемся и с вязкостной составляющей.

Нетрудно показать, что из (26) получается общеизвестное дифференциальное уравнение для одноосного напряженного состояния модели Максвелла, представленное, например в [3, 4]

(29)

Это выражение получается, если учесть, что на стадии ползучести можно принять

_П = 3п = п р

О ~ 3О ~ Е '

Решение дифференциальных уравнений (29) и (26) продемонстрированы на рис. 4, 5.

Рис. 4. Функция вх = /(^) модели Максвелла при

условиях пр = 5 -10 Па• с; Е = 3,2-10 Па;

в х0 = 2,5 • 10-4; с у = 0; с * = 0

аср(к) = 3^ 8ср(к) + 3^8ср(к).

(35)

Рис. 5. Функция 8х = &(г), в у = /^), в г = /3(0 модели Максвелла при условиях: п = 1,67 -1012 Па -с; О = 1,23 -109 Па;

ах =8•10 •со8

пґ

3000

Па;

су = 6 • 106 I Па;

у ^4500)

сг = (4-106 с - с2) Па

Элемент Кельвина

Рассуждая аналогичным образом, можно получить и соответствующие уравнения для модели Кельвина (см. рис. 3, г).

Для параллельного соединения упругого и вязкого элементов справедливы соотношения [4, 5, 6]

Тд( у) = Тд(в) = Тд(к);

Тн(к) = Тн( у ) + Тн(в),

(30)

(31)

где (к) - индекс, указывающий на принадлежность величин тензоров деформаций и перемещений к модели Кельвина в целом.

Таким образом,

Ад(у) Ад(в) Ад(к);

Ан(к) = Ан( у) + Ан(в).

(32)

(33)

После подстановки (10, 13) в (33) и с учетом (32) получаем

Ан(к) = 20Ад(к) + 2ПАд(к). (34)

И для Аш(к) и Ао(к)

Алгоритм вычисления перемещений и напряжений по (34, 35), в том числе и отдельно для упругой и вязкостной составляющих, может осуществляться аналогично тому, как это предложено для модели Максвелла, см. (26, 27, 28).

Для одноосного напряженного состояния, учитывая (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15) и при условии, что

ц = цу =0,5. (36)

Рис. 6. Функции вх = / ^), в у = / (t),

вг = /3(t) модели Кельвина (при условиях нагружения, соответствующих рис. 5)

Получаем известное [4, 5] выражение

ах = Е8 х +П р 8 х.

(37)

Решение дифференциального уравнения (34) (при условиях нагружения по рис. 5) показано на рис. 6.

Выводы

Таким образом, предложены трехмерные реологические модели простейших звеньев, которые могут быть использованы при построении модели асфальтобетона.

Литература

1. Золотарев В. А. Исследование свойств ас-

фальтобетонов различной макроструктуры: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 / В.А. Золотарев. - Харьков, 1967. - 207 с.

2. Ткачук Ю.П. Влияние структурных осо-

бенностей асфальтобетона на законо-

X 10

мерности его вязкоупругого поведения при статическом нагружении: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 / Ю.П. Ткачук.

- Харьков, 1977. - 217 с.

3. Богуславский А.М. Основы реологии ас-

фальтобетона / А. Богуславский, Л. Богуславский; под общ. ред. Н.Н. Иванова.

- М. : Высшая школа, 1972. - 199 с.

4. Шульман З.П. Реофизика конгломератных

материалов / З.П. Шульман, Я.Н. Ковалев, Э.А. Зальцгендлер. - Минск : Наука и техника, 1978. - 240 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости,

пластичности и ползучести / Н.И. Безу-хов. - М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.

6. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплош-

ных сред / Дж. Мейз; пер. с англ. Е.И. Свешниковой. - М. : Мир, 1974. -318 с.

7. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости

/ Д. Бленд; пер. с англ. И.И. Гольберга, Н.И. Малинина. - М. : Мир, 1965. -199 с.

8. Самуль В.И. Основы теории упругости и

пластичности : учеб. пособие для студентов ВТУЗов / В.И. Самуль. - М. : Высшая школа, 1982. - 264 с.

9. Рейнер М. Реология / М. Рейнер ; пер. с

анг. Н.И. Малинина. - М. : Наука, 1965.

- 223 с.

10. Рейнер М. Деформация и течение /

М. Рейнер ; пер. со втор. англ. изд. Л.Н. Никитина, А.М. Кочеткова, В.Н. Кунд-жанова. - М. : Гос. научн.-техн. изд-во нефтян. и горно-топливн. лит-ры, 1963.

- 381 с.

11. Виноградов Г.В. Реология полимеров /

Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин. - М. : Химия, 1977. - 440 с.

12. Тагер А.А. Физико-химия полимеров /

А.А. Тагер. - М. : Химия, 1968.

Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 1 октября 2010 г.