Простая модель расчета риска катастрофы в турбулентном следе Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

УДК 629.735

ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА РИСКА КАТАСТРОФЫ В ТУРБУЛЕНТНОМ СЛЕДЕ

Е.М. ИВЕНИНА, В. Л. КУЗНЕЦОВ

Обсуждается новый подход к проблеме расчета риска катастрофы в турбулентном следе. Предлагается феноменологическая модель турбулентных пульсаций и рассматривается простая модель динамики воздушного судна в спутном следе.

При теоретическом обосновании минимумов эшелонирования наряду с моделированием риска столкновения воздушных судов (ВС) необходимо учитывать и моделировать риск возникновения летного происшествия (ЛП), связанный с попаданием ВС в спутный вихревой след движущегося впереди ВС.

Образование аэродинамической подъемной силы всегда сопровождается возникновением и сходом в поток свободных вихрей, которые превращаются в устойчивые долго живущие вихревые жгуты (вихревой след), представляющие опасность для попадающих в них летательных аппаратов. Протяженность такого вихревого следа за тяжелыми магистральными самолетами достигает 10... 12 км.

До настоящего времени риск столкновений ВС и риск возникновения летных происшествий (катастроф) в результате входа ВС в вихревой след оценивались отдельно по независимым методикам, использующим различный математический аппарат. В работе [1] было показано, что эти оба аспекта проблемы безопасности полетов могут быть сформулированы и описаны в рамках единого методического подхода к оценке риска катастроф на воздушном транспорте. Так вероятность возникновения катастрофы на временном интервале [0, ^] рассчитывается по формуле

Два отличия, связанные с тем, что при учете роли турбулентного следа допустимая область определена в пространстве параметров «крен - угол атаки», а не в координатном пространстве, как в модели риска столкновений; и допустимая область значений параметров является внутренней, а не внешней по отношению к границе X, не меняют сути аналогии.

В настоящей работе развивается предложенный в [1] подход: предлагается феноменологическая стохастическая модель распределения поля скоростей в турбулентном следе, и в рамках упрощенной модели (изолированного движения крена) вычисляется функция распределения для угла крена ВС, фигурирующая в интеграле (2).

Введение

где Л(12 (г) описывает риск столкновений, Л|22) (г) - риск катастрофы, связанный с попаданием

ВС в турбулентный след. Показано [1], что для Л^ (г), как и для Л^2 (г), справедлива формула Райса [2,3]

1. Постановка задачи и основные приближения модели

Рассмотрим совместный полет пары ВС по одному маршруту, на одной высоте, с одинаковой скоростью. Полагаем, что реализуется следующий сценарий. В момент времени I = t0 экипажи ВС одновременно докладывают диспетчеру УВД свои координаты и скорости. Будем полагать, что согласно этим данным расстояние между ВС равно ^, а скорости одинаковы. Функции распределения ошибок для сообщаемых данных известны. Следующий доклад делается через интервал времени Т.

Необходимо определить риск катастрофы, вызванный попаданием ВС в турбулентный след первого ВС.

В нашей модели мы используем следующие основные приближения.

1. После доклада ВС движутся весь интервал времени Т с постоянной скоростью.

2. Геометрия турбулентного следа аппроксимируется прямоугольным параллелепипедом с параметрами Ь, Н, N (рис.1). Интенсивность турбулентных пульсаций внутри параллелепипеда одинакова.

3. Попав в турбулентный след, экипаж ВС не предпринимает специальных действий для компенсации влияния турбулентности.

4. В пространстве «крен - угол атаки» существует односвязанная область О допустимых значений параметров (рис. 2). Граница области О - X поглощающая, т.е. выход за нее влечет неминуемое наступление катастрофы.

Рассмотрим следующую задачу. В момент времени t0 на границе зоны ответственности диспетчерской службы фиксируется ВС, сообщающее параметры своего движения (статистика ошибок считается известной), декларирующее свои намерения и запрашивающее разрешение на вхождение в зону. До момента t0 в зоне находилось еще N ВС, плановые параметры полета

которых известны. Предполагается, что для этих ВС задача обеспечения безопасного пролета уже решена и риск возможных катастроф находится в допустимых пределах. Необходимо оценить увеличение риска столкновений, связанное с появлением в зоне ответственности

N +1) - го ВС.

2. Влияние позиционных и скоростных ошибок на функцию распределения в фазовом пространстве «крен - угол атаки»

Состояние (/}, т)), в котором будет находиться ВС2 в момент времени t, и, соответственно, функция распределения / (^т,Т) будут зависеть от того, как долго и в какие моменты времени

интервала [ї0, ї ] ВС2 испытывает воздействие со стороны турбулентного следа ВС1. Это, в свою очередь, зависит от реальных (не плановых) координат и скоростей ВС. Рассмотрим эту зависимость.

В общем случае рассматриваемый интервал времени [ї0, ї ] можно разбить на три отрезка -три этапа движения ВС2.

На первом этапе - с момента доклада экипажа (при ї = ї0) ВС2 двигается в слабо возмущенной атмосфере и его функция распределения не меняется

/(ї,1,1) = 5(1) -т)оЖ^), (3)

здесь 5(-)- 5 - функция Дирака.

На втором этапе ВС2 движется внутри турбулентного следа, где испытывает случайные воздействия. На третьем этапе ВС2 выходит из турбулентного слоя и пытается вернуться в исходное состояние в пространстве параметров.

В зависимости от реальных (а не докладываемых) положения и скорости ВС2 в момент времени ї0 к моменту времени ї может реализоваться либо только первый этап, либо первый и второй, либо все три этапа.

ВС2 испытает воздействие турбулентного следа, если при ї = ї0 и реальной относительной

скорости V оно будет находиться внутри области О (рис. 2). Отметим, что для каждого момента времени ї > ї0 и каждой относительной скорости у0 определена своя область О, то есть

О = О(ї,)).

Рис. 2. Схематическое изображение области допустимых значений параметров

Для описания положения ВС2 удобно ввести косоугольную систему координат с началом в центре турбулентного следа, определяемую базисом {е1,е2,е3}. Здесь е1 =-|у0|, е2 - единичный вектор в направлении оси турбулентного следа. Вектор е3 ориентирован в горизонтальном

направлении, нормальном одной из граней параллелепипеда, моделирующего турбулентный след. Выбор новой косоугольной системы координат поясняется на рис.3.

В этом случае координата ВС2, попавшего в начальный момент внутрь области О и, следовательно, испытывающего к моменту времени X влияние турбулентного следа, может быть записана в виде

(ї - ї0) + ^-X

Н >'•

(4)

Здесь: Н - ширина, а Ь - длина турбулентного следа; т($0) - среднее время пребывания ВС2 в турбулентном следе при реальной относительной скорости у0; а,ре. [-1,1]; Xе [0, ї - ї0 ].

Г0 = е1

Рис. 3. Г еометрия потенциально опасной области

Рассмотрим случай, когда центр ВС2 в момент времени t = t0 находится внутри тонкого слоя толщиной |v0|-A^, вырезанного из G параллельными плоскостями X = X1 и X = X1 + AX. Если Х1 < t(v0), то в момент времени t ВС2 будет находиться внутри турбулентного следа. При этом X может рассматриваться как продолжительность интервала времени, в течение которого ВС испытывает турбулентные воздействия.

Если X > t(v0), то в течение времени t ВС2 испытывает действие турбулентности и в течение времени (X -t(v0)) находится в третьей фазе (на третьем этапе) полета.

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что условная функция распределения f (t, h, h | v0) может быть представлена в виде

t(v0)

f (t,h,h |v0) = A (v0)d(h-| )d(h) + j B (v0 ,X)j(X,h,h |v0) +

0

t-to

+©(t-to-t(v0))- j B(v0A\Ф^гЮлДїО^ (5)

t(v0)

0( ) - функция Хевисайда.

Здесь A(v0) - условная вероятность того, что, обладая реальной относительной скоростью v0, ВС2 окажется вне области G (то есть не испытывает воздействия турбулентности); j(X,h,h I v0)- функция распределения ВС2 в пространстве состояний (h,h),в случае, когда в течение времени X оно испытывает воздействие турбулентности; j(X-T(v0),h,h I V0)- функция распределения для ВС через время (£-т) после выхода из турбулентного следа; B(v0,X)-плотность вероятности того, что ВС2 будет находиться на расстоянии [ v0 • X ] от турбулентного следа.

Вид B(v0,X) определяется следующим соотношением

1

B (v0 ,X) = j dadßg (f0-f/)^ J (X,a,ß), (6)

-1

где J (X, a, ß) - якобиан преобразования при переходе в косоугольную систему координат, g (r00 - r000 ) - функция распределения позиционных ошибок ВС2 в декартовой системе отсчета,

связанной с центром турбулентного следа ВС1, г0/(^0) - плановое положение ВС2 в момент доклада, а г ^ 0 ) - его реальное положение, записываемое в косоугольной системе с помощью соотношения (4).

Важно отметить, что вид распределения g (•) определяется сверткой распределений позиционных ошибок каждого из ВС конфликтующей пары, и, согласно результатам [4], может быть записан так

g(r) = |dfl ¡1 (^т1 -^Оо))-./2(^г+ т1 -4(0). (7)

Усреднив (5) по всем возможным значениям относительной скорости у, получаем следующее выражение для искомой функции распределения / (г, г, г)

Г (уо)

/(,г,г)=а -з{г-го) ■-${г)+ {{ву,рх,г,г|%+

о

I-?о

+1 ^ 0- г о - г- Т(у/)] $в(у'0, х) р - т(у/ ), i^, Щ^. (8)

г (уо)

Отметим, что первый член в правой части (8) дает нулевой вклад в поверхностный интеграл в (2), так как соответствует нормальным параметрам полета, и далее будет нами опускаться.

Таким образом, исследуемая задача сведется к проблеме нахождения распределений

(р(Х,г,г I У) и р(Х -Т(%),г,г I У/), начальные условия для которых известны:

<р(о,г,г I уо)=щ -гоЖг), (9а)

р(0, г,г 1 у) = р(г (у),г,г 1 у). (9Ь)

Плотности распределения р(%-т(Т'0),г,Л I У/) при известных начальных условиях (9Ь) могут быть получены путем решения детерминированных уравнений динамики полета [7], в то время как вычисление распределений р(Х,г,;П I У/) при движении ВС2 в спутном следе требует специального рассмотрения.

3. Стохастическое описание динамики ВС в спутном следе

Предполагается, что внутри спутного следа ВС2 движется в случайном возмущенном поле скоростей с дополнительными составляющими скоростей воздушного потока, вызванными турбулентностью спутного следа, их (т/, X), иу (т/,Х), и (т/, X) , определенными в скоростной системе координат ВС2. В результате взаимодействия с возмущенным воздушным потоком на ВС2 по сравнению с полетом в невозмущенной атмосфере действуют дополнительные случайные аэродинамические силы и моменты. Таким образом, в правых частях дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения ВС2 [5], появляются случайные члены, зависящие, в частности, от поля скоростей.

3.1 Феноменологическая модель поля скоростей в турбулентном следе

Уходя от глобальных проблем построения модели стохастической динамики турбулентности в спутном следе, рассмотрим в рамках нашей задачи простую феноменологическую модель, учитывающую основные свойства, параметры и характеристики следа, известные из эксперимента.

Представим поле скоростей масс внутри турбулентного следа в виде суммы

V(',Г) = V (') + и{г,г) . (10)

Здесь V0 (г) - регулярная часть распределения скоростей, представляющая усредненное по ансамблю реализаций поле. Оно описывает известный экспериментальный факт, согласно которому спутный след состоит из двух устойчивых долгоживущих вихревых жгутов, закрученных во встречном направлении. Это регулярное поле «зашумляется» аддитивной случайной компонентой и (г, ^), представимой в виде произведения и (г, ^ ) = А (г )• и (г, ^). Здесь А (г) - «маска», определяющая пространственное изменение амплитуды турбулентных пульсаций внутри следа, а и (г, ^) - однородное гауссово поле. Будем полагать, что временная и пространственная

корреляционные функции для поля и (г, I) известны.

С «точки зрения» ВС, движущегося в турбулентном следе, пульсации скорости можно считать «замороженными», поскольку при больших скоростях ВС выполняется условие

т ^, V - скорость ВС относительно турбулентной среды. Другими словами, ВС дви-

жется в некоторой реализации гауссового поля, т.е. и (г, I) ® и (г).

Использовав подход периодического продолжения, представим векторное случайное поле

u (r) = (u1(r),u2(r),u3(r)) в виде ряда

u.

(r )=Z u (q) e'qr , (11)

где q eQ = < — n1;— n2;— щ k nl, n2, щ eZ и щ (q) - некоторое скалярное случайное поле.

[v 1 ^2 h )j

Следуя подходу, изложенному в [6], представим поле ui (q) в виде

ui (q ) = ^(\ui (q )|2)' exp {iF(q)}. (12)

Здесь Ф(q) - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [-p,p], а

< їй (Ч )| > определяется соответствующей корреляционной функцией - теорема Винера - Хин-

чина

< u.

(«)2 >= Уо )3 I ^. (13)

У (2Р) (пообъему)

[следа I

Соотношения (10)-(13) определяют реализации вихревого поля в турбулентном следе.

3.2. Изолированная модель динамики крена ВС

В качестве примера для иллюстрации развиваемого подхода рассмотрим простейшую модель динамики ВС - изолированную модель динамики крена. Исходные уравнения модели имеют вид [7]:

+ М3; дэ + тх (I)

< 8Э = кг-/+ Кх • Wx (14)

к=^

Система приводится к неоднородному уравнению второго порядка, стохастика решений которого порождается неоднородностью - тх (^).

у-^х + М; к№х ]• у+М; ку-у= тх (г). (15)

Решение (15) можно записать через функцию Грина в виде:

г

у( г) = | G (г, г ')• тх (г') ёг'. (16)

0

Геометрия задачи и обозначения представлены на рис. 4. Будем полагать, что ВС движется с постоянной скоростью V и в момент времени г0 = 0 одним крылом входит в турбулентный след. В момент времени г > 0 участок крыла с координатой X будет находиться в т.

г = г0 (X) + у •г и турбулентные воздействия начнет испытывать с момента времени г0 (X)

г„ (%) = (1+Х)^в1 V (17)

Рис. 4. Г еометрия задачи о взаимодействии ВС с турбулентным следом

Момент сил, действующих на ВС со стороны турбулентного следа, можно вычислить следующим образом:

йт

х--х-[/ («+«с)- / и] ах=-х~аа° )а

(18)

Здесь а° - стационарное значение угла атаки, а —

К

дополнительный эффективный угол

атаки, порожденный флуктуациями скорости турбулентного потока

(1 ) = -\йхха,( (а°,х)а(х )-0[ -Ч (х)],

С учетом полученных ранее соотношений для т^ (г) находим:

(г) = (г)-^е^(д) •В(',г).

(19)

(2°)

Здесь Б (д,1 )= | йх-х~а (а°)

/ (аЛ1 - ґ°(х)]

К

х

АУ (Г° (х)+ К° 1 )( 2^У

-3 ід[г° (х)+К°1 ]

■/Я,. (р)е-ідгйр .

Подставляя (20) в (16), находим выражение для реализации случайного процесса у(г)

г г

у (г) = | G (г, г') (г') ёг - ^ е1^д) | G (г, г') В (д, г')ёг.

(21)

°

ь

- ь

°

°

Первый член в правой части (21) - регулярный и описывает средние изменения угла крена ВС. Второй член отвечает за стохастику. Согласно ЦПТ он приводит к гауссовскому процессу для у^). Из (21) следует, что ^(7) - гауссовский случайный процесс с математическим ожида-

і

нием <у(і)>=|G(і,ґ)т00(і')А' и дисперсией <

Г(і)

>

і

| G (і, і') • В (д, і') А'

При выводе соотношения (21) мы не учли модельных граничных условий, согласно которым катастрофа наступает неизбежно, если угол крена превышает величину у0. Это означает, что граница у = ±у0 характеризуется анизотропной прозрачностью: траектория случайного процесса у= у (і) может выходить через нее из области Г = (—у0, У0), но не может возвращаться. Влияние такой границы на случайный процесс подобно действию демона Максвелла.

Допустим, в некоторый случайный момент времени і * реализация случайного процесса достигнет границы области Г. В этот момент вмешивается демон Максвелла и перебрасывает систему из состояния у0 в состояние (у0 + 2р) . Из нового состояния за разумное время кривая

«почти наверное» не вернется в рассматриваемую область через границу у0, т.о. действие нашего демона эквивалентно наличию поглощающей границы. Заметим, что скачкообразная замена у—— у+ 2р не меняет каких-либо физических параметров системы и, следовательно, поведение кривой после скачка будет таким же, как и без него. Сказанное иллюстрируется на рис. 5.

Ь)

а)

Из приведенных рассуждений и рисунка видно, что вероятность «выхода» ВС за границу области Г определяется площадью под кривой ^(у) в области Ь). Последняя определяется просто, поскольку исходное распределение ^(у) (без действий демона - область- а) является гауссовым с известными параметрами (смотри комментарии к формуле (21)). Поток плотности вероятности пересечения поглощающей границы (перехода в состояние катастрофы) определяется по следующей формуле

(22)

2

2

0

0

Заключение

В представленной работе развивается новый подход к проблеме расчета риска катастроф, обусловленных генерацией ВС турбулентного следа и возможностью попадания другого ВС в эту опасную зону. Предложена феноменологическая модель стохастического вихревого поля скоростей в спутном следе и рассмотрена простая динамическая модель изменения параметров состояния ВС под действием описанных турбулентных пульсаций.

Решение задачи строится по схеме, во многом аналогичной той, что используется при моделировании риска столкновений [3, 4]. Фактически это означает, что модели риска столкновений и риска катастроф из-за попадания ВС в турбулентный след можно объединить. Такое объединение весьма актуально, поскольку указанные модели являются основой теоретического обоснования минимумов эшелонирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ivenina E.M., Kuznetsov V.L. On wake vortex risk modeling, ICAO SASP-WG/WHL/12-WP26, Santiago, Chile 5 - 16 November, 2007.

2. Reich, P.G. Analysis of long-range air traffic systems - separation standards. Part I, II, III // The Journal of Institute of Navigation, 1966, vol.19, p.88, 169, 331.

3. Kuznetsov V.L. Markov collision risk model. ICAO SASP-WG/WHL7/-IP2, Monreal, May, 2005.

4. Kuznetsov V., Solomentsev V., Spryskov V. Collision risk modeling during airspace planning, ICAO SASP-WG/WHL12-WP14, Santiago, Chile 5 - 16 November, 2007.

5. Казаков И.Е. Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. - М.: Наука,

1983.

6. Займан, Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. - М.: Мир,

1982.

7. Гуськов Ю.П., Загайнов Г.И. Управление полетом самолетов. - М.: Машиностроение, 1980.

ON SIMPLE MODEL FOR CALCULATION OF ACCIDENT RISK IN A TURBULENT TRACE

Ivenina E.M., Kouznetsov V.L.

A new approach to the problem of calculation of accident risk in a turbulent trace is discussed. A phenomenological model of turbulent pulsations is proposed and a simple model of dynamics for an aircraft in a wake vortex is considered

Сведения об авторах

Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 8 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике и исследовании операций, безопасность полетов.

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно-неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.