«Проклятие размерности» сложной системы и пути ее уменьшения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вісник ПДАБА

НАУКОВІ ДОСЛІДЖЕННЯ

УДК 519.21

«ПРОКЛЯТИЕ РАЗМЕРНОСТИ» СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ И ПУТИ ЕЕ УМЕНЬШЕНИЯ

В. И. Большаков, д. т. н., проф., Ю. И. Дубров, д. т. н., проф.

Ключевые слова: размерность, многомерное пространство, уменьшение размерности.

Уважаемый читатель!

Вам представляется пять статей, посвященных одному методу решения многомерной задачи. Данная работа выполнялась в целях оказания помощи исследователям в формировании математической модели объекта (явления) на основании эмпирических1 и экспертных данных. С учетом того, что объектом моделирования, как правило, являются сложные системы (СС)2 * 4, включающие относительно большое число переменных, для применения приемов, позволяющих упростить задачу, необходимо было рассмотреть ее многомерные геометрические представления. Так как в реальных условиях СС подвержены влиянию случайных (непредсказуемых) факторов, во второй статье рассмотрены вопросы учета их влияния на адекватность синтезируемой модели.

С учетом того, что каждый физический процесс в малом является линейным (в определенном смысле), что позволяет делать достаточно точный прогноз его состояния, в третьей статье рассмотрены пути и возможности получения линейной модели объекта исследования. В качестве инструментария, способствующего получению линейной модели объекта исследования, в работе предлагается экспертная система - ЭКС 1, которая была разработана и внедрена при участии ряда указанных в списке авторов. При этом следует отметить, что данная экспертная система кардинально отличается от существующих тем, что последние, как правило, предполагают длительный и весьма трудоемкий процесс их создания с дальнейшим включением в их состав машины выбора [5]. В экспертной системе ЭКС 1 база знаний (БЗ) представляется системой уравнений, получаемой в автоматическом режиме на основе экспертной или эмпирической информации, что во много раз сокращает временные и материальные затраты на ее создание и применение. К недостаткам ЭКС 1 следует отнести относительно невысокую точность получаемых с ее помощью результатов, что продиктовано вероятностным представлением их численных значений. С другой стороны, такой подход позволяет успешно применять ЭКС 1 на предпроектной стадии создания новых материалов.

Пример конкретного применения предлагаемого способа формирования математической модели СС приведен в пятой статье. В качестве объекта моделирования рассматривается сталь 35 ХМ (ее механические свойства: твердость, ударная вязкость, относительное удлинение, относительное сужение, предел прочности, предел текучести). Этот материал является информационно емким с позиций проверки работоспособности предлагаемого способа формирования математической модели СС, для прогнозирования его механиеских свойств, поскольку характеризуется принципиальными для материала переменными, сильно взаимосвязанными между собой, часть из которых изменяется в относительно широком диапазоне. А также этот материал отличается противоречивыми механическими свойствами в том смысле, что улучшение одного из этих свойств часто приводит к ухудшению одного или нескольких других.

Авторами статей являются:

Большаков Владимир Иванович - профессор, доктор технических наук, зав. кафедрой,

Дубров Юрий Исаевич - профессор, доктор технических наук,

Криулин Феликс Владимирович - инженер-программист,

Жевтило Елена Юрьевна - аспирант кафедры прикладного материаловедения.

Эмпирический - от греческого «эмпирио» - опыт. [1]

2 Под сложной системой мы подразумеваем систему с относительно большим числом переменных, сильно

взаимосвязанных между собой, часть из которых может изменяться во времени случайным (непредсказуемым) образом.

4

№ 3 березень 2011

Nil admirari Ничему не следует удивляться (лат.).

Идея расширения понятия пространства за пределы трех измерений возникла задолго до появления понятия вектора. Современная трактовка многомерного пространства3, пространства

En, опирается на строгую аксиоматику (в данном тексте не приводится), в которую включены понятия вектора, линейной зависимости и некоторые другие понятия, которые прочно вошли в математику только к концу Х!Х века [6]. Многомерные геометрические представления в настоящее время систематически применяются для наглядного решения системы линейных уравнений и других задач линейной алгебры, для решения задач линейного программирования и всех задач, в которых рассматривается более трех независимых переменных.

Многомерное пространство (n-мерное пространство) - обобщение понятия трехмерного пространства, которое, в свою очередь, есть некоторая абстракция реального физического пространства. Например, задача получения зависимости некоторого механического свойства конкретного металла как функции его химического состава, состоящего из «-элементов, ключевым образом влияющих на функцию цели, может формулироваться как «-мерная задача.

К подобному обобщению часто приводят практические задачи, решаемые, например, алгебраическими методами. Часто математические модели, описывающие сложные (СС), удается аппроксимировать аналитически описываемыми геометрическими образами: «-мерными поверхностями, объемами. В теории «-мерного пространства удобно применять

геометрическую терминологию, хотя при n > 4 пространство En не имеет наглядной геометрической интерпретации. Использование геометрической терминологии при описании

множеств пространства En(n> 4), задаваемых аналитически, оправдано тем, что эти множества сохраняют ряд существенных свойств, аналогичных свойствам множеств пространства Е« (« = 1, 2, 3), которые уже имеют наглядную геометрическую интерпретацию.

Это позволяет при исследовании весьма абстрактных объектов пространства En использовать громадный геометрический опыт, который приобретался нами при изучении

пространства Е« («= 1, 2, 3). Такими объектами могут быть любые технологические процессы, где число независимых переменных больше трех. Интерпретируя пространство состояний этих процессов как некоторую поверхность в пространстве En (n> 3) , мы делаем

наглядной геометрическую интерпретацию конкретного технологического процесса, что позволяет исследователю, например технологу, эффективно осуществлять поиск оптимальных значений независимых переменных, подбирая и обосновывая тот или другой метод поиска численных значений этих переменных. Разумеется, на пространства размерностей, больше трех, нельзя бездумно переносить факты, относящиеся к трехмерному пространству, о чем мы скажем ниже более подробно.

Поскольку большая размерность задач является серьезным препятствием к их решению, существуют различные искусственные приемы, направленные на уменьшение их размерности. Одним из таких приемов является введение так называемых малых (больших) параметров. Если отдельные элементы системы сильно различаются по своим характеристикам, то вводятся параметры, представляющие их отношения, тем самым уменьшается число степеней свободы (осуществляется асимптотическая редукция размерности [3]).

Например, если некоторое предприятие, пользуясь очистными сооружениями, производит

неполную очистку и сбрасывает в водоем вещества A в количестве G

паводковые

воды, вызванные быстрым таянием снега или ливнями, уносят это же вещество A с

3 /

территории данного предприятия в количестве G2 м/ , то естественно представить

/ гас

количество уносимого вещества A на заданном отрезке времени как сумму 3 * 5

3

Многомерное пространство - пространство, имеющее число измерений более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости — двумерны, прямые — одномерны [7].

5

Вісник ПДАБА

(G

ж3/

/ гас

+ G2

Ж/ )= g Ж/

гас 3 гас

Если в этой же задаче необходимо учитывать

количество вещества A, уносимое из водоема подземными водами, то, определив его концентрацию - C в данном водоеме и зная количество воды, уносимой из него по подземным

рекам, можно определить это количество как

C1G3

Безразмерная

величина

может характеризовать динамику изменения концентрации вещества

A в

водоеме. Таким образом, если в задаче фигурирует множество переменных, среди которых есть перечисленные выше, то размерность задачи можно сократить, сведя их к концентрации вещества A в водоеме. Таким образом, часто при моделировании определяющие параметры системы можно «поймать» уже в первом приближении.

Другим приемом уменьшения размерности задачи является расщепление системы на подсистемы меньшей размерности. Такое расщепление удобно производить дезагрегацией дерева целей.

Пример такого подхода реально был применен при синтезе системы оперативного управления машиностроительным предприятием [4].

Частные критерии оперативного управления машиностроительным предприятием выявлялись посредством дезагрегации его общей цели. Общая цель формулировалась как достижение максимально возможной эффективности производства, что возможно при равномерном и комплексном выполнении плана выпуска продукции, согласовании его с действующими мощностями, увязке всех технологий производства целевых продуктов во времени, выявлении резервов, снижении величины оборотных средств, создании условий для развития передовых форм организации труда.

Рис. Дезагрегация цели

На рисунке [6] представлено дерево целей оперативного управления машиностроительным производством, которое получено путем дезагрегации общей цели. Под номером 1 обозначена общая цель функционирования - достижение максимальной эффективности процесса производства; 2 - затраты на производство продукции; 3 - выполнение директивных сроков выпуска продукции; 4 - качество выпускаемой продукции; 5 - уровень незавершенного производства; 6 - уровень производственных запасов; 7 - размер партии обрабатываемых деталей; 8 - время изготовления изделий; 9 - загрузка оборудования; 10 - ритмичность выпуска изделий; 11 - равномерность загрузки оборудования; 12 - величина незавершенного производства; 13 - потери от хранения запасов; 14 - потери от переналадок оборудования; 15 -время прохождения работ; 16 - время запаздывания работ; 17 - количество работ, выполнение

6

№ 3 березень 2011

которых задерживается; 18 - время на переналадку оборудования; 19 - время относительной загрузки оборудования; 20 - время перегрузок и недогрузок по группам оборудования; 21 -время перегрузки ресурсов по группам оборудования; 22 - время перезагрузки

обслуживающего персонала4.

Все вышеприведенные частные критерии можно разбить на две основные группы: А -критерии оперативного управления, обеспечивающие снижение затрат на производство; Б -оперативные критерии, обеспечивающие стабильность хода производства. Таким образом, мы приходим к мысли о том, что практически любая математическая модель, описывающая сложный процесс или явление, является многоцелевой и поэтому многокритериальной. При этом мы не отрицаем существования единой, общей цели у этих систем и, как следствие, единого общего критерия у каждой из них.

Принимаем, что общую цель всегда можно свести к такой, которая характеризует, в рамках некоторых ограничений, выживаемость конкретной системы, в постоянно изменяющейся среде существования. Поэтому для формального представления общего критерия сложной системы, оценивающего эту выживаемость, прежде всего, необходимо произвести дезагрегацию общей цели с выявлением соответствующих оценок, полученных вследствие этого подцелей и частных критериев их представляющих.

Допустим, что выбор определяющих5 параметров, необходимых для синтеза

математической модели СС, сделан и получены уравнения, представляющие математическую модель. Эти уравнения могут быть настолько громоздкими и сложными, что исследовать их аналитически практически невозможно. В этом случае производится выбор из множества существующих методов, предназначенных для решения, например, оптимизационных задач, такого метода, который с точки зрения исследователя является наилучшим в соответствии с поставленной целью.

Множество таких методов можно разделить на три основные группы: классические методы и их обобщения (математический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, метод градиента). Математическое программирование, включающее линейное и динамическое программирование и их модификации. Статистические методы (статистическое

моделирование, метод статистических испытаний, теория массового обслуживания, теория игр, методы регулярного и случайного поиска, корреляционный и регрессионный анализы). Следует отметить, что даже удачный выбор того или иного метода необязательно будет являться

гарантом решения задачи, поскольку существенной трудностью при практическом

использовании оптимизационных решений является наличие в реальных технологиях большого числа переменных, часть из которых, в силу нашего незнания, мы часто просто не учитываем. Этот неучет приводит к тому, что для большинства моделируемых объектов область экстремума дрейфует в пространстве переменных. Относя свое незнание к случайности, исследователи относят этот дрейф к случайным помехам, искажающим истинное значение функции цели. Естественно, что подобного рода случайность является следствием нашего незнания, оправданием которому является многомерность пространства состояний СС. Таким образом, для СС случайность очень значима и составляет неотъемлемую часть их функционирования. Это, как правило, приводит к тому, что некоторая система (например, система управления сложным объектом). спроектированная на основе «средних» характеристик, часто оказывается принципиально неработоспособной в реальных условиях [6].

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Большаков В. И., Дубров Ю. И., Жевтило Е. Ю. Эмпирическое прогнозирование качественных характеристик материала на предпроектной стадии его создания/ Докл. НАН Украины, 2009, № 6, С. 99 - 106.

2. Большаков В. И., Дубров Ю. И., Ткаченко А. Н., Ткаченко В. А. Пути решения задач идентификации качественных характеристик материалов на основе экспертных систем/ Докл. НАН Украины, 2006, № 9, с. 54 - 60.

Следует отметить как большое упущение отсутствие среди перечисленных частных критериев экологических показателей. Оправданием может быть то, что во времена, когда данная работа выполнялась, в техническом задании этот показатель не был предусмотрен.

5 Определяющий параметр - параметр, оказывающий доминирующее влияние на функцию по сравнению с другими параметрами рассматриваемой функции.

7

Вісник ПДАБА

3. Дубров Ю. И., Вахнин А. Н. Устройство для адаптивного управления технологическим процессом / А.С. 1242911 СССР МКИ4 05 В 13/02 (СССР) - 20 с.

4. Дубров Ю. И., Фролов В. В., Вахнин А. Н. Учет влияния неуправляемых факторов при анализе и синтезе критерия функционирования сложных систем // Экономика и математические методы. - АН СССР, 1986, № 1.

5. Компьютер обретает разум/ Пер. с англ. А. Ю. Батыря, Р. Л. Герра, под ред.

В. Л. Стефанюка. Москва Мир, 1990, 240 с.

6. Растригин Л. А. Случайный поиск. - Рига : Знание, 1964, 321 с.

7. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М. : Гостехиздат, 1956.

УДК 621.868.27

ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ УЛАМКІВ ЗРУЙНОВАНИХ СПОРУД ТА ЕЛЕМЕНТІВ БУДІВЕЛЬ, ЯКІ РЕКОНСТРУЮЮТЬСЯ

С. В. Шатов, к. т. н., доц.

Ключові слова: стихійні лиха, аварії, зруйновані споруди, уламки, реконструкція будівель, будівельні елементи, параметри уламків та елементів будівель.

Проблема. Техногенні аварії та стихійні лиха, які час від часу трапляються в Україні і світі, спричиняють руйнування споруд та будівель. Під завалами цих руйнувань знаходяться потерпілі [1]. Для розбирання завалів використовуються різноманітні засоби механізації, які залучаються до виконання цих робіт без урахування параметрів уламків завалів, тому ці роботи виконуються за недосконалими технологічними схемами. Це збільшує терміни та трудомісткість ведення рятувально-відновних робіт. Крім того, при реконструкціях будівель та споруд [2; 3], коли виконується розбирання будівельних елементів, виникає потреба у відомостях про їх параметри. Тому створення наукових основ проектування машин для розбирання завалів зруйнованих споруд та для реконструкційних робіт з урахуванням параметрів уламків завалів або будівельних елементів є актуальною науково - технічною проблемою.

Аналіз публікацій. Рятувальні роботи у Вірменії, Дніпропетровську, Євпаторії, Луганську [4 - 6] показали, що залежно від джерела аварії або стихійного лиха, їх потужності, часу дії та інших чинників, руйнування споруд та будівель має імовірнісний характер. У той же час є визначені окремі закономірності їх руйнування [6]. Організація робіт із розбирання завалів базується на відомостях про структуру завалу: параметри уламків та їх кількість. Зараз ці відомості отримують шляхом безпосереднього обстеження завалів рятівниками: візуального огляду, інструментального виміру уламків, фото- і відеозйомки [4; 7]. Такі підходи до визначення параметрів уламків є небезпечними для рятівників (можливі обвалення елементів завалів або нестійких конструкцій частково зруйнованих об'єктів) і не мали логічного продовження в питаннях організаційно-технологічних рекомендацій щодо розбирання завалів. Такий аналіз структури завалу не дає повної інформації, що збільшує похибку у визначенні видів засобів механізації та їх кількості.

При реконструкційних роботах на будівлях та спорудах також необхідні відомості про параметри будівельних елементів, що входять у ці об’єкти. Це дозволяє обґрунтовано вибирати машини та механізми для часткового або повного розбирання будівель і споруд на окремі елементи. Параметри елементів таких об’єктів можливо отримати із їх будівельної документації. Недоліком цього є те, що у більшості випадків реконструкції потребують старі будівлі та споруди, технічна документація на яких відсутня або не повна.

Результати досліджень. Для розробки обґрунтованих рішень щодо організації і проведення робіт із розбирання завалів зруйнованих будівель і споруд, а також при реконструкційних роботах пропонується проводити визначення таких параметрів уламків та будівельних елементів:

1. Геометричні показники:

- габаритні розміри уламків або будівельних елементів у трьох площинах: ах в х h (довжина, ширина, товщина), м;

- об'єм уламків або будівельних елементів V (перемножування а х в х h), м3.

2. Маса тул. уламків або будівельних елементів визначається:

8