Производственные функции и их использование для описания закономерностей производства Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 658.788

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОИЗВОДСТВА

© 2011 г. А.И. Рузанов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

grom@ef.unn.ru

Поступила в редакцию 22.11.2010

Обсуждается проблема использования математических моделей производственных функций для анализа экономических систем на макро- и микроэкономическом уровнях. Особое внимание уделяется моделированию функций издержек производства.

Ключевые слова: производственные функции, классы и виды производственных функций, инновационные технологии, функции издержек производства.

В последнее десятилетие вырос интерес к неоклассической теории экономического роста, к понятию производственных функций и др. Это время иногда называют периодом «неоклассического возрождения» (см., например, [1, 2] и имеющуюся там библиографию). Интерес к производственным функциям (ПФ) вырос в связи с более широким использованием этого класса математико-статистических моделей на макроэкономическом и на микроэкономическом уровнях. Следует отметить, что ПФ стали использоваться и в разработке понятийного аппарата инновационных технологий, в частности в уточнении понятия инновационных технологий и показателей оценки их эффективности. Основная ценность таких моделей заключается в том, что они позволяют в простой и наглядной форме представить сложные закономерности производства. На их основе можно определить различные величины, необходимые для рационального и эффективного ведения производства.

В исследованиях по теории ПФ активно обсуждается вопрос о микрооснованиях, приводящих к основным классам производственных функций. Многие авторы считают, что так называемая «глобальная» ПФ не является первичным экономическим объектом. Она представляет собой результат определенного выбора среди «локальных» технологий [1].

Технологический процесс обычно описывается при помощи двух векторов:

1) вектора объемов выпуска конечных продуктов У = (у1,у2,...,ут), где т - число видов выпускаемой продукции;

2) вектора затрат производственных ресурсов (производственных факторов) Х = (х1, х2, ...,хп), где п - число наименований используемых ресурсов.

Пара векторов (X, У) дает достаточно полное представление о характере производства и объемах затрачиваемых ресурсов, т.е. о технологии. Проблема сопоставления эффективности различных технологий решается путем анализа определенных индексов - измерителей технологической эффективности [2]. К числу таких оценочных индикаторов относятся, в частности, коэффициенты ресурсоотдачи:

гу = Уj/ х, I =1,...,п; ] = т.

Важным инструментом анализа эффективности служит понятие производственной функции. ПФ связывает значения вектора конечных

продуктов У со значениями вектора затрат производственных ресурсов:

F (Х ,У, А) = 0, (1)

где А = (а1,а2,...,ар) - вектор параметров ПФ.

Соотношение (1) может быть векторным, т.е. состоять из нескольких равенств.

Вместо общего представления ПФ в виде (1) часто используются два частных случая:

1) функции выпуска, в которых в качестве независимых переменных берутся затраты ресурсов, и функцией является выпуск продукции

У = / (X, А); (2)

2) функции производственных затрат, в которых независимой переменной является выпуск, функцией - затраты

X = М(У, А). (3)

В функции выпуска (2) возможны различные сочетания количеств производственных ресурсов, что приводит к тому, что один и тот же объем продукции может быть произведен при разных сочетаниях количеств ресурсов. В функции затрат (3) задание выпуска продукции полностью определяет затраты ресурсов. Поэтому функции затрат используются в том случае, когда в описываемой элементарной экономической единице отсутствует возможность замещения одного ресурса другим.

С понятием ПФ тесно связано понятие производственных возможностей, которое определяется как множество всех возможных сочетаний затрат трудовых и материальных ресурсов и выпусков продукции, т.е. имеет вид

{X, У}е G(A), (4)

где G(A) - некоторое множество в пространстве ресурсов и продукции, зависящих от вектора

параметров А .

В некоторых случаях множество производственных возможностей удобнее рассматривать вместо ПФ из чисто математических соображений.

Рассмотрим далее частный случай ПФ (2), когда выпуск продукции выражается одним числом у, например стоимостью произведенной продукции, а вектор параметров будем опускать, считая, что параметры уже определены:

У = Х2 ^.^ Хп ). (5)

В этом случае помимо отмеченных выше коэффициентов ресурсоотдачи вводятся частные показатели ресурсоотдачи:

Г = у/х1, i = 1,...,п .

Среди этих величин особое место занимают показатели фондоотдачи (ресурсом являются основные производственные фонды) и производительности труда (в качестве ресурса выступают затраты используемого труда). Эти величины наиболее часто применяются в анализе сравнительной эффективности технологий.

Для проведения анализа в краткосрочном плане полезным оказываются показатели ресур-соемкости

= х1 /у, i = 1,...,п .

Эти показатели являются обратными к показателям ресурсоотдачи: наиболее употребляемые из них - это фондоемкость, трудоемкость, материалоемкость, энергоемкость.

Если ПФ является дифференцируемой, то кроме средней технологической эффективности г ресурс i характеризуется показателями его предельной (приростной или маржинальной), ресурсоотдачи (или маржинальной технологической эффективности) [3]:

М1 = ду/дх1, i = 1,...,п .

Понятие «технологии» является одним из основных, поэтому актуальна разработка формализованных подходов к уточнению понятия инновационных технологий и показателей оценки их эффективности [2]. Допустимая технология (X, У) называется эффективной, если при заданной ПФ (5) выполняется соотношение

у = / (Х).

Допустимая технология считается заведомо неэффективной, если имеет место неравенство

у < / (Х).

Таким образом, ПФ выступает как форма описания границы технологического множества, образуемой эффективными технологиями.

Множество допустимых технологий (X, У) может быть разделено на три подмножества по критерию, который характеризует основные направления введения инноваций, обеспечивающих повышение эффективности исходной

технологии (X0, У0), а именно:

1. При меньших затратах ресурсов X1 < Х 0

производится тот же объем продукции У1 = У0 . Подобная ситуация возникает, как правило, при внедрении технологических усовершенствований, обеспечивающих экономию ресурса.

2. При тех же затратах ресурса X1 = Х0 выпускается больший объем продукции. Это характерно при трудозамещающих модификациях технологии, которые обеспечивают рост производительности труда (механизация и автоматизация производства и т.д.).

3. В новой технологии не только уменьшаются ресурсы, но и увеличивается выпуск. Данная ситуация, обеспечивающая существенный рост эффективности, характерна для новаторских технологий, использующих принципиально новые способы переработки ресурсов в продукцию.

Считается, что технологиям (X1, У1) из первых двух групп присуща слабая форма инновационности, а технологиям из третьей - сильная [2].

Во второй части рассмотрим применение ПФ в анализе экономических систем. ПФ имеют различные области использования: на мак-ро- и микроэкономическом уровнях.

На макроэкономическом уровне строятся ПФ для региона или страны в целом, и затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях. В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) K и настоящий (живой) труд L , а в качестве результата - валовой выпуск У (либо валовой внутренний продукт, либо национальный доход). Таким образом строят двухфакторную ПФ: У = f (K,L).

Иногда от двухфакторных функций переходят к трехфакторным, вводя в качестве третьего фактора объемы используемых природных ресурсов. Если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс. Для моделирования отдельного региона или страны в целом активно применяется ПФ Кобба - Дугласа

У = а0Ка La , где а0, öj, а2 - параметры ПФ.

Параметр а0 обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса, а параметры ах и а2 являются эластичностями выпуска по основным фондам и по труду.

При построении ПФ научно-технический прогресс может быть учтен следующим образом [3]:

У(t) = exP(Pt) f (K, L), где p > 0 - число, которое характеризует темп прироста выпуска под влиянием научнотехнического прогресса.

Важной характеристикой ПФ является эластичность замещения - это мера кривизны изоквант (линий уровня). Эластичность замещения труда капиталом показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность K/L при изменении предельной нормы замены труда капиталом на один процент. Функция Кобба -Дугласа имеет эластичность замещения, равную единице. Линейная ПФ имеет нулевую кривизну и, соответственно, бесконечную эластичность замещения. Функция Леонтьева Y = min (аК, bL) имеет нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, следовательно, различной является и эластичность замещения. Это обстоятельство поставило задачу разработки более общих представлений ПФ. Обобщением функции Кобба - Дугласа является ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замещения (функция CES) [3]:

У = а(иК-9 + (1 - и)Гр)-п/р.

Здесь р >-1; п > 0 - степень однородности; а > 0, 0 <и < 1. Эластичность замещения для такой функции равна 1/(1 + р), она расположена в интервале (0, 1). Если р > -1, то получится линейная ПФ, при р ^ 0 в пределе получаем функцию Кобба - Дугласа, при р ^<х> - ПФ Леонтьева.

В качестве примера приведем функцию валового выпуска экономики СССР в зависимости от стоимости основных производственных фондов и числа занятых в народном хозяйстве по данным за 1960-1985 гг. [3]:

У = 1.002 • (0.6412К-а81 + 0.3588Г081)-1/(Ш.

Показатель эластичности замещения в этом случае равен 0.552. Оценки эластичности замещения для экономики СССР, полученные разными авторами, также получились меньше единицы: порядка 0.37-0.43 за разные периоды [3]. Это говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала.

Значительная часть последних публикаций по обсуждаемой теме также связана с эконометрическим оцениванием эластичности замещения (см. [1] и имеющуюся там библиографию). Согласно ряду эмпирических исследований, эластичность замещения факторов оказывается существенно меньше единицы, поэтому многие авторы предпочитают в качестве ПФ брать функцию СЕS'.

Однако Дж. Даффи и Х. Папагеорги на основе панельной выборки из 82 стран за период 28 лет пришли к выводу, что эластичность замещения несколько превышает единицу. Они отмечают, что труд и капитал являются более взаимозаменяемыми ресурсами в промышленно развитых странах, чем в развивающихся. Некоторые ученые приходят к выводу, что и функции Кобба - Дугласа не может быть отвергнута, если речь идет о большом промежутке времени (около 100 лет).

На микроэкономическом уровне область использования ПФ значительно шире. Здесь в роли производственной системы выступает отдельное предприятие (фирма), отрасль, межотраслевой производственный комплекс. ПФ применяются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования. Здесь затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Исторически ПФ появились как понятия агротехнических и биологических наук, в дальнейшем они развивались и применялись в основном экономистами. В экономике аграрного сектора ПФ объединяют ма-

тематически выраженные связи и зависимости результатов производства от затрат производственных факторов (урожайность культур - от доз внесения удобрений, удои коров - от количества потребляемых кормов и т.п.). По производственному аспекту ПФ здесь подразделяются на модели валового продукта (общепродуктовые), функции растениеводства, функции животноводства, функции группы продуктов (зерна, мяса, овощей, фруктов), функции отдельных продуктов и процессов. Ввиду большого разнообразия микроэкономических процессов проблема выбора аналитической формы ПФ (т.е. спецификация) здесь становится еще более актуальной. Прежде всего этот выбор обусловливается теоретическими соображениями, которые должны явно учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами и результативными признаками. Необходимо учитывать также особенности реальных или статистических данных, по которым оцениваются параметры ПФ. На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации, т.е. проверка адекватности ПФ. В качестве примера отметим, что в экономических расчетах в сельском хозяйстве часто используют параболы второго порядка, допускающие падающие и отрицательные производства. Так, определяя ПФ «урожайность-осадки», следует учитывать, что изобилие влаги в почве может привести к снижению урожайности культур. При исследовании ПФ часто приходится рассматривать пары величин, обратно пропорциональных друг другу. Примером являются зависимости между трудоемкостью и производительностью труда, между нормой времени и нормой выработки, между себестоимостью и рентабельностью производства. Такие зависимости в большинстве случаев предполагают использование уравнения гиперболы:

у = а + Ъ / х.

Отметим, что некоторые виды функций благодаря их логическому смыслу и стройности математических расчетов, а также эмпирическому обоснованию выделяются из множества других и находят широкое применении в исследованиях, проводимых с помощью ПФ.

1. Линейная функция:

п

у = а0 + 2 аЛ . (6)

/=1

2. Квадратичная функция:

п п п

у = а0 + 2 аХ + 22Ъ кх<хк . (7)

/=1 /=1 К=1

3. Степенная функция Кобба - Дугласа:

У = ао П х7 . (8)

/=1

4. Трансцендентная функция:

У = а0 Пх? • exP(-yixi). (9)

i=1

5. Функция Митчерлиха:

у = (1 -10-сх )(10-gx )(10с),

где g - фактор сокращения, соответствующий чрезмерному увеличению величины х.

6. Функция Спилмана:

у = М - АРх, где М - максимальная величина результативного показателя, достигаемая в результате увеличения фактора х; А - постоянная величина, определяющая максимальную отзывчивость, полученную в результате применения фактора х ; Р - коэффициент, определяющий степень уменьшения предельной производительности при том же количестве фактора х.

Последние две модели используются в основном для изучения зависимости урожайности культур от изменения доз внесения удобрений и продуктивности животных от питательности кормов.

Первые четыре функции являются наиболее универсальными. К недостаткам второй функции (7) следует отнести громоздкость, а также тот факт, что ее параметры {ai, b K) экономически труднообъяснимы. В этом смысле выгодно отличаются первая и третья функции: коэффициенты a1, a2,..., an в линейной функции (6) показывают, на сколько изменится у, если соответствующий фактор х i изменить на единицу, а параметры в функции Кобба - Дугласа (8) являются коэффициентами эластичности и показывают на сколько процентов изменится у, если соответствующий фактор изменить на один процент от своего уровня.

В качестве иллюстрации приведем далее результаты эконометрического исследования ПФ газодобывающей промышленности Красноярского края [4]. Для построения ПФ были выбраны следующие факторы производства, влияющие на добычу природного газа:

1) среднегодовая стоимость х^ основных промышленно-производственных фондов, являющихся главной материальной базой газодобывающей промышленности;

2) накопленная добыча х2>ц природного газа, характеризующая меру истощения запасов.

Были использованы следующие классы ПФ: трансцендентного вида (9)

у, = exP(a0 + a2 Х2,,-1) и степенно-показательная

a +a-,x-, f Л

у, = exp a0 X xlt * 22,i-1.

По статистическим данным за 1970-2006 гг. методом наименьших квадратов определены конкретные значения параметров а0, а1, а2. Показано, что построенные ПФ могут быть использованы для экономического анализа, планирования и прогнозирования добычи природного газа как предприятиями края, так и региональными органами власти.

В заключение рассмотрено математикостатистическое моделирование функций издержек производства.

Этой проблеме в экономико-математической литературе уделяется мало внимания, однако снижение издержек производства в расчете на единицу продукции является одной из наиболее важных задач. Будучи базой цены и основой для расчета прибыли и рентабельности, себестоимость продукции выступает в качестве определяющего показателя эффективности производства. Величина себестоимости продукции есть функция множества регулируемых и случайных факторов. Эти факторы-аргументы могут быть дифференцированы по группам: факторы внешнего происхождения; факторы внутреннего происхождения, зависящие от хозяйственной политики (фондонасыщенность, энерговооруженность и т.д.); смешанные факторы, зависящие как от технологии, так и от случайных явлений. Такая дифференциация способствует более правильной оценке степени влияния различных факторов на уровень себестоимости, помогает разработать рекомендации относительно путей снижения затрат.

В зарубежной литературе под функциями издержек подразумеваются модели, описывающие соотношение между уровнем издержек на производство какого-либо одного продукта или массы продуктов и произведенным количеством этого продукта. Такая трактовка предполагает использование лишь однофакторных моделей вида:

У = f (х),

где у - величина издержек производства, х -объем производства.

Более общий подход подразумевает под функциями издержек многофакторные модели вида (3). Выбор математической формы конкретной функции издержек представляет достаточно сложную проблему. Для нахождения удовлетворительной функции издержек можно использовать зависимости (6), (8) и (9), то есть соответственно линейные, степенные и трансцендентные функции. При описании зависимости величины себестоимости продукции от уровня концентрации масштабов производства, степени его специализации или интенсифика-

ции производства эмпирически наиболее обоснованы зависимости вида:

, . 2 . а,х + Ъ,

у = а + Ъ / х, у = а /(2 х), у =------.

а2 х + Ъ2

Такие модели описывают тенденцию постепенного снижения уровня себестоимости в расчете на единицу продукции в случае увеличения масштабов производства при условии, что это увеличение идет не экстенсивным путем. В противном случае возможно временное увеличение издержек производства при увеличении его масштаба. В этом случае могут быть использованы показательные и логарифмические функции вида:

у = а ехр(Ъх + сх2), у = ахЪ ехр(сх).

Функции такого рода позволяют обнаружить точку перегиба, то есть отразить моменты, когда издержки производства возрастали с ростом масштабов производства и до какого предела. Такие формы зависимости следует использовать в том случае, когда от вложенных затрат или от реорганизации производства нельзя ожидать немедленного эффекта, но который определенно будет по истечении некоторого времени.

При изучении зависимости себестоимости продукции от факторов, обусловливающих неравномерность производственных процессов, целесообразно использовать и тригонометрические функции, которые позволяют отражать сезонные колебания.

Обсуждаемые выше формы зависимости могут быть использованы и для определения тренда себестоимости. В этом случае величина себестоимости рассматривается как функция времени.

На основании анализа моделей (функций) издержек производства можно решать следующие задачи:

1. Следить за изменением уровня затрат в зависимости от изменения масштабов производства.

2. Определять уровни предельных затрат в абсолютном выражении или в процентах.

3. Определять оптимальный уровень затрат.

4. Определять вероятный масштаб производства при фиксированном уровне затрат. Для этого нужно разрешить функцию издержек относительно аргумента и подставить в полученное уравнение значение уровня затрат.

Список литературы

1. Матвеенко В.Д. «Анатомия» производственной функции: технологическое меню и выбор наилучшей технологии // Экономика и математические методы.

2009. Т. 45. № 2. С. 85-94.

2. Багриновский К.А., Егорова Н.Е. Методы анализа инновационных технологий на основе индекса Фаррела // Экономика и математические методы.

2010. Т. 46. № 1. С. 64-74.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учеб-

ник. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «ДИС», 1997. 368 с.

4. Афанасьев А.А. Эконометрическое исследование производственных функций газодобывающей промышленности Красноярского края // Экономика и математические методы. 2009. Т. 45. № 3. С. 3-11.

PRODUCTION FUNCTIONS AND THEIR USE TO DESCRIBE THE PATTERNS OF PRODUCTION

A.I. Ruzanov

The use of mathematical models of production functions for the analysis of economic systems at the macro and micro levels is discussed. Particular attention is paid to modelling the functions of production costs.

Keywords: production functions, classes and types of production functions, innovative technologies, functions of production costs.