Программа экспериментов по определению главных осей анизотропии материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Христич Д.В. - кандидат физико-математических наук, доцент

E-mail: dmitrvkhristich@rambler.ru

Тульский государственный университет

Адрес организации: 300012, Россия, г. Тула, проспект Ленина, д. 92

Каюмов Р.А. - доктор физико-математических наук, профессор

E-mail: kavumo v@mail. ru

Мухамедова И.З. - кандидат физико-математических наук, доцент

E-mail: muhamedova-inzilij a@mail.ru

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

Программа экспериментов по определению главных осей анизотропии материала*

Аннотация

Предложена программа экспериментов, необходимых для определения главных осей анизотропии кристаллических материалов. Рассмотрены материалы, не чувствительные к виду напряжённого состояния, и предположим, что соотношения, связывающие тензоры напряжений и деформаций, при стремлении деформаций к нулю асимптотически приближаются к закону Гука. Разработанная программа состоит из трёх экспериментов на одноосное сжатие. Предложена модификация указанной программы экспериментов, которая позволяет выполнить все необходимые опыты.

Ключевые слова: упругие свойства, анизотропные материалы, эксперимент.

Будем рассматривать материалы, не чувствительные к виду напряжённого состояния, и предположим, что соотношения, связывающие тензоры напряжений и деформаций, при стремлении деформаций к нулю асимптотически приближаются к закону Гука.

Деформируемые твёрдые тела при малых деформациях проявляют свойство упругости. При этом напряжения зависят от деформаций линейно, и эта зависимость описывается законом Гука:

S = N ■ e , (1)

где S - тензор истинных напряжений Коши, N - постоянный тензор упругих свойств (тензор упругости) четвёртого ранга, £ - тензор деформаций Коши-Грина.

Анализу структуры и свойств тензора N посвящены многочисленные работы [1-11 и др.]. Этот анализ показывает, что тензор n обладает симметрией: Njjki = Njikl = N ш = Nklj - и поэтому имеет 21 независимую компоненту. Такое

количество независимых компонент характерно для кристаллов, относящихся к триклинной сингонии [1]. Другие кристаллографические системы имеют некоторое количество элементов симметрии, поэтому тензор N имеет меньшее число независимых компонент: от 2 для изотропного и гиротропного материалов до 13 для моноклинного [12].

Актуальной является задача разработки программы минимального числа экспериментов по определению компонент тензора N. В работе Я.К. Рыхлевского [2] доказано, что для нахождения 21 компоненты тензора упругости в общем случае требуется провести 15 экспериментов на одномерное нагружение и 6 экспериментов на двумерное нагружение.

Однако если известны тип и ориентация главных осей анизотропии материала, то число экспериментов, необходимых для определения констант упругости, сокращается. В монографии [12] предложена программа экспериментов, с помощью которой можно провести классификацию материалов по кристаллографическим системам. Эта программа предполагает проведение от двух до четырёх экспериментов с макрообразцами: 1) нагружение гидростатическим давлением (всестороннее сжатие); 2) растяжение и сжатие одинаковыми усилиями в двух взаимно перпендикулярных

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект 2012-1.4-12-000-1004-006).

направлениях, задаваемых главными осями анизотропии; 3) сдвиги в плоскостях, определяемых главными осями анизотропии. В результате эксперимента по

•

всестороннему сжатию определяют главные значения е1, е2, е3 и главные векторы а1, ••

а2, а3 тензора деформаций е . Знание типа анизотропии материала и ориентации

главных осей анизотропии позволяет сократить число одномерных и двумерных экспериментов, необходимых для нахождения компонент тензора упругости для материалов всех сингоний кроме триклинной.

Существенная трудность реализации указанной программы экспериментов состоит в необходимости проведения трёхосного эксперимента - первого в программе. При выполнении такого опыта не представляется возможным измерить изменение размеров образца для определения по ним шести компонент тензора деформаций.

Целью настоящей работы является разработка такой модификации указанной программы экспериментов, которая позволяет выполнить все необходимые опыты.

При всестороннем сжатии образца тензор напряжений имеет вид 8 = —О • Е, где • • •

Е = - единичный тензор в декартовой системе координат Охуг (далее будем работать

в этой системе). Этот тензор напряжений можно представить в виде суммы трёх тензоров:

£ = 8} + Бц + 8ш , (2)

• 1 • 1 • 2 • 2 • 3 • 3

где 81 = —О е е , 8II = —О е е , 8ш = —О е е , каждый из которых описывает

сжатие вдоль одной из осей координат. Каждому тензору напряжений 8}, 8ц, 8щ соответствует тензор деформаций ш, ел , еш , связанный с ним законом Гука (1):

8} = N • е}

8II = N •е II (3)

8III = N •е III.

В силу линейности закона Гука с учётом формулы (2), складывая уравнения (3), получим:

8 = 8I + 8II + 8III = N • (eI + еи + еш ) (4)

Аддитивность представления (4) позволяет заменить опыт по всестороннему сжатию тремя экспериментами по одноосному сжатию, провести которые гораздо проще.

Если выполнить три таких одноосных эксперимента, то главные оси анизотропии материала можно будет определить как главные оси тензора деформаций £= ш + Ш + Ши, который описывает отклик образца на всестороннее сжатие.

Рассмотрим эксперимент по одноосному сжатию вдоль произвольной оси Oz куба ОЛВСО1Л1Б1С1, занимающего в недеформированном состоянии область {0 < х < а, 0 < у < а, 0 < z < а} (рис. 1).

В деформированном состоянии куб станет косоугольным параллелепипедом ОЛВСО "\ Л В С (рис. 2).

Положение нижней плоскости образца в таком эксперименте фиксировано, и его ориентация как твёрдого тела определяется одним параметром - углом поворота образца вокруг нормали к этой плоскости. Поэтому деформация и ориентация образца определяются семью параметрами, измеряемыми в эксперименте (рис. 3, 4): длины рёбер

оснований с1, с2, углы /1, /2 между сторонами деформированных и исходных нижнего

и верхнего оснований, компоненты ^хш , Луш , !^ш вектора перемещения верхнего

основания относительно нижнего.

Координаты точек нижнего и верхнего оснований куба в деформированном состоянии выражаются через эти семь параметров:

О "'(0; 0; 0),

Л '"(е1 008 у1; с1 8Ш у1; 0),

В "'(с1 008 у1 + с2 8т у2; с1 8т у1 + с2 008 у2; 0),

С ”'(с2 8т у2; с2 008 у2; 0);

О "'1 (Ахш; Ауш; а — Дгш),

Л '"1 (с1 008 у1 + Ьхш; с1 8т у1 + Душ; а — !^ш),

В "'1 (с1 008 у1 + с2 8т у2 + Дхш; с1 8т у1 + с2 008 у2 + Душ; а — Дгш),

С ”'1 (с2 8т у2 + Дхш; с2 008 у2 + Душ; а — ДzIII).

Рис. 1. Куб в недеформированном состоянии

Рис. 2. Исходный куб в деформированном состоянии V'

О

1

В'П

С" *1

В

2

Л'2

►

Рис. 3. Нижнее основание куба в исходном и деформированном состояниях при сжатии вдоль оси Oz

Считаем, что перемещения в силу однородности деформированного состояния линейно зависят от координат:

uiii

Л

\

С2 sin g2 z

x +---------------y + AxIII —

a a

•1

e +

+

С1 sin Ї1 і С2 cos g2 ,

—-------1 x + \ —--------2 — 1

y + Ayi

• 2

z • 3

e —Aziii~e

Рис. 4. Верхнее основание куба в исходном и деформированном состояниях при сжатии вдоль оси Oz

Тогда линеаризованный тензор деформаций е = ■

(ЪиШ ди

следующие компоненты:

/

III £ = i.

c1 cos g1

c1 sin g1 + c2 sin 2a

AxTTT

2a

2a

c2 cos g2

a

Ayiii

— 1

2a

III

.

----------+

dx . dx

c1 sin g1 + c2 sin g2 AxII

2a

Ayiii

2a

Az„T

e'e3 имеет

(5)

Если углы gj, g2 малы, то есть g1 » 0 , g2 » 0 , то компоненты тензора e . можно линеаризовать, считая cos gk » 1, sin g, » g, , k = 1, 2 . Получим:

III £j =

cjgj + ^ 2a

Axiii

2a

cg + c2g2 AxiI

2a

— 1

a

АУщ

2 a

2 a

Ayiii

2a

Aziii

a

(6)

-тл III

Если, кроме того, считать, что Cj » а и c2 » a, то компоненты тензора e.. примут вид:

е =

У

0

Ух + У2 2

Dx,,,

Ух + 72 DxIl

2а

2

0

ДУш

2а

2а

АУш

2а

Dz,,,

(7)

Координаты точек задней и передней граней куба выражаются через измеряемые в опыте длины рёбер в деформированном состоянии а1, а2, углы а1, а2 между сторонами деформированных и исходных задней и передней граней и перемещения передней грани относительно задней Дх7, Ду7, Дг7 :

O '(0; 0; 0),

C '(0; а1 cos а1; а1 sin а1),

C (0; а1 cos а1 + а2 sin а2; а1 sin а1 + а2 cos а2),

O 'х(0; а2 sin а2; а2 cos а2);

A '(а - Дх7; Ду7; Dz1),

B'(а - Дх7; а1 cos а1 + Ду7; а1 sin а1 + Дг7),

B \(а - Дх7; а1 cos а1 + а2 sin а 2 + Ду7; а1 sin а1 + а2 cos а 2 + Дг7),

A\(а - Дх7; а2 sinа2 + Ду7; а2 cosа2 + Д7)

Поле перемещений в этом случае определяется вектором:

* л Х *1

u7 = -Дх7 — e + а

ДУ 7

x а sin а, Az7- + ---------L

У +

У + -

-1

*2

e +

*3

e

а а

Компоненты тензора деформаций Коши-Грина при сжатии куба вдоль оси Ох имеют вид:

2а

7

e.. =

и

Ахг

Дz

а

2а

AzL

2а

_____7_

2а

а cos а,

----------1 -1

а, sin а1 + а2 sin а2 2а

а cos а„

--1

2а

(8)

Проводя линеаризацию компонент (8), получим выражения, аналогичные формулам (6), (7):

-7

еи =

ДХ7 ДУ7

а 2а 2а

ДУ 7 01 -1 а а1а1 + а2а 2

2а 2 а

Az1 а1а1 + а2а2 а2 — -1 а

2а 2а

(9)

I

£. =

Axi Ayj_ AzI

a 2 a 2 a

Avi O a1 + a

2 a 2

AzI a1 + a 2 O

2a 2

(1O)

Координаты точек левой и правой граней куба выражаются через измеряемые в опыте длины рёбер в деформированном состоянии bj, b2, углы bj , b2 между сторонами деформированных и исходных левой и правой граней и перемещения правой грани относительно левой:

O "(0; 0; 0),

A "(bj cos bj; 0; bj sin bj),

A "j (bj cos bJ + b2 sin b2; 0; bj sin bj + b2 cos b2),

O "j(b2 sin b2; 0; b2 cos b2);

C "(Ax]1; a - Ay 11; Azn),

B "(bj cos bJ + Dx11; a - Ay11; bj sin bj + Az11),

B "j (bj cos bJ + b2 sin b2 + Ахя; a - Ay11; bj sin bj + b2 cos b2 + Az11),

C "j (b2 sin b2 + Ахя; a - Ay11; b2 cos b2 + Az11).

Поле перемещений при сжатии куба вдоль оси Oy описывается вектором

uii =

/ V

л У • 2 -АУц-е +

bj cos bj

-1

a

b1 sin b

•1

e -

л У x + AzII —+

a

/b2 cos Ь2

- 1

z У -1

•з

e

а тензор деформаций Коши-Грина имеет следующие компоненты:

II

£.. =

У

b1 cos b1

Ax,

1

AxII b1 sin b1 + b2 sin b2

\

2a

b1 sin b1 + b2 sin b2 2a

2a

ДУц

a

Azii

2a

2a

Azii

2a

b2 cos Ь2

(11)

Проводя линеаризацию компонент е.. (11), получим выражения, аналогичные

формулам (6), (7):

II

£. =

b -1 a Axii + b2b 2 ^

2a 2a

Axii AVii Azii

2a a 2a

b1b1 + b2b 2 Azii b2 -1 -1 a у

v 2a 2a

(12)

о Axii bi + b

2a 2

Ax/I ДУп Дгя

2a a 2a

bi + b 2 Azii о

2 2 a

(1З)

Тогда тензор деформаций г имеет компоненты et = ej. + e^ + ej1:

^ -Дх/ + Cj cos gj + Ъ1 cos Д Axjj + Ду/ + c sin gj + c2 sin g2 Дхж + bzj + Ъ sin Д + Ъ2 sin Д

--2

2a

2a

AxII + AyI + c1 sin g1 + c2 sin g2 -AyII + c2 cos g2 + a1 cos a1 AyIII + AzII + a1 sin a1 + a2 sin a.

- 2

2a a 2a

Axni + AzI + b1 sin Д + b2 sin Д AyIII + AzII + a1 sin a1 + a2 sin a2 -AzIII + b2 cos Д + a2 cos a2

(14)

2а 2а а

Для выполнения предварительного анализа результатов эксперимента матрицу компонент тензора деформаций (14) удобно представить в виде:

ev =

Д*!

a

AxII + AyI 2a

AxII + AyI AxIII + AzI

2a 2a

Ayn Aym + Azii

AxIII + AzI AyIII + AzII

c1 cos g1 + b1 cos b1

- 2

2a 2a

c1 sin g1 + c2 sin g2

2a

c1 sin g1 + c2 sin g2 c2 cos g2 + a1 cos a1

- 2

2a

b1 sin b1 + b2 sin b 2

2a

Azii, a

b1 sin b1 + b2 sin b2 2a

і +c 2a

b2 cos b2 + a2 cos a2

- 2

(15)

2а 2а а

Если параллелепипед после деформации остаётся прямоугольным, то во втором слагаемом ненулевыми будут только диагональные компоненты матрицы.

При линеаризации тензор деформаций г имеет следующие компоненты:

e =

v

-Ax,

Axii +Ayi + 71 + Г2

Axn + Ay i 71 + 72 Axiii + Azi bi + b 2

2a

-Ayn

2 a 2

AyIII + AzII + + + a 2

2a

AxIII + AzI + b1 + b 2 AyIII + AzII + a1 + a2

-Az„

V

2a

2a

или:

e?.. =

v

г -AxI Axii + Ayi Ax^ + AzI ^ Г о 71 + 72 bi + b2

a 2a 2a 2 2

Axii + Ayi -Ayii Ayiii + Azii 71 + /2 о a1 + a2

2a a 2a 2 2

Axiii + Azi Ayiii + Azii -Aziii bi + b 2 a1 + a2 о 0

v 2a 2a a 0 1 2 2

(16)

e

Главные оси тензора (14) являются главными осями анизотропии материала.

Направления главных осей задаются единичными собственными векторами a , i = 1, 2, 3

• •

тензора г, которые определяются из условия г ai = ea , где ei, i = 1, 2, 3 - собственные

значения тензора г. Для нахождения собственных значений тензора г используется

характеристическое уравнение:

e3 - Ij(e)e2 +I2 (e)e -I3(e) = 0, где I1(e), 12(e), I3(e), - алгебраические инварианты тензораe .

Список литературы

1. Рыхлевский Я.К. «CEIIINOSSSTTUV» Математическая структура упругих тел / Препринт № 217. - М.: ИПМ АН СССР, 1983. - 113 с.

2. Rychlewski Y.K. On the detectability of constitutive laws in solid mechanics and physics / Упругость и неупругость: Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых твёрдых тел, посвящённого девяностолетию со дня рождения А. А. Ильюшина (Москва, 22-23 января 2001 года) / Под ред. проф. И. А. Кийко, проф. МШ. Исраилова, проф. Г.Л. Бровко. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. - С. 67-73.

3. Рыхлевский Я.К. О законе Гука // Прикладная математика и механика, 1984, Т. 48. -Вып. 3. - С. 420-435.

4. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикладная механика и техническая физика, 2008, Т. 49, № 6. - С. 131-151.

5. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Инт гидродинамики, 1984, Вып. 66. - С. 113-125.

6. Остросаблин Н.И. О классификации анизотропных материалов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1985, Вып. 71. - С. 82-96.

7. Бехтерев П.В. Аналитическое исследование обобщённого закона Гука // Сообщ. о науч.-техн. работах в Респ. - Л.: Науч. хим.-техн. изд-во, 1924, Вып. 12. - С. 20-23.

8. Бехтерев П.В. Аналитическое исследование обобщённого закона Гука // Сообщ. о науч.-техн. работах в Респ. - Л.: Науч. хим.-техн. изд-во, 1925, Вып. 17. - С. 5-9.

9. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика, 2003, Т. 44, № 1. - С. 170-175.

10. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А. Ильюшина // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика, 2001, Т. 7, Вып. 2, Механика. - С. 173-178.

11. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Известия РАН. Механика твердого тела, 2011, № 1. - С. 38-45.

12. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. - Тула, 2010. - 268 с.

Khristich D.V. - candidate of physical-mathematical sciences, associate professor E-mail: dmitrykhristich@rambler.ru Tula State University

The organization address: 300012, Russia, Tula, Pr. Lenina, 92 Kayumov R.A. - doctor of physical-mathematical sciences, professor E-mail: kayumov@rambler.ru

Muhamedova I.Z. - candidate of physical-mathematical sciences, associate professor

E-mail: muhamedova-inzilij a@mail.ru

Kazan State University of Architecture and Enginieering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

A program of experiments for material anisotropy main axes determination

Resume

Offered a program of experiments needed to determine the principal axes of anisotropy of crystalline materials. Considered materials are not sensitive to the stress state and relations between the stress and strain tensors approach to Hooke's law when strain tends to zero asymptotically. To reduce the number of experiments it is necessary to know the orientation of the principal axes of the anisotropic material. Principal axes of the anisotropic material are the principal axes of strain tensor, which describes the response of the sample to the hydrostatic compression. During the test the change in size of the sample is measured to determine the components of the strain tensor.

The developed program consists of three experiments uniaxial compression. In this paper is offered a modification of this experimental program, which allows you to perform all required tests. The experiment on the uniform compression define the main vectors of the strain tensor. Knowing the type of material anisotropy and orientation of the principal axes of anisotropy can reduce the number of one-and two-dimensional experiments required to find the components of the tensor of elasticity for all materials except the triclinic crystal systems.

Keywords: elastic properties, anisotropic materials, experiment.

References

1. Rychlewski Y.K. «CEIIINOSSSTTUV» Mathmatical structure of elastic bodies / Preprint № 217, 1983. - 113 p.

2. Rychlewski Y.K. On the detectability of constitutive laws in solid mechanics and physics / Elasticity and nonelasticity: Proceedings of the International scientific symposium on the mechanics of deformable solids, dedicated to A.A.Ilyushin ninetieth birthday (Moscow, 22-23 of January 2001) / Under the editorship of prof. I.A. Kiyko, prof. M.Sh. Israilova, prof. G.L. Brovko. - M.: Moscow University Publishers, 2001. - P. 67-73.

3. Rychlewski Y.K. About Hooke’s law // Applied mathematics and mechanics, 1984, V. 48, Issue 3. - P. 420-435.

4. Annin B.D., Ostrosablin N.I. Anisotropy of elastic properties of materials // Applied mechanics and technical physics, 2008, V. 49, № 6. - P. 131-151.

5. Ostrosablin N.I. About the structure of elastic moduli tensor. Eigen elastic states // Dynamics of continuum medium: Collection of scientific papers / USSR Academy of Sciences. Siberian Branch. Institute of hydrodynamics, 1984, Issue 66. - P. 113-125.

6. Ostrosablin N.I. About classification of anisotropic materials // Dynamics of continuum medium: Collection of scientific papers / USSR Academy of Sciences. Siberian Branch. Institute of hydrodynamics, 1985, Issue 71. - P. 82-96.

7. Bekhterev P.V. Analytic investigation of generalized Hooke’s law // Message of scientific and engineering works in Republic. L.: Scientific him.-techn. Publishers, 1924, Issue 12. - P. 20-23.

8. Bekhterev P.V. Analytic investigation of generalized Hooke’s law // Message of scientific and engineering works in Republic. L.: Scientific him.-techn. Publishers, 1925, Issue 17. - P. 5-9.

9. Markin A.A., Sokolova M.Yu. A variant of nonlinear thermoelasticity constitutive relations for anisotropic bodies // Applied mechanics and technical physics, 2003, V. 44, № 1. - P. 170-175.

10. Sokolova M.Yu. Structural tensors of anisotropy in A.A.Ilyushin space // News of TSU. Series Mathematics. Mechanics. Informatics, 2001, V. 7, Issue 2, Mechanics. - P. 173-178.

11. Markin A.A., Sokolova M.Yu., Khristich D.V. A.A. Ilyushin postulate for anisotropic materials and a variant of constitutive relations // News of Russian Academy of Sciences. Mechanics of solid body, 2011, № 1. - P. 38-45.

12. Markin A.A., Sokolova M.Yu. Thermomechanical models of reversible finite deforming, Tula: TSU Publishers, 2010. - 268 p.