Прогнозирование затрат на обеспечение контролепригодности по критерию коэффициента достижимости граф-модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518.54

С.Н. Капранов, О.П. Тимофеева

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЗАТРАТ НА ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОНТРОЛЕПРИГОДНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ КОЭФФИЦИЕНТА ДОСТИЖИМОСТИ ГРАФ-МОДЕЛИ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Рассматривается влияние топологии граф-модели исследуемого объекта на мощность множества диагностической информации для контроля и диагностики состояний.

Ключевые слова: диагностика, контролепригодность, коэффициент глубины поиска, коэффициент достижимости

Методы контроля и диагностирования технических состояний разрабатываются и закладываются на этапе проектирования объекта и поддерживаются при его эксплуатации. Контролепригодность характеризует приспособленность объекта к проведению контроля заданными методами и средствами технического диагностирования. Обеспечение приспособленности конструкций к проведению проверок методами и средствами контроля связано с дополнительными затратами. Решение задачи оптимизации контролепригодности, привязанное к имеющейся структуре объекта, на практике часто приводит к невозможности реализации полученного решения из-за больших затрат.

В то же время процедура проектирования технического объекта некоторого класса включает решение задач синтеза его конструкции, синтеза параметров и структуры объекта. При проектировании и разработке структуры объекта с учетом требований по надежности решаются задачи оптимизации состава его элементов, объединения элементов в конструктивно законченные блоки, выбор архитектуры и способов резервирования, а также закладываются требования по контролепригодности.

В общем виде это решение задачи минимизации множества назначаемых точек контроля с целью сокращения затрат, связанных с установлением дополнительных датчиков, нормализаторов сигналов, коммутаторов, устройств обработки сигналов и т.д., а также сокращение объемов передаваемой и хранимой информации, необходимой для определения оценки состояния технического объекта, если элементы данного объекта сильно разнесены в пространстве (например, газотранспортных сетей).

При условии возможности синтеза структуры проектируемого объекта необходимо провести исследования влияния топологии его структуры на затраты, связанные с обеспечением свойств контролепригодности.

В работе предлагается метод анализа затрат на контролепригодность объектов, структуру которых можно представить граф-моделью.

Для решения задачи обеспечения контролепригодности технический объект представляется двузначной логической моделью или графом причинно-следственных связей, вершины которого соответствуют возможным дефектам, дуги - связям между ними.

Пусть G = (V, A) - ориентированный упорядоченный граф без контуров и петель, где

V = (Vj,v2vn} - множество вершин графа, A = (а,а2а} = {(V,V)* = 1"'J = 1"} -множество дуг графа.

Обозначим V1" = {Vт, v™,..., v} - множество входных вершин графа G , V°ut = (vüut,vOut,...,v°put} - множество выходных вершин графа G .

© Капранов С.Н., Тимофеева О.П., 2012.

При решении задач синтеза контролепригодных объектов в качестве целевой функции Q используются значение коэффициента глубины поиска (0 < Е^ < 1) или время восстановления Тв, зависящее от глубины диагностирования. Эти параметры вычисляются по матрице эквивалентных дефектов и [2], т.е. зависят от её вида:

е=/в(и), (1)

Матрица и состоит из строк, являющихся строками матрицы достижимости О с номерами, соответствующими входным вершинам графа, и столбцов матрицы достижимости О с номерами, соответствующими выходным вершинам графа. Таким образом, получаем, что матрица эквивалентных дефектов и есть функция, зависящая от трёх величин:

и = /и (Б,Vм, 2оии = 2 и Vой'), (2)

где Б - матрица достижимости исследуемого графа; V1" - множество входных вершин исследуемого графа, на которые подаются диагностические воздействия; 2оии - множество диагностических параметров, включающее множество исходных точек съёма информации Vout и множество назначаемых точек контроля 2 .

Учитывая (2), выражение (1) примет вид

е = /в (/и (А V1", 2ои1)) = /в (Б, V1", 2ои), (3)

т.е. критерий оптимальности определяется значением матрицы достижимости, множеством входов, на которые подаются диагностические сигналы, и множеством точек съема диагностической информации.

В качестве критерия оптимальности был выбран коэффициент глубины поиска.

При решении задачи синтеза контролепригодных объектов ведётся поиск минимального множества 2 диагностических параметров, которое зависит от требуемого значения Е и числа вершин граф-модели. Но для различных структур графов при числе вершин, равном п , она может значительно варьироваться.

Для определения зависимости между структурой исследуемого объекта и минимально необходимым числом контрольных точек было проведено численное моделирование. При этом априорно заданными величинами являются: число вершин граф-модели, множество входных вершин графа исследуемого объекта и значения Е . В качестве переменной, варьируемой вычислительной программой, выступает матрица достижимости Б . Матрица достижимости строится по матрице смежности, являющейся эквивалентом графа. Но матрица достижимости не является математическим эквивалентом структуры рассматриваемого объекта. Это означает, что различным графам может соответствовать одна матрица достижимости, но различным матрицам достижимости всегда соответствуют различные графы.

Значение Ед! вычисляется по матрице эквивалентных дефектов. Особенность вычисления данного коэффициента заключается в том, что он будет иметь тем большую величину, чем больше в матрице и несовпадающих между собой столбцов. Данное разнообразие напрямую зависит от соотношения долей ненулевых и нулевых элементов матрицы и . Если доли нулевых и ненулевых элементов в матрице и будут примерно одинаковы, то вероятность различимости всех столбцов матрицы эквивалентных дефектов будет достаточно высока, т.е. близка к 1. При увеличении одной доли и соответственно уменьшении другой, возрастает вероятность наличия в матрице и совпадающих столбцов. При этом не важно, доминирование какой доли элементов будет происходить в матрице эквивалентных дефектов. Исходя из того, что матрица и строится по матрице Б, вид матрицы эквивалентных дефектов будет напрямую зависеть от вида матрицы достижимости, множеств входных и выходных вершин графа (3). Следовательно, чем больше отличаются доли нулевых и ненулевых элементов в матрице Б, тем больше множество контрольных точек необходимо назначить для обеспечения различимости дефектов.

Введём для классификации топологии структур исследуемых графов коэффициент достижимости вида

к

Кд = , (4)

Д п2 - п

2

где п - размерность матрицы Б; П П - общее число элементов в матрице Б выше главной диагонали; к - число ненулевых элементов в матрице Б выше главной диагонали. Отметим, что речь идёт об упорядоченных ориентированных графах, для которых матрица Б имеет верхний правый треугольный вид.

Данный коэффициент определяет долю заполнения матрицы Б ненулевыми элементами выше главной диагонали и является величиной, противоположной разреженности матрицы. Чем больше разрежена матрица Б, тем меньше значение Кд .

При исследовании топологии граф - модели с целью выделения путей, дающих диагностическую информацию, отметим следующую особенность. Пусть путь от некоторого входа V, к некоторому выходу соответствует упорядоченному множеству вершин графа

М = {V,V,•••, у'и}, где V - вершина, принадлежащая множеству входных вершин графа;

- вершина, принадлежащая множеству его выходных вершин.

Тогда, если существует два пути М и М., и множество вершин пути М. принадлежит множеству вершин пути Мг, то путь М. не даёт никакой диагностической информации.

Таким образом, если в графе добавляется новая дуга от вершины V к вершине V., которая принадлежит хотя бы одному уже существующему пути (существует маршрут от V к V ), то эта дуга не изменит вида матрицы достижимости О и соответственно значения коэффициента достижимости Кд .

Рассмотрим граф - модель, имеющую один вход и один выход. Минимальное значение Кд будет соответствовать графу, имеющему в матрице достижимости минимальное число ненулевых элементов:

= („ - 2),п + (п - 2), , (5)

Д п2 - п

2

где (п — 2)ги - количество ненулевых элементов в первой строке (из первой вершины существуют переходы во все вершины, кроме первой и последней); (п — 2\ш - количество ненулевых элементов в последнем столбце (нет захода в последнюю вершину из первой вершины и из последней). Тогда минимальное значение Е д для модели, имеющей один вход и один

выход, будет равно КД = 4п—— « —. При увеличении числа вершин графа минимальное

Д п(п -1) п

значение Кд будет уменьшаться и стремиться к 0.

При приближении структуры графа к параллельному виду, показанному на рис. 1, а, когда все вершины связаны с входом и выходом и не связаны между собой, значение К будет уменьшаться и число назначаемых контрольных точек для обеспечения различимости дефектов будет увеличиваться и стремиться к п . Очевидно, что в этом случае для различимости дефектов следует использовать в качестве диагностических параметров выходы всех вершин графа.

п-1

а)

•О-^О-^ЗУ^ ...—(ЗЬЧП)

п -►

б)

Рис. 1. Параллельная (а) и последовательная (б) структуры графа

Максимальное значение Кд будет соответствовать графу, имеющему в матрице достижимости максимальное число ненулевых элементов:

п2 - п

К Д =

2

п2 - п

= 1.

(6)

2

При приближении структуры графа к линейной структуре (рис. 1, б) значение Кд будет увеличиваться и стремиться к 1, при этом, как и в случае уменьшения значения Кд , число назначаемых контрольных точек для обеспечения различимости дефектов будет увеличиваться и стремиться к п . В этом случае для различимости дефектов следует использовать в качестве диагностических параметров выходы всех вершин граф-модели.

110 100 90

£ 80

0

1 70 §

® 60 о

Исспедоеание топологии граф-модегы объекта

? 40

X

I 30 20 10 0

0.2

1 ,-!-!- — Среднее значим«

7

я

/

/

7

V 1

_ • 1

04 06 КД

08

Рис. 2. Зависимость минимального числа точек контроля, необходимых для обеспечения одноразличимости одиночных дефектов, от коэффициента достижимости для одновходовых граф-моделей, состоящих из 100 вершин

Рис. 3. Зависимость минимального числа точек контроля, необходимых для обеспечения одноразличимости одиночных дефектов, от коэффициента достижимости для одно-, двух-, трёхи четырёхвходовых граф-моделей, состоящих из 100 вершин

Рассмотрим предельный случай, когда необходимо определить одноразличимость всех одиночных дефектов, т.е. КГП =1. С помощью разработанного программного обеспечения было проведено моделирование для графов различных структур с числом вершин n = 100 —1000, построены зависимости минимального числа назначаемых точек контроля для обеспечения одноразличимости дефектов от топологии объекта, характеризуемой коэффициентом достижимости (рис. 2, рис. 3).

Таким образом, на начальном этапе проектирования объекта с учетом обеспечения его контролепригодности можно определить требуемое количество контрольных точек для различимости дефектов, а также оценить затраты, связанные с их реализацией. Если прогнозируются значительные затраты, связанные с обеспечением контролепригодности, и возможна модификация объекта, следует оптимизировать структуру объекта для снижения затрат, связанных с назначением и реализацией необходимой совокупности диагностических параметров.

Библиографический список

1. Соколова, Э.С. Адаптация генетических алгоритмов к решению задач назначения точек контроля в объектах с большим числом состояний / Э.С. Соколова, С.Н. Капранов, Д.В. Дмитриев // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2007. №11. С. 59-64.

2. Соколова, Э.С. Разработка алгоритма локализации дефектов на назначенной совокупности контрольных точек / Э.С. Соколова, М.А. Степаненко // Контроль. Диагностика. 2006. №9. C. 41-44.

Дата поступления в редакцию 20 .01.2011

S.N. Kapranov, O.P. Timofeeva

EXPENSES PREDICTION OF CONTROLLABILITY SUPPORT USING CRITERION OF GRAPH MODEL REACHABILITY COEFFICIENT

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.Y. Alexeev

Influence of topology of graph-model of investigating object to a cardinal number of diagnostic information for check and diagnostics of states.

Key words: diagnostics, controllability, resolution of search, reachability coefficient.