Научная статья на тему 'Прогнозирование величины случайных забойных грузопотоков угольных шахт'

Прогнозирование величины случайных забойных грузопотоков угольных шахт Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
132
61
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: УГОЛЬНЫЕ ШАХТЫ / ГРУЗОПОТОК

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Дьяченко В. П.

Предложена расширенная система вероятностных характеристик грузопотоков для их описания и прогнозирования. Изложенные результаты предлагается использовать при расчетах машин непрерывного транспорта, промежуточных бункеров и систем их автоматизации.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Прогнозирование величины случайных забойных грузопотоков угольных шахт»

В.П. Дьяченко

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫХ ЗАБОЙНЫХ ГРУЗОПОТОКОВ УГОЛЬНЫХ ШАХТ

Предложена расширенная система вероятностных характеристик грузопотоков для их описания и прогнозирования. Изложенные результатыг предлагается использовать при расчетах машин непрерывного транспорта, промежуточные бункеров и систем их автоматизации.

Ключевым слова: угольныге шахтыы грузопоток.

Гочность прогнозирования величины случайных забойных грузопотоков связана, в первую очередь, с точностью принятой модели для их описания. Общепринятое представление грузопотоков ленточных конвейеров как случайного процесса во времени [1] состоит в том, что величина грузопотока Q(t) представляется в виде произведения непрерывного случайного процесса (непрерывная составляющая) и потока импульсов единичной высоты, характеризующего интервалы поступления и отсутствия груза:

Q(t) ) = Q*(t)•ф (^. (1)

Непрерывная составляющая Q*(t) (рис. 1, а) считается гауссовским марковским процессом с нормальным законом распределения амплитуды и экспоненциальной корреляционной функцией (ГЭКП), дискретная — ф (^) (рис. 1, б) — простым пуассоновским процессом (законы распределения величины интервалов поступления и отсутствия грузопотока считаются экспоненциальными и приведены под графиком на рис. 1, б). Результирующий процесс, следовательно, также является гауссовским марковским и экспоненциально коррелированным. На графике плотности распределения амплитуды ГЭКП (рис. 1, в) перерывы в поступлении груза отражены в виде импульсной дельта-функции Дирака при Q = 0 площадью Рь соответствующей вероятности отсутствия грузопотока. Непрерывная часть грузопотока представляется усеченным нормальным распределением (см. рис. 1, в), но при расчетах используют фактически

Время, мин.

б)

ф(*)

Р (*„ ) = ехр (- Уп (п) , Р (*0 ) = ехр (- Уо 1о).

в)

Рис. 1. Представление случайного грузопотока на основе гауссовского экспоненциально коррелированного процесса: а — непрерывная составляющая грузопотока; б — дискретная составляющая грузопотока (Р (4 ), Р (^ ) — вероятности поступления и отсутствия грузопотока; %,= 1/Тп^о= 1/То, где Тп, То — среднее время, соответственно, поступления и отсутствия грузопотока); в — плотность распределения величины грузопотока (Р2—площадь под кривой, равная 1- Р1)

200

свойства неусеченного распределения, продлевая верхнюю границу величины грузопотока выше физически возможной, которая равна Q тах. Это при сильной асимметрии распределения вносит в расчеты значительную погрешность.

Однако основная неточность представления случайных забойных грузопотоков в виде ГЭКП проявляется в искажении их динамических характеристик. Ниже предложен более адекватный закон распределения амплитуды грузопотока. Покажем это на дискретной модели непрерывного грузопотока.

Графики изменения величины грузопотока, получаемые при экспериментальных измерениях или при цифровом моделировании на ЭВМ, имеют ступенчатый вид. Возможны различные способы ступенчатой аппроксимации непрерывного потока. Первый из них связан со способом экспериментального измерения, когда величина грузопотока усредняется на некоторых достаточно малых мерных интервалах времени. Получается ступенчатая функция времени с одинаковой длиной ступенек, равной мерному интервалу. Высота ступенек для ГЭКП имеет нормальное распределение. Частота повторения одинаковых по высоте ступенек подчиняется закону Пуассона. При уменьшении длины мерного интервала до нуля ступенчатый процесс сходится с непрерывным ГЭКП.

При втором способе дискретизации учитывается, что величина грузопотока измеряется с конечной точностью и принимает дискретный ряд значений. Если произвести дискретизацию процесса и по амплитуде, округляя высоту ступенек до ближайшей, кратной шагу дискретизации, и объединяя смежные ступеньки одинаковой величины, получим ступенчатый процесс со случайной длиной ступенек, имеющей экспоненциальное распределение с некоторой интенсивностью У= 1/тср (где тср — средняя длина ступеньки), который называют обобщенным телеграфным процессом Кубо-Андерсона (КАП). Он также является марковским и иногда используется для описания фактических грузопотоков. Даже гауссовский КАП не всегда при предельном переходе сходится с ГЭКП, так как представляет собой класс процессов более общего вида. Для ГЭКП коэффициент вариации величины грузопотока обратно пропорционален длине мерного интервала в степени р = 1/2. Для КАП этот показатель может принимать значения от нуля до 1/2. Общий вид и параметры КАП приведены на рис. 2.

p (т) = exp (- v т) ; v(x)=const

Рис. 2. Дискретный аналог непрерывного марковского экспоненциально коррелированного процесса — процесс Кубо-Андерсона

t

Однако все рассмотренные выше процессы (и способы представления случайной величины грузопотока) схожи по главным динамическим свойствам, а именно:

1) отдельный интервал времени (теоретически бесконечно малый) нахождения процесса на некотором уровне С до перехода на другой уровень (т.е. длина одной «ступеньки») статистически одинаков для всех возможных уровней и подчинен одному и тому же закону распределения — экспоненциальному, причем с одним и тем же параметром интенсивности V;

2) из марковского свойства процессов при этом следует, что частота, с которой появляются одни и те же уровни грузопотока, подчиняется тому же закону распределения, что и амплитуда грузопотока (например, нормальному в случае ГЭКП).

Первое из этих свойств применительно, например, к грузопотоку из забоя угольной шахты означает, что выемочная машина работает на всех возможных скоростях подачи статистически равные промежутки времени, что конечно далеко не соответствует действительности. Какие-то режимы работы для нее являются длительными и основными, а какие-то — кратковременными и вынужденными.

Второе свойство означает, что вероятность работы при определенной скорости подачи выемочной машины и частота переключения с нее на другие скорости подачи — это одно и то же, и явля-

ется следствием первого свойства. В современных условиях при повышенной мощности, производительности и надежности выемочной техники, автоматизированной передвижке крепи забой работает большую часть времени в максимальном режиме, с кратковременными отклонениями от него (хотя, возможно, и частыми). Для максимального уровня грузопотока на ступенчатом графике его колебаний длина ступеней большая, чем для кратковременных пониженных уровней.

В то же время, статистический анализ работы выемочных машин при исследовании их надежности показывает, что распределение длительностей их работы на определенном фиксированном режиме близко к экспоненциальному, но средняя их величина различна для разных режимов. Таким образом, необходимо учитывать, что интенсивность изменения V забойного грузопотока во времени зависит от его текущего уровня. Эта зависимость является самостоятельной характеристикой конкретного грузопотока, отражающей особенности его динамики.

Возможность учесть реальную динамику величины забойного грузопотока дает использование для его описания случайных процессов типа «кенгуру» (КП) [2], которые являются обобщением КАП. В работе [3] дана подробная характеристика этих процессов применительно к описанию забойных грузопотоков.

В отличие от применяемых моделей потоков, в рассматриваемом типе процессов интенсивность распределения времени пребывания процесса на различных уровнях х^) функционально связана с величиной этих уровней: у =Дх), — а не является постоянной величиной. Такие процессы так же являются марковскими с некоторым финальным распределением р(х), а плотность вероятности перехода за время dt из состояния х0 в состояние х для них определяется, как

q(x, dt/xo,0) = [1-у (хо^ ] 5(х-Хо)+ у (х) у (хо)р(х)^ / у ,

где у — средняя интенсивность переходов; 5 — дельта-функция Дирака.

Плотность q(x)= у (х)р(х)/ у — плотность вероятности распределения уровней (состояний), а величина р(х) — плотность вероятности распределения величины потока (она выше для тех состоя-

ний, которые существуют дольше — для которых у (x) меньше). Таким образом, эмпирическому определению подлежат два из приведенных выше трех распределений q(x), у (x)/ у , p(x). Корреляционная функция процесса:

X max

Е(т) = J (x - x)2 p(x)e-v(x)т dx,

о

где x — средняя величина грузопотока.

Таким образом можно описать процесс с корреляционной функцией произвольной сложности. Вид функциональной связи между средним и дисперсией, наличие которой отмечено в ряде научных работ, определяется функцией у (x). Анализ реализаций различных грузопотоков, приведенных в различных источниках, показал, что имеются грузопотоки «отнулевые», при которых выбросы до уровня xmax редки и кратковременны, и потоки «от максимума», величина которых в основном колеблется вблизи xmax. Поэтому в общем случае распределение p(x) необходимо выражать в виде:

P(x) = РД0) + P2 З^+рп^Х! - Pi - P2),

где Pi и P2 — вероятности нулевого (или другого минимального возможного) и максимального потоков; рп^) — распределение величины потока в диапазоне 0< x< xmax..

Величина q(x) также должна состоять из трех компонент: qi, q2 и q(x). Поскольку величина у (x) может принимать и бесконечно большие значения, конечной величиной является обратная ей величина T(x) — среднее время пребывания на уровне х. Распределение T(x) также состоит из трех компонент, т.к. имеет место равенство p(x)= у q(x)T(x). Непрерывную часть этих распределений предлагается описывать с помощью бета-распределения [3].

Различные виды бета-распределения по параметрам асимметрии и островершинности заполняют практически всю область существования известных законов распределения [4]. Распределение существует, как и физически возможная величина грузопотока, на конечном интервале (в отличие от нормального распределения). Если принять y=x/xmax, то плотность распределения величины у при этом имеет вид

f{у) = ^ + л! Уа~1 (1 - У)й-1, 0< У <1, (2)

А (а) + А(Ь)

где Г() — гамма-функция; а>1, Ь>1.

На рис. 3 приведены примеры кривых плотности вероятности Д(у) бета — распределения на интервале [0,1].

Для имеющих физической смысл распределений параметров материальных потоков показатели степени распределения р(х) должны быть больше показателей степени распределения q(x) хотя бы на единицу. Использование бета- распределения и для описания вероятности q дает возможность описания всех трех вероятностных характеристик предложенной выше модели грузопотока одним и тем же распределением. Различными будут только показатели степени в выражении (2).

Для суммы двух грузопотоков, при Х1тах= х2тах (для иного случая в целях краткости изложения формулы не приводятся):

р(х)=Р1(х)*р2(х);

Т(х) = (Р1*Р2)/[(Р1 у 1)*Р2+Р1*(Р2 у 2)],

где * — символ свертки функций.

С достаточно большой точностью свертка может быть представлена при показателях степени в формуле (2), равных для одного распределения а и Ь, а для второго — с и d, в виде:

f (У) * ^ (У) * С (а, Ь) • С (с, С) • уа+с-2 • (2 - у)Ь+С-2 х,

[С '(а + С, Ь + с) + £ а; (1 - у)' ],

/=1

где С(а, Ь) — отношение гамма функций в формуле (2); а 1 — коэффициенты, определяемые из условия равенства моментов распределения-свертки и приближенного распределения; п — количество моментов распределения, для которых должно быть обеспечено равенство.

Наличие коэффициента С(a+d, Ь+с) обеспечивает равенство плотности точного и приближенного распределений суммы двух потоков в центре распределения У = 1.

X

X X

Рис. 3. Форма кривых плотности вероятности бета-распределения при различных значениях его параметров [4]

Необходимо отметить, что математический анализ преобразования потоков рассмотренного типа при прохождении их через устройства с типовыми передаточными функциями не намного сложнее, чем для ГМП. Кроме того, такие потоки достаточно просто моделируются на ЭВМ.

При математических выкладках удобнее пользоваться вместо V ^) обратной величиной Т^)=1Л^ ^).

В общем случае плотности распределений Р^), q(Q), Т^)=Ш ^) выражаются однотипно в виде (рис.4):

Рис. 4. Предлагаемая форма теоретической плотности распределения величины грузопотока

рЮ)= РД0)+Р2 5^тах)+Ш)(1-Р1-Рз), (3)

где Р1 и Р3 _ вероятности минимального и максимального грузопотоков; 5^) — импульсная дельта-функция Дирака; £^) — плотность распределения величины грузопотока в диапазоне 0< Q<

Qmax•.

Превалирующий максимальный уровень грузопотока, резко выделяющийся длительностью своих временных интервалов, выделен в отдельную составляющую и отражен, как и нулевой уровень, на графике плотности вероятности соответствующей дельтафункцией площадью Р3 (см. рис. 4). Это повышает точность описания величины грузопотока и его прогнозирования. Заметим, что благодаря особым свойствам дельта-функций, их наличие в выражении для плотности вероятности не мешает однотипности выражений для всех трех вероятностных характеристик грузопотока.

Заметим, что все указанные выше характеристики случайного грузопотока можно получить из имеющихся экспериментальных данных. Просто раньше при их статистической обработке эта информация не извлекалась.

---------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шахмейстер Л.Г., Дмитриев В.Г. Вероятностные методы расчета транспортирующих машин. — М.: Машиностроение, 1983. — 256 с.

2. Brissaud A., Frisch U. Solving linear stochastic differential equations. — J. of Math. Phys., 1974, № 5, p. 524-534.

3. Дьяченко В.П. Моделирование работы конвейерных транспортных линий/ Горный информационно-аналитический бюллетень, 2006, №12. — М.: МГГУ, с. 195-196.

4. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. — М.: Мир, 1969. — 395 с. \£Ш

Dyachenko V.P.

FORECASTING OF THE PROBABLE MINERAL STREAM

BY COAL — PITS

A review of the prognostic models of the mineral stream by coal-pits and new mathematical pattern is done. Characteristic features of these models in mutual relationship and also their connection to the mine practice are analysed. Mutual incompatibilities and contradictions in this field are pointed out. Additionally, the maximum of stream rate is considered in relation to the designed conveyor capacity.

Коротко об авторе

Дьяченко В.П. — кандидат технических наук, доцент, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.