CC BY
378
УДК 627-01
В.Ю. Королев, Е.В. Арефьева, Ю.С. Нефедова, А.В. Рыбаков, Р.Л. Лазовский ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РИСКОВ НАВОДНЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОЦЕНИВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРЕВЫШЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ В НЕОДНОРОДНЫХ
ПОТОКАХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СОБЫТИЙ
В статье рассматривается задача прогнозирования рисков наводнений на основе метода оценивания вероятностей превышения критических значений в неоднородных потоках экстремальных событий. Метод основан на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределённых случайных величин и теории Балкемы-Пикандса-Де Хаана. Рассмотрена конструкция, в рамках которой в качестве предельного распределения геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин возникает распределение Вейбулла-Гнеденко. Эффективность применения метода иллюстрируется на примере его применения к прогнозированию рисков наводнений в Санкт-Петербурге.
Ключевые слова: чрезвычайная ситуация; наводнение; катастрофическое наводнение; экстремальное событие; случайная сумма; геометрическая сумма; закон больших чисел; распределение Вейбулла-Гнеденко; теорема Балкемы-Пикандса-Де Хаана; обобщенное распределение Парето.
V. Korolev, Е. Arefyeva, U. Nefyedova, А. Rybakov, R. Lazovsky
FORECASTING OF RISKS OF FLOODS ON THE GROUND OF METHOD OF ESTIMATING OF PROBABILITIES OF EXCEEDING OF CRITICAL VALUES WITHIN NON-ORDINARY
STREAMS OF EXTREME EVENTS
This article reviews the target of forecasting of risks of floods on the basis of the method of estimating of probabilities of exceeding of critical values within non-ordinary streams of extreme events. This method is based on limit theorem for geometrical accidental sums of independent unequal allocated random quantities and the Pickands-Balkema-de Haan theorem. It is studded the construction within which the Weibull-Gnedenko distribution appeals as marginal distribution of geometrical accidental sums of independent unequal allocated random quantities. The effectiveness of this method is illustrated on the example offorecasting of risks offloods in Saint-Petersburg.
Keywords: emergency; flood; catastrophic flood; extreme events; random quantities; geometrical sum; the law of big numbers; the Weibull-Gnedenko distribution; the Pickands-Balkema-de Haan theorem; Pareto distribution.
Введение.
В России среднегодовой ущерб от наводнений оценивается примерно в 40 млрд. долларов. Затоплению в результате наводнений подвержены более 500 тыс. кв километров, включая около 300 городов, десятки тысяч населённых пунктов, более 7 млн га сельхозугодий. Катастрофические наводнения в Крымске (2012), на Дальнем Востоке (2013) и др. заставляют пересмотреть существующие подходы прогнозирования рисков катастроф для получения более надёжных оценок
параметров экстремальных событий [1]. Возникла практическая необходимость в разработке специальных прикладных методов определения и прогнозирования риска и других статистических параметров экстремальных чрезвычайных ситуаций. Так, в работе [2] приводятся результаты классической асимптотической теории вероятностей экстремальных значений для прогнозирования рисков экстремальных чрезвычайных ситуаций и показано применение методов обработки статистических данных о ЧС с использованием графических способов построения квантиль-диаграмм. В работе также вводится понятие статистического критерия экстремальной чрезвычайной ситуации. Основная идея метода установления статистического критерия экстремальной чрезвычайной ситуации основана на исследовании квазилинейных участков на квантиль-диаграммах и областей нелинейности. Показано, что прикладные возможности асимптотической теории вероятностей экстремальных значений достаточно перспективны в области прогнозирования риска ЧС [2].
Существуют также подходы повышения точности прогнозных расчётов катастрофических наводнений, т. е. превышений критических уровней воды, за счёт совместного анализа метеорологических и гидрологических рядов наблюдений, учёта особенностей регионального генезиса максимального паводка, позволяющие установить общие закономерности, присущие величинам максимальных стоков и атмосферным осадкам [3]. Традиционно в гидрологии при статистическом анализе экстремальных событий используется их частотное представление и изучается динамика изменений этих частот, в то время, как важным представляется исследование и анализ вероятностного распределения экстремальных событий [4]. Как правило, прогноз строится на экстраполяции эмпирических кривых распределения, полученных по короткому ряду экстремальных превышений, в область малых обеспеченностей, что может приводить к большим погрешностям [2]. Одним из важнейших прикладных аспектов прогнозирования катастрофических наводнений является метод получения оценок в области больших значений, имеющих малую вероятность превышения, т. е. поведение распределения в его хвостовой части. Для решения прогнозных задач в гидрологической практике используются обобщенное распределение Парето (GPD) и обобщённое распределение экстремумов ^ЕУ) [4, 5]. Рассматривается выборка независимых, одинаково распределённых случайных величин £1, £2,■■■, £п . Максимум первых п этой выборки обозначим через Мп.
Мп.=шзх(£ь £2,■■■, £п). Функция распределения для Мп определяется в виде:
Р(Мп<х)=Р(£1 <Х, £2<х,..., £п<х)= X).
Далее в предположении, что подобрав числовые последовательности ап > 0, Ьп п=1,2,... так что, последовательность случайных величин {(Мп-Ьп)/ ап} сходится по распределению к некоторой невырожденной случайной величине, т. е. имеет невырожденную предельную функцию распределения, одну из трёх форм т. н. максимум-устойчивых экстремальных распределений [2]. Применение этих распределений в гидрологической практике выполняется для независимых одинаково распределённых экстремальных превышений значений гидрологических параметров (максимальный сток ливневых вод, экстремальные превышения уровней водоёмов в результате паводков и экстремальных осадков), что подробно рассмотрено в работах [4, 5].
В данной статье рассматривается задача прогнозирования вероятностных характеристик катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий на основе метода, разработанного в работах [1, 6-10] и показано его применение для прогноза экстремальных наводнений в Санкт-Петербурге.
Рассматривается задача прогнозирования распределения случайного процесса (превышения уровня воды в реке над фоновым значением) в те или иные моменты времени, т. е. задача прогнозирования его статистических свойств. Будем рассматривать не все изменения случайного процесса, а лишь такие, величина которых превышает некоторый потенциально опасный порог.
Будем говорить, что моменты превышений изменениями случайного процесса потенциально опасного порога в совокупности с самими значениями этих превышений образуют экстремальный случайный процесс. Другими словами, экстремальным процессом будем называть маркированный точечный процесс {(тг, Хг)}^, где (тг}г1,1 - точечный случайный процесс, а (Хг}г1,1 - случайные величины. Далее по смыслу задачи будет предполагаться, что Х1 > 0, г = 1,2,...
Среди всех превышений случайным процессом потенциально опасного порога лишь некоторые очень большие влекут катастрофические последствия. Поэтому наряду с потенциально опасным порогом рассмотрим критический порог, превышение которого экстремальным процессом и будем считать катастрофой.
Для удобства точку отсчёта (нуль временной шкалы) поместим в то время, которое будем считать «настоящим». Тем самым «настоящее» характеризуется значением ? = 0. Поскольку по условию экстремальный процесс считается случайным, то нельзя точно предсказать момент наступления очередной катастрофы. Однако можно вычислить или оценить вероятности наступления катастрофы в течение некоторого интервала времени [0,т), где т > 0. Если Т -момент наступления катастрофы, то событие «катастрофа наступила в течение интервала времени [0,т) » эквивалентно тому, что Т <т . В качестве исходных данных будем использовать информацию
о развитии экстремального процесса на некотором интервале времени р0,11] , где (0< 11< 0 . Простейшее (примитивное) решение задачи об отыскании вероятности наступления катастрофы в течение интервала времени [0,т) при условии т < ^ — ?0 выглядит так.
Разобьем интервал времени р0, на непересекающиеся подынтервалы длиной т. Пусть внутри интервала [10, ^ ] поместилось N подынтервалов длиной т. Подсчитаем количество подынтервалов, внутри каждого из которых наступила хотя бы одна катастрофа. Пусть таких подынтервалов оказалось ровно пт. Тогда для вероятности наступления катастрофы в течение интервала времени [0,т) справедлива оценка
п
Р(Т < т) «
основанная на классическом определении вероятности как (предела) частоты. Недостатки такой оценки очевидны. Например, п просто может оказаться равным нулю, что даёт тривиально оптимистичную оценку. Далее, и N, и щ могут быть (и, как правило, являются) слишком маленькими, чтобы обеспечить приемлемую точность оценки.
Метод прогнозирования вероятностей катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий.
В данной статье описан метод, свободный от указанных недостатков, его особенность заключается в том, что для прогноза возможности наступления катастроф, не обязательно иметь статистику самих катастроф.
Простейший вариант этого метода описан в работах [1, 6, 7] и книгах [8, 9], где предполагалось, что экстремальный процесс является маркированным процессом восстановления, а именно, в указанных работах предполагалось, что моменты тг,т2,... превышений исходным процессом потенциально опасного порога образуют процесс восстановления. Это означает, что случайные величины
С = -V;, i = 1,2,..., г0 = 0, (2)
независимы и имеют одинаковое распределение, то есть подчиняются одним и тем же статистическим закономерностям. Другими словами, интенсивность потока экстремальных событий считалась постоянной. В то же время в реальных сложных природно-техногенных системах, которые подавляющем большинстве случаев не являются информационно и/или энергетически замкнутыми и подвержены влиянию внешней среды, интенсивности потоков информативных событий не являются постоянными.
Отказ от предположения о постоянстве интенсивности потока экстремальных событий естественно приводит к необходимости предположить, что случайные величины (2) имеют неодинаковое распределение. Такое обобщение методов, предложенных в работах [6-9], рассмотрено в статье [11]. Суть метода, описанного в [11], заключается в следующем.
Обозначим величину превышения исходным процессом потенциально опасного порога в момент т1 символом Х1, 1= 1,2,. Будем считать что Х1: Х2,... - независимые и одинаково распределенные случайные величины. Это означает, что значения этих случайных величин подчиняются одним и тем же статистическим закономерностям, характеризуемым функцией распределения ¥(х) = Р(Х,< х), - <х> < х < <х>, i = 1,2... Будем считать, что последовательность Х1, Х2, ... статистически независима от последовательности тг ,т2,...
Пусть х0 - критический порог, превышение которого значением Х1 и есть катастрофа (то есть катастрофическое событие формально записывается в виде неравенства Х1 > х0).
Очевидно, что время Т наступления катастрофы (то есть время первого превышения уровня х0 какой-либо из величин Х;) можно представить в виде геометрической случайной суммы
N
Т = (3)
1=1
где случайные величины ^ определены соотношением (2), а N - это случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром Р(Xi < х0) = ¥(х0). Это означает, что
Р(N = к) = {р(х0))к 1 {1 — Е(х0}), к = 1,2,. При этом в силу независимости последовательностей Х1, Х2, ... и ,т2,... число N слагаемых в сумме (3) независимо от самих слагаемых ,... При этом принципиальным отличием геометрических случайных сумм, рассматриваемых здесь, от геометрических сумм в традиционном понимании (см., например, [12, 13]) является то, что в данном случае слагаемые имеют неодинаковое распределение, тогда как в указанных классических книгах изучались геометрические суммы одинаково распределённых слагаемых и, соответственно, использовались методы, ориентированные именно на такую ситуацию.
В рамках подхода, рассматриваемого в данной статье, краеугольными камнями являются два теоретических результата. Первый из них - версия закона больших чисел для случайных сумм, неодинаково распределённых случайных величин (теорема 1 ниже), обосновывающая использование
распределения Вейбулла-Гнеденко в качестве модели распределения интервалов времени между катастрофами. Второй - теорема Балкема-Пикандса-Де Хаана (теорема 2 ниже), обосновывающая использование обобщённого распределения Парето в качестве модели распределения критических значений неблагоприятного фактора. Эти два общих результата являются основой предлагаемого метода.
Вспомогательные результаты
Пусть ^, , ... - необязательно одинаково распределённые случайные величины. Для каждого натурального п > 1 положим Бп =^1 + Е,2 +... + . Рассмотрим последовательность целочисленных неотрицательных случайных величин (Ып}п>1 и будем считать, что при каждом п случайные величины Ып, ^, , ... независимы в совокупности. Более того, предположим, что
N ^ ю по вероятности при п ^ю . (4)
Условие (4) означает, что Р(Ып < т) ^ 0 при п ^ ю для любого т > 0. Везде далее символ ^ будет обозначать сходимость по распределению.
Лемма 1. Пусть для некоторой последовательности положительных чисел (Ъп}п>1 выполнены условия Ъп ^ ю при п ^ ю и
£
—п ^ 1 п (5)
ъп . (5)
Предположим, что выполнено условие (4). Для того чтобы при п ^ ю имела место сходимость случайных сумм , нормированных некоторой последовательностью положительных
чисел такой, что ^ при п ^ю, к некоторой случайной величине Z :
1 * п
1 (6)
необходимо и достаточно, чтобы
ЪЫ
Ып ^ 1 п ^ ю (7)
п
Замечание 1. В силу вырожденности распределения предельной случайной величины в (5) сходимость по распределению (5) оказывается эквивалентной сходимости по вероятности: для любого е > 0
\
Г
1т Р
п^ю
V
—1
Ъ
>е
= 0.
которую иногда легче проверять.
Доказательство леммы 1 приведено в статье [14].
Замечание 2. Лемма 1 является версией закона больших чисел для случайных сумм. Согласно классическим законам больших чисел при увеличении числа слагаемых в рассматриваемых «средних арифметических» информация о конкретном виде распределений слагаемых затухает, стягиваясь в информацию об одном лишь числе. Точно такой же эффект наблюдается в лемме 1: при рассмотрении «случайных средних арифметических» информация о распределениях слагаемых затухает, так что предельное распределение «случайного среднего арифметического» определяется
видом предельного распределения для случайного индекса (числа слагаемых в сумме) при надлежащей нормировке.
Для общности пусть хи = х0п - (возрастающая) последовательность критических порогов такая, что
pn = 1 —F(хп) ^0 (п ^ъ) . (8)
Тогда в данном случае случайная величина N = N имеет геометрическое распределение с параметром = 1 — pn . При этом условие (8) гарантирует выполнение условия (4). Более того, ENn = p—1 и, как хорошо известно,
lim supP{pnNn > y) — e~y = 0 . (9)
y>0 1 V '
Предположим, что постоянные bn, обеспечивающие выполнение условия (5), имеют вид bn = bnr при некоторых b > 0 и у> 0 . При этом значения у > 1 соответствуют той ситуации, когда случайные величины ^ «в среднем» возрастают, то есть экстремальные события происходят всё реже и реже, значения у < 1 соответствуют той ситуации, когда случайные величины ^ «в среднем» убывают, то есть экстремальные события происходят всё чаще и чаще, а значение у = 1 соответствует той ситуации, когда интенсивность потока экстремальных событий «в среднем» постоянна, например в поведении интенсивности наблюдаются проявления цикличности, причём периоды изменения интенсивности заметно меньше периода фиксации наблюдений.
Теперь выберем нормирующие постоянные dn так, чтобы геометрическая случайная сумма SN имела нетривиальное предельное распределение. Из леммы 1 вытекает, что если с учётом
выбранной формы постоянных Ъп и соотношения (7) постоянные dn выбрать в виде d„ = bp—y, то для любого y > 0
f b \ lim P < y
^ dn
= lim p[{pnNn )у < y)= lim p{pnNn < y1 у)= 1 — exp\— y1 у}.
При этом согласно лемме 1 такое же распределение Вейбулла-Гнеденко с показателем 1/ у является предельным и для геометрической случайной суммы независимых неодинаково распределённых случайных величин , причём в силу непрерывности предельного распределения
Вейбулла-Гнеденко сходимость (6) равномерна по х е Ш . Оформим сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 1. Предположим, что случайная величина N имеет геометрическое распределение с параметром рп, причём рп ^ <х> при п . Предположим, что существуют конечные у > 0 и Ь > 0 такие, что
1 (n ).
bn Тогда
limsup p{vySN > bx)— exp|— x1 у\ = 0 .
Описание метода
Итак, учитывая сделанные предположения о нормирующих постоянных, можно заключить, что при достаточно больших значениях х0
P{T < t )* 1 - exp\-[l - F(Xo)íj
1/у
t > 0
Применение описываемого метода вычисления временных характеристик катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий заключается в следующем. Пусть е е(0,1) -произвольное число. Решение уравнения Р(Т < г) = е относительно г обозначим г(е). Если распределение случайной величины Т имеет вид (10), то, очевидно,
t(s) = b
ln(1 -е) F(xo) -1
Смысл значения t(e) - это то время, вероятность наступления катастрофы до которого равна е . Из соображений здравого смысла, особый интерес представляют значения е , близкие к нулю (соответствующее значение t(e) - это то время, до которого катастрофа, скорее всего, не наступит), близкие к единице (соответствующее значение t(e) - это то время, до которого катастрофа, скорее всего, наступит), а также е = 1/2 (соответствующее значение tQ/ 2) - это «среднее» время до наступления катастрофы).
Особо следует сказать, что при прогнозировании «среднего» или «ожидаемого» времени до катастрофы можно использовать как медиану t(1 / 2) случайной величины T , которая определяется как решение уравнения
1 - expj-[1 - F(Xo)Í^~
1/у^
1
2
относительно t и, очевидно, равна
t( 1/2) = b
ln2
1 - F(Xo)
так и математическое ожидание
ET =
ЬГ(1 + у)
[1 — Р(х0)\ •
При этом необходимо отметить, что, например, в случае у = 1 медиана г(]/ 2) случайной величины Т почти в полтора раза (точнее, в (1п2~) 1 раз) меньше математического ожидания ЕТ .
При этом параметры Ъ и у легко оценить методом наименьших квадратов. Предположим, что в нашем распоряжении имеется выборка Z1,Z2,...,Zn предыдущих значений Г.
случайных величин г . Нормирующая функция Ъ = Ъку параметра к имеет смысл тренда, или основной тенденции поведения реализации Як = Z1 +... + Zk случайной функции . С целью
у
у
линеаризации регрессионной задачи прологарифмируем Ьк и Як, обозначим ( = logb и получим приближённые равенства
logRk ъfi + ylogк, к = 1,...п, (11)
в правой части которых стоят линейные функции параметров ( и ( . Используя стандартный метод наименьших квадратов оценивания параметров линейной регрессии (11), получим оценки
у ~ у - n^kjl0gk ' l°gRk 1 ~ l°gn! St=i
n^Jlogk)2 — (logn!)2
b = exp{/} « exp^l t^l=]l°gRk — f l°gn!fj .
Чтобы получить оценку величины 1 — F(x0) , необходимо построить разумную и адекватную параметрическую математическую модель (приближение) для функции F(x) . С этой целью
используем метод построения асимптотических аппроксимаций для F(x) при больших x0, основанный на теореме Балкема-Пикандса-Де Хаана и называемый методом превышений порога (POT-метод, POT = Peaks Over Threshold).
Пусть случайная величина £ имеет функцию распределения F(x) . В рамках рассматриваемого метода прогнозирования катастроф как превышений экстремальным процессом критических уровней большой интерес представляет описание функции Fu(y) = Р(£ — u < y\£ > u),
условного распределения превышения случайной величиной £ некоторого (большого) порога u , 0 < y < xp — u, где y = x — u - превышение порога и x^. = sup{x e Ш : F(x) < 1} <<x>. Функция этого
условного распределения Fu может быть выражена через F :
FfY) = F(u + y) — F(u) _ F(x) — F(u) u 1 — F(u) 1—F(u) '
Если порог u достаточно велик, то большинство реализаций случайной величины £ лежит между 0 и u, так что оценить F в этом промежутке несложно. Но оценить Fu проблематично, так как соответствующих наблюдений мало. На помощь приходит следующая теорема.
Теорема 2 [15, 16]. Функция распределения F принадлежит области тах-притяжения распределения, предельного для экстремальных значений, тогда и только тогда, когда существует измеримая функция o(u) > 0, такая, что
lim SuP \Fu(y) — GS,a(u)(y)\= 0'
u *xF 0<y<xF —u
где
( s v"5
/ ) 1 —11 + -y| , 0,
GS,a(y) = 1 l О )
1 — e -y/ 0,5 = 0.
- функция обобщенного распределения Парето.
Условиям теоремы удовлетворяет большинство используемых на практике распределений. Параметр 8 показывает, насколько тяжёл хвост: чем больше 8, тем тяжелее хвост.
Применение метода к прогнозированию вероятностных характеристик наводнений
Описанный выше метод был применён к прогнозированию вероятностных характеристик наводнений в Санкт-Петербурге на основе данных, опубликованных на сайте http://www.nevariver.ru/flood Ий^р, где приведён полный хронологический список наводнений в Санкт-Петербурге (Петрограде, Ленинграде), начиная с 1060 года [17,18,19]. Причинами наводнений в Санкт-Петербурге являются ветровые нагоны и циклоны с преобладанием западных ветров, которые вызывают нагонную волну, направляющуюся в устье реки Невы и вызывая подъем уровня воды в ней. Высота подъёма воды в Неве определяется относительно нуля Кронштадтского футштока (соответствует среднему уровню воды Балтийского моря у Кронштадта). Наводнением в Петербурге считается подъём воды выше 160 см над нулём Кронштадтского футштока. Катастрофическим наводнением считается подъём воды выше 300 см над нулём Кронштадтского футштока. Согласно указанному выше источнику за весь период наблюдений (а это более 950 лет) зафиксировано 5 катастрофически сильных наводнений: в 1062 г. (450 см), в 1691 г. (329 см), в 1777 г. (321 см), в 1824 г. (421 см) и в 1924 г. (380 см). Для удобства все данные из указанного списка сведены в диаграмму, приведённую на рис. 1.
Рис. 1. Данные об уровнях подъема воды в Неве над нулем Кронштадтского футштока.
Применяя «частотную» оценку, получаем, что наводнения с превышением нуля Кронштадтского футштока более 400 см происходят в среднем примерно один раз в 750 лет, а наводнения с превышением нуля Кронштадтского футштока более 300 см происходят в среднем один раз в 200 лет. Но, эта оценка слишком груба, поскольку объём выборки - число интервалов времени между соответствующими наводнениями - очень мал (один интервал для превышений более 400 см и четыре интервала для превышений более 300 см).
При внимательном анализе участка исходных данных, относящегося к периоду 1703-1775 гг. (рис. 1), можно обнаружить, что эти данные сильно округлены, что проявляется в наличии на этом участке двух базовых уровней, так что адекватность этих данных вызывает большие сомнения. Поэтому, чтобы использовать более-менее адекватные данные, вызывающие большее доверие, при
численном анализе те наблюдения, которые относятся к периоду до 1775 года, были отброшены. При этом для оценивания параметров распределения Парето использовались данные двух типов: выборка тех наблюдений, которые превышают в = 160 см и выборка тех наблюдений, которые превышают в = 200см. При этом ясно, что вторая выборка является подвыборкой первой.
Сначала рассматривался порог в = 160см. В таком случае получились следующие оценки максимального правдоподобия параметров обобщённого распределения Парето: параметр формы 3 = 0,0414845; параметр масштаба с = 29,8881; параметр сдвига в = 160.
Оценки наименьших квадратов для параметров Ь и у оказались равными Ь » 2218,3 дней » 6,07 лет, у = 0,6290.
Гистограмма и плотность распределения Парето, подогнанного к полным данным начиная с 1775 г. с порогом в = 160см изображены на рис. 2 слева, а соответствующая кривая у(к) = Ьку, подогнанная к Я(к) по тем же данным изображена на рис. 2 справа.
200 250 300 350 400
Рис. 2. Плотность распределения Парето, подогнанного к данным начиная с 1775 г. с порогом в = 160 см (слева) и кривая у(к) = Ьку, подогнанная к Я(к) по тем же данным (справа)
В табл. 1 приведены значения 1(е) - времени, вероятность наступления катастрофы до которого равна е .
Таблица 1
Значения 1(е) (данные после 1775 г., исходный порог в = 160см)
е = 0,001 е = 0,999 е = 0,5
X 0 дни годы дни годы дни Годы
190 53 0,145 13886 38,04 3270 8,96
200 65 0,178 16973 46,50 3997 10,95
250 172 0,471 44572 122,11 10496 28,76
280 298 0,816 77341 211,89 18212 49,90
300 425 1,164 110480 302,68 26014 71,27
320 602 1,65 156520 428,82 36856 100,98
380 1636 4,48 425280 1165,15 100140 274,36
400 2251 6,17 585110 1603,04 137780 377,48
Наконец, метод был применён к данным, цензурированным порогом в = 200см. Использование более высокого исходного порога более привлекательно, так как позволяет надеяться на большую точность аппроксимации эмпирического распределения превышений обобщённым
распределением Парето. Однако при этом уменьшается объем доступных наблюдений, что может привести к потере точности. Поэтому окончательный вывод о том, на каких наблюдениях целесообразно основывать вывод, остается за исследователем. Итак, для исходного порога в = 200 см были получены следующие оценки максимального правдоподобия параметров
обобщённого распределения Парето:
параметр формы 8 = 0,0506852; параметр масштаба а = 30,3115; параметр сдвига в = 200.
Оценки наименьших квадратов для параметров Ь и у оказались равными Ь ~ 5064,5 ~ 13,88 лет, у = 0,6292.
Рис. 3. Плотность распределения Парето, подогнанного к данным начиная с 1775 г. с порогом в = 200см (слева) и кривая у(к) = Ьку, подогнанная к Щк) по тем же данным (справа)
В таблице 2 приведены значения 1(е) - времени, вероятность наступления катастрофы до которого равна е .
Таблица 2
Значения 1(е) (данные после 1775 г., исходный порог в = 200).
е = 0,001 е = 0,999 е = 0,5
Х0 дни года дни годы дни Годы
250 178 0,49 46288 126,82 10896 29,85
280 312 0,85 81176 222,40 19108 52,35
300 447 1,22 116450 319,04 27411 75,10
320 653 1,74 165360 453,04 38924 106,64
380 1721 4,72 447780 1226,79 105400 288,77
400 2358 6,46 613610 1681,12 144440 395,73
Можно заметить, что результаты, приведённые в табл. 1 и 2, довольно похожи, что свидетельствует об определённой устойчивости метода. При этом, основываясь на данных, полученных после 1775 г., можно сделать вывод о том, что распределение интервалов времени между катастрофическими подъёмами уровня воды не является показательным, а хорошо аппроксимируется распределением Вейбулла с параметром формы, примерно равным 0,6 ^ 0,7, что свидетельствует о постепенном уменьшении интервалов между наводнениями.
Описанный метод, в частности, позволяет рассчитать риски затопления с помощью условного распределения интервала времени до следующего катастрофического подъема уровня воды в Неве, при условии, что мы знаем, когда было предыдущее аналогичное наводнение. Например, последнее по времени наводнение с превышением уровня 350 см зафиксировано в 1924 г., то есть ; = 90 лет « 32850дней назад. Используя оценки параметров распределения Парето, полученные в третьем и четвёртом случаях, можно вычислить значения условной функции распределения
ад = Р(Т > X + ;\ Т >;) = вхр\-[1 - ¥(х0)\
t + ;
1/у
1/у
х > 0.
времени ожидания следующего катастрофического наводнения с х0 = 350, Ь ~ 2220, у ~ 0,63, ; ~ 32850. Результаты таких вычислений приведены на рис. 4.
т
Ь
Рис. 4. Дополнительная условная функция распределения времени до следующего наводнения с уровнем более 350 см при условии, что предыдущее такое наводнение было 90 лет назад. По оси абсцисс откладывается
время в годах
Как видно из этого рисунка, с учётом информации о том, что предыдущее катастрофическое (с уровнем более 350 см) наводнение было 90 лет назад, вероятностный прогноз уточняется: условная медиана этого распределения (то есть «среднее» время) до следующего такого наводнения чуть больше 110 лет. Аналогичные графики можно построить и для других уровней.
На основе выполненного прогноза вероятностного превышения критических значений уровней воды в реке Нева осуществляется планирование, финансирование, организация защитных, предупредительных и иных мероприятий для смягчения последствий возможных затоплений и подтоплений территории и объектов экономики Санкт-Петербурга [20]. Разрабатывается сценарное прогнозирование зон затопления и определяются объекты, попадающие в эту зону в результате подъёма уровня воды в реке (как правило, по пессимистичному сценарию), оценивается предполагаемый ущерб и вырабатываются меры по его снижению. Расчёт зон затопления как в результате наводнений, так и аварий в случае прорыва гидротехнических сооружений выполнен по соответствующим методикам [21].
Таблица 3
Данные по возможным ущербам и пострадавшим в результате наводнений и паводков в Санкт-Петербурге [20]
№ Подъем Число Площадь Площадь Население в Ущерб,
п/п уровня затопляемых затопления, жилого сектора зонах млн руб
р. Нева, объектов 2 км в зонах затопления,
см экономики затопления, км2 тыс. чел
1 200 16 11,96 1,7 80 40,4
2 300 48 14,3 2,3 109 213,2
3 400 80 19,5 3,3 146,8 693.3
Заключение
Представленные в статье задачи прогнозирования рисков экстремальных событий на основе использования метода, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределённых случайных величин и теории Балкемы-Пикандса-Де Хаана и получения распределения Вейбулла-Гнеденко как предельного распределения для рассматриваемых случайных величин, позволяют получать более адекватные оценки статистических параметров экстремальных событий. Приведённый в работах Королева В.Ю. ([1], [8], [9]) метод позволяет оценить вероятность наступления катастрофического события, выполнять прогнозы редких экстремальных событий, не обязательно основываясь на статистике самих этих катастрофических событий. При этом случайные величины имеют не обязательно одинаковое распределение, что является существенным моментом, повышающим адекватность прогнозирования рисков.
Метод может найти широкое применение в прогнозировании рисков экстремальных чрезвычайных ситуаций как природного, так и техногенного характера.
Литература
1. Королев В.Ю., Соколов И.А. Некоторые вопросы анализа катастрофических рисков, связанных с неоднородными потоками экстремальных событий // Системы и средства информатики. Спец. вып. Математические методы и модели информатики. Стохастические технологии и системы. -М.: ИПИ РАН, 2005. С. 109-125.
2. Быков А.А. Приложения асимптотической теории вероятностей экстремальных значений к прогнозированию риска экстремальных чрезвычайных ситуаций. - Стратегия гражданской защиты: проблемы и исследования. Т. 2, 2012, № 1 (2).- С. 53-63.
3. Болгов М.В., Иванько Я.М. Применение метода совместного анализа к задаче районирования параметров максимального стока .// Водные ресурсы. 1988.№ 5. С.47-51.
4. Embrechts P., Kluppelberg C., Mokosh T. Modeling Extrem Events.Berlin: Springer, 1977. 645 p.
5. Moon Y., Lall U., Bosworth K. A comparision of tail probability estimators for flood frequency analysis.//! of Hydrology, №151, 1993, p.343-363.
6. Королев В.Ю., Соколов И.А., Гордеев А.С., Григорьева М. Е., Попов С.В., Чебоненко Н.А. Некоторые методы анализа временных характеристики катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Системы и средства информатики. Спец. вып. Математические методы в информационных технологиях. - М.: ИПИ РАН, 2006. С. 5-23.
7. Королев В.Ю., Соколов И.А., Гордеев А.С., Григорьева М.Е., Попов С.В., Чебоненко Н. А. Некоторые методы прогнозирования временных характеристик рисков, связанных с катастрофическими событиями // Актуарий, 2007. № 1. С. 34-40.
8. Королев В.Ю., Соколов И.А. Математические модели неоднородных потоков экстремальных событий. - М.: Торус Пресс, 2008. 200 с.
9. Королев В. Ю., Шоргин С. Я. Математические методы анализа стохастической структуры информационных потоков. - М.: ИПИ РАН, 2011. 130 с.
10. Королев В. Ю., Черток А. В., Корчагин А. Ю., Горшенин А. К. Вероятностно-статистическое моделирование информационных потоков в сложных финансовых системах на основе высокочастотных данных // Информатика и её применения, 2013. Т. 7. Вып. 1. С. 12-21.
11. Григорьева М. Е., Королев В. Ю., Соколов И. А. Предельная теорема для геометрических сумм независимых неодинаково распределённых случайных величин и её применение к прогнозированию вероятности катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Информатика и её применения, 2013. Т. 7. Вып. 4. С. 66-74.
12. Kalashnikov V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1997. 288 p.
13. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 620 с.
14. Королев В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. I // Теория вероятностей и ее применения, 1994. Т. 39. Вып. 2. С. 313-333.
15. Balkema A., de Haan L. Residual life time at great age // Annals of Probability, 1974. Vol. 2. P. 792-804.
16. Pickands J. Statistical inference using extreme order statistics // Annals of Statistics, 1975. Vol. 3. P. 119131.
17. Каратыгин П.П. Летопись петербургских наводнений 1703 -1879 гг. - Санкт-Петербург: тип. А. С. Суворина, 1888.
18. Нежиховский Р. А. Река Нева и Невская губа. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
19. Померанец К. С. Три века петербургских наводнений. - Санкт-Петербург: «Искусство-СПБ»,
20. Арефьева Е.В., Мухин В.И., Рыбаков А.В. Сценарный подход при прогнозе затопления застроенных территорий в результате наводнений и паводков (на примере города Санкт-Петербурга).-Тез. XV Междунар. научно-практ.конф.по проблемам защиты населения и территорий от ЧС. 18-20 мая 2010. -М.,2010.- С.15.
21. Арефьева Е.В., Рыбаков А.В., Конопак А.Е. Методика расчета зон затопления территорий в случае прорыва гидротехнических сооружений.-2-й междунар. научно-практич. семинар «"Водоснабжение и водоотведение мегаполиса» -М.: МГАКХиС, 15-16 марта 2011.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 12-07-00115a, 12-07-00109a, 14-07-00041а, 14-01-31470-мол-а
Рецензент: доктор технических наук, профессор Болгов М.В.
