Прогнозирование на фондовом рынке с помощью стохастических дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

УДК 336.763.2+519.86

Александр Иванович Звягинцев,

д.э.н., управляющий активами в

Управляющей компании

«Норд-Вест Капитал», г Санкт-Петербург

Тел.: (921) 907-72-03

Эл. почта: azvyagintsev@mail.ru

Александр Александрович Петряков,

студент факультета информационных систем в экономике и управлении, Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет Тел.: (931) 235-92-19 Эл. почта: apetryakov1991@gmail.com

В статье предложен метод вычисления параметров в стохастических моделях П.Самуэльсона и О.Васичека. На основе этого метода разработан алгоритм прогнозирования на фондовом рынке. Практическое применение полученного алгоритма показано на примере акций Горно-металлургической компании «Норильский никель».

Ключевые слова: Стохастические дифференциальные уравнения, прогноз, акции, цена, доходность.

Aleksandr I. Zvyagintsev

Doctorate of Economics, Asset Manager, Asset Management Company "Nord West Capital", St. Petersburg, Tel.: (921) 907-72-03 E-mail: azvyagintsev@mail.ru

Aleksandr A. Petryakov,

Student, the Department of Information Systems in Economics and Management, Saint-Petersburg State University of Engineering and Economics, Tel.: (931) 235-92-19 E-mail: apetryakov1991@gmail.com

FORECASTING THE STOCK BY USING STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

The authors offer the method of calculating the parameters of Samuelson's and Va-sichek's stochastic models and the algorithm of forecasting the stock market based on this method. The practical application of this algorithm is shown in the example of shares of the "Norilsk nickel", the mining and smelting company.

Keywords: stochastic differential equations, forecast, shares, price, yield.

1. Введение

Вопросам моделирования прогнозов на рынке ценных бумаг посвящено большое количество теоретических и практических публикаций, как в отечественных, так и в зарубежных научных изданиях. Неослабевающий интерес к задачам прогнозирования обусловлен тем, что успешность торговых операций на фондовом рынке в значительной степени зависит от способности инвестора правильно предвидеть динамику изменения цен акций. Поскольку рынок акций характеризуется очень высокой волатильностью, то для прогнозирования ценовых трендов необходимо применять серьезные математические методы.

В последние десятилетия для моделирования поведения цен и процентных ставок финансовых инструментов активно используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений [1, 2, 3]. При построении прогнозов для котировок акций наиболее часто применяют уравнение Самуэльсона [5], а прогнозирование спот-ставок обычно основано на модели Васичека [6], которая базируется на процессе Орнштейна-Уленбека. С практической точки зрения, наиболее уязвимым местом этих моделей является то, что заранее не известны числовые значения коэффициентов и параметров, входящих в формулы уравнений. Подбор этих коэффициентов и параметров обычно осуществляется экспериментальной «подгонкой», что требует больших временных и компьютерных затрат. В целях устранения этого недостатка рассмотрим задачу вычисления значений коэффициентов и параметров математическими методами. Решение этой задачи дает возможность построения эффективного алгоритма прогнозирования на рынке акций.

2. Основные формулы

Современная теория финансовой математики предполагает, что поведение цены X акции описывается уравнением Самуэльсона:

dX = \\Xdt + Q¡XdW; Х(0) = Х0, (1)

а процентная ставка У изменяется в соответствии с моделью Васичека:

dY = Р(У - а^ + XdУ; У(0) = У0. (2)

Здесь все коэффициенты а, в, X, д, с являются числовыми константами, а Ж и V представляют собой стандартные Винеровские процессы. Параметры д и в называются вязкостью или сносом, с и X - волатильностью или диффузией, а - долгосрочным или равновесным уровнем ставок.

Решения уравнений (1) и (2) находятся с помощью леммы Ито [7] и выражаются в явном виде (см. например [3, 4]):

X (t) = X 0e

ц—— |t+a4te(t)

Y (t) = a + (Y0 - a)e"ßt

+

4¿P

41

— t

3-2ßt

S(t)

(3)

(4)

Здесь е(0, 5(0 для каждого положительного t являются нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е. е(0, 5(0 е N(0, 1), > 0. Кроме того, случайные величины е(0 и е(5), а также 5(0 и 5(5) независимы при условии / Ф 5.

Используя для обозначения математического ожидания и дисперсии соответственно символы М и Б, перечислим основные свойства случайных величин е(0 и 5(0:

М[е(0] = 0; М[е2(0] = Б[е(0] = 1, > 0 (5)

М[5(0] = 0; M[52(0] = £>[5(0] = 1, Vt> 0 M[e(tj)e(t2)] = M[e(tj)]M[e(t2)] = 0, t1 ф t2 M[5(t1)5(t2)] = M[5(tj)]M[5(t2)] = 0, t1 ф i2.

(6)

(7)

(8)

X

Рассмотрение временных интервалов с единичным чения рыночной ценыХ0, Х1, ..., Хп за п + 1 торговых дней,

шагом [/ - 1, /], где единичным шагом может быть минута, час, день и т.д., позволяет осуществить переход к случаю дискретного времени. В дискретном случае соотношения (3) и (4) принимают итерационный вид:

можно вычислить соответствующие доходности:

^ =

X,

X

-1; к = 1.....п

(18)

к -1

ц--+сте(к)

Хк = Хк-1е 2 , к е {1,2.....п}

'к - Л к -

Ук =а + (Ук -1 -а)е"в +

X

л/1 - е"2р5(к), к е {1,2.....п}

(9)

(10)

Если использовать достаточно большую статистическую выборку, то выборочное среднее для У будет характеризовать сформировавшийся за длительный период времени среднерыночный уровень ставки доходности. Следовательно, при больших п для рассматриваемой акции можно считать

а

1 п =-У, Ук

(19)

к =1

Полагая У0 = 0, из рекуррентных формул (9) и (10) получаем равенства:

1п ^ X

о

ст

2 Л

Ук = а(1 - е "кв) + Х к е {1,2.....п}

к + ст^е(\), к е {1,2,..., п}

7Т

Поскольку из разложения логарифмической функции в ряд Тейлора следует приближенное равенство 1п(1 + и) = и, то в силу (18) получаем

\=1

л/2р

а-2|3 к

е -£е-(к-|)в6(0,

¡=1

(11)

(12)

= 1п

X

к -1

Хк

1+-V Х к -1

-11 = 1п(1 + Чк) = Ук; к = 1,..., п . (20)

Отсюда вытекает соотношение

X

1п^ = 1п

X о

Хп Хп-1 Хп-1 Х п-2

а

X о

± "п ^

V'чп-2 Л0 ) к=1 Лк-1 .=1 на основании которого полагаем равенства для начальных Для сокращения записи формул и упрощения математи- моментов

г х/ л ( п л

ческих вычислений в дальнейшем везде будем использовать замену:

г = (13)

М

1п- Хк

М

1п

к -1

\ г

к

= к

0 У

ст

ст

V

(14)

к е {1,2,..., п}

М

1п Ь

V Х 0 У

= М

Очевидно, что 0 < г < 1 при в > 0. С учетом соотношений (5)-(8) нетрудно вычислить основные вероятностные характеристики:

М

1п2 Ь

V Х 0

= М

V к=1 У

Г п у

(2>к 1

V к =1 )

(21)

(22)

В силу (14) и (16) равенство (21) приводится к соотношению

(

2 Л

2

= (1 - ^

к =1

й

1п

Хк

Хк -1 У

= ст2; й

V Х 0

= кст2, к е {1,2,..., п} (15)

М (Ук) = а(1 - е"кр) = а(1 - ), к е {1,2.....п} (16)

которое после применения формулы суммы геометрической прогрессии эквивалентно

ст

и.--= а

Р 2

2 ( ггп - 1Л

1 ---

п г -1

(23)

0(Ук) =— (1 - е"2кр) =— (1 - г2к),к е {1,2.....п} (17)

2(3

2в

Левая часть (22) на основании (14) и (15) приводится к виду

Формулы (9) - (12) удобно использовать для моделирования прогнозов на фондовом рынке, если заданы все параметры а, в, X, д, с. Однако, как правило, значения этих параметров не известны. Таким образом, возникает проблема нахождения параметров а, в, X, д, с.

М

г У л

1п2 Ь

V Х 0

= О

А У л 1п

V У о

+ М

У

1п **

V У о У

22 = пст2 + п

ст

2

3. Вычисление параметров

Доходность инвестиций в акции определяется по формуле

У = ^ -1,

и с учетом (23) получается М

X с

где Х0 - цена акции в момент покупки, Х1 - цена акции через временной промежуток /. Взяв для конкретной акции зна-

V Х 0

с

2 2 = пст2 + а2

п - г-

гп -1 г -1

2

+

2

2

П

2

2

2

2

В силу (12) и (13) имеем

^ = а п-X

к =1 V к =1 У

л/2р

2 п

-Е8(к ^

к =1 ¡=к

(28) преобразуется к виду

П Б-1

ЕЕМ ^) = п^-а

б=2 к =1

П - 1-

1П -1 1 -1

и после суммирования геометрической прогрессии получаем

= а

к =1

п - г

г- 11 Р

г -1

-г

п+1-к

)5(к).

М

( п Л 2' (

I = а2 п

V к =1 V

п -1-

гп -1 г -1

+

У

+ -

+ г Г

2в 1 - г

0 гп -1 2 г2п - 1Л п - 2 г-+ г

(25)

V

г -1

г2 -1

у

Из (22) - (25) получаются равенства

2 X2 1 + 1 пст2 =

2р 1 -1

7П -1 2 12П - О п - 21-+ 1

пц = а

п -1-

1 -1

1п -1 1 -1

12 -1

(26)

/

+

+ -

Х21 + /

4в 1 -1

1п -1 2 12п -п - 21-+ 1

1 -1

12 -1

(27)

На основании формулы (18) справедливо равенство (1 + У,)(1 + Г2)...(1 + ¥„) = Х„ /Х0 и тогда полагаем

Щ(1 + ^1)(1 + Г2)...(1 + ¥„)] = Ы(Х„ /Хо).

Если ограничиться слагаемыми второго порядка, то получится приближенное соотношение

П П Б-1 ^

м

1+ЕЕ ^

V к =1 б=2 к =1

= м

V Х 0 )

которое с учетом (9) и (16) принимает вид

( - 1 ^ , п 5 -1

1 + а

1 -1

ЕЕм №)

5=2 к =1

= е

п1

(28)

М (ест£(1)+-+ст£(п))

Подставив из (27) значение , в итоге получим

Е1М №) =

Тогда с учетом (6), (8) и формулы суммы геометрической прогрессии значение второго начального момента в правой части (22) сводится к виду

2

X2 1 + I

4в 1 -1

б=2 к =1

С

п - 21

тп -1

I -1

+1

2 т2^л 12 -1

(29)

Для 1 < k < 5 < п на основании формул (12), (16) и (6), (8) находим значение

1 7 2

1 - 7 Б-^^ ,2(к-¡)

М (УкУ5) = а 2(1 - 7к )(1 - ) + Х

к

52

2Р

7

Т

¡=1

7

и после суммирования геометрической прогрессии, получаем

\ 2

М (У^) = а2(1 - )(1 - г5) + ^г5-к (1 - г2к). (30)

Для вычисления двойной суммы в левой части (29) воспользуемся соотношением (30), а также формулой суммы геометрической прогрессии. Тогда для внутренней суммы имеем

5-1

Е М ^) = (1 - г5)

к =1

а 2(5 -1) +

V 2

--а

V 2в

Л 75-1 -1 г

/

г -1

и просуммировав это соотношение по 5 от 2 до п, получаем для двойной суммы окончательный вид

П Б-1

ЕЕ М ^) =а2

б=2 к=1

п(п -1) гп+1 - г

2

г -1

п --

гП+1 -1 ^

г2 -1

X2 г

2р г -1

1 - п + (гП - г)

1 + 2г - г

г2 -1

п+1

Отметим, что в процессе суммирования по 5 от 2 до п кроме формулы для суммы геометрической прогрессии использовались еще формула суммы арифметической прогрессии и следующее тождество

п п п п

г + Х =1^

Б = 2 Б =1 Б =1 j =Б

ZJ =

п zn+1 - zБ

Е

Б =1

г

(

г-1 г-1

пгп -

гп -1 г -1

Хорошо известно, что для случайной величины

ь2

тн--

и е Ы(ш, С2) математическое ожидание М (е ) = е 2 . Из свойств (5) и (7) гауссовой случайной величины е(/) заключаем, что ое(1) + ... + се(п) е N(0, по2). Тогда в правой части уравнения (28) получаем значение епц. Так как из разложения экспоненциальной функции в ряд Тейлора следует приближенное равенство епц = 1 + пц, то уравнение

Подставив в левую часть (29) полученное выражение для двойной суммы, приходим к равенству

п(п -1)

(I -1) - (1п+1 -1)\ п -

1п+' -1

2р

Л,2 (I +1)

1 - п + (1п -1)

1 + 21 - 1п

4р

21

1п -1 I -1

2 12п -1

п-¡

+

+

2

+

а

12 -1

2

Л21

12 -1

из которого следует

X2 =

2a2p[n(n - 1)(z-1)( z2 -1) - 2z(zn - 1)(n(z2 -1) +1 - zn+1)] (z-1)[n(z2 -1) -z2(z2n -1)]

(31)

X2 =-

4apz(z -1)(zn -1)

z(zn -1)(2 + z- zn+1) - n(z2 -1)

(32)

Приравняв правые части (31) и (32), получим уравнение относительно z:

a[n(n - 1)(z - 1)(z2 -1) - 2z(zn - 1)(n(z2 -1) +1 - zn+1)]

n(z2 -1)-z2(z2n -1) 2z(z-1)2(zn -1) z(zn -1)(2 + z - zn+1) - n(z2 -1)

(33)

= 0.

Q( z)

a[2 z + n( z2-1)(n( z -1) + z +1)]

n(z2 -1) + z2 2z(z -1)2

z(2 + z) + n(z2 -1)

= Q1( z).

rk =

Pk -1

-1; k = 1.....n.

(34)

полагаем

1 n ao =~У,r

Поскольку доходность акции колеблется около среднего уровня а, то можно использовать приближенную формулу Х0(1 + па) = Хп. Тогда из полученного раньше соотношения М(Хп / Х0) = епд и 1 + пд следует приблизительное равенство между пд и па, что позволяет преобразовать (27) к следующему виду

к =1

Приближенными методами, например методом половинного деления, находим корень г0 е (0, 1) уравнения:

а[п(п-1)(^-1)(z2 -1) - 2z(zn-1)(п(z2-1) +1 - zn+1)] _ п(z2 -1) -z2(z2п -1) _ 2z(z-1)2(zn -1)

_ z(zn -1)(2 + z- zn+1) - п(z2 -1) Затем последовательно вычисляем параметры: вс = -1ПГ0

4аовог0(Zo -1)(Zon -1)

4 -

Zo(zn -1)(2 + zo -zS+1) -n(zo2 -1)

2 _ 4(1 + z0)

Стп =

2Po(1 - zo)

Zon -1 + Z

°20

Ц о =-20 + ao

1 - ZZo__

n Zo -1

f

Zo2n -1Л Zo2 -1

1 _ Zo, z0 -1 n z0 _ 1

Решение этого нелинейного уравнения не выражается в явном виде, поэтому для его нахождения необходимо применять приближенные методы.

Покажем, что уравнение (33) имеет решение на интервале от нуля до единицы. Обозначив левую часть (33) через Q(z) и учитывая, что для г е (0, 1) при стремлении п к бесконечности гп и пгп стремятся к нулю, получаем при достаточно большом п приближенное выражение

Генерируя случайные числа е и 5, моделируем прогнозы будущих цен и доходностей по формулам:

Рп+1 = Рпе

Цо -"2"+ао£

гП+1 =ао + {rn -ао)е+

(35)

V1 - е"2р0 5 . (36)

Отметим, что в силу формулы (34) можно получить еще один прогноз цены

рГ+1 = Рп О + С1),

а объединив полученные значения, можно составить агрегированную формулу для прогнозной цены

. Рп+1 + Рп+1

Ppl

На концах интервала (0, 1) функция Q1(z) имеет значения Q1(0) = а(1 - п) < 0 и Q1(1) = 2а > 0 с противоположными знаками и, следовательно, по теореме Коши Q1(z) обращается в ноль внутри интервала (0, 1). Поскольку при достаточно большом п графики функций Q(z) и Q1(z) близки, то существует z0 е (0, 1), в которой Q(z0) = 0.

После вычисления корня уравнения (33), все искомые параметры а, в, X, д, с находятся по формулам (13), (19), (26), (27), (32). Подводя итоги проведенных вычислений, опишем алгоритм построения прогнозов.

4. Алгоритм прогнозирования

Выбираем нужный прогнозный шаг, т.е. определяем через какой период времени нас интересует прогноз, например, через день, неделю, декаду и т.д. Для интересующей нас акции берем из биржевого архива значения средневзвешенной цены р0, р1, ..., рп за прошлые п + 1 торговые сессии, причем интервал между сессиями берется равный прогнозному шагу. Вычислив показатели доходности

(37)

prog 2

Необходимо отметить, что на основании формул (9) и (10) вычисляются значения

е к =

(

ln А _Цо + Рк-1 2

8к = ~ао - (гк-1 -ао)е~Ро]

/ст0, к = 1.....п

л/2р0

X Jl - е-2во

к = 1,..., п:

и тогда в (35) и (36) можно в частности полагать

1 П 1 п

е = - Уе к; 5 = - У5 к

п п

(38)

к =1

к =1

Таблица 1. Значения параметров

дата 17.05.2012 18.05.2012 21.05.2012 22.05.2012 23.05.2012

z 0.98251 0.98227 0.97719 0.98111 0.97851

a 0.063% 0.061% 0.043% 0.056% 0.047%

в 0.017645 0.017889 0.023074 0.019071 0.021724

1 0.000732 0.000726 0.000635 0.000700 0.000654

^ 0.000626 0.000613 0.000431 0.000559 0.000466

a 0.024147 0.023789 0.018227 0.022241 0.019399

<

n

a

Таблица 2. Прогноз цен акций «Норильского никеля»

дата 17.05.2012 18.05.2012 21.05.2012 22.05.2012 23.05.2012

прогноз 5008.44 5008.24 4843.55 5037.12 4997.87

цены акции по итогам торгов * средневзвешенная цена 4997 максимальная цена 5025 минимальная цена 4887 максимальная цена 5073 максимальная цена 4972

ошибка прогноза 0.23% -0.33% -0.89% -0.71% 0.52%

*Источник: Биржа ММВБ-РТС

Продемонстрируем использование предложенного алгоритма на примере акций Горно-металлургической компании «Норильский никель», которые относятся к разряду «голубых фишек» российского фондового рынка. В качестве примера взяв на сайте биржи ММВБ-РТС (www.micex.ru) статистику котировок акций «Норильского никеля» за 100 торговых дней 2011-2012 гг., с помощью численных расчетов на соответствующие даты были получены следующие значения параметров:

На основании этих данных по формулам (35)-(38) получены прогнозные значения для цен акций «Норильского никеля» на предстоящие торговые сессии:

Сравнение спрогнозированных показателей с реальными ценами акций «Норильского никеля» показывает, что ошибка прогноза составляет меньше одного процента.

5. Заключение

Предложенный метод вычисления параметров дает ключ к практическому применению уравнений Самуэль-сона и Васичека для моделирования прогнозов на рынке акций. Апробация метода на реальных данных фондового рынка продемонстрировала неплохие результаты. Описанный алгоритм можно использовать при прогнозировании ценовых показателей не только для отдельных акций, но и для портфеля акций и фондовых индексов. Однако необходимо отметить, что поскольку разработанный алгоритм основан на формулах приближенных вычислений, то существуют возможности дальнейшего усовершенствования и уточнения способов нахождения параметров в рассмотренных моделях. Точность формул и прогнозов можно повысить, например, если не ограничиваться линейными членами в рядах Тейлора используемых функций, а также, если кроме первого и второго начальных моментов рассматривать начальные и центральные моменты более высокого порядка.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. - М.: Фазис, 2004. - 1056 с.

2. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. - М: Мир. АСТ, 2003. - 408 с.

3. Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала. - М.: Экономика, 2010. - 719 с.

4. Смирнов С.С. Стохастический мир. - Режим доступа: http://synset.com/pdf/ito.pdf - 24.05.2012.

5. Samuelson P. A. Proof that Properly Anticipated Price Fluctuate Randomly // Industrial Management Review. - 1965.

- Vol. 6. - P. 41-49.

6. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. - 1977. - Vol. 5. - P. 177-178.

7. Ito K. On Stochastic Differential Equations // Memories, American Mathematical Society. - 1951. - Vol. 4. - P. 1-51.

References

1. Shiryaev A.N. Essentials of stochastic finance. Vol.1. Facts. Models. - Moscow: Phasis, 2004. - 1056 p.

2. Oksendal B. Stochastic differential equations. Introduction to the theory and applications. - Moscow: Mir. AST, 2003.

- 408 p.

3. Vorontsovsky A.V Modern theories of capital market. -Moscow: Ekonomika, 2010. - 719 p.

4. Smirnov S.S. Stochastic world. - Access mode: http:// synset.com/pdf/ito.pdf - 24.05.2012.

5. Samuelson P. A. Proof that Properly Anticipated Price Fluctuate Randomly // Industrial Management Review. - 1965.

- Vol. 6. -- P. 41-49.

6. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. - 1977. - Vol. 5. - P. 177-178.

7. Ito K. On Stochastic Differential Equations // Memories, American Mathematical Society. - 1951. - Vol. 4. - P. 1-51.