CC BY
35
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ОСНОВНЫХ ФОНДОВ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКОГО ПЕРЕВООРУЖЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
FORECASTING OF THE INDIVIDUAL RESIDUAL RESOURCE OF THE FIXED CAPITAL WHEN PLANNING THE ENTERPRISE MODERNISATION
В статье рассматривается метод, позволяющий оценивать индивидуальный остаточный ресурс оборудования предприятия при известной фактической наработке.
The method considered in the article allows to estimate the individual residual resource of the enterprise equipment at a known actual mean life.
Ключевые слова: остаточный ресурс, средний ресурс, прогнозирование, основные фонды предприятия, функционирование
Keywords: a residual resource, an average resource, forecasting, enterprise fixed capital, functioning
Беркетов Геннадий Александрович, к.т.н., профессор, профессор кафедры Автоматизированных Систем Обработки Информации и Управления, (495) 442-61-11, GBerketov@teach.mesi.ru
Микрюков Андрей Александрович, к.т.н., доцент, Заведующий кафедрой Автоматизированных Систем Обработки Информации и Управления, (495) 442-61-11, AMikrukov@teach.mesi.ru
Швей Владимир Игоревич, Директор института компьютерных технологий, (4950 442-80-98, VShvey@teach.mesi.ru
ГОУ ВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики»
Gennady Aleksandrovich Berketov, phD in engineering, the professor, the professor of chair of the Automated Systems of Processing of the Information and Management, (495) 442-61-11, GBerketov@teach.mesi.ru Andrey Aleksandrovich Mikrjukov, phD in engineering, assistant professor, Department chairman of Automated Systems of Processing of the Information and Management, (495) 442-61-11, AMikrukov@teach.mesi.ru Vladimir Igorevich Shvei, the Director of institute of computer technologies, (495) 442-80-98, VShvey@teach.mesi.ru
SEI HPE «The Moscow State University of Economics, Statistics and Infor-matics»
Проблема прогнозирования технического ресурса основных фондов предприятия является актуальной при планировании его развития. При решении данной задачи необходимо учитывать фактическое техническое состояние основных фондов предприятия (остаточный технический ресурс оборудования). На этапе эксплуатации основных фондов эту проблему приходится решать, например, при замене устройств и приборов, выработавших назначенный ресурс, а также в случае продления сроков эксплуатации сверх гарантийных.
Особый практический интерес представляет проблема прогнозирования индивидуального остаточного ресурса оборудования предприятия по результатам наблюдений за его состоянием в процессе эксплуатации.
1. Основные понятия и соотношения
Введём понятие «объект оборудования предприятия», под которым понимается любое техническое устройство основных фондов, выполняющее определённые операции в процессе производства (далее по тексту будем использовать термин «объект»).
Под техническим ресурсом объекта понимают его наработку от начала или возобновления эксплуатации до наступления предельного со-
№4, 2008
стояния. Понятие предельного состояния, соответствующего исчерпанию ресурса, допускает различное толкование. В простейшем случае (для невосстанавли-ваемых объектов) предельное состояние соответствует отказу или чрезмерному снижению эффективности функционирования. Для восстанавливаемых структурированных объектов (систем) предельное состояние связывается с общим износом (старением) и характеризуется резким увеличением интенсивности отказов, вследствие чего эффективность систем падает ниже установленного уровня.
В условиях эксплуатации для восстанавливаемых объектов наряду с понятием общего ресурса часто также используют понятие ресурса до ближайшего отказа или до момента, когда понижение параметров надежности (вследствие накопления неисправностей) потребует проведения соответствующих восстановительных работ.
Ресурс R объекта из заданной статистической совокупности является случайной величиной (с.в.) с некоторым законом распределения F(x). Для его оценки используется показатель RС, называемый средним ресурсом, который равен математическому ожиданию величины ресурса для объектов всей статистической совокупности, т.е.
ои
Яс =М[Я]= ^ (х) ■ ¿х
(1.1)
образовать к другому виду, взяв
со
Яс =М[Я]= |Р(1)-С11. (1-2)
о
Обозначим Х(х)=Д(х)/Р(х). Тогда справедливо представление
х
(1.3)
гдеД(х) =F'(x) - плотность распределения с.в. R.
При наличии данных о ресурсе п объектов статистическая оценка среднего ресурса определяется по формуле
где Ri - ресурс ьго объекта.
Введем функцию надёжности объекта Р(х) = Р^>х} = 1 - F(x). Величина Р(х) равна вероятности того, что с.в. R превысит значение х. Тогда интеграл (1.1) можно пре-
Р(х) = ехр({2(0йЮ 0
При рассмотрении невосста-навливаемых объектов функцию А(() называют интенсивностью отказов. Эта функция выражает опасность отказа в зависимости от времени наработки.
2. Показатель "Средний остаточный ресурс" и его свойства
Под остаточным ресурсом сверх времени т будем понимать наработку объекта начиная с момента времени т до его перехода в предельное состояние при установленном режиме эксплуатации. Обозначим значение остаточного ресурса через Ro(т), тогда: Ro(^)=R- т при Л> т (2.1)
Очевидно, что Ro(т) является случайной величиной.
Величина Roc(т) = Rc - т называется остаточным средним ресурсом. Эта величина иногда используется при планировании технического перевооружения предприятий. В этой связи заметим, что Rc является усреднённой характеристикой всей статистической совокупности и поэтому функция Roc(т) мало пригодна для оценки индивидуального остаточного ресурса объектов.
Показатель средний остаточный ресурс определяется по формуле:
Rco(т)=M[Ro(т) ] (2.2)
где правая часть есть математическое ожидание от с.в. Ro(т)
При значениеп Rco(0) = =RОC(0)=RC Однако из этого не следует, что Roc(т) = Rc - т при любом т. Ниже будет показано, что при т >0 выполняется неравенство Rco(т) > Roc(т). Таким образом, Rco(т) более точно характеризует индивидуальный остаточный ресурс технических объектов, учитывая время их без-
отказной работы.
Рассмотрим распределение Fт(x) разности R-т при условии R>т.
Условная вероятность события А при реализации события В вычисляется по формуле: Р{Л/В}=Р{ЛВ}/Р{В} (2.3)
где Р{ЛВ} - вероятность произведения (пересечения) событий
А и В.
ТТ-----------------/О Следуех
ЕДх) = Р{Я-т < х|Я > х} =
= Р{т < Я < т+ х} = Б(т+ х) - р(т) Р{Я > т} Р(т)
Равенство (2.4) можно перепи-
Согласно определению (2.1) Ro(т)=R-т. Следовательно, математическое ожидание величины с учетом формул (1.2) и (2.5) опре-
тт (=» лг а (^т^г» а
М[Я0(т)]= |
Р(т + х)
• с1х =
(2.6)
В соответствии с (2.2) средний остаточный ресурс определяется как МГЯ гл(х) 7. по этому
ЯС0(т) = М[Я0(г)] =
= ——■ \Р(х)-ск. (2.7)
Утверждение 1. Для любых распределений, имеющих положительную плотность (Д(х)>0) при х>0, выполняется следующее соотношение-
Ксо(т)>Кос(т) = Кс-т (2.8)
Доказательство. Для распределений с положительной плотностью при х>0 выполняется F(x)>0 (или Р(х)<1).
Неравенство
1
Р(т)
|р(х)-с11> |р(х)-с1х.
Экономика, Статистика и Информатика
является верным, так как Р(т)<1. Выполним следующие преобразования неравенства:
№4, 2008
Р(т)
Jp(x)-dx+ |p(x) dx > |p(x)-dx,
1 о Jo
^.]p(x).dx+}|j.dx>]p(x).dx.
P(x)
Для распределений, имеющих положительную плотность, функция P(x) является монотонно
убывающей, поэтому j < 1
при х>т. Усилим неравенство (2.9), подставив 1 вместо подынтеграль-
Р(х) 1
ной функции ^ ^ < 1. Получаем:
4 00 т 00
poiPW-dx+jdx>Jp(x).dx.
Г\1/ Т О О
н оо оо
^•Jp(x)-dt> Jp(x)-dx-x.
итсюда с учетом формул (Z.Z) и (2.8) следует искомое соотношение rCO(t)>rOC(t).
Таким образом, даже для объектов, имеющих возрастающую интенсивность отказов «средний остаточный ресурс» всегда превышает «остаточный средний».
В [2] доказывается, что равенство PT(x), x>0 выполняется при всех x>0 и т>0 тогда и только тогда, когда предельная наработка имеет экспоненциальное распределение. Это означает, что время безотказной работы объекта никак не влияет на распределение остаточной наработки (остаточного ресурса). В связи с этим говорят, что система с экспоненциальным распределением наработки до отказа, или с постоянной интенсивностью отказов, «не стареет».
В задачах оценки остаточного ресурса экспоненциальное распределение не используется, так как вследствие процесса изнашивания для реальных систем рано или поздно наблюдается нарастание интенсивности отказов.
Перейдем теперь к анализу поведения показателя rqq(t) как функции от времени т.
Утверждение 2. Для объектов с монотонным возрастанием ин-
№4, 2008
тенсивности отказов показатель «средний остаточный ресурс» как функция т монотонно убывает.
Доказательство. Пусть объект безотказно проработал до момента т включительно. Тогда вероятность его дальнейшей безотказной работы на промежутке (т, т+х) определяется условной функцией надежности Рт(х). Величина Рт(х) может также рассматриваться как вероятность превышения остаточным ресурсом RQ(т)=R-т значениях.
Теперь приступим к доказательству монотонного убывания
кЛ/ХЛУТТТЛ^ТЛГ
ОО 1 со
ЯС0(г) = \р^х) = —\р(х)ск (2.10)
О г
Вначале произведем оценку функции Р(х)/Р(т). Используя формулу (1.3), эту функцию можно представить в виде
Р(х)
Р(т)
л;
ехр - \X{u)-du
0
т
ехо — \ Л(и)-du
ехр
х
■ J/t(и)-du т
(2.11)
Из условия монотонного возрастания интенсивности отказов
х
|Л(и) ■ с1и > Я(т) -{х-г) т
Откуда с учетом (2.12") следует ^<ехр[-Л(г) ■(*-*)] (2.12)
Для доказательства убывания функции RQc(т) найдем ее производную. Дифференцируя выражение (2.10) по переменной т,
получим
RocW
-Р2-Р'(т> jp(x)-dx
Р2М
откуда с учетом (2.13) имеем
Заменив подынтегральное вы-
ражение в (2.13) на его оценку сверху (2.12), получаем неравен-
R'oc (т) < Щ ■ Jexp[- а(т) ■(x-T)\dx-\ т
Интеграл в правой части неравенства равен 1/.'Х(т), следовательно КЛг)< 0 (2.14)
Неравенство (2.14) превращается в строгое равенство только при т=0. Это означает, что Rqq(t) как функция переменной т монотонно убывает.
На рис.1 приведены графики функций Rqq(t/Rq) и Rqq(t/Rq) для статистической совокупности объектов, ресурс которых распределен по усеченному слева нормальному закону с математическим ожиданием ^=Rq и средним квадратичным отклонением т = 0,2Rq. Масштабирование времени т с помощью множителя 1/Rq позволяет представить различие между изучаемыми функциями в более наглядной форме. На рис.2 приведен график среднего квадратичного отклонения остаточного ресурса от его среднего значения.
Проведенный расчет показывает, что для объектов с достаточно продолжительной наработкой средний остаточный ресурс может значительно превышать остаточный средний. Иначе говоря, ресурс таких объектов с высокой вероятностью превышает средний ресурс для статистической совокупности в целом.
При рассмотрении вопроса о продлении эксплуатации индивидуального объекта необходимо использовать интервальную оценку его остаточного ресурса, что позволяет контролировать уровень риска принятия неверного решения. Так как остаточный ресурс Ro(t) распределён в соответствии с функцией плотности вероятностей fT(x), то вероятностное содержание у - интервала его значений
Ь(т)
у - Р{а{т) < R0(t) < b(r)} - ¡fT(x)dx
а(т)
Для однозначного определе-
ния интервала с заданной доверительной вероятностью у необходимо ввести дополнительные условия.
Пусть
Л = \/г(Х^Х Г2 = ]/т(ХЯХ
Потребуем выполнения следующего равенства: у1 = у2 = у/2. Тогда соответствующий интервал представляется в виде [а(т);в(а)]. Для определения величин а(т) и в(т) необходимо при каждом заданном т решать систему уравнений (2.15).
На рис. 3 приведены графики функций а(т) и в(т) совместно с графиком функции Ясо(т). В качестве исходного взято усечённое слева (относительно нуля) нормальное распределение с теми же параметрами, которые ранее использовались при вычислении функций Ясо(т) и а^(т), изображённых на рис. 1-2. Заметим, что центр интервала [а(т);в(т)] с ростом т сдвигается вверх относительно значения Ясо(т).
При решении практических задач обычно используется только нижняя граница доверительной области, поэтому логично использовать односторонние интервальные оценки, у которых Ь(т)=°®. В этом случае нижняя граница интервала [а(т); со ] определяется в результат^ "'м|п,,,"(1 ""''чнсния
Y = \fAx)dx
1,3 1,2 1,1 1
0,9 0,8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о
\ \
\ \
\
V. ч
к
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
г
Я
с
-- R
со
Rc,---
Rr
Рис. 1. Зависимость среднего остаточного ресурса и нижней у-дове-рительной границы от наработки при у = 0,95
а(т)
при л.и.^лиях нара-
ботки объекта т и доверительной вероятности у, т. е. а(т) является 100(1- у) - процентной квантилью для условного распределения Рт(х).
3. Оценка остаточного ресурса оборудования предприятия по данным эксплуатации
Для определения среднего остаточного ресурса необходимо
оо
вычислить интеграл | Р{х) • с1х
т
Аналитический подход здесь неприемлем, так как для обычно ис-
пользуемых при прогнозировании распределений данный интеграл не имеет представления в классе элементарных функций.
Использование численных методов хотя и возможно, но встречает определенные трудности в связи с тем, что интеграл является несобственным. Наиболее простой способ вычисления рассматриваемого интеграла - это использование статистического моделирования.
При проведении машинного (или реального) статистического эксперимента точечной оценкой для показателя «средний остаточный ресурс» (Reo (т)) служит следующее соотношение:
(3.1)
ш '
где п - количество однотипных объектов, испытываемых с момента времени т=0;
т - число безотказно проработавших сверх времени т объектов; с/- наработка к-го объекта; (г) = - т - остаточная нара-г <та из числа проработавших сверх времени т.
Экономика, Статистика и Информатика
Предполагается, что эксперимент продолжается до отказа всех испытываемых объектов.
Оценка среднего остаточного ресурса (3.1) является несмещенной, что доказано в работе [3].
Авторами разработана компьютерная программа для вычисления характеристик остаточного ресурса на основе статистического моделирования процесса отказов. Программа позволяет вычислять средний остаточный ресурс, среднее квадратическое отклонение и нижнюю границу доверительной области с заданным уровнем доверия для распределений, наиболее часто используемых при прогнозировании остаточного ресурса объекта (усечённого нормального, Вейбула-Гнеденко и у-распределе-ния). В таблице 1 приведены результаты расчёта характеристик остаточного ресурса для объектов, ресурс которых имеет усеченное нормальное распределение.
В заключение рассмотрим следующий пример. Технический отдел производственной фирмы разрабатывает план замен или капитального ремонта части обору-
№4, 2008
дования на следующим календарный год. На фирме эксплуатируется некоторое число однотипных агрегатов (например, металлообрабатывающих станков) На текущий момент времени (конец года) все эти станки находятся в рабочем состоянии. Для каждого ьго станка известна его фактическая наработка т^ Значения т занесены в первую строку табл. 2.
Заметим, что в наработку не включается время, затрачиваемое на техническое обслуживание и мелкий ремонт станков (предполагается, что имевшие место ремонты не изменили ресурса станков). Время простоя станков также не включается в их наработку. Известно, что ресурс станков распределён по усечённому нормальному закону со средним значением RС = 32000 часов и средним квадратичным отклонением а = 4800 часов. Тогда, используя таблицу 1, для каждого ьго станка можно найти средний остаточный ресурс Я^ = Ясо (т1) среднее квадратичное отклонение значения остаточного ресурса от его среднего значения гт = ст., (т.) и нижнюю границу = Ку (т1) доверительного интервала при заданной доверительной вероятности у = 0,9. Эти данные занесены в соответствующие строки таблицы 2. Приведём порядок вычислений для 3-го станка. Наработка данного станка составляет т3 = 22,4 тыс. часов. Тогда его наработка в относительных единицах равна тз^с=22,4/32~0,8. Среднее квадратичное отклонение ресурса от заданного разработчиками среднего ресурса в относительных единицах равна а/Яс=4,8/32^0,15. Используя таблицу 1. находим Ко / Ко * 0,228 .ТогдаВ® = 9.86 Аналогично определяется среднее квадратическое отклонение <Тп = 4,51 тыс. часок и нижняя доверительная граница Я =4.16 Учитывая, что 1 квартал календарного года составляет 2190 часов и станки эксплуатируются только в две смены, получаем, что нара-
Таблица 1
t/Rc Rcc/R-c | Cr/Rc I Rn.g/Rc | Rq.sj/Rc Rlc'Rc I Or/Rc I Rn.g/Rc | Rdss/Rc
a = 0.05 a = 0.10
0 1 0.05 0.936 0.918 1 0.1 0.872 0.835
0.2 0.8 0.05 0.736 0.718 0.8 0.1 0.672 0.635
0.4 0.6 0.05 0.536 0.518 0.6 0.1 0.472 0.435
0.6 0.4 0,05 0.336 0.318 0.4 0,1 0.272 0.235
0.7 0.3 0.05 0.236 0.218 0.3 0.099 0.172 0.137
0.8 0.2 0.05 0.136 0.118 0.206 0.094 0.082 0.053
0.9 0.103 0.047 0.041 0.027 0.129 0.079 0,03 0.016
1.0 0.04 0,03 0.006 0.003 0.08 0.06 0.013 0.006
1.1 0.019 0.017 0.002 0.001 0.053 0.045 0.007 0.003
1.2 0.011 0.007 0.002 0.001 0.037 0.034 0.004 0.002
1.3 - - - - 0.029 0.028 0.003 0.002
0 = 0.15 (5 = 0.20
0 1 0.15 0.808 0.754 1 0.2 0.644 0.571
0.2 0.8 0.15 0.608 0.554 0.8 0.2 0.444 0.372
0.4 0.6 0.15 0.408 0.354 0.601 0.196 0.253 0.182
0.6 0.402 0.148 0.211 0.159 0.411 0.176 0.113 0.06
0.7 0.308 0.141 0.128 0.081 0.328 0.159 0.075 0.032
0.8 0.227 0.128 0.071 0.042 0.258 0.14 0.045 0.019
0.9 0.164 0.11 0.038 0.017 0.202 0.121 0.025 0.012
1.0 0.12 0.091 0.019 0.009 0.16 0.104 0.02 0.009
1.1 0.09 0.074 0.012 0.006 0.128 0.089 0.016 0.007
1.2 0,07 0.061 0.009 0.004 0.105 0.077 0.011 0.005
1.3 0.056 0.051 0.007 0.003 0.088 0.067 0.009 0.004
1.4 0.047 0.043 0.005 0.003 0.075 0.059 0.007 0.003
1.5 0.04 0.036 0.005 0.002 0.064 0.051 0,007 0.004
Таблица 2
№ п n 1 2 3 4 5 6 7 8
Tj (тыс. чао) 12.S 6.4 22.4 35.2 16 38.4 28.8 19.2
R'co( тыс. час) 19.2 25.6 9.856 2.88 16.032 2.24 5.184 12.864
CTj (тыс. час) 4. S 4. S 4.512 2.368 4.8 1.952 3.52 4.736
RÎ! '(тыс. час) 13,056 19,57 4.16 0,384 9.888 0,2888 1.216 6,752
R<n (число кварт. ) 8,34 13.4 2.84 0.263 6.77 0.197 0.833 4.62
Ry ' (год) 2.085 3.35 0.7 0.065 1.69 0.049 0.2082 1.16
ботка станка в квартал составит 2190^2/3 = 1460 часов. Тогда нижняя доверительная граница наработки станков, выраженная в кварталах, составит^'' '1460 и для 3 - го станка^0''1460 = 4,16/1,46 = 2,85, т.е. с уровнем доверительной вероятности у = 0,9 3-й станок откажет в 3-м квартале рассматриваемого года.
Расчёты для остальных станков проводятся аналогично. Результаты приведены в табл. 2. Из таблицы видно, что целесообразно провести замену 3, 4, 6, 7 станков. Таким образом, по известной фактической наработке можно оценить индивидуальный остаточный ресурс оборудования предприятия при планировании его технического перевооружения.
Литература
1.Надёжность и эффективность в технике//т.3 Эффектив-
ность технических систем. -М.: Машиностроение, 1988.
2.Ф.Байхельт, П.Франкен Надёжность и техническое обслуживание. Математический подход. -М.: Радио и связь,1988.
3.Беркетов Г.А. Прогнозирование остаточного ресурса и остаточного срока эксплуатации систем с неизвестным полным ресурсом эксплуатации.
Bibliography
1. Reliability and efficiency in the engineering//v.3 Efficiency of technical systems. - M.: Mechanical engineering, 1988.
2. F.Bajhelt, P.Franken Reliability and maintenance service. The mathematical approach. - M.: Radio and communication, 1988.
3. G. A. Berketov Forecasting of residual resource and residual term of systems operation with the unknown full resource operation.
№4, 2008
