CC BY
101
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
_2013 г. Выпуск 2 (29). С. 103-114_
УДК 532.516.5
ПРОГНОЗ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
П. К. Волков
«И сказал Бог: сотворим человека по образу Нашему [и] по подобию Нашему...» (Бытие, 1:26, 27)
Введение
Метод подобия не преподается в курсах обязательных дисциплин по естественнонаучным и техническим специальностям. Причины тому разные. Во-первых, сам термин «метод подобия». На первый взгляд он не конкретен. Да в разговорной практике мы часто его используем, и понимаем, о чем идет речь, но конкретизировать в математических терминах просто не получается. Во-вторых, этот метод обладает поистине философской общностью. Ибо похожие (подобные) явления или ситуации отмечаем в различных предметных областях. И когда мы замечаем, что исследуемое явление подобно некоторому известному, уже изученному нами процессу, то мы сразу получаем понимание об исследуемом явлении в целом. Так что факты подобия проявляют общие закономерности в окружающем мире, независимо от прикладной направленности, ключ к пониманию которых открыт нам Создателем еще в 12 веке до нашей эры.
Так структура атома, солнечной системы, галактик по большому счету одинакова (рис. 1): в центре (точке) сосредоточена основная масса, и на огромном расстоянии от него (порядка 105 диаметра ядра) вращаются мизерной массы (порядка 10-3 по сравнению с массой в центре) электроны, планеты или солнечные системы.
Так может такое положение характерно только для материальных систем? Но геном человека и животных на 98 % одинаков. Все огромные различия в видах приходятся на 2 %! Словарь любого языка содержит порядка 105 слов. Для нормального общения, по статистике, достаточно 300 слов, для профессионального - 1000.
Рисунок 1. Модели атома - а), солнечной системы - б), фото галактики - в)
Во всех примерах прослеживается одна и та же закономерность - наличие в исследуемом явлении малых величин, полный учет которых, как правило, связан со значительным усложнением теории. И возникает практическая задача, какими процессами можно пренебречь и какая малая величина (или процесс) должна быть непременно учтена, чтобы не потерять представления об исследуемом явлении. Но, даже решив эту проблему, нельзя сразу указать какие же две физические системы являются подобными и как получить прогноз по одной из них, если имеем полное представление о другой.
Самый простой пример эффективности метода подобия дается нам в геометрии: теоремы о подобии треугольников позволяют по одному треугольнику получить полное знание о другом треугольнике, если имеем один безразмерный параметр, коэффициент подобия, и факт знания о подобии. В этом случае все соответствующие элементы другого треугольника про-
сто пересчитываются умножением на коэффициент подобия. Для более сложных систем вопрос установления факта подобия оказывается не так простым.
1. Наземные и космические условия
Рассмотрим две физических системы, одна на земле, другая, такая же, в космосе, например на борту космического аппарата. На земной поверхности тела испытывают притяжение Земли, величина которого определяется постоянной ускорения свободного падения g. Внутри космического аппарата все объекты находятся под действием «силы микрогравитации» (рис. 2). Космический аппарат движется по криволинейной траектории с линейной скоростью V, возникающее центробежное ускорение а компенсирует ускорение свободного падения g, и в результате получаем «микрогравитацию», точнее слабое переменное силовое поле внутри корабля с параметром ^. Формально, эти две физических системы различаются величиной одного параметра ^. А теперь закономерный вопрос. Если провести один и тот же эксперимент на земле и в космическом аппарате, то результаты его будут одинаковыми, подобными или какими?
Рисунок 2. Земные а) и космические б) условия
Внимательный читатель сразу заметит - смотря какой эксперимент. Спорить не буду, даже пойду на любой, который мне укажут. И все-таки - будут ли идентичными результаты, например в жидкости? Что бы ответить на этот вопрос, необходимо иметь ясное представление о влиянии силового поля на развитие движений в жидкости. Для выяснения необходимо определиться с лабораторным экспериментом (бенчмарком) на котором будем исследовать этот вопрос.
Всплытие пузыря в жидкости
Лабораторный эксперимент должен быть максимально простым с одной стороны, а с другой - содержать значимые и контролируемые физические процессы, проявляющие механизмы движения жидкости. Этим условиям в полной мере удовлетворяет процесс всплытия пузыря в жидкости - уникальный по простоте эксперимент, проявляющий взаимодействие всех значимых в нормальных условиях эффектов: вязкости, капиллярных сил и гравитации. Процесс определяется силой тяготения, так что есть шанс сделать обобщение на случай микрогравитации. Для этой задачи, определяемой двумя параметрами (объем пузыря и собственно жидкость), существует большое число экспериментальных данных разных авторов для различных жидкостей и размеров пузырей [1] - рис. 3.
001 Щ Ф Ц 8,4 1 2. а
1 - вода;
2 - минеральное масло;
3 - варсол;
4 - скипидар;
5 - метиловый спирт;
6 - 62% р-р сиропа в воде;
7 - 68% р-р сиропа в воде;
8 - 56% р-р глицерина в воде;
9 - 42% р-р глицерина в воде;
10 - 13% р-р глицерина в воде.
Скорость всплытия и(см/с) как функция радиуса а (см):
Рисунок 3. Скорость всплытия пузыря и в зависимости от его размера (радиуса эквивалентной по объему сферы а) в различных жидкостях при нормальных условиях
Данные рис. 3 позволяют сделать некоторые выводы по характеру всплытия больших пузырей - все кривые сходятся к одной, так что большие пузыри в любых жидкостях имеют одинаковую скорость всплытия, определяемую объемом пузыря. А что можно сказать о пузырях меньших размеров? Можно ли получить прогноз по всплытию по этим данным, например для молока или какой другой жидкости? Поскольку кривые для разных жидкостей ведут себя непредсказуемо на малых размерах пузырей, то ни о каком прогнозе говорить не приходится. Так что же, о подобии процессов тоже не может быть речи?
Тут будет уместно вспомнить пример с подобием треугольников. Там вопрос о прогнозе (расчете) треугольника решался на основании безразмерного параметра - коэффициента подобия. Это означает, что пока не переформулируем задачу в безразмерных терминах, то в этом, более сложном случае, о подобии говорить нет смысла. Переход к безразмерным величинам осуществляется на основе систем физических единиц. Самая простая содержит три основных единицы (например, СГС, включающая в качестве основных величин длину - см, массу - г, время - с), через которые можно выписать размерности всех других физических величин [2]. Выбирая в качестве масштабов длины и скорости некоторые величины Ь и и, можно данные рис. 3 представить уже в масштабированном (безразмерном) виде. Однако прямое масштабирование данных рисунка приведет к примерно такой же картинке, растянутой или сжатой в отдельных областях (типичное преобразование координат).
Данные на рис. 3 изображены в системе координат, по осям которой откладываются размер пузыря и скорость его всплытия. Измеренное в эксперименте значение скорости всплытия для данного размера пузыря определяет точку в системе координат, соответствующую жидкости, в которой проводим эксперимент. Таким образом, имеем три точки: две на осях координат и одна на плоскости. Причем одна из трех - является определяемой, то есть указывается по двум другим, которые можем считать независимыми. С точки зрения проводимых здесь рассуждений, независимыми являются размер пузыря и заданная жидкость. А скорость всплытия - зависимая величина, то есть получаемая в результате эксперимента. В этом плане логичнее строить другую систему координат, чем на рис. 3, по осям которой откладываются величины, отвечающие за размер пузыря и за жидкость. Только вот какая числовая величина соответствует данной жидкости? Жидкость характеризуется многими физическими константами. Из них можно составить большое число безразмерных параметров и все они будут давать числовую характеристику. Какая из них несет полное представление о жидкости в рассматриваемом процессе? Удачное решение этих вопросов позволит переформулировать данные экспериментов в размерном виде так, что безразмерный аналог их позволит получить прогнозы на другие жидкости, в которых эксперименты не проводились, и решить вопросы о подобии процессов в различных гравитационных условиях.
В самом деле, если по осям координат откладывать величины
Я = а/Ь, = а/5,
1/2
где Ь = (а / § р) - капиллярная постоянная Лапласа, а 5 = (у2/§)1/3 - постоянная вязко-гравитационного взаимодействия [3],
(р - плотность, V, а - коэффициенты вязкости и поверхностного натяжения жидкости), то отношение их дает безразмерный параметр М, определяемый только физическими константами жидкости и
М = (R / Rv )6
g р3у4
а3
(1)
и поэтому, данные для каждой жидкости в координатах R , Rv будут отображаться на прямой линии Rv = М-1/6 Ro. Если задана жидкость своими константами (р, v, а), известна величина g, и задан размер пузыря а, то известна точка плоскости в координатах Ro , Rv. Рассчитав теперь величину Fr = u2/ga - число Фруда, получим безразмерный параметр, соответствующий определяемой величине - скорости всплытия u. Наконец, если для каждой точки на кривых рис. 3 провести вышеуказанные расчеты, то получим серии точек вдоль некоторых прямых, соответствующие заданным жидкостям, каждой из которых соответствует определенное число Fr. Нарисовав линии постоянного значения числа Fr = const, получим рисунок, полностью соответствующий рис. 3.
Для представления удобнее использовать логарифмические координаты, в которых прямая Rv = М-16 Ro, соответствующая жидкости, будет наклонена под углом 45о. Таким образом, параллельные прямые будут соответствовать различным жидкостям с разными числами М.
Данные экспериментов на рис. 3 были подтверждены расчетами по полной модели Навье-Стокса с определением функций течения и формы пузыря [4] для достаточно широких наборов параметров задачи. Сплошные - линии постоянного значения числа Фруда по расчетам уравнений Навье-Стокса; пунктир - по данным экспериментов для разных жидкостей - рис. 4.
Теперь все готово для прогнозирования всплытия пузырей в различных жидкостях.
R
5 4 3
R
G
Рисунок 4. Изолинии числа Фруда для всплывающих в жидкостях пузырей.
1/2 2 1/3
Ro = a/(c/g р)"Rv = a/(v2/g) . а - радиус эквивалентной по объему сферы. Данные для конкретной жидкости (М = Const) отображаются на прямой линии. - пузырь в земных условиях (а = 0,25 см, V « 22 см/с); - пузырь того же объема в той же жидкости в условиях микрогравитации (V « 0,02 см/с); - пузырь в условиях микрогравитации, имеющий силу Архимеда, как и на Земле (а « 5,3 см, V « 2,2 см/с)
В самом деле, надо получить прогноз по всплытию в данной жидкости с параметрами (рж, аж) в наземных условиях с ускорением свободного падения §ж - вычислим величину Мж по (1) и проведем на рис. 4 прямую, соответствующую уравнению = Мж-1/6 Я^. По данным точек пересечения этой прямой с изолиниями числа Фруда на рисунке, вычислим размеры пузырей для данной жидкости и скорости всплытия. По карте режимов течения на рис. 4 выясним основные закономерности по структуре течения и форме пузырей.
Надо выяснить характер всплытия в данной жидкости (рж, уж, аж) в условиях микрогравитации с параметром ^ - вычисляем величину Мжцй по (1) для данной жидкости и условиям гравитации и на рис. 4 проводим прямую соответствующую = Мжцй~1/6 Я0. Поскольку величина Мжцй будет много меньше числа Мж (^ << §ж), то последняя прямая будет располагаться на рис. 4 выше прямой, соответствующей данным жидкости в наземных условиях. Таким образом, очевидно, что процесс всплытия в космосе не будет подобным никогда для данной жидкости в наземных условиях.
Эти факты подтверждают изменение инерциальных свойств жидкости в зависимости от гравитационных (инерциальных) условий. Причем даже если будет одинаковой выталкивающая сила пузыря (архимедова) - квадратики на рис. 4, скорость всплытия в космосе может быть меньше более чем на порядок. Числа Рейнольдса при этом больше, чем на Земле.
Такой же вывод справедлив и для всплывающих капель, в том числе и для таких, у которых внутри очень вязкая жидкость, так что каплю можно считать твердой частицей [4]. Таким образом, движущаяся с постоянной скоростью твердая частица заданного размера и в данной жидкости будет создавать течение, которое в земных и космических условиях не будет идентичным.
По данным рис. 4 также успешно решается вопрос о подобии процессов на земле и в космосе. В самом деле, если в космосе жидкость с параметрами (рж, уж, ож), то она характеризуется числом Мжцй, значит, подобный процесс всплытия в наземных условиях может быть только в жидкости, у которой этот параметр такой же (безразмерные параметры у подобных процессов одинаковы). Тогда две прямые для этих разных жидкостей на рис. 4 совпадают. Решив задачу подбора жидкости с нужным параметром М, определяем по данным рис. 4 для данной точки соответствующий размер пузыря и скорость всплытия для наземных условий. Так если рассмотрим раствор глицерина в воде, который для земных условий имеет Мж ~ 10-7 (см. рис. 4), то эта же жидкость в условиях микрогравитации будет иметь Мжцй ~ 10-11, значит, для построения подобного процесса на земле надо использовать жидкость типа воды, у которой примерно такое число М. Понятно, что в условиях микрогравитации пузыри в растворе глицерина будут иметь существенно большие размеры, чем в наземных условиях в воде.
Представленные результаты дают прекрасную иллюстрацию влияния микрогравитации на динамические процессы в жидкостях, и ставят на повестку задачу прогнозирования характера изменений для различных течений.
2. Наземные и подземные условия
Состояние природных сред (нефти, воды, газа и их смесей) в пластах месторождений характеризуется большим числом параметров. Это собственно физические константы сред (плотность, вязкость, объемное расширение, поверхностное натяжение), характеристики пластов, представляющих собой пористые пространства, структура заполнения их природными средами, условия в пласте и многие другие факторы. Так термодинамические условия пласта определяются высокими значениями температуры (более 100 оС) и давления (около 200 атм.). Зависимость физических констант от температуры достаточно хорошо исследована для типичных сред. Существуют оценки их и по отношению к изменениям давления. Однако в полной мере провести исследования во всем диапазоне интересующих значений давления невозможно, а потому приходится прибегать к экстраполяции результатов, что не является корректным.
Эксплуатация разведанных месторождений предполагает извлечение природных сред по одним буровым скважинам и замещение в пласт по другим скважинам объемов воды или
газа. В результате в пластах создается интенсивное конвективное течение. Ситуация осложняется еще и тем, что реологическое поведение сред в существенно различных условиях подлежит проверке.
Современное состояние прогнозирования конвективных процессов в природных средах пластов основывается на балансных соотношениях закона сохранения массы с учетом уравнений Дарси для отдельных фаз [5]. При этом предполагается, что жидкая составляющая природных сред имеет те же динамические свойства, что и на поверхности. Возможные различия учитываются в зависимостях коэффициентов от температуры пласта. В результате для прогнозирования движения сред в пластах получена система уравнений в частных производных второго порядка, в которой число неизвестных намного превышает число уравнений. В качестве способа приведения в соответствие ряд функций рассматривается как известные функции давления. Физические константы сред также предполагаются заданными аналитически. В результате получают замкнутую систему относительно давления и функций фазового насыщения. Однако, даже такая упрощенная математическая модель практически не поддается точному анализу неустановившихся процессов.
В качестве «рабочих моделей» используются уравнения материального баланса, представляющие собой конечные соотношения в ходе эксплуатации месторождения. При этом происходит усреднение практически всех характеристик сред на основании прямых или косвенных лабораторных экспериментов на добываемых средах.
Учет капиллярных свойств в пористых средах пластов значительно усложняет и без того непростую задачу. Данные натурных экспериментов по исследованию капиллярного давления на радиус кривизны показывает, что с ростом давления уменьшается радиус кривизны. Кроме того, наблюдается явление гистерезиса: результаты экспериментов зависят от того, были исследования по методу непрерывной отдачи жидкости (длинный канал) или при всасывании жидкости в короткий канал. Наблюдаются проявления неполного смачивания [5]. Проблема воздействия капиллярных сил в пористых пространствах не имеет ясного представления даже на уровне модельных задач.
Неясна и роль силы тяжести. Если бы она была определяющей, то в пластах бы наблюдалась слоистая структура: газ, нефть, вода. Однако вскрытые пласты не показывают этого. В результате предполагается, что вода заключена в тонких кольцах пор, с толщиной пленки в несколько молекулярных слоев. А нефть движется в таких узких каналах. Поскольку несма-чивающая фаза стремится занять большие поры и центральные части порового пространства, достаточно присутствия в нем небольшого количества этой фазы, чтобы отрезать наиболее проводящую часть среды и вызвать резкое снижение проницаемости для смачивающей фазы.
Механизмы нефтеотдачи связаны с давлением в пластах, аккумулирующим энергию. Главным источником энергии пласта является сжатый газ в нефти, создающий градиент давления, достаточный для продвижения смеси по пласту к скважине и далее на поверхность. Упругая энергия сжатой воды под нефтью так же может служить источником движения нефти по пласту. Итак, принципиальной характеристикой, определяющей конвективные процессы в пластах, являются свойства давления: его величина, реакция на скорость нефтеотдачи и характер его изменения в пласте.
Следует признать, что современное состояние проблемы прогноза конвективных процессов в пластах месторождений природных сред является следствием экстраполяции данных, полученных в наземных условиях и проверенных на узком классе лабораторных экспериментов, в область, характерные свойства которой мало или совсем не исследованы. Попытки привлечь в качестве экспертной оценки данные по эксплуатации реальных месторождений не могут существенно повлиять на качество прогноза в силу слишком большого произвола относительно принятых функциональных зависимостей в используемых математических моделях.
Поскольку непосредственно изучить условия в пласте невозможно, имеет смысл привлечь теорию подобия для определения модельных сред и условий на земле, в которых процессы подобны тем, что идут в пластах. Построение таких систем можно использовать для выявления закономерностей движения природных сред в пластах и экспериментальной отра-
ботки реологических зависимостей. Решение этих проблем позволит выявить механизмы нефтеотдачи и построить оптимальные схемы эксплуатации скважин.
Определение характерных линейного размера и скорости через параметры системы, которые могут изменяться в больших пределах, позволяет получить минимальный набор безразмерных комплексов, из которого можно получить выводы об изменении динамических свойств.
В данной задаче в качестве такого параметра выступает давление в пласте, являющееся основным источником энергии для добычи нефти и газа. Определение характерных масштабов длины и скорости через давление в пласте позволит получить для отношений: сил трения и инерции, поверхностного натяжения и динамического напора функциональные зависимости от величины давления в пласте и, таким образом, получить прогноз по изменению динамических свойств жидкостей в пласте по сравнению с наземными условиями. Эти выводы позволят определить требования, которые необходимо учесть при выборе физической и математической моделей для прогнозирования конвективных процессов в пластах месторождений.
Выбор бенчмарка и теория размерностей
Для выявления значимых для рассматриваемого явления процессов необходимо построить лабораторный стенд (бенчмарк), достаточно простой, в котором присутствуют все физические явления. Рассмотрим модельную задачу, решение которой может дать толчок к пониманию процессов, происходящих в подземных пластах. Пусть жидкость (с параметрами р -плотность, V - вязкость, о - поверхностное натяжение, в поле силы тяжести §) заполняет канал шириной И, на входе которого задано давление рп + Ар, на выходе рп. Таким образом, имеем 7 физических констант, задающих состояние жидкости в канале:
р, V, о, & рп, Ар, И. (1)
В качестве безразмерных параметров (масштабных коэффициентов подобия) традиционно используются числа Рейнольдса, Вебера, Фруда, Эйлера (и, Ь - масштабы скорости и длины) [2]: Яе = ИЬ / V ^е = рИ2Ь / о, Бг = И2 / §Ь, Ей = рп / рИ2. (2)
Число Рейнольдса определяет баланс сил инерции и вязкости, число Вебера - динамического напора и капиллярных сил, число Фруда - динамического напора и сил плавучести, число Эйлера - внешних воздействий и динамического напора. Предполагаем, что величина давления рп может быть большой. Итак, имеем ситуацию, когда один параметр, здесь рп, изменяется в больших пределах, от 1 атм. на поверхности земли, до ~200 атм. в пласте.
Проявить воздействие физического параметра, который изменяется в больших пределах, можно, если выбрать масштабы длины и скорости с учетом его значения. Итак, примем в качестве Ь и И следующие величины:
Ь = рп / р§, И = (рп / р)1/2, (1 = (Ь / И) 1' = (рп / р)1/2 / 1' ).
В результате в (2) уменьшилось число безразмерных параметров: числа Фруда и Эйлера тождественно равны единице. А числа Рейнольдса и Вебера приняли следующий вид:
Яв = (рп / р)3/2 / vg , Же = рп2 / р§о. (3)
К (3) необходимо добавить оставшиеся два параметра в безразмерном виде
А = Ар / рп, Н = / рп. (4)
Теперь в (3) и (4) имеем четыре безразмерных параметра (минимальный набор независимых параметров согласно (1) равен 4 [2]) и анализ изменения динамических свойств среды в пласте по сравнению с земными условиями становится простым.
Изменение давления от атмосферного ра до величины рп приводит к усилению инерци-альных свойств жидкости (или уменьшению влияния трения)
Явп = (рп / ра)3/2Ява ,
и существенному ослаблению влияния капиллярных сил
Жвп = (рп / ра)2Жва.
Последний вывод, кстати, отмечается в [5] по данным результатов геологических исследований, но принадлежит к категории подлежащих проверке и обоснованию.
1/2
Поскольку величина 1 = Ь / и = (рп / р) ^ при этом также возрастает, то время развития конвективных процессов в пластах увеличивается.
Определение подобных процессов
Полученные выводы дают информацию об изменениях в движении с увеличением давления. Однако они недостаточны для принятия решения по выбору математической модели. Прояснить эти моменты можно, если удастся подобрать параметры среды в наземных условиях, для которой конвективные процессы подобны тем, что в пластах под большим давлением.
Для подобия двух физических процессов необходимо и достаточно, чтобы в этих процессах численные значения всех безразмерных параметров были одинаковыми [2]. В данном случае, необходимо и достаточно, чтобы в (3) и (4) параметры были одинаковыми для двух рассматриваемых ситуаций, которые будем обозначать индексами «п» и «а»:
Явп = Ява , Жвп = Шва , Ап = Л , Нп = На .
В результате имеем следующие зависимости между физическими параметрами сред в пласте и на поверхности и геометрическими масштабами:
3/2 3/2 2 2
(рп / РпГ / ^п§п = (Ра / РаГ / Vag а , рп ' Рп&Оп ра / РаgаCа , (5)
Арп / Рп = Ара / Ра , Рпgпhп / Рп = Раgаhа/ Ра . (6)
Система 4 алгебраических уравнений (5), (6) относительно 7 параметров с индексом «а» является нелинейной и в общем случае практически мало пригодной. Однако, как правило, имеются дополнительные соображения по ряду параметров. Точный учет порового пространства пласта будет при одинаковых геометрических размерах образцов:
Ьп = Ьа .
Поскольку пласт находится на глубине 2-3 км, следует, что величина ускорения свободного падения изменяется на доли процента. То есть можем принять gп = ga. Таким образом, из второго уравнения (6) получаем
Ра / Ра = Рп / Рп . (7)
При заданных значениях давления и плотности жидкости в пласте, можно определить плотность модельной среды на поверхности
Ра = РаРп/ Рп ,
которая будет на два порядка (в данном случае) меньше, чем плотность жидкости в пласте.
Из уравнений (5) с учетом (7) получим:
V = Уп, Са = ОпРа /Рп. (8)
Последнее соотношение в (8) говорит о том, что поверхностное натяжение модельной среды меньше единицы, что соответствует газовой среде. Из (7) и первого соотношения (8) следует, что
^аРа = ^пРпРа / Рп ,
то есть динамическая вязкость среды на поверхности на два порядка меньше, чем у жидкости в пласте. Именно такое соотношение по порядку величин у воздуха и воды [6]. Таким образом, из (7) и (8) можно определить параметры среды (газ - воздух?) на поверхности, в которой состояние будет таким же, как в жидкости (вода) в пласте.
Известно, что в подземных пластах температура выше (~100 С [5]), чем на поверхности. Учет перепадов температуры АТ на границах канала приводит к появлению еще, по крайней мере, двух физических параметров: коэффициента температуропроводности кт и коэффициента объемного расширения р. В результате для подобия рассматриваемых сред необходимо равенство чисел Прандтля Рг = V/ кт и Буссинеска Ви = в АТ.
Первое условие наиболее жесткое. Поскольку число Прандтля уменьшается с ростом температуры, то условия в пласте приводят к уменьшению разницы в числах Прандтля для жид-
кости (в пласте) и газа (на поверхности). Так вода при Т = 20 оС имеет Рг = 7, а при Т = 80 оС уже Рг ~ 2, воздух при Т = 20 оС имеет Рг = 0,7 (пары воды увеличивает число Прандтля).
Второе условие дает равенство раАТа = рпАТп, которое можно удовлетворить для данного значения ра выбором АТа. Аналогично подбирается Ара из первого соотношения в (6).
Таким образом, учет температурных эффектов в пластах позволил конкретизировать среду на поверхности (пары воды с воздухом), в которой процессы подобны тем, что в пласте с водой под давлением. Пористой средой на земле будет выступать тот же самый материал, что и в пласте.
Этот вывод уже позволяет определиться с математической моделью для прогнозирования движения в подземном пласте. Модель должна учитывать эффекты сжимаемости. В качестве первого шага можно взять регуляризованные с учетом слабой сжимаемости вдоль траекторий движения математические модели несжимаемых жидкостей [7] и проследить влияние сжимаемости на динамику течений в каналах. Тестовые расчеты подтвердили возможность учета физической сжимаемости в данных регуляризованных математических моделях без нежелательных ограничений, присущих классическим моделям газовой динамики, гиперболическим системам [8].
Поскольку в модели появляется еще один параметр т, то для подобия процессов на земле и в пласте необходимо соблюсти равенство безразмерного параметра, обусловленного слабой сжимаемостью. Необходимо выполнение
Тп / (рп / Рп)1/2 / §п = Та / (ра / Ра)Ш / §а.
С учетом приближений и (7) это равенство сводится к следующему
тп ~ та.
Параметр слабой сжимаемости для газов (и жидкостей) в нормальных условиях определен на основании расчетов и сравнений с экспериментами (та ~5-10-3 для воздуха) и он больше, чем соответствующий параметр для жидкостей в нормальных условиях [7, 9], увеличивается с уменьшением интенсивности течения.
Модель добывающей и нагнетающей скважин.
В качестве расчетной области - рис. 1 - выберем прямоугольник высотой 0,5 и длиной 1,5, который сверху имеет три канала одинаковой ширины 0,01 и высоты 0,5. Длина каналов выбрана достаточно большой по отношению к ширине с тем, чтобы рассчитывался длинный канал, и эффекты от концов канала не оказывали определяющего воздействия на течение в канале и пласте.
Р = 0 Р = 2000 Р = 0
Рисунок 1. Геометрия области течения, поле давления и краевые условия для функции давления
На вертикальных участках пласта - прямоугольника - задается большая величина давления Р. На торцах трубок - каналов - постоянные значения давления, такие, что по среднему каналу жидкость втекает, а по крайним - вытекает из пласта. Для скорости здесь задается ка-
сательная к границе компонента, равная нулю. Нормальная компонента скорости находится в процессе решения. Остальные границы - твердые, непроницаемые, скорость на них равна нулю. Это краевая задача с заданными перепадами давления -задача «протекания» [10]. Поскольку решаются регуляризованные уравнения, добавляется еще краевое условие для давления на всех границах.
В данном варианте, перепады давления ДР на всех трубках равны 1000, различаются только знаком. Изолинии поля давления рис. 1 показывают, что воздействие нагнетающего канала передается на добывающие каналы. В самих каналах давление по высоте распределено линейно.
На рис. 2 представлено поле вертикальной компоненты скорости. Расходы через каналы одинаковые, профиль скорости - параболический [11].
У = 2.28 У = 2.28 У = 2.28 \
[у Р
Рисунок 2. Поле вертикальной компоненты скорости.
Крайние каналы - добывающие, средний канал - нагнетающий
Число Рейнольдса, рассчитанное по наибольшей величине скорости в канале и ширине канала небольшое, равно 2,28. В канале реализовалось течение Пуазейля. Однако имеются значительные различия в структуре течения в окрестности нижних концов каналов. Возмущения от добывающих каналов локализовано вблизи входа в канал, а от нагнетающего распространяется на большое расстояние, доходит до нижней стенки.
Увеличение на порядок перепадов давления ДР приводит к колебаниям течения вблизи нижней границы. Струя жидкости из нагнетающего канала доходит до нижней стенки, и растекается в обе стороны. В окрестности точки натекания струи на дно появляется область повышенного давления рис. 3.
Рисунок 3. Поле давления в пласте. ДР = 10000
С точки зрения переходных процессов области локального максимума давления - это место образования когерентных структур [9, 12]. При наличии возмущений или превышении интенсивности струи некоторой величины, течение становится нестационарным: струя начинает совершать колебательные движения в стороны. В результате для интенсивных процессов это может реализоваться в автоколебательный режим, либо выйти на некоторый устойчивый тип течения - рис. 4. При этом образуются конвективные круговые потоки, достигающие входных участков добывающих каналов.
В каналах давление распределено по линейному закону по высоте, а течение имеет параболический профиль. Расход через каналы, в соответствии с перепадом давления, вырос то же на порядок (Утах = 22,8, Яек = 22,8).
Рисунок 4. Поле модуля вектора скорости для перепадов давления на каналах 10000
Поскольку нагнетающий канал оказывает более сильное влияние на пласт, чем добывающий, имеет смысл посмотреть процессы, когда перепад давления на нагнетательном канале меньше. Следующая задача в полной мере демонстрирует непредсказуемость характера течения. На рис. 5 представлена установившаяся картина для поля модуля вектора скорости при давлении в пласте 8000, на верхнем торце нагнетательного канала 12000, на верхних торцах добывающих каналов 0.
Рисунок 5. Поле модуля вектора скорости в пласте. Утах = 18,1, ЛРн = -4000, ЛРд = 8000
Перепад давления на нагнетательном канале по сравнению с предыдущим решением уменьшился в 2,5 раза. Пропорционально уменьшился и расход через канал. Меньше стал расход и на добывающих каналах. Соответствие перепадов давления на добывающем и нагнетающем каналах 2:1. Примерно в таком же соответствии и расходы.
С точки зрения установившегося течения все расходные характеристики через каналы находятся в полном соответствии с решением Пуазейля. Однако сам характер течений в пласте изменился. Более слабый напор нагнетательного канала уже не создает интенсивного течения, достигающего обоих добывающих каналов. Струя от нагнетательного канала достигнув дна не разделилась на две, а отклонилась в сторону и назад уже не вернулась. Появившееся нестационарное колебательное течение оказалось достаточно слабым. В результате возникло замкнутое кольцевое движение между нагнетательным и одним добывающим каналом.
На рис. 6 представлены области более плотной (темные области) и менее плотной среды в окрестности добывающих и нагнетающих каналов.
Рисунок 6. Области уплотнения и разрежения на левом, среднем и правом каналах
Заключение
Продемонстрированы эффективные способы получения прогнозов по результатам натурных экспериментов с использованием теории размерностей и метода подобия. Доказана невоспроизводимость одного и того же эксперимента в наземных и космических условиях. Указаны способы построения лабораторных стендов в которых процессы будут подобными.
На основе теории подобия дан анализ воздействия доминирующего параметра на динамические свойства среды в пласте. Принципиально важным является учет эффектов сжимаемости в пластах. Показано, что в наземных условиях средой, в которой процессы подобны тем, что в воде пласта, может выступать пар с воздухом.
Показана принципиальная возможность создания лабораторного стенда с газом в качестве рабочей среды для исследования свойств жидкостей в призабойных зонах буровых скважин.
Показаны значительные различия в динамике жидкости в окрестности конца нагнетательного и добывающего каналов. Воздействие от нагнетательного канала на пласт существенно больше, чем от добывающего канала при одинаковых расходах (и при меньших на нагнетательном канале).
Регуляризованные с учетом слабой сжимаемости вдоль траекторий модели Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска могут служить основой для построения экспертных систем для прогноза состояния сред в различных условиях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Haberman, W. I. An experimental study of bubbles moving in liquids / W. I. Haberman, R. K. Morton // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. - 49(387). - 1954. - Pp. 367-387.
2. Седов, Л. И. Механика сплошной среды [Текст] / Л. И. Седов. - Т. 1. - М. : Наука, 1973. - 536 с.
3. Кутателадзе, С. С. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах [Текст] / С. С. Кутателадзе, В. Е. Накоряков. - М. : Наука, 1984. - 302 с.
4. Волков, П. К. Гидродинамика всплывающих пузырей и капель. (Обзор) [Текст] / П. К. Волков // ИФЖ. - 1994. - Т. 66, № 1. - С. 93-123.
5. Маскет, М. Физические основы технологии добычи нефти [Текст] / М. Маскет. - М. ; Ижевск, 2004. - 608 с.
6. Бэтчелор, Д. Введение в динамику жидкости [Текст] / Д. Бэтчелор. - М. : Мир, 1973. -760 с.
7. Волков, П. К. Метод конечных элементов для решения краевых задач регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости в переменных «скорости-давление» [Текст] / П. К. Волков, А. В. Переверзев // Математическое моделирование. - Т. 15, № 3. - М., 2003. - С. 15-28.
8. Ананьев, П. А. Исследование естественноконвективных течений с неустойчивой температурной стратификацией [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков // Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. - 2005. - Т. 45, № 7. - C. 1289-1303.
9. Волков, П. К. Движение жидкости и газа на земле, в космосе и под землей. Palmarium Academic Publishing (2012-06-26) [Текст] / П. К. Волков. - ISBN-13: 978-3-8473-9556-0. -196 с.
10. Ананьев, П. А. Исследование корректности краевых задач для уравнений Навье-Стокса в естественных переменных [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков, А. В. Переверзев // Математическое моделирование. - 2004. - Т. 16, № 5. - С. 15-28.
11. Волков, П. К. Моделирование в наземных условиях природных сред в пластах месторождений [Текст] / П. К. Волков // Доклады Академии Наук. - 2007. - Т. 417, № 3. -С. 332-336.
12. Ананьев, П. А. Когерентные структуры и струи в естественно-конвективных течениях [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков // Теплофизика Высоких Температур. - 2006. -№ 3. - С. 425-434.
