Научная статья на тему 'Продольный изгиб составного стержня с симметричными затяжками'

Продольный изгиб составного стержня с симметричными затяжками Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
193
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ / СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ / ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ / УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ТРЕНИРОВКА / ПОВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК / LONGITUDINAL BENDING / COMPOSITE ROD / PRELIMINARY PLASTIC DEFORMATION / ELASTIC PLASTIC TRAINING / INCREASE OF LIMIT LOADS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Воронцов А.П.

Рассматривается задача продольного изгиба составного двухветвевого стержня, с двумя симметричными затяжками, нагруженного продольной сжимающей и поперечной нагрузками, ветви которого подвергаются предварительному пластическому деформированию, как растяжением, так и сжатием. Расчёты были проведены на основе квазистатических уравнений процесса продольного изгиба, с учётом влияния усилий предварительного обжатия стержня и пластической тренировки элементов ветвей стержня.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Longitudinal bending of compound rod with symmetric tightening

The paper discusses the problem of longitudinal bending of a compound two-branch rod, with two symmetrical tightening, stressed with longitudinal compressive and transverse loads, which branches are affected by pre-plastic deformation as extension and compression. Calculations were carried out on the basis of equations of longitudinal bending process, taking into account the influence of the efforts of prior rod compression and plastic training of rod branches elements.

Текст научной работы на тему «Продольный изгиб составного стержня с симметричными затяжками»

УДК 539.3

Продольный изгиб составного стержня с симметричными затяжками

к.т.н. доц. Воронцов А.П.

Тверской государственный технический университет 8 (4822) 52-63-63, kafsm@yandex.ru Аннотация. Рассматривается задача продольного изгиба составного двухветве-вого стержня с двумя симметричными затяжками, нагруженного продольной сжимающей и поперечной нагрузками, ветви которого подвергаются предварительному пластическому деформированию как растяжением, так и сжатием. Расчёты были проведены на основе квазистатических уравнений процесса продольного изгиба с учётом влияния усилий предварительного обжатия стержня и пластической тренировки элементов ветвей стержня.

Ключевые слова: продольный изгиб, составной стержень, предварительное пластическое деформирование, упругопластическая тренировка, повышение предельных нагрузок.

Применение составных предварительно напряжённых стержней позволяет существенно повысить предельные полезные нагрузки в сравнении с аналогичными сплошными стержнями при одновременном снижении их материалоёмкости. Основы их расчёта разработаны А.Р. Ржаницыным [1, 2]. Однако вопросы исследования процесса потери устойчивости, особенно с учётом предварительного пластического деформирования отдельных элементов и зон распределения упругопластических деформаций, изучены недостаточно.

В развитие [7] рассматривается составной двухветвевой стержень с двумя симметричными затяжками, нагруженный продольной сжимающей и поперечной нагрузками (рисунки 1 и 2), ветви которого подвергаются предварительному пластическому деформированию как растяжением, так и сжатием [4] (Б11 = да ).

Рисунок 1. Схема неизогнутого составного стержня с симметричными затяжками

Рисунок 2. Схема изогнутого составного стержня с симметричными затяжками

Серия «Естественные науки»

Будем считать, что каждая ветвь в отдельности подвергается предварительному деформированию противоположного знака до одного уровня напряжений (остаточных деформаций).

Таких уровней было 3: Ь 1 = о01 /охк = 1,08; Ь2 = 1,19, Ь2 = 1,23 .

Здесь о^ - предел текучести; о0, - уровни (1 =1, 2, 3) напряжений до которого проводилось предварительное пластическое деформирование ветвей (материал считался циклически идеальным).

Расчёты были проведены на основе квазистатических уравнений, в процессе выпучивания сжато-изогнутого стержня [5] с учётом влияния усилий предварительного обжатия стержня (до одного постоянного значения Ь = 0,4) и пластической тренировки элементов ветвей стержня.

Основные уравнения процесса в скоростях имеют вид:

ё0=[А1 (М0+Мс+()0+МЖ)+М (А2 + А^)/(А0А2-А12). (1)

Ж =[А0(М0 +Мд + ()0Х+М&)+М (А,+А0У/)]/(А0А2-А;), (2)

где: е0 (7, г) - деформация оси, - прогиб; М0(7), Q0(t) - реакции связей на конце стерж-

ня при г=0, М - изгибающий момент от поперечной нагрузки, 1 - обобщенное время;

Ап - жесткостные характеристики, вычисляемые для каждого сечения с учетом развития упругопластических зон;

Ап = ]Ек (у)Ъ(у)упйу (3)

У1

Ьк =--касательный модуль диаграммы сжатия или растяжения материала.

йе

В (1) и (2) основными неизвестными являются е0, Ж, N М0, Q0, которые связаны через дополнительные соотношения, получаемые из уравнений статики. За меру выпучивания принималось сближение концов стержня:

г г

А 7 = +0.5 ¡(Ж (4)

0 0

Краевая задача решается методом конечных разностей. Конечноразностное представление производных по ъ уравнения (2) для внутренних точек принимают вид:

С, = (Ж,, Q)=0, Ж, =Ж(7,г,), I = 0, 1, 2,..п, 3 = 1, 2,..., п-1. (5)

Здесь С, - квазилинейные формы, содержащие неявно нелинейности в коэффициентах

через параметры жесткостей А.

Для получения полной системы (4) добавляются четыре соотношения из геометрических граничных условий, а также соотношения, устанавливающие связь параметров процесса с 7.

Граничные условия для произвольного случая закрепления стержня могут быть записаны в виде:

Б к №(1,0)^! да,Ь),Ы 0,О0Л= О к (Т). (6)

Функция Ок (1:) представляет собой линейные или угловые перемещения. Если геометрических граничных условий меньше четырёх, то дополнительно используются уравнения статики. Сводя, пять дополнительных соотношений к дифференциальной форме, получаем полную систему уравнений, которые имеют следующий вид в матричной форме:

БУ=К

Mt),

7 =

Wm-1, m = 1,2, ...n +1

M,

m = n + 2 m = n + 3

0' 00.

F, m = n + 4

K= (Kг ), Kг =

W

'i-n+1

0, i = 1,2,..., n -1 i = n, n +1,..., n + 4

I, m =1,2,..., n+4.

где: В=(В п) - матрицы коэффициентов квазилинейных форм С ,Б i

Задавая начальные условия, определяемые конфигурацией и состоянием стержня в начальный момент времени, приходим к задаче Коши.

Решение этой задачи проводим по шагам. На первой стадии вычислительного процесса, считаем I = N, где: N - параметр нагрузки, на второй - в закритической стадии производим смену ведущего параметра - ^ = /, где: / = 2) - параметр перемещения. Переход ко

второй стадии производится при выполнении условия ёА> т, где: А - сближение концов стержня, т] - заданный параметр алгоритма.

В расчетах использовано безразмерное представление основных величин:

Е*=Е/Б,, А* = А/Г, х* =%Ь,

М * = М /(А П = Ап /(ЕЬ(0)к"+\ Параметр т определялся по результатам численных экспериментов механические свойства материала стержня определялись диаграммой сжатия ас — ес.

На рисунке 3 ,а1 - деформация и напряжение, соответствующее пределу упругости

0 * материала; - сжимающие напряжения упругопластической тренировки; е0 - остаточные

деформации в материале стержня после предварительного пластического деформирования. Предполагалось, что для материала стержня при циклических нагрузках справедлив принцип

Мазинга - пределы упругости при растяжении и сжатии - одинаковы: =

— о

0. оь 01, t rl,.- _вс

Г/ 1 1

ш е;

Рисунок 3. Диаграммы сжатия и растяжения материала стержня до и после упругопластического деформирования

Дифференциальное уравнение продольно поперечного предварительно напряжённого шарнирно-опёртого составного стержня, состоящего из двух одинаковых ветвей, имеет вид:

W'y + -tW- - N1 W = q (l2 -*2)12 - C• (P - -M- . (7)

Z EJ EJо 2E0J0 E0J0 Z EJ

Здесь с (Pj-P2) - величина момента усилий взаимного самонапряжения по торцам стержня с симметричными затяжками. 24 Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4

Серия «Естественные науки»

Расчеты были проведены для стержней из стали Ст. 3 (предел текучести о = 240 МПа, гибкости 1 = 36,8, о0 = 280 МПа).

Варьировались уровень предварительного пластического деформирования и величина усилий в затяжках.

Установлена зависимость предельных сжимающих нагрузок на стержень в зависимости от степени предварительного пластического деформирования ветвей стержня и уровня усилий в затяжках при фиксированных сдвиговых деформациях в связях.

Вычисления показывают, что при заданном уровне предварительного натяжения в затяжках при отсутствии поперечной нагрузки, тренировка ветвей (растяжением, сжатием) приводит к повышению (24 - 30%) предельных нагрузок в сравнении с нетренированными ветвями. Предварительное пластическое деформирование ветвей растяжением и сжатием с учётом поперечной нагрузки приводило для указанной гибкости стержней (при одинаковом значении о°) к повышению предельных нагрузок от 20% до 25 % .

Литература

1. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций. М. Стройиздат, 1948.

2. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. Гостехиздат. 1955.

3. Воронцов А.П. Устойчивость предварительно напряжённого составного стержня // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: VI Международная научно -техническая конференция (Тула, 30 июня - 2 июля 2005 г.): ТГУ, 2005. С. 7 - 8.

4. Воронцов А.П., Зубчанинов В.Г. Экспериментальные исследования влияния упругопла-стической тренировки сжатия стержней на их несущую способность // Устойчивость в мех. деформ. тв. тела: Материалы Всесоюзн. симп.- Калинин: КГУ, 1982. - С. 19 - 25.

5. Воронцов А.П., Зубчанинов В., Кульков С.А. Устойчивость внецентренно сжатых стержней, подвергнутых предварительному упругопластическому деформированию // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твёрдого тела: Материалы III симп. Тверь: ТвеПИ, 1993. С. 33 - 41.

6. Воронцов А.П. Исследование устойчивости составного стержня // Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твёрдого тела: VI Международный научный симпозиум (Тверь, 1-3 марта 2006 г.): ТГТУ, 2006. С. 17 - 18.

7. Воронцов А.П. Исследование продольного изгиба составного стержня // Вестник Тверского государственного технического университета // Научный журнал. Выпуск 13. Тверь: ТГТУ, 2008. С. 212 - 216.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.