CC BY
35
УДК 539.374, 621.646
А. И. Ефимова, асп., (4872) 33-23-80,
pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Е. В. Панченко, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
И. В. Лопа, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫДВИЖНЫХ ШПИНДЕЛЕЙ ЗАТВОРОВ ТРУБОПРОВОДОВ С УЧЕТОМ ПОДДЕРЖИВАЮЩЕГО ВЛИЯНИЯ САЛЬНИКА
Рассматривается продольная устойчивость выдвижного шпинделя затвора трубопровода как шарнирно опертого стержня с промежуточной распределенной поперечной нагрузкой, нагруженного сжимающим осевым усилием. Предложен способ учета поддерживающего влияния сальника при моделировании потери продольной устойчивости шпинделем, позволяющий определить истинную форму потери устойчивости и величину критической нагрузки. Показано, что характеристики сальника оказывают существенное влияние на параметры устойчивости конструкции и их рациональный выбор позволяет существенно повысить запас по устойчивости.
Ключевые слова: продольная устойчивость, штамповка.
Рассмотрим шпиндель затвора трубопровода [1]. Примем гипотезу, что материал уплотнителя сальника сопротивляется изгибу линейно упруго. Тогда схему расчёта такой стержневой конструкции на продольную устойчивость можно представить в виде рис. 1.
Уравнение изогнутой линии в этом случае имеет вид
= _ру (г) + ^, (1)
а2
где Е - модуль упругости материала шпинделя; J - момент инерции поперечного сечения; ЯА - реакция опоры.
Реакцию опоры ЯА будем определять как сумму двух составляющих:
Ха = кА + яАА,
где Я‘А - составляющая реакции опоры от распределения нагрузки в виде прямоугольника; Я^ - соответственно от треугольника.
Из уравнений равновесия получим (рис.2)
Е Ма = 0^
I _ І I
яА = k-Y Ж _ |);
і _ - _—-k (, -2) 1 6
Е Мв = 0 | яАА = ту(-1 + ^)—-
*'2
)--------6
2'
Или окончательно для суммарной реакции
I _ I _11
I _ І I k Iі 1 ¿2
Яа = у( I, _ х) + ТУ (I, + т)--------------—
I
2 I і 2 I
(2)
Рис.1. Затвор трубопровода и расчетная схема учета поддерживающего влияния сальника
Рис.2. Расчетная схема для определения реакций опор Яа и Яв
Подставляя (2) в (1), получим
ЕЛ
42 У( 2) ¿2 2
ґ 1 1
I _I _ — I
I _ I I к I * *1 ,*2
= _РУ(2) + к------^ у{1, _ -±) + У(I1 + -)--------— 2 .
I 2 I/ 2 I
(3)
V J
При интегрировании (3) используем метод последовательных приближений [2]. В качестве первого приближения воспользуемся синусоидой Эйлера:
П2
У1( 2) = с0 эту.
(4)
Подставляя (4) в правую часть (3), получим дифференциальное урав-
нение, в котором правая часть является известной функцией от z:
' Г ¡2 } 1 Г 12 ^
П ¡1 -
I - ¡1 . V1
пг
_ Р біп-----------+ г • к
I
1_2
2
I
I
+
п
I1 +
1_2
2
I • I
У
2
I
V У.
После последовательного интегрирования (5) получим:
.(5)
с0
Е • Л
(
, I 12 . П2 23
Р\ — І біп-----------1------к
п У I 6
ґ. 12 1
I _ и
п
II _
I _ II _112
+ 1 6 2 біп
Г 12 11
п
I1 +
I • I
2
+ С12 + С 2
Константы интегрирования определяются из граничных условий
У2(0) = 0 => с2 = 0;
.(6)
/2(0 = 0 => С| =_ 112
с1 = — I к 16
I _ I
п
I
ґ. 12 1 1
I _ I| _- 12 п
, 1 6 2 •
+-----------------------------біп —
I! _
V 1 2 У
ґ I2
I1 + -
V 1 2 У
I
I • I
2
I
. (7)
Из (2) с учетом (4) следует, что I - ¡1
ЯА = к
I
81И
ґ ґ і ЛЛ
I1 _ -
V 1 2 У
п
I
I _ I1 _ 6 ^
+--------------------------біп п
I • I
2
Заменяя в (7) выражение ^ из (8), получим
= 1 /2 п
С1 = - 6 1 КЛ,
и второе приближение примет вид
(8)
(9)
У2(2)=
с0
ЕЛ
Р
ҐР
VпУ
2
• п2 , 1 о ( 3 ,2 )
Б1П---------1----Яа ( 2 _ I 2 )
I 6
(10)
2
2
I
I
I
Для нахождения первого приближения критической силы приравняем амплитуды первого и второго приближений в фиксированной точке, например, 2 = ¡1:
у2(11) = у1(11) => Ркр1 =
п 2 EJ
Я
Л
. п • ¡1
6 Э1П--------------Е • J
I
(¡13 -12 ¡1)
(11)
Тогда окончательно выражение для второго приближения примет
вид
У2(2) = С0
Ял -(¡,3 -12ю
. ¡1
6 Э1П-------------Е • J
¡
• П , ЯЛ ( 3 ,2 )
Э1П---------1---------(2 - ¡2)
I 6Е • J
(12)
.V I У
Для нахождения третьего приближения подставим (12) в правую часть (3) и повторим описанную выше процедуру:
У Л
у2
d У3 С0
d22 Е^ J
Р
Ял -(¡,3 -/2«
бэтП/1 Е • J ¡
. Ж2 ял , 3 /2 \
Э1П-------1----------(2 -/ 2)
/ бЕ • J
+ 2 • Я,
,(13)
У3(2)=
Е • J
- Р
1 -
Я.
(¡13 - / X)
бэ1п Е • J
/
. П2 Э1П — + /
(14)
+ -
Я
б Е • J
( 5 3 Л
--------/2 —
20 б
2
+------ЯЛ + С12
б Л 1
где С1 = Р
Ял 7/
4
бЕ • J б0 б
Ял/ 2.
Тогда
Ркр 2 =
(¡1 - Г/1)-
Я
Л
24Е • J
П ¡1 , ,3 б - П2 , ,2, 7П2 -
-----+ м------------------+ / ¡1 -----------
20¡2 б б0
(15)
б0
Для проверки адекватности полученных формул предположим, что промежуточная опора расположена на расстоянии ¡1 = . Тогда уравнения
(12), (14), и (15) запишутся так:
2
¡
1
2
С
0
1
1 +
RAl
16 Е • J
. пг RA (23 -122)
эт-----1----------------
I
6 EJ
(16)
Ркр 2
п2Е•J п2RAl 12 + 16
?3
1+
УЛ_____
24Е • J
2
(17)
RAr 7п2 + 240
Уз(г)=с0
1+
RAl
3
16Е • J
RAl3 7п2 + 240
640
. П2 RA
эт— + —— І 6Е • J
(г 5 - / 2г 3 )+
1+
+
24Е • J
RA 714 г
640
2
п
I
2
1+
RAl
16Е • J
360Е • J
1+
RAl3 7п2 + 240
(г 3 -12 г)
(18)
24Е • J 640
Проанализируем формулы (16)-(18). При к = 0 (сальник отсутствует) выражения (16) - (18) трансформируются в известные формулы Л. Эйлера для шарнирно-опёртой балки.
При к ^ да (абсолютно жёсткая промежуточная опора) имеем
Ііш Р
кр 2
Ііш
k ^да
п 2 EJ V
+
п 2 RAl 16
24 п 2 EJ 640
3,62п2Е • J
3
2
1+
RAҐ 7п + 240
1612 (7 п 2 + 240 )
I
2
(19)
24 EJ б40
а точное решение (суммарная длина стержня в 2 раза меньше):
Р =
1 кр
4п 2 EJ
(20)
Видно, что между точным (20) и приближённым (19) решениями расхождение менее 10 %. Для более точного решения необходимо дальнейшее нахождение приближений. На рис. 3 и 4 представлены результаты численных расчетов, полученные при следующих исходных данных: Е = = 2-105 Н/мм2; J = 491 мм4; ¡ = 100 мм; ¡1 = 50 мм; ¡2 = 10 мм. На рис. 3 изображены формы изогнутой оси шпинделя в зависимости от жесткости сальника: кривая у1^) - при коэффициенте жесткости к=0 (сальник отсутствует); кривая у2^) - при коэффициенте жесткости к=103 н/м; кривая у3^) - при коэффициенте жесткости к= 5^10 н/м; кривая у4^) - при коэффициенте жесткости к^-да (абсолютно жесткая промежуточная опора).
3
3
Ъ
Рис.3. Формы изогнутой оси шпинделя в зависимости от жесткости
сальника
Анализ рисунка показывает, что кривая у1(ъ) совпадает с синусоидой Эйлера; с ростом жесткости сальника амплитуда прогиба уменьшается и при коэффициенте жесткости к=5 • 10 н/м (кривая у3(ъ)) изгиб происходит по уже двум несимметричным полуволнам, а при замене сальника на абсолютно жесткую промежуточную опору (кривая у4(ъ)) - по двум симметричным полуволнам, что соответствует классическому решению.
На рис. 4 представлена зависимость величины критической нагрузки от жесткости сальника. При к=0 решение совпадает со значением эйлеровой критической силы. С ростом коэффициента жесткости величина критической нагрузки возрастает и при больших величинах коэффициента жесткости приближается к значению, справедливому для стержня с тремя жесткими опорами.
к2
Рис.4. Критическая нагрузка в зависимости от жесткости сальника
Таким образом, предложена модель и получены расчётные формулы для учёта влияния поддерживающего влияния сальника при моделировании потери продольной устойчивости выдвижным шпинделем затвора трубопровода. Показано, что жесткость сальника оказывает существенное влияние на параметры устойчивости конструкции и ее рациональный выбор позволяет существенно повысить запас по устойчивости.
Список литературы
1. Гуревич Д.Ф. Конструирование и расчет трубопроводной арматуры. М.: Машиностроение,1968, 888 с.
2.Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов /пер. с английского языка под редакцией Э.И. Григолюка. М.: Мир, 1976. 480 с.
A.I. Efimova, E. V. Panchenko, I. V. Lopa
LONGITUDINAL STABILITY OF SLIDING SPINDLES OF SHUTTERS OF PIPELINES TAKING INTO ACCOUNT SUPPORTING INFLUENCE OF THE EPIPLOON.
Longitudinal stability of a sliding spindle of a shutter of the pipeline as шарнирно опертого a core with the intermediate distributed cross-section loading, loaded with compressing axial effort is considered. The way of the account of supporting influence of an epiploon is offered at modeling of loss of longitudinal stability by a spindle, allowing to define the true form of loss of stability and size of critical loading. It is shown that epiploon characteristics make essential impact on parameters of stability of a design and their rational choice allows to raise essentially a stock on stability.
Key words: longitudinal stability, punching.
Получено 20.01.12
