Проблема управления рекламой в задаче производства и сбыта товара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Управление, вычислительная техника и информатика № 1

УДК 658.512

Ю.И. Параев

ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ РЕКЛАМОЙ В ЗАДАЧЕ ПРОИЗВОДСТВА И СБЫТА ТОВАРА

В математическую модель производства и сбыта товара включено влияние рекламы. Поставлена задача об оптимальном управлении производством, ценой товара и рекламой. С помощью принципа максимума Понтрягина получено решение задачи. Показано, что в условиях задачи управления производством и рекламой являются релейными. Найдены необходимые и достаточные условия существования решения задачи.

В настоящее время разрабатывается новое научное направление - динамическая экономика, когда в качестве математических моделей экономических процессов выбирается система дифференциальных или разностных уравнений. Для задач производства, хранения и сбыта товаров достаточно удачной является модель, первоначально изложенная в [1], а также уточненная в [2]. В настоящей работе проводится дальнейшее обобщение этой модели, связанное с включением в задачу проблемы влияния рекламы на темп продажи товара. В отличие от [3] рассматривается более адекватная математическая модель влияния рекламы. Получено решение задачи, а также сформулированы необходимые и достаточные условия его существования. Для простоты решения рассматривается упрощенная модель при неограниченном спросе и отсутствии затрат на хранение товара.

1. Постановка задачи

Пусть г(?) - количество товара на складе производителя. Изменение этой величины можно описать уравнением

г = и - Р, т(0) = 0, (1)

где ы^) - темп производства, Р(г) - темп продажи, т.е. ы(1 )At - количество товара, произведенного за время Ы, Р^) А? - количество товара, проданного за это же время. Для простоты изложения будем рассматривать задачу для товара неограниченного спроса. В этом случае функция Р(г) не зависит от количества товара у покупателя и ее, согласно [1, 2], можно выбрать в виде

Р(0 = Ьг(г)ехр{-с},

где е(1) - цена единицы товара, Ь - некоторый коэффициент, который определяет привлекательность товара для покупателя. Последнее может включать в себя просто какие-то знания о товаре и его свойствах. Коэффициент Ь может быть малым и даже Ь = 0, например, когда в продажу поступает совершенно новый товар. В подобном случае темп продажи оказывается малым и товар будет плохо продаваться. Цель включения рекламы состоит в увеличении привлекательности товара. В самом простом варианте можно положить Ь(у) = Ь + ку, где Ь - привлекательность товара без рекламы, у - затраты на рекламу, к - некоторый коэффициент эффективности рекламы. Например, коэффициент к зависит от качества рек-

ламных роликов, а затраты v определяют частоту показа этих роликов по телевидению. В результате темп продажи становится равным

P(t) = (b + kv)z(t)exp{ - c}. (2)

Пусть весь процесс продолжается в течение некоторого интервала времени [0,7]. Тогда общая прибыль производителя товара

T

J = j[c(t)P(t) - u(t) - v(t)]dt. (3)

0

Для уточнения отметим, что v(t) - темп затрат на рекламу, т.е. v(t) - количество At средств, затраченных на рекламу за время At. Произведение r = kv можно рассматривать как эффективность рекламы. Количество товара z(t) определяется в стоимостном выражении. Поэтому цена единицы товара c(t) должна быть безразмерной. Если с = 1, то товар продается по себестоимости. Здесь и далее все величины не могут быть отрицательными. Будем также предполагать, что должны выполняться условия

0 < u (t) < и0, 0 < v(t) < v0, (4)

где и0 - максимально возможный темп производства, vo - максимально возможный темп затрат на рекламу.

В результате получается задача из теории оптимального управления: найти такие функции или управления c(t), u(t) и v(t) на интервале времени [0,7], удовлетворяющие условиям (4), при которых функционал (3) максимален. Далее под существованием решения задачи будем понимать не только существование решения, но и то, что функционал (3) положителен.

2. Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина

Введем вспомогательную переменную _р(г) и на основании (1) и (3) составим функцию Гамильтона

H(z, p и, с, v) = _р(и - P)-cP + и + v = и(р + 1) + v - (с + _p)P. (5)

Минимум функции H по c(t) с учетом (2) достигается при

ф) = 1 - ^(t). (6)

Подставляя (6) в (5) и (2), получаем, что

H(z,p, и, v) = и(р + 1) + v - P, P(t) = b0(v) z(t) exp{p}, (7)

где b0(v) = b(v)/e = b0 + k0v, b0 = b/e, k0 = k/e.

Минимум функции H по и с учетом (4) достигается при

Г 0, если p(t) >-1, u(t) =\ (8)

[и0, если p(t) <-1.

Минимум функции H по v с учетом (4) достигается при

Г 0, если k0h(t) < 1, v(t) =\ ’ 0 W (9)

[v0, если k0h(t) > 1,

где h(t) = z(t) exp{p(t)}. Переменная _р(г) должна удовлетворять уравнению

p = -дH/д z = b0 (v)ep, p(T) = 0. (10)

Как следует из общей теории, необходимым условием существования решения задачи оптимального управления является существование ненулевой функции ^(г), удовлетворяющей (10).

3. Структура управления

Как следует из (8), оптимальное управление производством является релейным, то есть производство либо включается на полную мощность, либо выключается. Моменты включения или выключения производства происходят в моменты времени, когда выполняется равенство

МО = - 1 (11)

Из (10) видно, что производная функции _р(г) всегда неотрицательна и, следовательно, она не может убывать. Естественно предположить, что _р(0)< - 1, т.е. в начальный момент времени производство включается. Но поскольку должно выполняться условие _р(Т) = 0, то условие (11) может выполняться только один раз в некоторый момент времени ?1.

Решение уравнения (10) можно записать в виде

Ж» = - ЬДй (12)

где

При этом Р = -Ь0 (у), Р(Т) = 1. (14)

Это проверяется непосредственной подстановкой. Всегда Р(г) > 1, и эта функция убывающая. Кроме того, из (12) следует, что

ехр{р(г)} = 1/Дг), й(г) = г(гудг), Р(г) = ^(уЖ^.

Отметим также, что оптимальная цена товара с(г) = 1 + 1иР(г) и она убывает до

1 с ростом г . Из (11) и (12) следует, что момент выключения производства оп-

ределяется из условия

ДгО = е. (15)

Из (9) следует, что оптимальное управление рекламой также является релейным, то есть это управление либо включается на полную мощность, либо отсутствует. Моменты включения или выключения управления рекламой происходят в моменты времени, когда выполняется равенство

ко^(г) = 1. (16)

Из (1) и (14) можно получить, что

Н = и (г)/Р (г), Н( 0) = 0. (17)

Из (17) видно, что производная функции А(г) всегда неотрицательна. Более того, на интервале [0, ^] эта функция растет, а затем остается постоянной, поскольку после момента ^ и(г) = 0. Поэтому, если реклама включается, то она может включаться только один раз в момент времени г2, когда выполняется условие

коЛ(г2) = 1. (18)

Причем всегда г2</г. Таким образом, получили следующее решение задачи: оптимальное управление производством равно

«М”Р” 0 5' <(19) 1 0 при г, < г < Т;

оптимальное управление рекламой равно

Г 0 при 0 < г < и,

ко=\ р , <,<(20)

[у0 при г2 < г < т.

Другими словами, товар производится с максимальной интенсивностью на интервале [0, ?і]. После момента ^ он не производится. Затраты на рекламу осуществляются после момента /2, когда накопится достаточное количество товара. Все это объясняется спецификой выбора функции Р(/). В практике известны случаи, когда товар сначала рекламируется, а уже затем начинается его интенсивное производство. Однако такая торговая политика, по-видимому, не является оптимальной. Отметим, что ио?і - общее количество произведенного товара. Остается только найти значения /1 и /2, а также необходимые условия существования решения и положительности функционала (3).

4. Решение уравнений

Из (14) и (20) получаем

^ (*) ={ (*) = С - Ъо* ПРИ 0 “* <1г, (21)

ІЛ (0 = С - Ъ0* - Г0 (* - *2 ) ПРИ *2 < * ^ Т’

где С = ДО) (>е) - постоянная интегрирования, г0 = к0у0. Напомним, что

г = ку0 = ег0 есть эффективность рекламы. Из условия ДГ) = 1 получаем

С = 1 + Ь,Г + ЫГ - /2). (22)

Решение уравнения (17) с учетом (19) и (21) можно записать в виде

И{г) = =

т

^ 1п при 0 < і < г2,

Ъ0 ^0)

щ. ^(0) (г2) .

-01п 14 ’ +-0 1п 24 2 при г2 < г < г,,

Ъ ^ (г,) Ъ Ъ (О 2 1

(23)

где Ь = Ь0 + г0. На интервале (гь Т] функция А(г) постоянна и равна Л(/х). Из условия (18) с учетом (21) и (23) получаем

?2 = СЯ, (24)

1 - е 4 Ь0

где Я = —----, д = —0}—.

Ь0 к0и0

В частности, получается, что Д(г2) = Д(г2) = Се-9. Подставляя (24) в (22), получаем

с=1+ЬТ.

1 + г0 Я

Из условий (25) и (24) получаем окончательно

= Ь+^Г-е и = Я Ь+^Г . (25)

1 Ь 1 + г0 Я

С учетом (6), (12), (19) и (20) функционал (3) принимает вид

т

3 = | (1 + 1п ^ (г ))Р(г )<и - м0г1 - у0 (Т - г2). (26)

0

Выражая Р(г) из (1), подставляя это выражение в (26) и интегрируя по частям, получаем с учетом (15) и (16), что при оптимальном управлении

3 = ^((1 + Ь{Г)(1п С - 2) + е) + ^. (27)

На рис. 1 приведено решение задачи (при Ь0 = е - 1, и0 = 2, у0 = 1, Г = 1, ?1 = 0,83, г2 = 0,437). Видно, что после включения рекламы темп продажи резко возрастает. После выключения производства темп продажи остается постоянным в силу постоянства функции И (г).

Новый товар. Можно отдельно рассмотреть случай, когда Ь0 = 0, т.е. случай, когда товар совершенно не знаком потребителю. Полагая в предыдущих выражениях Ь0 = 0, получаем

Н(1) =

и0г / С

1п.

С

С Г0 С Г0 (г ^2)

при

при

0 < г < г2, ?2 < г < г1.

(28)

Кроме того, Я = 1/к0и0. Отсюда окончательно получаем

= 1 + г°Т - е, ^ = (1 + г0Т)от, J = и°^(1 + )(1п С - 2) + е + ш), (29)

с =1+г«т

1 + ш г0 (1 + т) г0 г0

где т = у0/и0. В данном случае до момента времени г2 темп продажи равен нулю.

Отсутствие рекламы. Если реклама отсутствует (у0 = 0), то, как следует из предыдущих выражений,

С = 1 + Ь)Г, ?! = Т-?2 > Г, J = ^((1 + Ь0Т)[1п(1 + Ь0Т) - 2] + е). (30)

Ь0 Ь0

При этом для существования решения необходимо выполнение условия С = 1 + Ь0Г > е. В противном случае следует полагать г1 = 0, то есть производство не включается и / = 0. Поэтому для получения прибыли при 1 + Ь0Г < е нужно обязательно вводить рекламу.

5. Необходимые и достаточные условия

Как следует из предыдущего, необходимыми и достаточными условиями существования решения являются неравенства

0 < ?2 < *1 < т, С > е, / > 0. (31)

Учитывая (25), получаем, что неравенство г2 < г1 эквивалентно неравенству

(32)

С = 1+^ > .

1 + гок

Можно проверить, что если (32) выполняется, то выполняется и С >е . Неравенство / > 0 приводит к неравенству

^ 1 + Ь{Г > [ т + е

С = --------— > ехр I 2 -

1 + Ъ{Г

В случае, когда Ь0 = 0, последние неравенства согласно (29) принимают вид

(33)

1 + г0Т 1 + г0Т ( _ т + е

С =--------> е, С =-----------------^ > ехр I 2 -

1 + т

1 + т

1 + Г Т

К этим условиям можно еще добавить условия 0 < ^ и ?2 < Т, выполнение которых необходимо для выполнения (31). Из этих условий с учетом (32) получаем

1 + Ь]Т = 1 + ЪоТ + ГоТ > е,

Отсюда следует, что параметры к0 и г0 должны иметь нижнюю границу, которая убывает с ростом и0.

Приведенные здесь неравенства накладывают ограничения на параметры и0, у0, Т, Ъ0, к0, при которых решение задачи существует в указанном выше смысле. Поскольку наибольший интерес представляют параметры к - коэффициент эффективности рекламы и г0 = к0у0 - эффективность рекламы, то будем считать, что параметры и0, Т, Ъ0 заданы, и нужно найти область значений для к0 или г0 = к0у0 , при которых существует решение задачи. При этом последнее сводится к нахождению нижних границ для этих параметров. Обозначим через ^ и ^2 нижние значения параметра г0 в неравенствах (32) и (33) соответственно, т.е. эти значения есть корни уравнений, получающихся заменой в (32) и (33) неравенства на знак равенства. Из анализа выражений (25) следует, что при малом г0 всегда г2 > Затем с ростом г0 функция возрастает, а функция г2 убывает. Это означает, что всегда ^1>0. Более того, как видно из (35), всегда ^1>^0. На рис. 2 представлена зависимость величин ?2, ?1 и / от параметра г0 при 1 + Ъ0Г = е и т = 1. Видно, что < ^1< ^2. С другой стороны, возможны случаи, когда ^ > ^2. Возможна ситуация, когда ^2 = 0 (например при С > 2). Поэтому для существования решения задачи должно выполняться

На рис. 3 представлена зависимость границ ^0, ^ и ^2 от значения Ъ0Г. Несколько неожиданным здесь является то, что при больших значениях Ъ0Г нижняя граница ^ растет пропорционально Ъ0Г. Это можно объяснить тем, что реклама требует затрат, и поэтому добавка в коэффициент Ъ(у) = Ъ + ку в (4) должна быть

(35)

В случае, когда Ъ0 = 0, последние неравенства принимают вид

1 + г0Т > е, к0 >1/и0Г или г0Т > т .

(36)

г0 > шах(^ь ^2} > ^0.

(37)

6,4

1

0

3

6

Рис. 2

Рис. 3

существенной. Это находит отражение в практике. Хорошо известные товары либо не рекламируются, либо рекламируются очень интенсивно (например, прохладительные напитки рекламируются не только из-за борьбы с конкурентами, но в основном для того, чтобы увеличить объем собственной продажи).

Заключение

В работе в задачу производства и сбыта товара включено влияние рекламы в виде линейной зависимость темпа продажи от эффективности рекламы. Целью введения рекламы является увеличение темпа продажи, что, согласно (3), должно приводить к увеличению прибыли. Основные полученные результаты сводятся к следующему.

1. При введении рекламы всегда можно получить положительную прибыль.

2. Поскольку введение рекламы требует определенных затрат, то ее можно вводить только тогда, когда ее эффективность достаточно большая. Эффективности рекламы определяется коэффициентом эффективности к и затратами на ее проведение у0(Т - г2).

Коэффициент эффективности к зависит от качества организации рекламы. Вопрос о конкретном определении этого коэффициента находится за рамками данной работы.

3. Поскольку задача содержит много параметров, то подробный анализ полученных решений оказывается довольно громоздким. Чтобы не загромождать изложение, отметим только, что при выполнении условий (32) и (33) прибыль / растет с увеличением и0 и у0; с ростом эффективности рекламы г0 интервалы [0, ?1] и [?2, Т] включения производства и рекламы увеличиваются, что, в свою очередь, приводит к увеличению количества произведенного товара и росту прибыли.

Предложенную в работе математическую модель рекламы можно назвать «безынерционной», т.е. если реклама выключается, то ее влияние на покупателя сразу прекращается. Нечто подобное происходит при продаже товара через Интернет, когда отсутствие рекламы приводит к отсутствию продаж товара. По-видимому, возможны другие модели. Например, можно рассмотреть «инерционную» модель рекламы, влияние которой на покупателя сразу не прекращается после ее выключения. В таком случае эффективность рекламы можно описать, например, дифференциальным уравнением 1-го порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горский А.А., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. С.144 - 148.

2. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С.103 - 107.

3. Параев Ю.И. Оптимальное управление рекламой в задаче производства и сбыта товара // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 162 - 164.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 ноября 2007 г.