CC BY
151
КОНТ тнгтт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -№ 6 (июнь). - ART 12065. - 0,4 п. л. - URL:
^по-^оди^сши э^„прошшй щрно, - pb://WW:ЬCov;nAkTruДo0nbcept-200^4/1П20Л65.-tmUR-АОТ 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. - ISSN 2304-120X.
Горев Павел Михайлович,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров pavel-gorev@mail.ru
Сорокина Анастасия Владимировна,
студентка V курса факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров vesnasky@mail.ru
Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе
Аннотация. В статье описывается возможность построения системы геометрических задач (а именно признаков равенства треугольников) на основе рассмотрения учебной задачи открытого типа, подводящей к творческому осмысленному восприятию материала и способствующей развитию критического мышления учащихся.
Ключевые слова: обучение геометрии, задачи открытого типа, проблемное обучение, развивающее обучение, развитие критического мышления.
Развитие личности с высоким уровнем интеллекта, мощным творческим потенциалом, способной раскрыть их в своей профессиональной деятельности - одна из наиболее важных и приоритетных задач обновляющейся школы. Математическое образование в силу специфичности своего предмета в значительной степени позволяет формировать интеллект учащихся и имеет широкий, но недостаточно большой потенциал для развития их творческих способностей [1, 2].
Одним из направлений в решении проблемы развития научного творчества школьников при обучении математике может стать включение в изучаемый материал задач открытого типа как эффективного средства развития креативности учащихся основной и средней школы [3-5]. Такие задачи не регламентируют четких условия, рассуждений и выводов: предложенное решение либо применимо к условию и приводит к требуемому результату, либо нет. Задачи открытого типа чаще всего встречаются в практической деятельности, поэтому школьный курс математики должен целенаправленно способствовать формированию у учеников умения их решать [6].
Именно поэтому особое значение приобретает исследовательская работа по выявлению возможностей использования таких задач в процессе изучения школьного курса математики, а также созданию систем таких задач и методики работы с ними в соответствии с действующим обновленным федеральным стандартом математического образования школьников.
Приведем пример открытой задачи математической направленности.
Задача 1. Как убедиться, что два предлагаемых куска ткани одинаковы?
Конечно, на практике такая задача, скорее всего, будет решена простым наложением одного куска на другой, что, в общем-то, естественно как с позиций геометрии, так и с позиций практики, но не несет должного образовательного эффекта.
Поэтому формулировка такой открытой задачи требует внесения изменений, что сузит степени открытости, но повысит ее образовательную составляющую [7].
Задача 2. Как убедится, что две фигуры, не доступные для практических действий с ними (вырезание, накладывание и т. п.), равны?
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнгтт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -№ 6 (июнь). - ART 12065. - 0,4 п. л. - URL:
^по-^оди^сши э^„прошшй щрно, №.. 6://WW:ЬCo;enAkTruДo0n6cept-200^4/1П2.0Л6.5.-tmUR-АОТ 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № фс 77-46214. - ISSN 2304-120Х.
Задача, оставаясь открытой, теперь уже требует применения геометрических соображений практического (измерение длин отрезков и величин углов, сопоставление и т. п.) или теоретического (доказательство) характера. Сузим требования задачи до простейших геометрических фигур - треугольников.
Задача 3. Как убедится, не прибегая к практическим действиям, что два треугольника равны?
Эта задача открытого типа уже может быть включена в процесс изучения темы «Признаки равенства треугольников» в 7 классе основной школы и, после соответствующей переформулировки, следующей далее, может использоваться при изучении трех наиболее известных (основных) признаков равенства треугольников [8].
Задача 4. Укажите и докажите возможные признаки равенства треугольников.
Это учебная задача, носящая признаки открытости. Так, отрытым является условие задачи - неясно, какие элементы можно использовать; ее решение тоже может быть осуществлено разными способами; да и выводы могут быть разнообразны.
Обсудим более подробно открытость условия задачи.
Условимся для начала называть элементами треугольника его стороны и углы. Каждый из трех основных признаков равенства треугольников позволяет сделать вывод о равенстве двух треугольников, если установлено, что три элемента одного треугольника (хотя бы один из которых - линейный) соответственно равны трем элементам другого треугольника. В первом признаке такими элементами являются две стороны и угол между ними, во втором - сторона и два прилежащих к ней угла, в третьем - три стороны. Возникает естественный вопрос: а будут ли равны два треугольника, если какие-то иные три элемента одного из них равны соответствующим элементам другого? Иначе говоря, есть ли другие признаки равенства двух треугольников по трем элементам?
Сначала перечислим, какие еще есть возможности. Если взять в качестве исследуемых элементов одну сторону и два угла, то они оба могут быть прилежащими к этой стороне (такой случай рассматривается во втором признаке равенства треугольников), а может быть и другой вариант: один из углов является прилежащим, а другой - противолежащим. Таким образом, возможен признак равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых является прилежащим, а другой - противолежащим для этой стороны. Далее, если рассматривать две стороны и угол, то он может быть заключен между этими сторонами (такой случай рассматривается в первом признаке равенства треугольников), а может быть противолежащим одной из сторон. Тем самым, возникает вопрос о признаке равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. И, наконец, в качестве трех элементов треугольника можно взять три угла и рассмотреть вопрос о признаке равенства треугольников по трем углам. Напомним, что рассмотрение в качестве элементов трех сторон составляют третий из основных признаков равенства треугольников.
Итак, есть три возможности. Осталось выяснить какие из них, являясь верными фактами, дают «новые» признаки равенства треугольников.
Гипотеза 1. Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны) одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны) другого треугольника, то такие треугольники равны.
Попробуем доказать, что эта гипотеза верна, попутно показав два из многих возможных вариантов доказательства, что дает представление об открытости процесса решения задачи.
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнгтт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -№ 6 (июнь). - ART 12065. - 0,4 п. л. - URL:
^по-^оди^сши э^„прошшй щрно, №.. 6://WW:ЬCo;enAkTruДo0n6cept-200^4/1П2.0Л6.5.-tmUR-АРТ 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № фс 77-46214. - ISSN 2304-120Х.
Доказательство 1. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, Z А =А А1, Z С = Z С1. Мы хотим доказать, что эти треугольники равны. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложились на лучи А1В1 и А1С1. Это можно сделать, т. к. Z А =А А1. Поскольку АВ = А1В1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, в частности, совместятся вершины В и В1. Остается доказать, что вершины С и С1 так же совместятся. Если предположить, что вершина С совместится не с точкой С1, а с какой-то другой точкой С2 на луче А1С1, то получится треугольник В1С1С2, у которого внешний угол при равен углу треугольника, не смежному с этим внешним углом. Но этого не может быть (точнее может быть лишь в случае, если угол В1 этого треугольника нулевой), поэтому вершина С совместится с вершиной С-|. Следовательно, совместятся и стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, а значит, они равны.
Доказательство 2 будем основывать на уже известном втором признаке равенства треугольников. Пусть вновь даны треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, Z А =А А1, Z С = Z С1. В силу того, что сумма углов треугольника неизменна и равна 180° и у треугольников есть две пары равных углов, то и третья пара составит равные углы ^ В =Z В1). Следовательно, в каждом треугольнике есть по стороне и паре прилежащих к ней углов находящихся в соответственном равенстве (АВ = А1В1, Z А =Z А1, Z В =Z В1), что доказывает равенство самих треугольников.
Таким образом, наша гипотеза оказалась верной и имеет место еще один признак равенства треугольников.
Четвертый1 признак равенства треугольников. Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны) одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны) другого треугольника, то такие треугольники равны.
Заметим, что признаки треугольников, обозначенные у нас под номерами два и четыре можно объединить и рассматривать обобщенный признак.
Теорема (признак равенства треугольников). Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Однако вернемся к рассмотрению заявленных возможностей равенства элементов двух треугольников.
Гипотеза 2. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, Z С = Z С1. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина С совместилась с вершиной С1, а стороны ВС и АС наложились на лучи В-| С-| и А1С1 соответственно. Это можно сделать, т. к. Z С = Z С1. Поскольку АС = А1С1, то сторона АС совместится со стороной А1С1, в частности, совместятся вершины А и А1. Остается доказать, что вершины В и В1 также совместятся. Но так ли это? Допустим, что точка В совместилась не с точкой В1, а с какой-то другой точкой В2 на луче С1В1. Тогда треугольник А1В1В2 - равнобедренный (А1В1 = А1В2).
Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника - острые, то смежные с ними углы - тупые. Поэтому либо угол В1 треугольника А1В1С1 тупой (если
Нумерация признаков здесь и далее - условная.
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнгтт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -№ 6 (июнь). - ART 12065. - 0,4 п. л. - URL:
^по-^оди^сши э^„прошшй щрно, - pb://WW:ЬCov;nAkTruДo0nbcept-200^4/1П20Л65.-tmUR-АОТ 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. - ISSN 2304-120X.
В1 лежит между С1 и В2), либо угол В2 треугольника А1В2С1 тупой (если В2 лежит между С1 и В1). Принимая во внимание соотношение между сторонами и углами треугольника, и в том, и в другом случае получаем: А1В1 = А1В2 < А1С1. Следовательно, если А1В1 > А1С1, то точки В и В1 должны совместиться. Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, а значит, они равны.
Если же А1В1 < А1С1 (и, следовательно, АВ < АС), то никакого противоречия нет. И в этом случае наша гипотеза не верна.
Таким образом, гипотеза в том виде, в котором мы ее сформулировали, не верна. Однако признак равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, имеет место в том случае, когда сторона, противолежащая этому углу, не меньше второй из данных сторон.
Здесь нужно остановиться и заметить, что многовариантность возможных ответов задачи в зависимости от условий, дает повод говорить об определенной доле открытости результатов решения задачи 4.
Итак, нами сформулирован еще один признак равенства треугольников.
Пятый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, при этом сторона, противолежащая углу, не меньше второй из данных сторон, то такие треугольники равны.
Возвращаясь к рассмотрению заявленных выше случаем, замечаем, что осталось выяснить, имеет ли место признак равенства треугольников по трем углам.
Гипотеза 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Уже на первый взгляд гипотеза кажется неверной. На самом деле, рассмотрим два неравных квадрата АВСй и А1В1С1й1 . Проведем диагонали АС и А1С1 и рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. Углы этих треугольников соответственно равны: в каждом треугольнике один угол прямой, а два другие по 45°. Но сами треугольники, очевидно, не равны.
Количество признаков равенства треугольников возрастает, если наряду с элементами треугольника рассматривать медианы, биссектрисы и высоты.
Разберем некоторые из них.
Г ипотеза 4. Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АМ = А1М1. Где АМ и А1М1 - медианы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны.
На продолжениях медиан АМ и А1М1 отметим точки й и й1 так, что йМ = АМ = А1М1 = й1М1 (рис. 1). Треугольники АВМ и СйМ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому АВ = Сй. Аналогично, из равенства треугольников А1В1М1 и С1й1М1 следует, что А1В1= С1й1, а т. к. АВ = А1В1, то Сй = С1й1.
гм yj nj
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнггт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: на____________________ _______________ учно-методический электронный журнал. - 2012. -
эАппрошиш щрш -
АОТ 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. - 2304-120Х.
Треугольники АСй и А1С1й1 равны по трем сторонам. Поэтому Z САй = Z С1А1й1.Следовательно, треугольники САМ и С1А1М1 равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, СМ = С1М1. Из этого следует, что ВС = 2СМ = 2С1М1 = В1С1.
Итак, в треугольниках АВС и А1В1С1 имеем АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
Мы установили, что имеет место еще один признак равенства треугольников.
Шестой признак равенства треугольников. Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Возникает вопрос: а что, если медиану заменить на биссектрису или высоту? Сохранится ли признак равенства треугольников?
Г ипотеза 5. Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АМ = А1М1. Где АМ и А1М1 - биссектрисы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Докажем, что если Z А =А А1, то треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников. Допустим, что это не так. Пусть для определенности Z А < Z А1. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы луч АМ наложился на луч А1М1, а вершина В и В1 оказались по одну сторону от АМ. Обозначим буквами Р и О точки пересечения отрезка В1С1 с лучами АВ и АС. В треугольнике АРО хотя бы один из углов Р, О - острый. Если угол Р -острый, то смежный с ним угол АРВ1 - тупой. Поэтому сторона АВ1 треугольника АРВ1 больше, чем АР. Но АВ1 = АВ. Следовательно, АВ > АР, а значит точка Р лежит на отрезке АВ. Если угол О треугольника АРО - острый, то точка О лежит на отрезке АС (аналогично предыдущему рассуждению). В этом случае, точки Р и О лежат по одну сторону от прямой ВС. Поэтому точка М1 пересечения отрезка В1С1 с лучом АМ является внутренней точкой отрезка АМ, т. е. АМ Ф АМ1. Что и требовалось доказать, значит, наша гипотеза верна.
Седьмой признак равенства треугольников. Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Гипотеза 6. Если две стороны и высота, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АН = А1Н1. Где АН и А1Н1 - высоты треугольников. Докажем, что если Z А =Z А1, то треугольники будут равны по первому признаку.
Прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по доказанному нами ранее признаку по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Следовательно, Z ВАН = Z В1А1Н1. Аналогично Z САН = Z С1А1Н1. Тогда, Z А = Z ВАН + Z САН = = Z В1А1Н1 + Z С1А1Н1 = Z А1. А если Z А = Z ВАН + Z САН, а Z А1 = ZВ1А1Н1 -- Z С1А1Н1, тогда треугольники не будут равны. Контрпримером может служить равнобедренный треугольник АВС, где АВ = АС, АН - высота. Если на продолжении стороны
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнгтт
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -
„оушоэАппрошиш щР^ №tt p:/^wwvb.)(:oven^kTru/1kc)nce!*pt/20],2/1'2*065.htnUR--ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № фс 77-46214. - issn 2304-120X.
ВС отметить точку D, то треугольники ABD и ACD будут удовлетворять условиям гипотезы. Таким образом, наша гипотеза не верна.
Гипотеза 7. Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых ВН = В1Н1, АС = А1С1, Z А = Z А1. Где ВН и В1Н1 - высоты треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Рассмотрим три случая. Первый случай: углы Z А и Z А1 - острые. В этом случае треугольники АВН и А1В1Н1 равны по доказанному нами признаку равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых противолежащий, другой прилежащий к этой стороне. Тогда АВ = А1В1. Т. к. АС = А1С1, Z А = Z А1, АВ =А1В1, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Второй случай: углы Z А и Z А1 - тупые, доказывается аналогично предыдущему. Если же Z А и Z А1 - прямые, то высота ВН совпадет со стороной АВ треугольника АВС, т. е. совпадают точки А и Н, высота В1Н1 совпадет со стороной А1В1 треугольника А1В1Н1. Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Восьмой признак равенства треугольников. Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Очевидно, список признаков можно продолжать и далее, включая в рассмотрение другие элементы треугольника: радиусы вписанной, описанной, вневписанных окружностей, внешние углы, проекции двух сторон на третью, отрезки, на которые разбивает сторону биссектриса и т. д.
Таким образом, учебная открытая задача позволила перейти к творческому осмыслению материала, связанного с признаками равенства треугольников и пополнить как фактологическую, так и доказательную базу семиклассников.
Ссылки на источники
1. Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: дисс. ... канд. пед. наук. - Киров: ВятГГУ, 2006. - 158 с.
2. Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству: Дополнительное математическое образование: монография. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG (Germany), 2012. - 156 с.
3. Утёмов В. В. Задачи открытого типа как средство развития креативности учащихся средней школы //
Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Декабрь 2011, ART 1102. - Киров, 2011 г. - URL:
http://www.covenok.ru/koncept/2011/1102.htm.
4. Утёмов В. В. Развитие креативности учащихся основной школы: Решая задачи открытого типа: монография. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG (Germany), 2012. - 186 с.
5. Горев П. М., Утёмов В. В. Формула творчества: Решаем открытые задачи. Материалы эвристической олимпиады «Совёнок»: учебно-методическое пособие. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. - 288 с.
6. Горев П. М., Утёмов В. В. Развитие креативности через использование ситуаций в обучении математике // Лаборатория образовательных технологий «Образование для Новой Эры», 2011. - URL: http://www.trizway.com/art/secondary/305.html.
7. Утёмов В. В. Учебные задачи открытого типа // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совенок» и «Прорыв». - Май 2012, ART 1257. - Киров, 2012 г. - URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1257.htm.
8. Геометрия 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
КОНТ тнгтт
научно-методический электронный журнал ART 12065 УДК 37.036.5:514
Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. - 2012. -№ 6 (июнь). - ART 12065. - 0,4 п. л. - URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. - ISSN 2304-120X.
Gorev Pavel,
Candidate of Pedagogical Sciences, associate professor at the chair of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Vyatka State Humanities University, Kirov pavel-gorev@mail.ru Sorokina Anastasia,
student of faculty of computer science, mathematics and physics Vyatka State Humanities University, Kirov vesnasky@mail.ru
Signs of the equality of triangles as the problem of open the study of geometry in primary school Summary. This paper describes the possibility of constructing a system of geometric problems (namely, the equality signs triangles) based on the consideration of educational problems of issn 2304-120X
open type, the supply of creative and meaningful perception of the material to promote the development of critical thinking of students.
Keywords: teaching of geometry, the problem open, problem training, developing training, the development of critical thinking.
977230412012806
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm
