CC BY
19
3, Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 12-14,
4, Galaev S. V. Extension of the interior connection of a nonholonomie manifold with a Finsler metric // UEL : http://arxiv.org/abs/1103.4337.
УДК 517.984
Р. А. Иванов, В. Е. Фирстов
ПРИНЦИП МИНИМУМА ИНФОРМАЦИИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ГРУППОВОГО СОТРУДНИЧЕСТВА
В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
При организации группового сотрудничества в учебном процессе наиболее важным моментом является формирование разбиения обучаемого контингента на коалиции, при котором обеспечивается оптимальный учебный эффект. Процедура оптимизации в данном случае исходит из следующей информационной модели [1-3].
1. Модель. Пусть А = {а\; а2;...; ат} - конечное множество, представляющее обучаемый контингент, которому предлагается выполнить некоторое задание (тест), и контролируется время его выполнения отдельными учащимися. В результате такого измерения устанавливается цепочка неравенств 0 < < Ь2 < ... < Ьт < Т, где и - общее время выполнения задания г-м учащимся, в котором определенным образом учтено качество проделанной работы; г = 1; т; Т - временной регламент, определяемый параметрами теста. Пусть данная цепочка неравенств есть некоторое устойчивое статистическое среднее, на основе которого определяются вероятности аг = 1 — £г/Т, характеризующие уровень обучен-г
ятностей
р(аг) = — =-■-■-■-, г = 1;т. (1)
а а\ + а2 + ... + ат
А
на технология группового сотрудничества, что формально выражается в виде разбиения множества
A = Ai U A2 U ... U An, Aj П Ak = 0, j = k, j; k = 1, n, (2)
где
|Ai| + |A2| + ... + |An| = |A| = m.
33
Для проведения процедуры оптимизации в рамках излагаемой модели определяются групповые вероятности
m
Pj = Y1 p(a), Va g Aj, (4)
¿=1
где pj - вероятность того, что некоторый элемент из А входит в класс Aj. С вероятностями pj связывается групповая информационная энтропия
n
H (p) = Pj log2 Pj • (5)
j=1
Оптимум в рассматриваемой информационной модели достигается, если минимальна энтропия H (p). Поэтому при оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе разбиение (2) должно формироваться с учетом распределения (1) так, чтобы при определении групповых вероятностей (4) обеспечивался минимум энтропии H(p) в (5), т.е. критерий оптимизации имеет вид
H(p) ^ min. (6)
2. Анализ модели. Из формул (1) - (5) видно, что разность между энтропией H(A) при обучении коптингента A и энтропией H(p) при обучении того же контингента, разбитого на группы, положительна:
nm
AH = H(A) - H(p) = ^pj log2Pj - ^ p(a) log2 p(a) > 0. (7)
j=1 i=1 pj
P1 = P11 + P12 + ... + Plji; P2 = P21 + P22 + ... +
+P2j2;...; Pn = Pn1 + Pn2 +... + Pnjn, (8)
где j + j2 + ... + jn = m; 1 < j^;...; jn < m, после подстановки (8) в (7) получаем
(P11 + . . .+P1j!) log2(P11 + . . .+P1j!) + . . . + (Pn1 +Pnj„ )-(P(a1) log2 P(a1) + . . . +
+p(am )log2 p(am)) =
= P(«1)log2(1 + P(a2'+pK+ P(aj1) ) + ... +
34
+p(ßm)log2(1 +
p(Qm-j„) + ... + p(am-1) p(am)
) > 0.
(9)
Поскольку в связи с (8) p11;...; pnjn - это перестановки p(a1);...; p(am), то, здесь мы положим для определенности, p11 = p(a1);...;pnjn = p(am), Таким образом, установлено, что H(A) > H(p), т.е. реализация технологии сотрудничества в учебном процессе приводит к снижению информационной энтропии в процессе обучения. Это обусловлено тем, что при разбиении на группы учебная информация прорабатывается не отдельным учащимся, а посредством ее обсуждения в группе, что равносильно появлению дополнительных каналов целевого общения, реализующих режим усиления при восприятии целевой информации, т.е. ее лучшее понимание и усвоение.
3. Эксперименты на школьном уровне проводились на базе МОУ «Гимназия № 5» Заводского района Саратова на уроках математики в 4 «А» классе и 10 11-х классах. На первой диаграмме (рис. 1) по оси абсцисс занумерованы фамилии учащихся; по оси ординат количество правильных ответов на тестовое задание. Тест содержал 20 вопросов. Как видно из диаграммы рис. 1, после проведения ИКТ показатели академической успешности школьников улучшились в среднем на 27,5%. На второй диаграмме (рис. 2) условия те же, только по оси ординат отложено время выполнения тестовых заданий (в мин.]
Рис. 1 Рис. 2
Здесь ситуация неоднозначная, особенно в группе учащихся с быстрым мышлением, хотя в среднем все-таки прослеживается тенденция к уменьшению затрат времени после проведения ИКТ. Аналогичные измерения, проведенные в 10 11-х классах, дали увеличение показателей успеваемости на 20 25%.
4. Программное обеспечение измерений. Для определения минимума энтропии (6) разработана специальная программа перечисления
m
личество которых определяется с помощью полиномов Белла [4]:
m
B (m + 1) = £ cmB (i), (10)
¿=0
где В (0) = 1. Числа Белла с увеличением мощности т множества А растут довольно быстро, что иллюстрируется данными следующей таблицы.
т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
В(т) 1 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570
т 12 13 14 15 16
В(т) 4213597 27644437 190899322 1382958545 10480142147
т 17 18 19 20
В(т) 82864869804 682076806159 5832742205057 51724158235372
В связи с этим, как показывает опыт отладки программы перечисления конфигураций разбиения, при т>30 появляются проблемы с ресурсом компьютерной памяти и в этом случае возникает задача оптимизации сложности алгоритма перечисления конфигураций разбиения, хотя для современной школы или вуза такие значения контингентов встречаются редко.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фирстов В. Е. Количественные меры информации и оптимизация группового сотрудничества при обучении // Вестник Саратовского технического университета. 200а № 3 (34), вып. 1. С. 105-109.
2. Фирстов В. Е. Информационная технология организации группового сотрудничества при обучении // Вестник Саратовского технического университета. 2009. № 2 (39), вып. 2."С. 101-103
3. Firstov V. Е. Semantic Model and Optimization of Creative Processes at Mathematical Knowledge Formation // Natural Science. 2010. Vol. 2, №. 8. P. 915-922.
4. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. СПб. : Питер, 2002. 304 с.
