CC BY
102
L.Je. Roginskaja A.S. Gorbunov // Mezhvuzovskij nauch-nyj sbornik «Jelektromehanika, jelektrotehnicheskie kompleksy i sistemy». - Ufa: UGATU, 2010. - S. 42-47.
5. Roginskaja L.Je. Vybor struktury i parametricheskij sintez simmetrichnogo rezonansnogo invertora [Tekst] / L.Je. Roginskaja, A.V. Ivanov, M.M. Mul'menko, A.M. Ur-zhumskov //Jelektrotehnika. - 1998. - № 7. - S. 1-5.
6. Kazancev V.G. Analiz sposobov avtopod-strojki chastoty avtonomnyh invertorov, nagruzhen-
nyh na kolebatel'nyj kontur [Tekst] / V.G. Kazancev, L.Je. Roginskaja // Jelektrotehnika. - 1994. - № 10. -S. 17-20.
7. Roginskaja L.Je. Vybor sposobov avtopodstrojki chastoty v rezonansnyh preobrazovateljah chastoty dlja jelektrotehnologii [Tekst] / L.Je. Roginskaja, V.G. Kazancev, Sh.M. Muhamadiev // Mezhvuzovskij nauchnyj sbornik «Jelektromehanika, jelektrotehnicheskie kom-pleksy i sistemy». - Ufa: UGATU, 2001. - S. 95-105.
Карабельская И.В. КатЬвккауа I. V.
аспирант кафедры «Физика», доцент кафедры «Информатика и ИКТ» ФГБОУ ВО «Уфимский государственный университет экономики и сервиса», Россия, г. Уфа
УДК 537.3-047.37
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЕ ТРУБОПРОВОДОВ ОТ КОРРОЗИИ
В статье изложены методы решения систем параллельных трубопроводов в неоднородной среде: методы расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии, рассмотрены некоторые задачи расчета параметров электрохимической защиты трубопроводов от коррозии. Подобные задачи возникают в различных проблемах прикладной электрохимии. Для каждой задачи, рассмотренной в примерах, сформулирована математическая модель самосогласованной краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами; вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи, иллюстрирующие возможности применения дифференциально-разностного метода по переменной г, применения дифференциально-разностного метода с аппроксимацией производных по у для понижения размерности данной краевой задачи, преобразующейся в п двумерных краевых задач.
Одной из проблем, выдвигаемых современным техническим прогрессом в области трубопроводного транспорта, является повышение его надежности. Требование достижения высокой надежности нередко противоречит другим необходимым характеристикам, таким как сокращение металлоемкости сооружений, низкая стоимость и некоторые другие. Надежность магистральных нефтегазопроводов во многом определяется эффективностью комплексной защиты, которая включает в себя защиту изоляционными покрытиями и катодной поляризацией (катодной и протекторной защитой).
В процессе эксплуатации со временем изоляционные покрытия частично разрушаются под действием воды, перемещений грунта или частично механически повреждаются из-за неоднородного грунта (например, о камни), и катодная защита становится главной в обеспечении надежной работы трубопроводов. Для обеспечения надежной электрохимической защиты трубопроводов от коррозии необходимы знания параметров, обеспечивающих распределение защитной плотности тока и потенциала вдоль трубопроводов. Такие параметры можно рассчитать методами математического моделирования и вычислительного эксперимента. Для решения задач расчета электрических полей разрабатывались общие и специальные методы математической физики [8, 13-14, 17-19].
Г
:
В этих работах имеется достаточно полный обзор рассмотренных задач расчета параметров электрохимической защиты металлических сооружений и трубопроводов в частности.
Здесь же будет показано изложение методов решения систем параллельных трубопроводов в неоднородной среде. Изложенные катоды легко переносятся на расчеты распределения тока в системах параллельных цилиндров с произвольной гладкой направляющей. Такие задачи возникают при оптимизации гальванообработки металлов, технологии гальванопластики и в других проблемах прикладной электрохимии. Рассмотрим некоторые задачи расчета параметров электрохимической защиты трубопроводов от коррозии.
В данной работе предлагаются разработанные, апробированные на ЭВМ, комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными нелинейными самосогласованными краевыми задачами в неоднородной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами. Этот класс моделей охватывает достаточно широкий спектр теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важные практические приложения [1-7, 9-10, 15-16].
Ключевые слова: математическая модель, самосогласованная краевая задача, исследования электрических полей постоянного тока, системы со сложными и геометрическими параметрами, дифференциально-разностный метод по переменной z, преобразование задачи в n двумерных краевых задач, понижение размерности задачи.
EXAMPLES OF CALCULATION OF ELECTRIC FIELDS AT ELECTROCHEMICAL PROTECTION OF PIPELINES AGAINST CORROSION
The article describes methods for solving systems of parallel pipes in a heterogeneous environment: methods for calculating electric fields at electrochemical protection of pipelines against corrosion, are considered some of the tasks of calculating the parameters of electrochemical corrosion protection of pipelines. Similar problems arise in various problems of applied electrochemistry. For each problem discussed in the examples formulated a mathematical model of a self-consistent boundary value problem describing the electric field with cylindrical inhomogeneities electrodes and insulators; computational algorithms dimension reduction problem, illustrating the possibility of applying differential-difference method in the variable z, use of differential-difference method with approximation of derivatives ofy to reduce the dimension of the boundary value problem is converted into n-dimensional boundary value problems.
One of the problems posed by modern technological developments in the field of pipeline transport, is to increase its reliability. The requirement to achieve high reliability is often in conflict with other required characteristics, such as the reduction of metal constructions, low cost, and others. The reliability of oil and gas pipelines is largely determined by the effectiveness of comprehensive protection that includes protection insulating coatings and cathodic polarization (cathode and cathodic protection).
In operation, with time insulating cover partially destroyed by water, soil movement or partly mechanically damaged due to the inhomogeneous soil (such as stones), and cathodic protection becomes central to ensuring the safe operation of pipelines. To ensure reliable electrochemical corrosion protection of pipelines requires knowledge of parameters, ensuring distribution of protective current density and potential along the pipeline. These parameters can be calculated by mathematical modeling and computational experiment. To solve the problems of calculation of the electric fields developed general and special methods of mathematical physics [8, 13-14, 17-19].
In these works there is a fairly comprehensive overview of the problems of the considered parameters of electrochemical protection of steel structures and pipelines in particular.
There will also be shown the presentation of methods for solving systems of parallel pipelines in a heterogeneous environment. The above cathodes are easily transferred to the calculation of the current distribution systems of parallel cylinders with arbitrary smooth directing. Such problems arise when optimizing metal electroplating, electroforming technology and other developments in applied electrochemistry. Consider some of the problem of calculating the parameters of electrochemical corrosion protection of pipelines.
In this paper we propose to develop, test on a computer, numerical analysis algorithms combined electric fields described by the three-dimensional self-consistent nonlinear boundary value problems in heterogeneous environments with cylindrical heterogeneous inclusions, insulators and electrodes. This class of models covers a fairly wide theoretical problems of electric and thermal fields with important practical applications [1-7, 9-10, 15-16].
Key words: mathematical model, self-consistent boundary problem, the study of the electric fields of direct current, complex system and geometrical parameters, differential-difference method in the variable z, the conversion problem in n-dimensional boundary value problems, reducing the dimension of the problem.
Пример 1. Защита системы трубопроводов, рас- анодов применяются анодные заземлители, распо-
положенных в тоннеле. ложенные внутри и вне тоннеля.
Трубопроводы защищены катодными станция- Электрическое поле находится решением сле-
ми, расположенными на концах тоннеля. В качестве дующей краевой задачи:
д2ил д2и, д2и
^ + ^ + = Ь(х-х )b(y-y )b(z-z ), (x,y,z)eSL;
дх1 ду1 dz1 a\j ] J J J 1
d\ дх2 д2ип + —f + ду2 д\ dz2
д\ дх2 д2и~ ду2 д2и3 dz2
д и. д и.
i = 0, z=0 i
dz dz
Ч
Ylq xq)6(y-yq) 8(z-zq), (x, y, z) e П2;
(1)
z=H
ui + Cp(x,y) ax
д и.
дп
0 ,i = 1,2,3;
= UMp{z), p =1,2,...Л, 0 < z < H;
О при л]х2 + у2
8 и. г
дх
= 0, i = 1,2,3; х = О
и\ ~и2
д и.
д мл
+ сг0
= 0,
г<2 — «j
х2+у2=R,
= 0, а,
д ип
д и-
+ <х,
2 дп 3 дп
^x2+y2=Rr
= 0,
где О ^ (0 < г < Н, у/ х2 + у2 < ^ ) - область полутон- в тоннеле и вне тоннеля; о. - удельные электриче-
неля; ,--ские проводимости областей О. ( / = 1, 2, 3); Я1 и Я2
О 2 (0 < ( < Н( ,((( < ^((^ + у( < (^А - область оболоч- - внутренний и внешний радиусы тоннеля; Гр - кон2
ки тоннеля; --— тур р-го трубопровода; Н - длина тоннеля.
О ^ (0 < у < Н, ((х + у > (((( - внешняя область; Применением дифференциально-разностного
(х, у., г), (х у г) - координаты точечных источни- метода по переменной г задача (1) преобразуется
ков защитного тока, расположенных соответственно в п двумерных краевых задач:
д2ил д2ил ~ 1
дх1 dyz a\JJ 1 3
d2U^ d2U,
'2s
дх'
+-
2s
ду'
~Я sU2s=0
d2U^ d2U,
3s
дх
+ (j g(х-х )& (у-у );
1 ду1 5s аз1 J
U\s + °Р ^
да
Is
дп
= UMps>P = 1'2'->L;
(2)
Зя
ди.
_1£_
дх
О при ^х2 + у2 = 0 ,1 = 1,2,3;
х=0
^35
у]х2+у2=Я
у1х2+у2=Я-. 5 = 1,2,3,...,п.
= 0,
= 0,
да
1 дп
ь
ди,
+ <?п
25
дп
да
2 дп
25
д и.
+ сг,
35
дп
^х2+у2
^х2+у2=Я2
0;
0;
Решения задач (2) сведены к решению систе- нечности учтены функциями Грина (ядрами инте-мы интегральных уравнений относительно плотно- гральных преобразований, которые получены ре-сти тока на контурах Г . Краевые условия на х=0, на шением граничных задач):
^х2 + у2 = ^ , + У^ = К2 " = и на беско-
д2вл 1 д а , д2а 0 1
д2в. \д в. 1 д2в.
1 1 I
+ -
*5
дг1
г дг
г2 д<р
= 0; 1 = 2,3;
Ж 2 " 5
<7&(0, <Р) < 00,
д в. _гя
д<р
дв.
о
, 1 = 7, 2, 3;
<р = 7Г
з
а а
г=Яг~0' а\~дг
дв,
25
'2 г = *1
. = 0;
а а
25
дв.
дг
~СГг
35
дг
о =0; г = 2
(3)
—> о при г —> 00;
5 = 7, 2,..., и.
Решение задач (3) получено в аналитическом виде методом конечных интегральных преобразований и представлено косинус - рядом Фурье.
Примечание. Аналогично рассматривается и задача расчета распределения электрического поля то- где С0 - некоторая константа или функция коорди-чечных и цилиндрических электродов с произволь- нат х и у.
На границе Я могут быть условия вида Э£/„
0,
3 0 3 дп
у]х2+у2 = Я
ной направляющей, расположенных в зоне ^ и
Пример 2. Катодная защита системы трубопрово-
кругового цилиндра радиуса Я, высоты Н с диа- дов в вертикально-неоднородной среде. В этом слу-фрагмой вида зоны Подобные задачи возникают чае электрическое поле находится решением краевой в различных проблемах прикладной электрохимии. задачи (при симметрическом расположении анодов):
д2и. д2и. д2и. 1
+ = —!_ 5 (х-х0) 5 (у-у0) 5 (2-2о), I = 1,2,..., И;
дх ду'
д и,
dz
д и. г
z-0
= 0, U. —> 0 при —> схэ ;
(4)
*N'
О при Z —>00;
ду
д и. i
у = О
ду
= 0 ,i = l,2,...,N;
Nz = a ,= 0'
у = Н
8 и дп
= 0, q = 1,2,...,N-1.
z = а,
Ч
Здесь а принимает одно значение из а о2, ..., а Для простоты будем считать, что система трубо-
которое соответствует среде, где расположен анод- проводов находится в одном к-м слое, тогда граничный заземлитель. ные условия на трубопроводах принимают вид:
Uk+ Ср(х> z) ак
д и,
дп
= иМр (у), Р =1, 2,L; 0 < z < Н.
(5)
ГР
Дифференциально-разностным методом, с аппроксимацией производных по у, задача (4), (5) расщепляется на п двумерных краевых задач вида:
д2и. д2и. , V
дил
Is.
dz
z = О
0, U.g —» 0 при |дс| -> оо, Ujys —» О при z оо;
Ы z = aq=°>
SUs
дп
0,q = l,2,...,N-l;
z = ar
Uks + cp (x, y) aK
dU
ks
дп
Гг
UMps' P = 1'2' L> s = 1> 2> n■
Для данного случая функция Грина строится решением краевой задачи: д2в. д2в.
5xz dz
dG,
dz
■ 0, Gf —» 0 при |jc| —» oo, Gpj —> 0 при z —> оо;
z =0
Г Gil = 0 (j——— L J| z=aq ' дп
= 0,q = l,2,...,N-l,
z=ar
где а, в - находятся в к-м слое. Решение этой задачи ми геометрическими параметрами [Текст] / И.В. Ка-
находится аналогично. рабельская // Электротехнические и информационные
Аналогично рассматривается задача при распо- комплексы и системы. - 2015. - Т. 11. - N° 1. - С. 45-51.
ложении трубопроводов и нескольких анодных за- 2. Доломатов М.Ю. Проектирование ИС по
землителей в нескольких средах. свойствам и электронным харакеристикам сложных
многокомпонентных органических систем [Текст] /
Список литературы М.Ю. Доломатов, И.В. Карабельская, Э.А. Ковалева
1. Карабельская И.В. Исследования электриче- // Электротехнические и информационные комплек-
ских полей постоянного тока в системах со сложны- сы и системы. - 2014. - Т. 10. - № 2. - С. 45-51.
3. Иванов В.Т. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах [Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Гадилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У. Надергулов, И.В. Карабельская // Известия вузов: Электромеханика. - 1987. - № 11. - С. 21-26.
4. Иванов В.Т. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах [Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Гадилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У. Надергулов, И.В. Карабельская // I Всесоюзная конф. по теоретической электротехнике: тез. докл. - Ташкент, 1987.- С. 34-35.
5. Болотнов А.М. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами [Текст] / А.М. Болотнов, В.Т. Иванов, Г.Я. Кильдибекова, И.В. Карабельская. - Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870. - В 86. - Уфа: БГУ, 1986. - 49 с.
6. Ураков А.Р. Исследования автомодельных процессов нестационарной ЭХО [Текст] / А.Р. Ураков, В.И. Карамов, И.В. Карабельская // Современная электротехнология в машиностроении: сб. трудов Всероссийской науч.-техн. конф. - Тула, 1997.
- С. 161-162.
7. Иванов В.Т. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки [Текст] / В.Т. Иванов, В.Г. Гусев, А Н. Фокин. - М.: Машиностроение, 1986. - 211 с.
8. Андреев И.Н. Коррозия металлов и их защита [Текст] / И.Н. Андреев. - Казань: Татарское кн. изд-во, 1979. - 120 с.
9. Заборовский А.И. Электроразведка [Текст] / А.И. Заборовский. - М.: Гостехнефиздат, 1948.
10. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин [Текст] / В.Н. Дахнов.
- М.: Недра, 1981. - 334 с.
11. Козырин А.К. Электрическая корреляция разрезов скважин [Текст] / А.К. Козырин. - М.: Недра, 1985.
12. Иванов В.Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа [Текст] / В.Т. Иванов, М.С. Масютина. - М.: Наука, 1983. - 143 с.
13. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах [Текст] / В.Т. Иванов; препринт докл. Президиуму БФАН СССР. - Уфа: БФАН СССР, 1983. - 39 с.
14. Самарский А.А. Проблемы применения вычислительной техники [Текст] / А.А. Самарский // Вестник АН СССР. - 1984. - № 11. - С. 17-29.
15. Иванов В.Т. [Текст] / В.Т. Иванов // Тез. докл. Всесоюзной конф. «Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами»: ч.1. - Уфа: БФАН СССР, 1976. - С. 19-20.
16. Иванов В. Т. Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах [Текст] / В.Т. Иванов // Краевые задачи математической физики и их приложения. - Уфа: БФАН СССР, 1976. - С. 18-53.
17. Иванов В.Т. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами [Текст]/ В.Т. Иванов, Н.П. Глазов, М.М. Махмутов. - Электричество. - 1985. - № 6.- С. 48-52.
18. Самарский А.А. Введение в численные методы [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1982. - 271 с.
References
1. Karabel'skaja I.V. Issledovanija jelektricheskih polej postojannogo toka v sistemah so slozhnymi i geo-metricheskimi parametrami [Tekst] / I.V. Karabel'skaja // Jelektrotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy. - 2015. - T. 11. - № 1. - S. 45-51.
2. DolomatovM.Ju. Proektirovanie IS po svojstvam i jelektronnym harakeristikam slozhnyh mnogokom-panentnyh organicheskih sistem [Tekst] / M.Ju. Dolomatov, I.V. Karabel'skaja, Je.A. Kovaleva // Jelektrotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy. - 2014. - T. 10. - № 2. - S. 45-51.
3. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algorit-micheskogo obespechenija chislennyh issledovanij jelektricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, FG. Gadilova, G.Ja. Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // Izvestija VUZov: Jelektromehani-ka. - 1987. - № 11. - S. 21 - 26.
4. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algoritmiches-kogo obespechenija chislennyh issledovanij jelektricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, F.G. Gadilova, G.Ja. Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // I Vsesojuznaja konf. po teoreticheskoj jelektrotehnike: tez. dokl. - Tashkent, 1987. - S. 34-35.
5. Bolotnov A.M. Metody rascheta trehmernyh kraevyh zadach dlja jellipticheskih uravnenij v mnogo-svjaznyh oblastjah s cilindricheskimi granicami [Tekst] / A.M. Bolotnov, V.T. Ivanov, G.Ja. Kil'dibekova, I.V. Karabel'skaja. - Dep. v VINITI 4.12.86. № 8870. -V 86. - Ufa: BGU, 1986. - 49 s.
6. Urakov A.R. Issledovanija avtomodel'nyh pro-cessov nestacionarnoj JeHO [Tekst] / A.R. Urakov, V.I. Karamov, I.V. Karabel'skaja // Sovremennaja jelekt-rotehnologija v mashinostroenii: sb. trudov Vserossij-skoj nauch.-tehn. konf. - Tula, 1997. - S. 161-162.
7. Ivanov V.T. Optimizacija jelektricheskih polej, kontrol' i avtomatizacija gal'vanoobrabotki [Tekst] / V.T. Ivanov, V.G. Gusev, A.N. Fokin. - M.: Mashi-nostroenie, 1986. - 211 s.
8. Andreev I.N. Korrozija metallov i ih zashhita [Tekst] / I.N. Andreev. - Kazan': Tatarskoe kn. izd-vo, 1979. - 120 s.
9. Zaborovskij A.I. Jelektrorazvedka [Tekst] / A I. Zaborovskij. - M.: Gostehnefizdat, 1948.
10. Dahnov V.N. Jelektricheskie i magnitnye metody issledovanija skvazhin [Tekst] / V.N. Dahnov. -M.: Nedra, 1981. - 334 s.
11. Kozyrin A.K. Jelektricheskaja korreljacija raz-rezov skvazhin [Tekst] / A.K. Kozyrin. - M.: Nedra, 1985.
12. Ivanov V.T. Metody reshenija prjamyh i ob-ratnyh zadach jelektrokarotazha [Tekst] / V.T. Ivanov, M.S. Masjutina. - M.: Nauka, 1983. - 143 s.
13. Ivanov V.T. Nekotorye problemy vychislitel'noj matematiki primenitel'no k raschetam jelektricheskih polej v jelektrohimicheskih sistemah [Tekst] / V.T. Iva-
nov; preprint dokl. Prezidiumu BFAN SSSR. - Ufa: BFAN SSSR, 1983. - 39 s.
14. Samarskij A.A. Problemy primenenija vychislitel'noj tehniki [Tekst] / A.A. Samarskij // Vest-nik AN SSSR. - 1984. - № 11. - S. 17-29.
15. Ivanov V.T. [Tekst] / V.T. Ivanov // Tez. dokl. Vsesojuznoj konf. «Teorija informacionnyh sistem i sistem upravlenija s raspredelennymi parametrami»: ch.1. - Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 19-20.
16. Ivanov V.T. Metody rascheta trehmernyh jelektricheskih polej v jelektrolitah [Tekst] / V.T. Ivanov // Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki i ih prilozhe-nija. - Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 18-53.
17. Ivanov V.T. Raschet trehmernyh jelektricheskih polej v neodnorodnoj srede s protjazhennymi tonkimi cilindricheskimi jelektrodami [Tekst]/ V.T. Ivanov, N.P. Glazov, M.M. Mahmutov. - Jelektrichestvo. -1985. - № 6. - S. 48-52.
18. Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody [Tekst] / A.A. Samarskij. - M.: Nauka, 1982. - 271 s.
