Применение свойств монотонных функций к решению неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ИХ ПРЕПОДАВАНИЕ

В статье предлагается способ решения различных типов неравенств на основе монотонности и непрерывности функций, входящих в неравенства. Аналогом предлагаемого способа является теорема о корне для решения уравнений. Суть предлагаемого способа состоит в следующем:

1) неравенство записывается в виде /(х) > а (/(х) < а; /(х) £ а; /(х) > а), где

/(х) - некоторая функция, а е Я ;

2) находят область определения функции Б( /), характер ее монотонности и непрерывности (если функция кусочно-непрерывная, рассуждения проводятся на каждом промежутке непрерывности и монотонности);

3) если число а принадлежит области значений функции /(х), подбирают такое число хо е Д /) , что /(х0) = а (это не всегда возможно, но в большинстве случаев делается очень

4) исходное неравенство записывают в виде / (х) > / (х0)

(/(х) < /(х0); /(х) £ /(х0); /(х) > /(х0)) и делают вывод о соотношении между х и х0 с учетом характера монотонности функции / (х) . Например, если функция /(х) - возрастающая, то из неравенства / (х) > / (х 0) следует, что х > х0;

5) область определения исходного неравенства, как правило, можно записать с помощью неравенства вида Ь < х < d (х > Ь, х < Ь). Тогда решение исходного неравенства сводится к

решению равносильной ему простейшей системы линейных неравенств ь , а если

Алимова Н.М.

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ К РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ

легко);

/ (х) - убывающая, то к системе вида 0 I. Решение системы является решением исход-

Ь < х < d \

ного неравенства.

Если число а не принадлежит области значений функции /(х), решение также легко может быть получено: оно либо совпадает с областью определения, либо является пустым множеством.

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, остановимся на вопросе о способах определения характера монотонности функции. В большинстве случаев можно обойтись без применения производной: достаточно знать свойства монотонных функций. Перечислим эти свойства:

Свойство 1: если функция /(х) монотонно возрастает (убывает) на некотором множестве О, то для любого С е Я , функция Е (х) = / (х) + С также возрастает (убывает) на этом множестве.

Свойство 2: если функция / (х) возрастает (убывает) на множестве О, то функция

Е(х) = С ■ /(х) при С > 0 (С е Я) возрастает (убывает), при С < 0 - убывает (возрастает) на этом множестве.

Свойство 3: если функция / (х) возрастает (убывает) на промежутке О и сохраняет 1

знак, то функция /(х) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Свойство 4: если функции /(х) и g(х) возрастают (убывают) на промежутке О, то их

сумма Е (х) = / (х) + g (х) также возрастает (убывает) на О (для разности функций это свойство не сохраняется!).

Свойство 5: если функции / (х) и g(х) возрастают на промежутке О и обе принимают только положительные значения на этом промежутке, то их произведение Е(х) = /(х) ■ g(x) есть функция возрастающая.

Свойство 6: если функции / (х) и g (х) имеют одинаковый характер монотонности, то

функции /(g (х)) и g (/(х)) - возрастающие в своей области определения функции (предполагается, что область определения сложных функций состоит более чем из одной точки). Если функции / (х) и g (х) имеют противоположный характер монотонности, то их композиции

/(g (х)) и g (/(х)) убывают в своей области определения.

Покажем, как применяются эти свойства при решении неравенств. Примеры неравенств выбраны из работ, предлагавшихся в разные годы на вступительных экзаменах в вузы.

Пример 1. Решить неравенство х5 + х3 + х £ 42 (1).

Обозначим Е (х) = х5 + х3 + х. Эта функция определена и непрерывна на Я, возрастает как сумма трех возрастающих функций (свойство 4). Очевидно, что 42 = Е(2) , поэтому неравенство (1) можно записать в виде Е (х) £ Е (2). Из последнего неравенства по свойству возрастающей функции следует, что х £ 2 .

Ответ: х е (— ¥; 2].

Пример 2. Решить неравенство ^¡7 + х > 7 - 2х (2).

Неравенство (2) относится к типу простейших иррациональных неравенств вида ■\ffix) > g(х). Общий подход к решению таких неравенств состоит в переходе к равносильной

ему совокупности двух систем

/ (х) > 0

я (х) > 0 / (х) > я 2( х)

/ (х) > 0 Я (х) < 0

<=> х > 2

Покажем, как можно иначе, без громоздких выкладок получить решение неравенства (2) на основе свойств функций. Неравенство (2) перепишем в виде

/(х) > 7 (2),

где / (х) = V 7 + х + 2 х. Эта функция определена и непрерывна на луче [— 7;+¥, монотонно возрастает на нем в силу свойств 4 и 6. Кроме того, / (2) = 7, т. е. неравенство (2) можно записать в виде /(х) > /(2). Перейдем к системе:

х >—7 1 / (*)Т х >—71

г о

/(х) > /(2)! х > 2

Ответ: х є [2;+¥.

Пример 3. Решить неравенство ^х +1 +■>/х — 2 > л/ 12 — х (3).

Введем в рассмотрение функцию /(х) = Vх +1 + л/х — 2 — V 12 — х и запишем (3) в виде /(х) > 0. Функция /(х) определена на отрезке [2; 12], непрерывна на нем и возрастает в силу свойств 2, 4, 6. В точке х = 3 функция принимает значение, равное нулю, то есть неравенство (3) сводится к виду /(х) > /(3).

/(х) > /(3)1 /(*)Т х > 3

Итак,

2 < х < 12

о г <=> 3 < х < 12

2 < х < 12 [

Ответ: х е [3;12].

Пример 4. Решить неравенство 2^х + 3^+1 + 4Л^х +2 > 20 (4).

Запишем неравенство в виде /(х) > /(0) , где /(х) = 2^ + 3^*+1 + 4^+2 - непрерывная и монотонно возрастающая функция, определенная при х > 0 (свойства 4 и 6) . Тогда:

/(х) > /(0)1 х > 0 І

/ ( х)Т

о х > 0

Ответ: х є (0;+¥.

получим:

Пример 5. Решить неравенство ^3 (5 - х) + 2 л/3 - х > 1 (5).

Рассуждая аналогично, получим систему:

^(х) > ^(2)1 ^(О х < 2^ х < 3 | х < 3]

Ответ: х е (- ¥; 2).

Пример 6. Решить неравенство ^(^ х) + ^(^ х3 - 2) > 0 (6).

Обозначим/(х) = 1§(1§ х) +1§(1§ х3 - 2) и заметим, что /(10) = 0 . Рассуждая аналогично,

/(х) > /(10)1 /(х)Т х > 10 1

2 1 О 2 1 О х > 10

х > 103 1 х > 103 ] '

Ответ: х е (10 + ¥) .

В некоторых случаях не удается непосредственно ввести монотонную функцию, но при помощи несложных равносильных преобразований неравенства этого можно добиться.

Пример 7. Решить неравенство ^3х2 + 5х + 7 -V3х2 + 5х + 2 > 1 (7).

Введем замену ? = 3х2 + 5х2 + 2, тогда (5) примет вид

л/Т+5 - V? > 1.

Преобразуем полученное неравенство в равносильное, умножив обе его части на заведомо положительную сумму д/Т+5 + V? :

(? + 5) — ? > V? + 5 + V? V? + 5 + V? < 5 о /(?) < /(4).

/(?) < /(4) 1 О ? < 41

Перейдем к системе: > 0 | о ? > 0 |

Зная ?, найдем значение переменной х : 0 < 3х2 + 5х + 2 < 4.

3х + 5х + 2 > 0| Последнее неравенство равносильно системе 3х2 +5х-2 < 41|

Решая ее, получим

х <-1 2

х > — 3

- 2 < х < — 3

о

- 2 < х < -1 -2< <1 .

-< х < -

33

Ответ: х е (- 2; - 1]и

2, 1

3; 3

л/х2 -16 /- 5

Пример 8. Решить неравенство —т= ^+л/ х - 3 >- (8).

л/х - 3 л/х - 3

х2 -16 > 01 4

Найдем область определения исходного неравенства: 3 > 0 1 о х > 4.

В области определения неравенства (8) выражение Л/х-3 принимает строго положительные значения, поэтому, умножив обе части (8) на ^¡х - 3 , получим равносильное неравенство у/х2 -16 + х - 3 > 5, которое можно записать в виде /(х) > 8. Функция

/(х) = Vх2 -16 + х на луче [4;+¥) непрерывна и монотонно возрастает в силу свойств 6 и 4,

кроме того, / (5) = 8. Решение неравенства получим из системы:

/(х) > /(5)1 /(^ х > 51 > _

1 о 1 о х > 5

х > 4 ] х > 4|

Ответ: х е (5;+¥).

Рассмотрим пример, когда вводится ограничение на область определения неравенства. Пример 9. Решить неравенство (х +1) • 32 > 45 (9).

Очевидно, что функция / (х) = (х +1) • 3 х- 2 определена на всей числовой оси.. Так как

неравенство (9) не будет выполняться при х +1 < 0, ограничимся рассмотрением случая х > -1. При этом условии функция будет непрерывной и возрастающей в силу свойств монотонных функций 5 и 6, кроме того, 45 = / (4). Перейдем к системе:

/(х) > /(4)1 /(0* х > 4 1 4

1 о 1 о х > 4

х > -1 ] х > -1|

Ответ: х е (4;+¥).

Покажем, как проводятся рассуждения в случае, если число а в неравенствах вида /(х) > а (/(х) < а) не принадлежит области значений функции.

Пример 10. Решить неравенство ^х +1 - л/Г-х > 2 (I0).

Запишем неравенство в виде / (х) > 2. Здесь / (х) = л/ х +1 - л/Т-х и Б(/) = [-1;1]. В силу свойств 2, 6, 4 эта функция возрастает на указанном отрезке. Так она непрерывна, то

область её значений: Е (/) = [/ (-1); / (1)]= [-л/2;л/2 ]. Следовательно, число 2, стоящее в правой части неравенства (10), не принадлежит множеству значений функции, причем /(х) < 2

для всех х е [-1; 1]

Ответ: неравенство не имеет решений.

Пример 11 . Решить неравенство ^х +1 -Л/1 - х < 2 (11).

Из предыдущих рассуждений следует, что это неравенство выполнимо при любых х е [-1;1].

Ответ: х е [-1;1].

Рассмотренные примеры убеждают в простоте и изяществе предлагаемого способа решения неравенств. К сожалению, он не является универсальным. Кроме того, в некоторых случаях,

даже если число а принадлежит области значений функции ^(х), трудно или невозможно указать такие значения х0, при которых имеет место равенство а = ^(х0).

Пример 12. Решить неравенство д/х3 +1 + л/х3 -1 > 2 (12).

Легко увидеть, что неравенство представимо в виде / (х) > 2, где / (х) = -у/ х 3 +1 +^ х 3 -1

- монотонно возрастающая на луче [1; +¥) функция. Но нелегко догадаться, что 2 = /(^~).

Но, несмотря на указанные ограничения и недостатки, лаконичность этого способа решения делают его весьма привлекательным.

Гаваза Т.А.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ. ТРУДНОСТИ. ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ

Роль математического образования в процессе подготовки специалистов любого профиля на каждом из исторических этапов зависит от принятой образовательной парадигмы государства, от структуры высшего образования, от степени развития самой науки и от развития научных областей знаний в целом.

Петр I заложил основы профессиональной образовательной системы Российского государства. Её структура определялась насущными государственными потребностями, среди которых приоритетными были потребности армии и флота. Поэтому в первой четверти 18 века в качестве ведущей образовательной парадигмы была принята профессиональная модель образования. В связи с этим суть образовательно-профессиональной программы состояла в приобретении обучающимися сугубо профессиональных навыков. Одной из отличительных особенностей образовательных систем того времени был доминантный характер математического образования. Это было, прежде всего, связано с тем, что приобретение профессиональных навыков требовало некоторых конкретных знаний в области точных наук. Математика была основным предметом изучения не только в массовой, но и профессиональной школе. Доминирование математики несколько сглаживается лишь во второй половине восемнадцатого века, в связи с созданием первого университета в России, где появились факультеты, занимавшиеся подготовкой сугубо гуманитарных специальностей. Однако программа всех факультетов (медицинского, философского, юридического) предусматривала обязательный трехлетний образовательный курс, в который входили математика, физика, философия, экономические, исторические и словесные науки.

Бурное развитие различных областей научных знаний в 19 веке привело к специализации обучения в высшей школе. Однако фундаментальная, естественнонаучная и гуманитарная подготовка оставались в основе учебных планов первых двух лет обучения независимо от дальнейшей специализации.

На начало 20 века парадигмой высшего образования стала стабильность знаний на базе накопленного опыта. И как результат - готовность к определенному виду узко профессиональ-