Применение оценок Каплана - Мейера для проверки степенной гипотезы Кокса по двум прогрессивно цензурированным выборкам Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

DOI: 10.18698/1812-3368-2015-6-68-84 УДК 519.248

ПРИМЕНЕНИЕ ОЦЕНОК КАПЛАНА-МЕЙЕРА ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТЕПЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ КОКСА ПО ДВУМ ПРОГРЕССИВНО ЦЕНЗУРИРОВАННЫМ ВЫБОРКАМ

В.И. Тимонин, Н.Д. Тянникова

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: timoninmgtu52@mail.ru; tiannikova@yandex.ru

Рассмотрена задача проверки степенной гипотезы Кокса для двух прогрессивно цензурированных выборок. В качестве статистики для проверки данной гипотезы предложен критерий типа Колмогорова-Смирнова, основанный на сравнении оценок Каплана-Мейера функции надежности по каждой выборке. Разработан метод вычисления точных распределений статистики, основанный на модели случайного блуждания частицы по двумерному массиву ячеек. Метод позволяет получать точные вероятности для очень значительных объемов выборок, что дает возможность оценить их необходимый объем, для которого точные вероятности можно заменить асимптотическими. Рассчитаны таблицы значений вероятностей точных распределений предложенной статистики для широкого набора возможных значений объемов выборок. Показана сходимость асимптотического распределения данной статистики к стандартному распределению Колмогорова - Смирнова при условии справедливости проверяемой гипотезы. Исследованы статистические свойства оценки параметра модели Кокса в случае справедливости проверяемой гипотезы методом Монте-Карло. В качестве оценки рассмотрено значение параметра, минимизирующее предлагаемую статистику критерия. Показана состоятельность оценки.

Ключевые слова: непараметрическая статистика, гипотеза Кокса, критерий типа Колмогорова-Смирнова, оценка Каплана-Мейера.

APPLICATION OF KAPLAN-MEIER ESTIMATES TO TESTING THE COX POWER HYPOTHESIS FOR TWO PROGRESSIVE LYCENSORED SAMPLES

V.I. Timonin, N.D. Tyannikova

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: timoninmgtu52@mail.ru; tiannikova@yandex.ru

The paper considers the problem of testing the Cox power hypothesis for two progressively censored samples. To test the hypothesis, the authors propose the Kolmogorov - Smirnov criterion as some statistics based on comparison of the Kaplan-Meier estimates of a reliability function for each sample. A method for calculating the exact distributions of statistics is based on the model of a particle random walk on a two-dimensional cell array. The method allows obtaining accurate probabilities for a considerable amount of samples. It enables one to estimate their required amount for which the exact probabilities can be replaced by the asymptotic

ones. Tables of probability distributions for the proposed accurate statistics are calculated considering a wide range of possible values of the sample amount. The authors show that the statistics asymptotic distribution converges to the Kolmogorov -Smirnov standard distribution, provided the tested hypothesis is valid. The statistical characteristics for estimating the Cox model parameter are evaluated, in case the hypothesis is valid, if tested with the help of the Monte-Carlo method. The value that minimizes the proposed test statistics is considered estimation. The estimation consistency is shown.

Keywords: nonparametric statistics, Cox hypothesis, Kolmogorov - Smirnov criterion, Kaplan-Meier estimator.

Введение. При испытаниях технических систем часто возникает задача проверки степенной гипотезы

Ho : P1(t) = (P2(t))k , (1)

где Pi(t) = 1 — F(t), i = 1, 2 — функции надежности для первой и второй независимых выборок. Выполнение этой гипотезы эквивалентно пропорциональности интенсивностей отказов. Впервые модель (1) была рассмотрена Д. Коксом [1]. В настоящей работе исследована задача проверки гипотезы (1) в случае, когда обе выборки являются прогрессивно цензурированными. Эта работа представляет собой обобщение работы [2], в которой была предложена статистика для проверки гипотезы однородности, что эквивалентно случаю k = 1.

Постановка задачи. Пусть имеется n1 систем, состоящих из m1 последовательно соединенных элементов, которые работают в режиме £\, и n2 систем, состоящих из m2 последовательно соединенных элементов, функционирующих в режиме е2. При испытаниях последовательных систем в случае отказа одного из изделий в системе, оставшиеся (mj — 1) изделий цензурируются (j = 1, 2). Таким образом, по результатам испытаний двух групп систем имеются две прогрессивно цензурированные выборки 91 = (#1,..., в^1), в2 = (#1,..., в^2), где min(¿1 ,й,...,£тл} , i = ML ej = min{^2,...,^jrtJ ,

j = 1, n2 — минимумы наработок до отказа элементов систем, работающих в режимах е1 и е2 [3, 4].

Требуется проверить гипотезу о том, что интенсивности отказов A1(t),A2(t) элементов для двух режимов пропорциональны A1(t) = kA2(t), где k > 1 — известное фиксированное число. Обозначим P1(t) функцией надежности наработок до отказа элементов в режиме е1, а P2(t) функцией надежности наработок до отказа в режиме е2. Тогда проверяемая гипотеза имеет вид, аналогичный виду модели (1):Ho : Pi(t) = (P2(t))k, k > 1.

В настоящей работе для проверки гипотезы (1) предложен критерий типа Колмогорова - Смирнова, основанный на сравнении оценок

Каплана - Мейера Pe1 (t), Pe2 (t) функций надежности Pi(t), P2(t) по прогрессивно цензурированным выборкам ©1 и в2 [5, 6]:

Рвг (t) =

' 1,di (t) = 0,

di(t)

П11 -

i=1

m1 (n1 — i + 1)

, 1 < di (t) < (ni — 1),

k 0,di (t) = ni;

(t) =

f 1,d2 (t) = 0,

d2 (t)

П

j=1

1

m2 (n2 — j + 1)

k 0,d2 (t) = П2.

, 1 < d2 (t) < (П2 — 1),

Здесь (£) ,¿2 (£) — число элементов выборок О^ ©2, меньших значения

Отметим, что выборки ($1,..., О'1), ($1,..., О'2) можно рассматривать и как полные (нецензурированные) независимые выборки из совокупностей с функциями распределения ^ 1(^) = 1 — (Р1(£))т:1, ^2(£) = = 1 — (Р2(^))Ш2. При этом функции распределения ^ 1(^),^2(^) можно оценить обычными эмпирическими функциями распределения

F =

di(t) d2(t) F —

ni n2

Для проверки гипотезы (1) предложена статистика вида

_ mim^v/pn2

T — , X

-Л \ mi

Ы 1— F + ki 1— F

m2 ,

m2

х max

t

m 2

1 ч -mi

1 \ mi l m2

k2 I кЛ 1— F + ki 1— F I + ki

x

X

Pвг (t) — Pö2 (t)

ni

гдер = —; k2 = n2

m:

22

ki =

pmfk

, (2)

. При этом для случая

pmfk2 + m2 pm2k2 + m|

1 k

m2 / mi / m2

—--1 < 0 и k2 (1— Fl + kW 1— Fl =0 примем

1

k

m 2

\ mi

k2 ( 1- F + ki (1- F

■ —\ — -J

m2 I ' > 1

m 2

к \ к -mi

m2

mi (

k2 I кЛ 1- F + ki 1- F ) I + ki

Точные распределения Т. Для вычисления точных распределений статистики (2) рассмотрим более общую постановку задачи. Пусть испытания проводят следующим образом. Имеется два режима работы: в режиме ^ работает N элементов, в режиме £2 — N2 элементов. При %-м отказе одного из изделий в режиме £1 с испытаний снимаются (цензурируются) г1 изделий (г = 1,д1), в режиме £2 при 3-м

отказе — г| изделий (3 = 1, д2). Такая схема цензурирования называет-

<11

ся прогрессивным цензурированием [4, 7, 8], причем N = ^^ г1 + д1,

г=1

12

N2 = г| + д2. По результатам испытаний имеется две прогрессивно

^=1

цензурированные выборки объемами д1, д2. Уточним, что пара-

12

метры г/, г2 известны заранее и не являются случайными величинами.

Введем вектор = (г1, г2,..., ¿11+12), который состоит из д1 единиц и д2 нулей, причем

!1, если отказ из выборки

% = 1,..., (?1 + ).

0, если отказ из выборки ф2,

Рассмотрим следующую модель случайного блуждания [9]. Пусть {аИ} = А, % = 0,д1, 3 = 0, д2 — двумерный массив ячеек. Частица на первом шаге выходит из ячейки ао,о и на (д1 + д2)-м шаге заканчивает блуждание в ячейке а1112, совершая д1 скачков "вниз" и д2 скачков "вправо". Траектории частицы будут находиться во взаимно однозначном соответствии с вектором ^. Равенство = 1, к = 1,..., + #2), в векторе соответствует скачку "вниз" на к-м шаге, появление = 0, к = 1,..., (д1 + д2) — скачку "вправо". Схема массива ячеек, по которым происходит случайное блуждание частицы, показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема массива ячеек, по которым происходит случайное блуждание частицы

Теорема 1. Распределение вероятностей вектора 1 = , ,... ..., +Ч2) определяется по следующему выражению:

Zs

Us

qi +92

Р

«=п

s=1

- £ kj - £ rf-Us-i

1 —Zs

VS-i

Ni - ^ r1 - V,—1 ) k + Nf - ^ rf - Us—i i=i

Us- 1

1=1

j V

где Vj = ^^ zi, V0 = 0 — число единиц в векторе z до j-го места

=1

включительно;

j V

; Uj = j - ^^ zi, U0 = 0 — число нулей в векторе z до

i=1

3-го места включительно.

< Утверждение теоремы следует из вида условных вероятностей перехода "вниз" или "вправо" в схеме случайного блуждания частицы [9, 10]. ►

Обозначим через Р вероятность невыхода траектории случайного блуждания из некоторого подмножества А0 множества {а^} = А, г = 0,д1, з = 0,42.

Теорема 2. Вероятность Р равна т, которую можно получить повторным применением соотношения

1 Xij, если i = 0, j = 0; ( j-i

N2 r2 - j + 1

1=1

-\-j-i-j

N1 - E ri - i k + N2 - 2 r2 - j + 1 V V 1=1 j 1=1 /

i = 0, 1 < j < 52;

( ( i-1 \ \

N1 - r1 - i + 1 k

1=1_/_^

-i-ni-1,j

=

Xij,

=

i-1 \ j

N1 - ^ r1 - i + 1 k + N2 - ^

l=1 l=1 1 < i < 51, j = 0;

N1 - ^ г/ - i + 1 J k

ч 1=1_/

i-1 \ j

N1 - 2 r1 - i +1 k + N2 - 2

1=1 )

j-1

r2 - j

xij,

/

, r2 - j

N2 -E r2 - j + 1

j-1

1

xij,

N1 r1 - i k + N2 r2 - j + 1

1 < % < 51, 1 < 3 < 52.

Здесь V = / 1 у (г,з): € Ао; Здесь х%3 = \ 0, V (%,3): агз

Пусть ш — некоторая траектория случайного блуждания частицы.

Тогда из теоремы 1 получим, что вероятность ш можно записать в виде

р (ш) =

(

Vs-

Us

1- Zs

qi +q2

П

s=1

N1 - E r1 - Vs-1 k N2 - ^ r2 - Us-1

Vs- 1

N1 r1 -Vs-^ k + N2- E r2-Us-1

qi +q2 [ As (.

s=1

Обозначим через шг часть траектории ш, определяемую первыми £ шагами ("частичная" траектория). Пусть шгз- — множество "частичных" траекторий, оканчивающихся в ячейке агз- (соответствующий вектор

имеет г единиц и ] нулей до (г + 3)-го места). Обозначим через

г

дг = ^ Лв (ш) первые £ сомножителей выражения для р (ш). Вероятность любой траектории, совершающей скачок на (г + ] )-м шаге аг-1 з ^ а^ = 1), имеет множитель

г-1

N1 - Е Г1 - г + 1 I к

1=1

г-1 \ j

Е r1 - i + 4 k + N2 - Е r2

1=1 / 1=1

Если происходит скачок aiij--1 ^ a^ (zi+j = 0), то соответствующий множитель равен

j-1

N2 - Е r2 - j + 1

3-1

N1 - Е Г1 - 0 к + N2 - Е Г2 - ^ + 1

ч 1=1 / 1=1

Пусть = ^^ дг+3. Тогда утверждение теоремы 2 следует из того,

что в ячейку агз за один скачок можно попасть только из ячейки аг-1з или аг з-1. Множитель хз обеспечивает обращение в нуль вероятностей траекторий, не лежащих в подмножестве А0 С А ►

Для испытаний последовательных систем имеем г1 = т1 - 1, г = 1,п1, г| = т2 - 1, ] = 1,п2, N1 = п1т1, N2 = п2т2, д1 = п1, д2 = п2. В таком случае при прохождении блуждания через ячейку агз функция

ГП2 ,

X , , к -1

■Л\ mi / m2

k2 (1- F + kW 1- F

-х

у/к2рш2 + m2 / ч ч -mi

/ f mi / m2

k2 I k2 1- F + k1 1- F I + k1

X

Äi (t) - (Я2 (t)

принимает значение tij, равное

tij — ,-=-- x

yj k2 pmf + mf

г \ mi

™1

kf 1 - — + kW 1 - ^

ГП2 k

j \ m2

-1

X

П1

kf I kf I 1 --) mi + h( 1 - j

m2 '-nj)

T —mi

+ k1

где

Aij =

п

Si = 1

1

m1 (n - S1 + 1)

п

4S2 = 1

1

При этом для mf /k - 1 < 0 и

г \ mi

П1

kW 1 - — + kW 1 - ^ — 0

mf (п2 - Sf + 1)

m2

nf

сохраняется условие

П1

mi

kW 1 - — + kW 1 - ^

m2 k

j \ m2

1

nf

m2

_L . JL\ T—mi

kf I kf ( 1 - — ) mi + k1 (1 - j ) m2 | + k1 «W V nf

— 0.

Отметим, что параметр ¿¿^ не зависит от траектории частицы. Основываясь на описанной модели случайного блуждания предложен метод вычисления точных распределений статистики Т [9].

Теорема 3. Вероятность Р {Т < Л} равна пП1П2 (Л), которую можно получить повторным применением соотношения

1

1

1

k

1

1

k

1

(h) = <

1, если i = 0, j = 0;

_m-2 (n - j + 1)_

kmi (ni - i) + m2 (n - j + 1)

i = 0, 1 < j < П2; km1 (n1 — i + 1) kmi (ni - i + 1) + m2 (n - j) 1 < i < n1, j = 0; km1 (n1 - i + 1)

ni,j-i (h) Xij (h),

•yni-i,j (h)) Xij (h),

kmi (ni - i + 1) + m2 (n2 - j) m2 (П2 - j + 1)

Здесь Xij (h) =

kmi (ni - i) + m2 (П2 - j + 1) 1 < i < n1, 1 < j < n2.

1

(h) + n»,j-i(h)

\

/

Xij(h),

0,

iij < h; tjj > h.

^ Теорема 3 является следствием теоремы 2, при г1 = т1 — 1, г = 1,п1, г2 = т2 — 1,^' = 1,п2, N = п1т1, N = п2т2, д1 = п1, д2 = п2. При этом множитель х»? (Л) обеспечивает обращение в нуль вероятностей траекторий, для которых Т > Л. ►

Значения вероятности точного распределения статистики Т для квантилей Л = 1,22, 1,36 и 1,63, которые являются квантилями уровней 0,8981, 0,9505 и 0,9901 асимптотического распределения Колмогорова-Смирнова, приведены в таблице.

Значения точной вероятности Р(Т < Ь) в случае равных объемов выборок при т\ = т2 =2 для к = 1,5 (числитель) и 3,0 (знаменатель)

П1 = П2 P (T < h)

h = 1,22 h = 1,36 h = 1,63

100 0,9108/0,8916 0,9572/0,9442 0,9913/0,9864

300 0,9060/0,9014 0,9551/0,9518 0,9911/0,9901

500 0,9046/0,9025 0,9542/0,9530 0,9909/0,9906

700 0,9041/0,9028 0,9536/0,9530 0,9908/0,9906

900 0,9033/0,9024 0,9531/0,9529 0,9908/0,9906

1100 0,9029/0,9021 0,9530/0,9528 0,9907/0,9906

1300 0,9023/0,9023 0,9528/0,9526 0,9907/0,9906

1500 0,9020/0,9020 0,9527/0,9525 0,9906/0,9906

ж 0,8981/0,8981 0,9505/0,9505 0,9901/0,9901

Асимптотическое распределение Т. Вид предлагаемой статистики Т связан с тем, что ее асимптотическое распределение может быть приближено классическим распределением Колмогорова-Смирнова.

Без ограничения общности можно полагать, что Р1(£) = 1 - £, 1

Р2(£) = (1 - £)к, 0 < £ < 1. Рассмотрим сначала процесс Х1(£) = = /П! (£) - (1 - £)) .В работе [2] была доказана следующая теорема, дающая выражение для асимптотической ковариации процесса

Теорема 4. Пусть 0 < 8 < £ < А < 1, тогда К (М) = ЕХ1 (8) X (£) -

' 1 - (1 - 8)Ш1

- EX1 (s) EX1 (t) —> (1 - t)(1 - s)

mi

\ т2 (1 - 8)

Далее рассмотрим процесс Х2 (£) = /П2 (£) - (1 - £) 1 0 < £ < 1.

Метод получения асимптотической ковариации процесса Х2 (£) полностью аналогичен методу определения ковариации Х1 (£), приведенному в работе [2], и поэтому вид асимптотической ковариации

К2 (8, £) = ЕХ2 (8) Х2 (£) - ЕХ2 (8) ЕХ2 (£) приводится без доказательства.

Теорема 5. Пусть 0 < 8 < £ < А < 1, тогда

K2 (s,t) = EX2 (s) X (t) -

m2

1 1 /1 - (1 - S) k

- EX (s) EX2 (t) (1 - t) k (1 - s) к m2

т2 (1 -

Для того чтобы получить асимптотическую функцию ковариации процесса Х2 (£) = /П2 ^ - (1 - , 0 < £ < 1, воспользу-

емся следующим результатом [11].

Теорема 6. Пусть Ьп(ж) = /П ( Г(1 - £)1/к + - (1 - £) ),

/и

Л,(ж) = к(1 - £)1-1/кх, х € Е[0,1], Е[0,1] — пространство функций без разрывов второго рода на [0, 1]. Тогда последовательность сходится в метрике Скорохода к Л,(ж) равномерно на ограниченных множествах из Е[0,1].

Учитывая, что асимптотически Х2 (г) = Л(Х2(г)), получаем асимптотическую ковариацию процесса Х2 (г) в виде

К (М) = ЕХ2 (8) X (*) —

(/ т2 \

к2 (1 — (1 — в)") —-

т2 (1 —

Рассмотрим случайный процесс (г) —

0 < г < 1, определяющий статистику (2). Обозначим через Кп (з,г) функцию ковариации Очевидно, что справедливо представление

ад = V«! ((Й1 (¿) — (1—*)) — ( (Я ю)к — (1—*))) =

= х(г) — о < г < 1.

Из этого представления следует теорема.

Теорема 7. Пусть 0 < 8 < г < А < 1, тогда

К (8,г) —^ к (8,г) = к (8,г) + рк (м) =

П1 ^ <х

■ / m2 -

-(1_ Ш1- s) I 1 - Ч - s)"1 + Pk'2 l1 ~ (1 " S) ' .

V VV / I 2 /1 \m1 _r _

2 /"i N"1 1

m2 (1 - s) m2 (1 - s)-

k

( "2 \ 1 - (1 - s)"i Pk2 - (1 - s) k )

= (1 - *) I -+

2 /"1 \rni-1 „ '"2

т2 (1 — 8) 1 т2 (1 — 8) к -1

Обозначим УП(г) = т1т2 £п(г). При стандартных ограниче-

-\/к2рт2 + т2

ниях 0 < 8 < г < А < 1 процесс УП (¿) сходится к гауссовому процессу У (г) [4]. При этом

е [У (г)] = о, е [У (8) у (г)] =

m2m2 / 1 - (1 - s)"1 Pk ^ - (1 - s)

-,2,^2 (1 V ™2 /1 „\"1_ 1 + "2

"2

k2pm2 + m2 lm2 (1 - s)"1 1 m2 (1 - s)

2 ii — s J k

"2_" "2

= (1 — г) к2(1 — к -т1 + *1 — (1 — '>" к , о < 8 < г < А < 1.

(1 — 8)" - 1

Для определения приближенного асимптотического распределения статистики (2) предварительно докажем две леммы.

k

Лемма 1. Пусть У (¿) — процесс, определенный выше. Существует монотонно возрастающее преобразование £ = ф (т) отрезка [0,1] на себя [0,1] ^ [0,1], при котором процесс W (т) = У (ф (т)) х

(1 - ф(т))■

ГП2 k

-1

х-т-является броуновским мостом.

к2 (1 - ф(т))~-т1 + к1

Рассмотрим преобразование

т (£) = *2 (1 - «)^-+ к - (1 - т :[0, 1) ^ [0, 1).

к2 (1 - -т1 + При необходимости доопределим т(1) = 1. Нетрудно показать, что т' (£) > 0, т (0) = 0, т (1) = 1. Тогда существует обратное преобразование £ = ф (т). Введем процесс

ГП2 .

(1 _ ф(т)) Т"-1

W (т) = У (ф (т))-(--= У (ф (т)) А (ф (т)).

к2 (1 - ф(т))~-т1 + к1

При 0 < и < V < 1, ф (и) = 8, ф (у) = £ имеем

Е [W (т)] = 0, Е [W (и) W (V)] =

= А (ф (и)) А (ф (V)) Е [У (ф (и)) У (ф (V))] =

(1 _ 8) к -1 (1 - £) к -1 = А (8) А (£) Е [У (8) У (£)] =-(-т--(—т-х

к2 -т1 + к1 к2 (1-£)~-т1 + к1 т2 т2

. ,) к2 (1 - 8) к-т1 + к1 - (1 - 8) к _ х (1 - ¿)

(1 - s) k

1

то ГП2 ГП2

(1 - ¿) ^ к2 (1 - 8) ~-т1 + к1 - (1 - 8) ~ = ( ) | т2 т2 и(1 1

к2 (1 - -т1 + к1 к2 (1 - 8)"-т1 + к1

Рассмотрим выборки (0{,..., 021), ($1,..., 2). Если полагать их независимыми выборками из совокупностей с функциями распреде-

-I о т2

ления Е 1(£) = 1 - (1 - ¿)т1 ,Е2(£) = 1 - (1 - ¿) к , то справедливо следующее утверждение.

~ „ ^ л ¿1 (£)

Лемма 2. Пусть, как было определено выше, Е = —

di(t)

П1

F = - — эмпирические функции распределения выборок

(01,...,0?1), (01,...,0£2)• Гогда

P ( sup

(1- F (t)) mi - (1 - t)

0] =1,

t

P ( sup

_k_

(1- F (t)) m2 - (1 - t)

ni^M

0 =1,

M Утверждение леммы очевидно в силу теоремы Гливенко и равномерной непрерывности на отрезке [0,1] степенных функций с положительным показателем степени. ►

Асимптотическое распределение (2) приближенно может быть получено следующим образом. В функции А(0(т)) = A(t), определенной в лемме 1, множители (1 — t) должны быть заменены сходящимися к

ним множителями (1— F (t)) mi или (1— F (t)) m2. Тогда приближенно можно принять, что распределение статистики (2) совпадает с распределением максимума модуля броуновского моста, которое является классической функцией распределения Колмогорова [12]. Рассчитанные значения точных вероятностей, приведенные в таблице, показывают обоснованность этого утверждения. При больших объемах выборок разность значений точных и асимптотических [12] вероятностей составляет менее 0,004.

Оценка параметра модели Кокса. Полученный результат позволяет проверять гипотезы о возможных значениях параметра модели Кокса. Однако во многих случаях более важна оценка данного параметра. Обычно она осуществляется методом максимизации функции частного правдоподобия [10]. В настоящей работе предложена другая оценка, получаемая с помощью минимизации статистики типа Колмогорова - Смирнова k = arg min T(&).

Пусть значение параметра Кокса k в степенной гипотезе (1) неизвестно. В качестве оценки предложено значение к, которое минимизирует значение статистики Колмогорова - Смирнова

T (*) =

: X

k2pm2 + m2

Ш2

k2 1 F

1

m1 / ^2

+ ki 1- F

x max ■

t

1

m2

-X

k2 I k2 1- F

1

m1 ( ^2

+ kW 1- F

x

- —mi

+ k1

Pöi (t) - Pö2 (t)

т.е. к = а^штТ(к), где к — некоторое предполагаемое гипотетическое значение параметра модели Кокса. Исследование точности пред-

1

1

ложенной оценки коэффициента ускорения проведено методами статистического моделирования.

Алгоритм моделирования. 1. Моделируются n1m1 одинаково распределенных случайных величин ..., щ) с функцией распределения F0 (t). В качестве функции F0 (t) рассматривались следующие функции распределения: экспоненциальная (с параметром ß = 0,001) и Вейбулла (с параметрами ß = 0,001, p = 1,5). Далее величины (<i,...,щ) также будем называть наработками.

2. Наработки случайным образом разбиваются на n1 групп по m1 величин в каждой. Элементы i-й группы обозначаются как

..., <mi),«= мг. 0пределяются 01=min ...,<mi).

3. Аналогично моделируются n2m2 одинаково распределенных случайных величин (<2,...,<m2 П2) с функцией распределения

1

1 - - (F0 (t))kj k, где k — некоторое заданное значение параметра

Кокса. Наработки (<2,... , <m2щ) случайным образом разбиваются на n2 групп по m2 величин в каждой. Элементы i-й группы обозначаются как (<2'г,..., Т, i = М2. Определяются 02 = min (<2'г,..., <£2Т.

4. Для некоторого значения / 1 < к < K, по двум получаемым выборкам ©1 = (01,..., 0Щ1), ©2 = (01,._.., 0Щ2) вычисляется значение статистики Колмогорова-Смирнова T (к).

5. Методом перебора к определяется оценка k, минимизирующая значение статистики T(к): k = arg min T(к).

Для определения статистических свойств оценки k пункты 1-5 повторялись 500 раз. По полученным значениям оценок строилась гистограмма этой выборки, а также вычислялись эмпирические среднее k и дисперсия S2.

Гистограммы полученных оценок k при m1 = 2, m2 = 3,n1 = n2 = = 100 для экспоненциального распределения с параметром ß = 0,001 и для распределения Вейбулла с параметрами ß = 0,001, p = 1,5 приведены на рис. 2.

По результатам моделирования для указанных параметров были вычислены математическое ожидание полученной оценки и ее среднеквадратическое отклонение. В случае экспоненциального распределения Mk = 2,05, о = 0,36, в случае распределения Вейбулла

Mk = 2,035, о = 0,37. Эти результаты свидетельствуют о хороших статистических свойствах предложенной оценки.

Заключение. В работе предложен метод проверки гипотезы о степенной зависимости функции надежности для двух прогрессивно цен-зурированных выборок. Для проверки данной гипотезы получена статистика типа Колмогорова - Смирнова. Показана сходимость точных

Рис. 2. Гистограммы оценок к для экспоненциального распределения (а) и распределения Вейбулла (б) при к = 2

распределений данной статистики к ее асимптотическим распределениям. Методом Монте-Карло показано, что оценка параметра модели Кокса, получаемая минимизацией предлагаемой статистики, является состоятельной оценкой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cox D.R. Regression Models and Life-Tables // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 1972. Vol. 34. No. 2. Р. 187-220.

2. Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Проверка однородности двух цензурированных выборок из наработок изделий, основанная на сравнении оценок Каплана -Мейера их функций надежности // Физические основы приборостроения. 2015. Т. 4. № 1. С. 30-41.

3. Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London: ISTE Ltd, 2011. 233 p.

4. Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. N.Y.: Springer, 2014. 645 p.

5. Kaplan E.L., Meier P. Nonparametric estimation from incomplete observations // J. am. Stat. Assoc. 1958. No. 53. Р. 57-81.

6. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Оценки Каплана - Мейера в статистиках типа Колмогорова - Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т. 15. № 7. С. 18-26.

7. Balakrishnan N., Tripathi R.C., Kannan N. Some nonparametric precedence type tests based on progressively censored samples and evaluation of power // J. Stat. Plan. Infer. 2010. No. 140. Р. 559-573.

8. Maturi T.A., Coolen-Schrijner P., Coolen F.P. Nonparametric predictive comparison of lifetime data under progressive censoring // J. Stat. Plan. Infer. 2010. No. 140. Р. 515-525.

9. Тянникова Н.Д., Тимонин В.И. Метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова - Смирнова в случае нарушения однородности и независимости анализируемых выборок // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014. № 11. С. 217-227. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/740251.html

10. Кокс Д., Оукс Д.Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. 191 с.

11. Тимонин В.И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия // Теория вероятностей и ее применение. 1987. Т. 32. № 4. С. 790-792.

12. HajekJ., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press, 2004. 438 p.

REFERENCES

[1] Cox D.R. Regression Models and Life-Tables. J. of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1972, vol. 34, no. 2, pp. 187-220.

[2] Timonin V.I., Tyannikova N.D. The homogeneity testing of two censored samples of times to failure based on a comparison of the Kaplan-Meier estimates of reliability functions. Fizicheskie osnovy priborostroeniya [Physical Bases of Instrumentation], 2015, vol. 4, no. 1, pp. 30-41 (in Russ.).

[3] Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London, ISTE Ltd, 2011. 233 p.

[4] Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. N.Y., Springer, 2014. 645 p.

[5] Kaplan E.L., Meier P. Nonparametric estimation from incomplete observations. J. am. Stat. Assoc., 1958, no. 53, pp. 57-81.

[6] Timonin V.I., Ermolaeva M.A. About Kaplan-Meyer Estimators in Statistics Similar to Kolmogorov - Smirnov for Testing the Hypothesis in Variable Load Tests Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic Waves and Electronic Systems], 2010, vol. 15, no. 7, pp. 18-26 (in Russ.).

[7] Balakrishnan N., Tripathi R.C., Kannan N. Some nonparametric precedence type tests based on progressively censored samples and evaluation of power. J. Stat. Plan. Infer, 2010, no. 140, pp. 559-573.

[8] Maturi T.A., Coolen-Schrijner P., Coolen F.P. Nonparametric predictive comparison of lifetime data under progressive censoring. J. Stat. Plan. Infer., 2010, no. 140, pp. 515-525.

[9] Timonin V.I., Tyannikova N.D. The Method of Calculating the Exact Distributions of the Kolmogorov-Smirnov Statistics in Case of Violation of Homogeneity and Independence of the Analyzed Samples. "Jelektr. Nauchno-Tehn. Izd "Nauka i obrazovanie" [El. Sc.-Tech. Publ. "Science and Education"], 2012, no. 12. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/740251.html (accessed 14.11.2014) DOI: 10.7463/1114.0740251

[10] Cox D.R., Oakes D. Analysis of Survival Data. London-New York, Chapman & Hall, 1984.

[11] Timonin V.I. On Limiting Behaviour of Some Nonparametric Test. Teoriya veroyatnostey i ee primenenie [Theory of Probability and its Applications], 1987, vol. 32, no. 4, pp. 790-792 (in Russ.).

[12] Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press, 2004. 438 p.

Статья поступила в редакцию 03.06.2015

Тимонин Владимир Иванович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Высшая

математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул.,

д. 5.

Timonin V.I. — D.Sc. (Phys.-Math.), Professor, Department of Higher Mathematics,

Bauman Moscow State Technical University.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005

Russian Federation.

Тянникова Нина Дмитриевна — аспирантка кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Tyannikova N.D. — Ph.D. student, Department of Higher Mathematics, Bauman Moscow State Technical University.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Применение оценок Каплана-Мейера для проверки степенной гипотезы Кокса по двум прогрессивно цензурированным выборкам // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 6. C. 68-84. Please cite this article in English as:

Timonin V.I., Tyannikova N.D. Application of Kaplan-Meier estimates to testing Cox power hypothesis for two progressive lycensored samples. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2015, no. 6, pp. 68-84.