CC BY
44
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Геология Вып. 1(9)
УДК 550.831
Применение нормированных функций при аналитическом продолжении трехмерных аномалий силы тяжести
С.А. Шихова, В.А. Казанцевь, В.И. Костицынь
аПермский государственный технический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29 а
ьПермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: geophysic@psu.ru
(Статья поступила в редакцию 22 ноября 2010 г.)
Рассмотрено применение нормированных функций для аналитического продолжения трехмерных аномалий силы тяжести на основе эквивалентной замены реального аномального гравитационного поля суммой двух составляющих: полем однородного шара и полем его неоднородного аналога. Показано, что коэффициенты неоднородности остаются постоянными на всех уровнях аналитического продолжения, в которых определена нормирующая функция. Это свойство позволяет вычислить величину аналитически продолженных аномалий силы тяжести.
Ключевые слова: трехмерные гравитационные аномалии, нормирование, аналитическое продолжение, однородный шар, неоднородный аналог, эквивалентная замена.
Введение
В предыдущей нашей статье [9] было показано, что применение нормированных функций достаточно эффективно для решения целого ряда задач, возникающих при интерпретации гравитационных аномалий. Были приведены примеры их успешного использования при аналитическом продолжении двухмерных аномалий в нижнее полупространство. Был также предложен новый способ аналитического продолжения, основанный на замене сложного аномального поля полями однородного и неоднородного горизонтально залегающих цилиндров бесконечного простирания.
По аналогии с двухмерными гравитационными полями нормированные функции можно применять и для решения задач, возникающих при интерпретации трехмерных аномальных полей, в частности для аналитического продолжения в нижнее полупространство [2-4].
Известно, насколько сложна такая задача в классическом варианте [1-8]. Применение нормированных функций несколько упростило бы эту задачу, но кардинально не изменило бы её решение.
Поэтому в дальнейшем изложении опишем более простой и удобный способ аналитического продолжения, основанный на замене аномального гравитационного поля суммой двух составляющих: полем однородного шара и полем его неоднородного аналога.
Аналитическое продолжение гравитационного поля однородного шара
Гравитационное действие однородного шара выражается формулой
( \ Gmh
Vz (х, У,0) = Т~2-------2 ,2 V/2 , (1)
(х2 + у2 + h2)
где О - гравитационная постоянная, т - масса шара, И - глубина залегания центра шара. Для
шара х = у и г = у]х2 + у2 . Когда г = 0, тогда
V (0,0,0) = °т и От = ЕИ2, (2)
И2
где Е - максимальная величина Vz(г, 0).
После нормирования, т.е. деления на её максимальную величину, получим
© Шихов С.А, Казанцев В.А., Костицын В.И., 2010
58
1 3
У>0,0) = Е )?2 = ЕР(г,0) (3)
(г + И )
В равенстве (3) Р(г,0) представляет собой нормирующую функцию. Так же, как в двухмерном варианте, ее целесообразно определять в точках г, кратных глубине залегания центра шара. Допустим, что глубина И = 4 км. На уровне г0 = 0 при Е = 4мГал рассчитаны значения Уг(г, 0) и Р(г, 0), которые даны в таблице (строки 2 и 3). Ниже (в строке 4) приведены значения Р(г,г0). Они точно такие же, как и Р(г, 0), но только здесь шаг наблюдений уменьшился в два раза.
Нетрудно показать, что шаг наблюдений зависит от уровня наблюдений N0. Чем ближе
Численные показатели аномалий силы тяжести и нормированных функций
1 Х, км 0 1,54 3,08 4,62 6,16 7,60 9,14 На уровне
2 Уг(г,0), мГал 4,00 3,20 2,00 1,20 0,64 0,40 0,24 N о II 0
3 Р(г,0) 1,00 0,8 0,5 0,3 0,16 0,10 0,06 ^0= 0
Х, км 0 0,77 1,54 2,31 3,08 3,85 4,57 г0= 2 км
4 Р(г,гО 1,00 0,8 0,5 0,3 0,16 0,10 0,06 г0= 2 км
5 Уг(г,г))ш, мГал 16,00 12,80 8,00 4,80 2,56 1,60 0,96 г0= 2 км
Х, км 0 1,54 3,08 4,62 6,16 7,60 9,14 г о II 0
6 Кг(г,0)И 2,00 1,60 1,00 0,60 0,32 0,18 0,12 г о II 0
7 Уг(гг) 6,00 4,80 3,00 1,80 0,96 0,60 0,36 г о II 0
8 Кк(г,0) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ^0= 0
Х, км 0 0,77 1,54 2,31 3,08 3,85 4,57 г0= 2 км
9 Кн(г,г<0) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 г0= 2 км
10 Уг(г^) 24,00 19,36 11,96 7,24 3,82 1,90 1,46 г0= 2 км
11 Кг(г,20)И 8,00 6,40 4,00 2,40 1,28 0,72 0,48 г0= 2 км
12 Уг(г,г0), точн. знач. 24,00 19,40 12,00 7,20 3,86 1,92 1,40 г0= 2 км
13 Н(х), км 1,00 1,2 1,10 0,90 0,80 1,00 1,00
14 УггИ, мГал 2,00 1,92 1,10 0,56 0,26 0,18 0,12 г о II 0
15 Кн 0,50 0,60 0,55 0,47 0,28 0,50 0,50
16 КнУ^г^), мГал 8,00 7,46 4,40 2,21 1,02 0,80 0,48
17 Уг(г,г0) 24,00 20,46 12,44 7,00 3,58 1,90 1,40
18 Уг(г,г0), точн. знач. 24,00 20,50 12,40 7,05 3,54 1,92 1,40
19 УггИ, смещ. 1,6 2,00 1,6 1,00 0,6 0,32 0,16
20 Кн, смещ. 0,40 0,61 0,80 0,80 0,94 0,80 0,70
21 К„У(г,га), смещ. 6,40 7,56 6,40 3,84 2,39 1,26 0,67
22 Уг(г,г0) 22,40 20,70 14,4 8,65 4,95 2,88 1,63
23 Уг (г,г0), точн. знач. 22,40 20,80 14,4 8,64 4,96 2,88 1,60
N к Ь, тем меньше шаг наблюдений. Иначе говоря, тем более узок спектр значений Р(г,х0). В предельном случае, когда г0 = И, он сливается в одно бесконечное значение.
Аналитическое продолжение гравитационного поля шара, как известно, производится по простой формуле
Ит(И - г)
[г2 + (И - г )2 ^
или
ЕИ2(И - г0)
у (г, г0 ) =
13/2
г2 + (И - г )2 ]
(4)
Но намного проще его определять путем умножения Е на нормирующую функцию, т. е.
= я(0,:
)Р(г. го )•
(5)
Значения Уг(г,г0) для нашего примера приведены в таблице (строка 5).
Точно так же, как однородный шар сохраняет свою однородность на всех уровнях наблюдений г0, о чем свидетельствует неизменность нормированной функции, точно так же неоднородный шар сохраняет свою неоднородность на всех уровнях г0, о чем свидетельствует неизменность коэффициентов неоднородности, если их разместить в тех же точках г, где располагаются значения нормирующей функции.
Такое утверждение можно объяснить тем, что физические свойства гравитирующих объектов не должны изменяться в связи с изменением уровня наблюдений. Это вполне очевидно.
Но для более конкретного обоснования приведем пример аналитического продолжения гравитационного поля, вызванного суммой влияний однородного и неоднородного шара.
Аналитическое продолжение гравитационного поля, вызванное суммой действий однородного и неоднородного шара
Вначале заметим, что не каждая неоднородность воспринимается шаром и передается без искажений на какой-либо уровень (г0). Воспринимается и передается шаром только такая неоднородность, которая имеет одинаковую нормированную функцию.
Для этой цели лучше всего использовать формулу вычисления вертикального градиента гравитационного действия вертикального цилиндра, нижний конец которого находится в бесконечности, а именно
(г ,0) =
ОтН
(г2 + Н2)
,3/2
(6)
V. М) =
(г2 + Н2 )/2
От
~Й~
(7)
Чтобы выражение (7) получить в мГал, необходимо обе части равенства умножить на Н• Тогда будем иметь
У- (г'0)н -=(рЩ
3/2 •
(8)
Допустим, что И = 1 км, а g = 2 мГал/км. В таком случае максимальная величина УгИ = 2мГал. Расчетные значения У^(г,0)И даны в таблице (строка 6).
Для того чтобы получить неоднородное гравитационное поле, наложим эти значения на поле однородного шара У (г, 0). Эти величины даны в строке 7. Затем вычислим коэффициент неоднородности на уровне N0 = 0 в тех же самых точках, в которых определена нормированная функция Р(г,0) (строка 8).
Для вычисления коэффициента неоднородности использована формула
К,
(г ,0)=^) = _ЛУШ. •
Аст Ау(г ,0 )ш
(9)
Справедливость равенства (9) вытекает из того, что неоднородный шар заменяется однородным шаром и его неоднородным аналогом, а именно
ОУ [<г + Аст(х )]Н
(г2 + Н2 )/2 = ОУоН + ОАст(х )Н
(10)
(г2 + Н2 )/2 (г2 + Н2 )/2
где У - объем шара. После нормирования выражение (10) запишем в таком виде:
У (г,0) =
ЕН3
ЕАст(х )Н
(11
(г2 + Н2 )32 ст(г2 + Н2 )32 )
здесь Н - глубина залегания верхнего конца вертикального цилиндра^ При условии г = 0 и при нормировании получим
Далее нетрудно показать, что отношение Ла( х) / а пропорционально отношению ЛУг (г,0)/ Уг (г,0)ш . Это непосредственно вытекает из уравнения (11), если разрешить его относительно Ла / а .
После всех объяснений перейдем к решению нашей основной задачи - аналитическо-
му продолжению сложного поля У/г,0) на уровень z0 = 2 км^
Пример 1
Поскольку выше было сказано, что степень неоднородности должна сохраняться на всех уровнях z0, запишем коэффициенты неоднородности на уровне zo = 2 км такими же, как на уровне 20 = 0, но со сдвигом к началу координат в два раза^ Полученные значения коэффициентов приведены в таблице (строка 9) Чтобы определить величину аналитического продолжения, надо вычислить - какую часть вносит в общую сумму неоднородность шара^ С этой целью надо умножить УДг^0)ш на Кн, а затем эту величину сложить с У^г^0)^ Полученная сумма (строка 9) выражает аналитическое продолжение на глубину z0 = 2 км гравитационного поля^
В качестве контроля правильности этого решения выполним подобное аналитическое продолжение прямым вычислением по формуле
Уzz (г, z 0 )Н =
ЕН (Н - z0)H
г2 + (Н - z ):
:|/2>
(12)
которая является прямым аналогом выражения (4) для аналитического продолжения в область нижнего полупространства. Значения, вычисленные с помощью формулы (12), даны в таблице (строка 11). Если сложить эти значения с величиной УДг^0)ш в каждой точке, то практически получаем такие же значения аналитически продолженных аномалий (строка 12).
Сходимость результата, полученного разными способами, прежде всего, свидетельствует о его достоверности и, кроме того, о том, что неоднородность шара действительно сохраняется на любых уровнях наблюдений. При этом изменяется только сама система наблюдений.
Пример 2
Для большей убедительности усложним задачу аналитического продолжения. С этой
Библиографический список:
1. Кобрунов А. И. Математические основы теории интерпретации геофизических данных: учеб. пособие. М.: ЦентрЛитНефтеГаз, 2008. 288 с.
2. Маловичко А.К. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести. М.: Гостоп-техиздат, 1956. 160 с.
целью в равенстве (8) сделаем величину И переменной. Согласно таблице (строка 13) заданная величина И изменяется на ± 20%.
В свою очередь, примерно в такой же степени, изменяются и значения Угг(г, 0)И в мГал, вычисленные по формуле (8). Они приведены в строке 14.
В связи с этим коэффициент неоднородности Кн на уровне г0 = 0 существенно изменится (строка 15). Те же самые коэффициенты сохранятся на уровне N0 = 2 км.
После этого определяем КнУ(г,^), т.е. ту часть суммарного поля, которая вызвана неоднородностью шара (строка 16). Путем ее сложения со значениями Уг(г,г0)ш, определяется аналитическое продолжение, т.е. значения функции Уг(г,г0), которые даны в строке 17.
Для контроля прямым вычислением, точно так же, как это делалось в первом примере, в строке 18 приведены точные значения Уг(г,г0). Расхождение между величиной Уг(г,г0) в строках 17 и 18 несущественное.
Пример 3
Рассмотрим еще один пример, сместив максимум УггИ на один интервал (Ах = 1,54 км). В этом случае существенно изменяются значения Кн (строка 20). Аналитическое продолжение величины Уг(г,г0) и ее точные значения даны в строках 22 и 23. Их сравнение показывает, что они мало отличаются друг от друга.
Выводы
Выполненные исследования свидетельствуют о том, что аналитическое продолжение дает хорошие результаты во всех случаях, в том числе когда оно применяется для шара с переменной плотностью. Это подтверждает принципиальную возможность аппроксимации сложного гравитационного поля действием неоднородного шара и аналитического продолжения данного поля с помощью нормированных функций.
3. Маловичко А.К., Костицын В.И. Гравиразведка: учебник для вузов. М.: Недра, 1992. 357 с.
4. Маловичко А.К., Костицын В.И., Тарунина О.Л. Детальная гравиразведка на нефть и газ. М.: Недра, 1989. 224 с.
5. Серкеров С.А. Гравиразведка и магниторазведка в нефтегазовом деле: учеб. пособие. М.: Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2006. 512 с.
6. Слепак З.М. Гравиразведка в нефтяной геологии. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2005. 224 с.
7. Страхов В.Н. Симметризованное относительно плоскости 2 = 0 аномальное гравитационное поле и его использование при нахождении итерации природного аномального гравитационного поля // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей / Ухтин. гос. техн. ун-т. Ухта, 2008. С. 301-303.
8. Страхов В.Н., Покатаев А.А. Метод симметри-зованного аналитического продолжения двухмерных гравитационных полей // Докл. АН СССР. 1990. Т. 312, № 5. С.1087-1091.
9. Шихов С.А., Каракулов В.А. Определение элементов залегания возмущающих объектов с помощью нормирования геофизических аномалий // Геофизические методы поисков и разведки месторождений нефти и газа / Перм. унт. Пермь, 2001. № 19 (33). С. 47-53.
Application of Normalized Functions for Analytical Continuation of Three-Dimensional Gravity Anomalies
S.A. Shihova, V.A. Kazantsevb, V.I. Kostitsynb
aPerm State Technical University, 614990, Perm, Komsomol prospect, 29 bPerm State University, 614990, Perm, Bukirev st., 15 E-mail: geophysic@psu.ru
The article deals with application of normalized functions for analytical continuation of three-dimensional gravity anomalies on the basis of equivalent substitution of anomalous gravity field with a sum of two components: gravity field of homogeneous sphere and its un-homogeneous analog. It is shown that coefficient of inhomogeneity remains constant at the levels of analytical continuation normalized functions determined. This feature allows calculating analytical continued gravity anomalies.
Key words: three-dimensional gravity anomalies, normalization, analytical continuation, homogeneous sphere, inhomogeneous counterpart, equivalent substitution.
Рецензент - доктор технических наук B.A. Гершанок
