CC BY
70
УДК 539.3
Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов
П.В. Трусов, Е.С. Нечаева, А.И. Швейкин
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия
Рассматриваются некоторые вопросы, связанные с применением несимметричные мер напряженного и деформированного состояния на мезоуровне при построении конститутивные многоуровневых моделей неупругого деформирования материалов. Приводится аргументация в пользу данного выбора, вводится несимметричная мера скорости деформации, не зависящая от выбора системы отсчета. Описывается общая структура двухуровневой модели неупругого деформирования материала с использованием предложенные мер напряжений и деформаций на мезоуровне; из уравнения баланса момента количества движения показана необходимость перехода к симметричным мерам на макроуровне. В качестве приложения рассматривается применение предлагаемой модели для описания неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала на примере полиэтилена низкого давления. Проведена серия выиислительныгс экспериментов, демонстрирующих существенное отличие результатов применения предложенного подхода в случае использования несимметричного тензора упругих свойств кристаллита (внутри первой и второй пар индексов) и при симметричном тензоре упругих свойств. Приведенные теоретические обоснования и результаты расчетов, полученных с помощью разработанной модели, показывают необходимость применения несимметричных мер напряженно-деформированного состояния при построении многоуровневых моделей материалов.
Ключевые слова: многоуровневые конститутивные модели, физические теории пластичности, несимметричные меры напряженного и деформированного состояния
Asymmetric stress-strain measures in construction of multilevel constitutive models of materials
P.V. Trusov, E.S. Nechaeva, and A.I. Shveikin Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia
The paper considers certain problems regarding the use of asymmetric mesoscale stress-strain measures in construction of multilevel constitutive models of inelastic deformation of materials. The use of these measures is given arguments; an asymmetric strain rate measure independent of the choice of a reference frame is introduced. The general structure of a two-level model of inelastic deformation of material is described using the proposed mesoscale stress-strain measures; the balance equation of angular momentum is used to demonstrate the necessity to pass on to symmetric measures on the macroscale. Application of the proposed model for description of inelastic deformation of a partially crystalline polymer material is considered on the example of low-density polyethylene. A series of computational experiments is performed showing a considerable discrepancy in the data that the model provides for a crystallite with an asymmetric elastic constant tensor (within the first and second pairs of indices) and with a symmetric one. The theoretical substantiation given and the calculation results obtained with the developed model demonstrate the necessity of using asymmetric stress-strain measures in construction of multilevel models of materials.
Keywords: multilevel constitutive models, crystal plasticity, asymmetric stress-strain measures
1. Введение
Физико-механические характеристики поликристал-лических материалов определяются внутренней структурой различных масштабных уровней, которая существенно эволюционирует в процессе деформирования [1,
2]. В связи с этим в нелинейной механике деформи-
руемого твердого тела в последние 10-20 лет одной из наиболее актуальных проблем являются построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов [3-5], а следовательно, и зависящие от нее физико-механические свойства материала на макроуровне. Применение моделей
© Трусов П.В., Нечаева E.C., Швейкин А.И., 2013
подобного класса позволяет оптимизировать существующие и предлагать новые методы получения и обработки материалов и изделий с повышенными эксплуатационными характеристиками, включая получение материалов с заданными свойствами, оптимальными для определенных конструкций (создание так называемых функциональных материалов). Последнюю проблему, как представляется, можно решить только с использованием многоуровневого подхода с явным введением в структуру модели наиболее существенных механизмов деформирования и их носителей, относящихся к различным масштабным уровням (макро, мезо, микро) в реальном материале.
Выбор количества включаемых в математическую модель масштабных уровней и способа описания процесса деформирования на каждом из рассматриваемых уровней в общем случае определяется требуемой глубиной модели, структурой самого материала, в значительной степени зависит от выбора исследователя. Кроме того, в ряде процессов, особенно при больших неупругих деформациях, при термомеханической обработке материалов может наблюдаться картина формирования новых структурно-масштабных уровней в материале непосредственно в процессе деформирования. В качестве примеров таких процессов можно привести, в частности, фрагментацию и формирование субструктур при деформировании монокристаллов [6], мартенситных превращениях [7], когда в результате внешних воздействий в материале формируются новые носители и моды деформации. При интенсивных пластических деформациях на мезоуровне значительную роль играет ротационная мода деформации [2], при описании которой в уравнении баланса момента количества движения появляются моментные напряжения, тензор напряжений становится несимметричным. С другой стороны, для описания основной моды неупругой деформации (скольжения краевых дислокаций) требуется введение несимметричной меры деформации, связанной с активными системами скольжения. Многоуровневые модели, основанные на несимметричных мерах, могут быть эффективно применены при разработке технологии получения субмикрокристаллических и нанокристалли-ческих материалов.
2. Состояние и направления развития многоуровневого моделирования
Пионерские работы по построению математических моделей, нацеленных на описание эволюции мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, появились еще в 30-50-е гг. XX века (Дж. Тейлор [8], Дж. Бишоп, Р. Хилл [9, 10], Т.Г. Линь [11] и др.). Существенный вклад в развитие данного направления внесли отечественные ученые: В.А. Лихачев [12],
В.В. Рыбин [2], уральская школа механиков, основанная
С.Д. Волковым и др. Основы нового научного направления, находящегося на стыке механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела, — физической мезомеханики—заложили ученые томской научной школы В.Е. Панина [3, 13]. Многоуровневые модели для описания пластического деформирования и разрушения различных материалов (металлов, горных пород) предложены П.В. Макаровым [14-16]. Краткий обзор работ, посвященных многоуровневому моделированию, приведен, в частности, в [17, 18].
Следует отметить, что в настоящее время при построении моделей, способных описывать эволюцию внутренней структуры поликристаллических материалов, все большее признание находит подход, основанный на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, и получении эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [4, 19, 20]. На основных положениях данного подхода, по существу, и базируются весьма интенсивно развивающиеся в последние 20 лет так называемые физические теории пластичности поликристаллов [21-23 и др.]. В теориях данного типа явным образом вводятся в рассмотрение физические механизмы деформирования материала на более низких, чем уровень представительного макрообъема, масштабных уровнях; краткий обзор работ по физическим теориям пластичности приведен в [24-26].
Несмотря на существенное развитие моделей данного класса, в настоящий момент можно отметить ряд недостатков, присущих всем существующим моделям. Например, в них, как правило, не обосновываются связи для однотипных характеристик различных масштабных уровней, что представляется методологически важным с точки зрения построения и обоснования применимости многоуровневого подхода в целом. Необходимо также отметить, что при моделировании реальных процессов глубокого пластического деформирования с использованием многоуровневых моделей, как и любых других, актуальным остается вопрос корректного описания на макроуровне геометрической нелинейности при неупругом деформировании — один из острейших в механике деформируемого твердого тела [27]: отсутствует четко обоснованный общепринятый способ выбора используемой в определяющих соотношениях неупругос-ти, не зависящий от выбора системы отсчета производной и предлагаемый различными исследователями спектр вариантов достаточно широк. Во многих работах, в которых физические теории используются для описания процессов интенсивного неупругого деформирования поликристаллических материалов, на макроуровне без приведения необходимых обоснований используется коротационная производная Яуманна. При этом необходимо отметить, что, с одной стороны, выбор
любой не зависящей от системы отсчета производной в определяющих соотношениях, построенных в актуальной конфигурации (или выбор разложения движения на квазитвердое и деформационное), обеспечивает выполнение принципа независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [28], с другой — использование разных производных приводит к кардинально отличающимся результатам. Возможный путь решения проблемы, как представляется, связан с необходимостью более детального рассмотрения внутренних механизмов каждого конкретного процесса, а на последнее как раз и ориентированы многоуровневые модели и физические теории пластичности.
Введение в рассмотрение более глубоких по отношению к уровню представительного макрообъема масштабных уровней модели ставит вопрос о выборе мер напряженного и деформированного состояния, которые могут быть использованы на каждом уровне в принятой иерархической совокупности. Традиционно в механике деформируемого твердого тела используются симметричные меры напряженного и деформированного состояния (например, симметричный тензор напряжений Коши, тензор деформации скорости и др.), что на макроуровне для поликристаллических материалов является вполне обоснованным и согласуется с балансовыми уравнениями и существующими методиками постановки натурных экспериментов. Однако при записи определяющих соотношений модели на мезоуровне постулирование симметрии мер напряженно-деформированного состояния представляется не вполне обоснованным, поскольку уравнение момента количества движения может содержать внутренние моменты сил. Кроме того, на мезоуровне необходимо детальное рассмотрение симметрийных свойств решетки кристаллита. О необходимости использования на мезоуровне несимметричных мер напряженно-деформированного состояния свидетельствует также ряд проблем, возникающих при использовании физических теорий пластичности с использованием симметричных мер, например, применение в большинстве известных теорий симметризован-ного ориентационного тензора системы скольжения приводит к неявному введению в модель систем скольжения, которые отсутствуют в реальном материале [29].
3. О несимметричных мерах на мезоуровне
Следуя определению упругости по Грину для материала, деформируемого от отсчетной естественной конфигурации [28], можно записать закон следующего вида [30]:
о =П: я6, (1)
где П — тензор четвертого ранга, описывающий упругие свойства материала (в данном случае на мезоуров-не); о, q — меры напряженного и деформированного состояния соответственно; — упругая составляю-
щая меры деформации. Традиционно в механике деформируемого твердого тела (макромеханике) меры деформации вводятся симметризованными, как правило без должного обоснования. Симметрия тензора напряжений следует из уравнения баланса момента количества движения при отсутствии внутренних момент-ных напряжений. В натурных экспериментах значения независимых компонент тензора упругих свойств материалов на макроуровне измеряются для различных монокристаллов в предположении симметрии мер напряженного и деформированного состояния, что предопределяет симметрию П внутри первой и второй пар индексов.
Принципиально иная ситуация складывается при переходе к построению многоуровневых моделей материалов [20], в рамках которых возникает необходимость рассмотрения свойств материала и записи определяющих соотношений для него на более глубоких по отношению к макроуровню масштабных уровнях. Например, в случае построения двухуровневой статистической модели поликристаллического материала [20], когда каждой макроточке (представительному объему материала на макроуровне) ставится в соответствие поли-кристаллический агрегат, состоящий из различным образом ориентированных элементов мезоуровня — кристаллитов, на мезоуровне представляется не вполне обоснованным принимать меры напряженного и деформированного состояния симметричными для произвольного материала. Это обусловлено, во-первых, симметрийны-ми свойствами решетки кристаллита, во-вторых, некоторыми особенностями построения физических теорий пластичности, о которых будет сказано ниже. Для определения компонент тензора упругих модулей кристаллитов с различными типами кристаллической решетки (гранецентрированная кубическая (ГЦК), объемно-центрированная кубическая (ОЦК), гексагональная плотноупакованная (ГПУ), орторомбическая и др.) может быть использован метод молекулярной статики [31]. Если для кристаллитов высшей группы симметрии (ГЦК, ОЦК) симметричность внутри пар индексов может быть весьма вероятной, то для кристаллитов, например с ГПУ- или орторомбической решеткой, подобная симметрия вызывает сомнения. Между тем прямыми расчетами было показано, что отсутствие симметрии тензора упругих модулей внутри пар индексов даже при сравнительном малом отклонении (порядка 1 %) соответствующих компонент тензора друг от друга приводит к весьма существенным отличиям на диаграммах «напряжение - деформация» [29, 32].
В подтверждение необходимости построения теории, основанной на применении несимметричных мер напряженно-деформированного состояния, отметим, что в существующих физических теориях пластичности часто используются величины, физический смысл которых не вполне ясен; например, в соотношения боль-
шинства известных моделей входят ориентационные тензоры систем скольжения кристаллита вида
т* = 1/2 (“(*)ь( *) + ь( *)п( *)), (2)
т.е. явным образом вводится симметризация. При этом возникает несоответствие между физическим смыслом, который несет эта величина (она характеризует ориентацию ^й системы скольжения краевых дислокаций с единичным вектором Ь(*), направление которого совпадает с вектором Бюргерса, определяющим направление скольжения, и единичной нормалью к плоскости скольжения п(*)), и соотношением, которым она определяется. На практике это приводит к тому, что, например, для гранецентрированной кубической ГЦК-решет-ки в ориентационный тензор «вносится» еще одна система скольжения с нормалью Ь(*) и направлением сдвига п(*). Если использовать введенный подобным образом ориентационный тензор системы скольжения (111)[110] для описания кинематики необратимых сдвигов, то за счет симметризации в выражение для ориентационного тензора будет «внесена» еще и система (110)[111], что не соответствует известным экспериментальным данным. Аналогичные примеры можно привести и для других типов кристаллической решетки. В частности, для орторомбической решетки кристаллита полиэтилена низкого давления вместо системы скольжения (100)[001] при использовании (2) получим две системы скольжения — (100)[001] и (001)[100]; фактически, это означает, что за счет использования (2) в модель вводится направление, сдвиг по которому в реальном кристалле невозможен. В связи с вышесказанным обоснованным представляется использование именно несимметричной меры для описания деформированного состояния (скорости деформации) на мезо-уровне.
4. Выбор несимметричной меры деформированного состояния на мезоуровне, обеспечивающий выполнение принципа материальной индифферентности
При построении несимметричной физической теории в скоростях встает вопрос о выборе несимметричной меры скорости деформации на мезоуровне. При использовании в качестве таковой градиента скорости перемещений VV возникает проблема: указанная мера не является не зависящей от выбора системы отсчета, при наложении жесткого движения появляется дополнительное слагаемое, равное спину вращательной составляющей наложенного движения Л г;в = (0 ^ О ^ где О ^ — ортогональный тензор поворота (составляющая наложенного жесткого движения).
В качестве меры скорости деформации необходимо выбрать меру относительного смещения материальных частиц, исключив при этом любое движение среды как жесткого целого. Для дальнейшего рассмотрения доста-
точно ограничиться рассмотрением монокристалла (кристаллита), поскольку определяющее соотношение необходимо сформулировать именно для этого объекта. Определяющие соотношения других уровней получим чисто математическими преобразованиями.
Здесь и далее используются стандартные обозначения (см., например, [27]), в частности, величины, относящиеся к движению, отличающемуся от рассматриваемого на наложенное жесткое движение, обозначаются штрихами: например, векторы лагранжева базиса в актуальной конфигурации e ■ = O Tg • et = et • Orig, так что
vt o rig = еге;.
Введем две системы координат: условно неподвижную лабораторную систему координат Ox x2x3 и жест-
12 3
кую кристаллографическую систему координат Py y у , обе системы будем считать декартовыми ортогональными, базисные векторы будем обозначать соответственно как kt и . Будем рассматривать движение произвольно выделенной материальной частицы X как сложное движение: переносное движение вместе с кристаллографической системой координат и относительное движение по отношению к ней, индексы е и r будем использовать для обозначения соответственно параметров переносного и относительного движений. Ортогональный тензор, связывающий базисы kt и , обозначим как О, = OT ■ k t = k t ■ O, O = k 1qi. Поступатель-
ную часть переносного движения можно сразу исключить из рассмотрения, поскольку она не дает вклада в градиенты, т.е. положение Р центра кристаллографической системы координат можно зафиксировать в лабораторной системе координат. Переносная скорость тогда определится по обычным правилам:
vе = d/d*1(у'qi)| i = угqt = ylOT k =
I у =const
= OT о ■( y\) = a ■ y (напомним, что скорость переносного движения есть скорость точки, жестко связанной с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится движущаяся частица), где y = г - rP, Д = OT - O — спин кристаллографической системы координат относительно лабораторной системы координат (q г = O T- k г = = OT- O ■ q' = О ■ q'), rP — радиус-вектор точки, выбранной за полюс (для простоты полюс совмещается с началом кристаллографической системы координат). Заметим, что спин зависит только от времени t, но не зависит от координат. Тогда относительная скорость любой выделенной частицы Xопределяется как vr(X, t) = = v( X, t) - ve (X, t) = v (X, t) - fi(t) • (r( X, t) - rP (t)).
В качестве меры скорости изменения деформированного состояния монокристалла представляется возможным выбрать градиент скорости относительного движения частиц. Действительно, это согласуется с используемым определяющим соотношением — законом Г ука в скоростной релаксационной форме, записан-
ным с позиций наблюдателя в кристаллографической системе координат: компоненты тензора упругих характеристик «привязаны» к решетке, в качестве меры скорости изменения напряженного состояния принята «решеточная» коротационная производная [20] тензора напряжений Коши. Поэтому физически обоснованным в качестве меры скорости изменения деформированного состояния использовать указанный градиент.
Транспонированный градиент относительной скорости определяется следующим образом:
V v T = V v T - О-V r T
Поскольку Vг = E, получаем Vvr = Vv - От = Vv + О.
Рассмотрим изменение V vr при наложении жесткого движения. При наложенном жестком повороте Orig орты кристаллографической системы координат будут преобразовываться по закону q' = O^g • q'. Заметим, что выбранные движущиеся относительно друг друга системы отсчета совершенно равноправны, в силу чего градиент относительной скорости в терминах подвижной («штрихованной») системы координат представляется аналогичным соотношением (штрихами обозначены величины при наложении жесткого движения):
V vr= V 'v' + О', (3) при этом q' = О'• q'. Проведем необходимые выкладки:
q; = о Tig • q' = O Tg • оT ■ k', q; = о Tg • о .ig • о Tg • о T k'+oTg • оT • о • о t • k',
q;=(O Tg • о rig) • (о Tg • о t • k')+о Tg • о • (о t • k'), q' = О rig • q'+O Tg •О • q i, q' = О rig • q'+O rig •О •O rig • q',
откуда следует
О = Оrig + Orig • О • Orig- (4)
В [28] показано, что
V'v' = Orig •Vv • Orig + OTig • 0rig =
= O^ig Vv • Orig - °rig- (5)
Подставляя (4) и (5) в (3), получаем V 'v r = O rig Vv • O rig - О rig + О rig +O rig • О • O ж =
= OTig • (Vv + °) • Orig = OTig Vvr • Orig- (6)
Таким образом, показано, что введенная для элемента мезоуровня (кристаллита) мера деформированного состояния вида
V v r = Vv + О (7)
является не зависящей от выбора системы отсчета (индифферентной). Отметим, что в физических теориях удобней использовать в качестве меры деформации транспонированный градиент относительной скорости VvT = VvT - О, который также не зависит от выбора системы отсчета.
5. Проблема разложения движения на квазитвердое и деформационное
В механике деформируемого твердого тела при построении моделей, описывающих поведение материалов при больших неупругих деформациях (точнее, при больших градиентах перемещений), одной из острейших проблем является вопрос о разложении движения на квазитвердое и собственно деформационное, а следовательно, и вопрос о выборе соответствующей не зависящей от наложенного жесткого движения производной в определяющем соотношении модели материала. При построении многоуровневых моделей этот вопрос, с одной стороны, усложняется, поскольку в этом случае необходимо осуществлять разложение движения на квазитвердое и деформационное на каждом масштабном уровне. С другой стороны, введение в рассмотрение в рамках многоуровневой конститутивной модели механизмов деформирования и их носителей, относящихся к более глубоким по отношению к макроуровню масштабным уровням (например мезоуровню), дает возможность обоснованно провести процесс разложения движения за счет более детального рассмотрения физики процесса деформирования на соответствующем масштабном уровне в материале. В этом случае на мезо-уровне воздействие и отклик можно рассматривать с позиций подвижного наблюдателя в системе отсчета, связанной с элементом мезоуровня (например в системе отсчета, связанной с кристаллографической системой координат зерна или фрагмента). В качестве ротационной моды деформации на мезоуровне в этом случае можно рассматривать поворот тройки базисных векторов кристаллографической системы координат относительно лабораторной системы координат, введенной на более высоком масштабном уровне в принятой иерархической совокупности. Тем не менее и в этом случае на макроуровне в данном вопросе имеет место неопределенность.
Необходимо отметить, что проблема разложения движения на квазитвердое и деформационное тесно связана с проблемой замыкания, т.е. со способом определения явных внутренних переменных в определяющем соотношении на каждом масштабном уровне в рамках многоуровневой конститутивной модели.
Для решения этой проблемы авторами предложен подход [20], основанный на использовании условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в рамках многоуровневой конститутивной модели материала. Данный подход позволяет, в частности, определить вид не зависящей от выбора системы отсчета производной в определяющих соотношениях более высоких, чем нижний (в принимаемой для конкретной иерархии), уровней. Основная идея данного подхода заключается в том, что при использовании на двух соседних масштабных уровнях в рамках
многоуровневой конститутивной модели однотипных определяющих соотношений (например закона Гука в скоростной релаксационной форме) определяющие соотношения верхнего уровня получаются осреднением определяющих соотношений нижнего уровня при наложении априорных связей между частью однотипных параметров соседних уровней и установлении связей по остальным параметрам из сопоставления определяющих соотношений верхнего уровня и осредненных определяющих соотношений нижнего уровня. На основе использования данного подхода в работе [20] получены соотношения для определения явных внутренних переменных в определяющем соотношении верхнего масштабного уровня (из двух произвольных соседних масштабных уровней в принятой иерархической совокупности) через неявные внутренние переменные и параметры состояния системы, определяемые из соотношений нижнего масштабного уровня, в случае использования симметричных мер напряженного и деформированного состояния. В случае использования при построении многоуровневой конститутивной модели несимметричных мер технология применения данного подхода по своей сути аналогична представленной в работе [20]; ее подробное описание выходит за рамки данной публикации, будучи предметом отдельной статьи.
6. Структура многоуровневой конститутивной модели материала
Идеологию построения многоуровневой конститутивной модели материала с использованием несимметричных мер напряженного и деформированного состояния рассмотрим на примере модели, включающей два масштабных (макро и мезо) уровня. При этом на нижнем масштабом уровне используются соотношения несимметричной физической теории, при переходе на верхний уровень осуществляется симметризация меры напряжений. Последняя обусловлена отсутствием физических причин появления моментных взаимодействий на макромасштабном уровне. Действительно, при нулевых распределенных поверхностных и массовых моментах симметрия тензора напряжений Коши следует из уравнения баланса момента количества движения. В силу этого тензор упругих характеристик должен быть симметричным по индексам первой пары. Поскольку из существования упругого потенциала следует симметрия по первой и второй парам индексов, получаем, что тензор упругих характеристик макроуровня будет симметричен и по индексам второй пары.
Необходимо отметить, что при переходе к большему количеству масштабных уровней в рамках конститутивной модели материала все принципы построения модели и алгоритмов ее численной реализации будут сходны с приведенными ниже. При этом в зависимости
от количества масштабных уровней модели, особенностей структуры и процессов деформирования материала на каждом из них на фиксированном масштабном уровне могут использоваться либо соотношения несимметричной физической теории (если того требует структура исследуемого материала на рассматриваемом масштабном уровне и механизмы деформирования, обусловливающие появление моментных напряжений), либо осуществляется симметризация мер напряженного и деформированного состояния — в случае отсутствия физических причин появления моментных взаимодействий. Здесь и далее в рамках рассмотрения двухуровневой модели все величины, относящиеся к верхнему масштабному уровню, будем обозначать прописными буквами, а аналогичные им по физическому смыслу величины, относящиеся к нижнему уровню, соответствующими строчными.
При построении многоуровневой конститутивной модели материала с использованием на мезоуровне несимметричной физической теории будем придерживаться приведенной ниже системы обозначений и сформулируем ряд гипотез.
На нижнем масштабном уровне (по сути, на произвольном структурно-масштабном уровне в рамках многоуровневой конститутивной модели, где используется несимметричная физическая теория) принимается приведенная ниже совокупность основных положений и соотношений.
В качестве меры деформации представляется возможным использовать меру относительного смещения материальных частиц, исключив при этом любое движение среды как жесткого целого. В разделе 4 показано, что в качестве меры скорости изменения деформированного состояния монокристалла можно выбрать градиент скорости относительного движения частиц, представимый в виде:
VVгт = VVт -ю, VГУ -ю, £г = £-ю, (8)
'V V г = V V + ю, £гт = £т + ю.
Здесь и далее введены обозначения: £ = уУ, £ г = V г V, индексом г обозначены величины, характеризующие относительное движение, фиксируемое подвижным наблюдателем в жесткой подвижной системе отсчета нижнего уровня.
Неупругое деформирование элемента нижнего масштабного уровня осуществляется за счет сдвигов по системам скольжения элемента (монокристалла), каждая из которых характеризуется направлением сдвига Ь(*) и нормалью к плоскости скольжения п(*). В рамках несимметричной физической теории в качестве ориентационного тензора системы скольжения используется диада Ь(*)п(*), т.е., в отличие от симметричных физических теорий, симметризация вида (2) не используется.
Для определения скорости сдвига по системе скольжения используется вязкий закон следующего вида:
Дк)
г(к)
sign(т'
■(к)),
(9)
либо вязкопластический закон вида:
У(*) =У о
г( *)
г( *)
51еп(т(*))Я(|т(*)|-тС*)), (10)
скорости изменения критических напряжений сдвига для каждой системы скольжения являются функциями параметров процесса нагружения и параметров материала [33, 34]:
т(*) = га*-) и(*)>адау(*),у(*),...), (11)
Т с
* = 1,..., К.
Скорость неупругих деформаций за счет внутризе-ренного дислокационного скольжения определяется следующим образом:
К
С = Еу (к )Ь
(* )ь (* )п( *)
(12)
к=1
Согласно соотношению (12) скорость неупругих деформаций представляет собой сумму скоростей у(*), сдвиговых деформаций в направлениях Ь(*) в плоскостях с нормалями п(*).
В качестве меры деформации кристаллита вводится мера деформированного состояния q. При этом формально используется определение меры скорости деформаций как коротационной производной от соответствующей меры деформации (неголономной, т.е. не выражаемой через компоненты вектора перемещений):
Ясг = 4-ю • q + q ю = £г. (13)
Спин определяется в соответствии с принятой моделью поворота. В частности, при использовании модели полностью стесненного поворота Тейлора спин решетки кристаллита на нижнем масштабном уровне будет определен следующим образом:
К 1 к=12
И = V - £ - (Ь(к)п(к) - п(к)Ь(к))у(к),
(14)
'те* = 1/2 (уУ - 'У V) = 1/2 (£ - £Т).
Принимается гипотеза об аддитивном разложении меры скорости деформаций на нижнем масштабном уровне на обратимую и необратимую составляющие:
£г = С + С (15)
Используется несимметричный закон гипоупругости следующего вида:
СГ „ . уе
О = П . ^г,
«СГ =ъ-(Г -Г ЇП\ (16)
О П • (*Э г т г ),
подстановка в который выражения (8), связывающего меру скорости деформации мезоуровня Тг с транспонированным градиентом вектора скорости перемещений
£, приводит к следующему определяющему соотношению:
осг = п :(£ - С - ю), (17)
где осг — некоторая не зависящая от наложенного жесткого движения производная тензора напряжений; на нижнем масштабном уровне в качестве таковой используется коротационная производная с тензором спина решетки:
осг = о + о • ю - ю • о, (18)
о = п :(£ - - ю)- о • ю + ю • о. (19)
На более высоких масштабных уровнях выбор не зависящей от наложенного жесткого движения производной осуществляется отдельно и связан с вопросом согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней модели.
Тензор упругих свойств элемента нижнего масштабного уровня (мезоуровня) п в соотношении (16) является симметричным по парам индексов, что следует из условия существования упругого потенциала
ПуШ = П щ, (20)
но в общем случае не является симметричным внутри пар индексов:
(21)
На верхнем из двух произвольных рассматриваемых соседних масштабных уровней принимается следующая совокупность положений.
В качестве меры скорости деформации используется градиент относительной скорости перемещений Zг = = Z - А, где Z = УУ — транспонированный градиент вектора скоростей перемещений; А — тензор спина элемента верхнего масштабного уровня, определяемый с использованием условий согласования [20].
Для связи верхнего и нижнего масштабных уровней используется обобщенная гипотеза Фойгта для полных градиентов скоростей перемещений:
£ (») = (22) В качестве меры напряженного состояния используется тензор напряжений Коши (, который в общем случае может приниматься как симметричным, так и несимметричным.
Тензор упругих свойств элемента произвольного верхнего масштабного уровня в общем случае также не является симметричным внутри пар индексов:
Щ*1 ^ П у* , Н-у* Ф , (23)
а симметричен лишь по парам индексов:
Пуи = Пщ. (24)
Определяющее соотношение на верхнем масштабном уровне (в скоростной форме) записывается в виде обобщенного закона Гука:
(25)
£ся = П :(Zг -Z“),
где £ — не зависящая от наложенного жесткого дви-
жения производная, конкретный вид которой определяется в результате использования условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в рамках многоуровневой модели материала:
Еся = Ё + Е • А + Ат • Е, (26)
где А — тензор спина, являющийся явной внутренней переменной модели на верхнем масштабном уровне и определяемый из замыкающих уравнений, записанных на основе применения условий согласования [20]. Таким образом, определяющее соотношение модели на верхнем масштабном уровне принимает вид:
Ё = П :(гг -г“)-Е•А-Ат•Е. (27)
Явными внутренними переменными в определяющем соотношении верхнего масштабного уровня являются тензор упругих свойств П, неупругая составляющая градиента относительной скорости перемещений Z“ и тензор спина А. Их значения определяются из условий согласования определяющих соотношений верхнего и нижнего (из двух соседних рассматриваемых) масштабных уровней модели [20]:
П = <п(и) >, (28)
А = <ю(Я) >, (29)
г” = <£” > + П -1: <П £”'>- П-1: (<ю' • ог> -<ог • ю'>). (30)
В том случае, если в качестве верхнего масштабного уровня выступает уровень представительного макрообъема материала, в силу сказанного выше необходимо перейти к симметричному внутри первой и второй пар индексов тензору упругих свойств. Аналогичная ситуация имеет место на любом промежуточном уровне, где из уравнения баланса момента количества движения следует симметрия тензора напряжений. В этом случае тензор упругих свойств полагается симметричным внутри пар индексов:
ППкІ = ПАШ, Пуїк = Пук
и по парам индексов:
Пук1 = Пк1у
и определяется следующим образом:
V (п(и) + п(и) + п(и) + п(и) )
£ (п іікі п і ікї п Пік п Пік )
ПукІ
П=1
4N
(31)
(32)
(33)
і , і,к,1 1,
где п — номер элемента нижнего масштабного уровня в рамках представительного объема верхнего уровня (из двух произвольных соседних рассматриваемых масштабных уровней), компоненты всех тензоров представлены в базисе системы координат, связанной с верхним масштабным уровнем.
7. Математическая постановка задачи
Приведем в общем виде математическую постановку задачи для верхнего из двух произвольных соседних масштабных уровней, рассматриваемого в рамках статистической модели как совокупности кристаллитов — элементов нижнего масштабного уровня. В этом случае на верхнем масштабном уровне имеем следующую систему уравнений:
Ёск = Ё + Ё • А + АТ • Ё = П :^г -Z“),
г” = '
(Тг(и), И(и), П(и)), И !, •••, N,
А = А(И(и), П(и)), и = 1,..., N,
П = П(П(И), 0(и)), И = 1,..., N,
(34)
|LCS
= [^)]
где п — номер элемента нижнего масштабного уровня, входящего в представительный объем верхнего масштабного уровня; 0(и) — тензор, определяющий ориентацию кристаллографической системы координат и-го кристаллита относительно лабораторной системы ко-
Гг, , . ПLCS»
ординат; [ г(^)] — предписанные компоненты ме-
ры скорости деформации, определенные в системе координат, связанной с верхним масштабным уровнем.
Явные внутренние переменные модели в определяющем соотношении верхнего масштабного уровня (тензор упругих свойств П, тензор спина А и тензор скоростей относительных неупругих деформаций ) находятся из соотношений (28)-(30) соответственно. В том случае, если на верхнем масштабном уровне отсутствуют моментные напряжения, на верхнем масштабном уровне необходимо осуществлять симметризацию тензора напряжений, которая реализуется в модели за счет симметризации тензора упругих свойств элемента верхнего масштабного уровня (33).
На нижнем из двух рассматриваемых масштабных уровней система уравнений, которую необходимо разрешить для каждого элемента (кристаллита) в рамках представительного объема верхнего масштабного уровня, примет следующий вид (индексы номеров кристаллитов опущены):
оСг = о - ю • о + о • ю = П :(Тг - О = П :( - ю - О,
с = £ Ь(к )п(к) у(к),
к=1
У(к) =У о
г(к)
г(к)
sign(т(k)),
& с* ) = / (Є
^ок),
а(к), у(* ), Ї (к), ь (к)п(к) .
ю = 1/2 (Т - ТТ) - V 1/2 (Ь(к)п(к) - п(к)Ь
к=1
0 • оТ = ю,
Т = У VT =?(и)='У УТ
..), к = 1, К,
(к)Ь(к)) у(к),
(и)
8. Использование несимметричной физической теории для описания процессов неупругого деформирования полиэтилена низкого давления
В данном разделе опишем применение приведенного выше подхода к построению конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала высокой степени кристалличности. Структура трехуровневой конститутивной модели, предложенная авторами для данного класса материалов, постановки задач и алгоритмы их численной реализации для случая использования симметричных мер напряженного и деформированного состояния подробно изложены в работах [20, 33, 34]. В настоящей работе структуру трехуровневой модели материала на примере полиэтилена низкого давления приведем лишь кратко, с целью демонстрации возможностей применения для данного класса материалов на мезоуровне несимметричной физической теории.
На основе анализа микроструктуры рассматриваемого материала и механизмов неупругого деформирования, вносящих наиболее существенный вклад в макродеформацию, в модели вводятся три масштабных уровня:
1) макроуровень — уровень представительного объема материала (в инженерном смысле);
2) мезоуровень I, элементом которого является сфе-ролит (поликристаллический агрегат, состоящих из направленных по радиусу ламелей и аморфных участков);
3) мезоуровень II, элементом которого является пакет из нескольких параллельных ламелей (широких тонких пластинок-кристаллитов) с прослойками аморфной фазы материала (рис. 1).
В рамках модели представительный объем макроуровня рассматривается состоящим из N сферолитов, представительный объем мезоуровня I — из п блоков ламелей. При построении модели материала используются три системы координат: условно неподвижная лабораторная система координат; система координат, связанная со сферолитом — система координат сфе-ролита, которая в недеформированном состоянии полагается совпадающей с лабораторной системой коор-
динат; и система координат, связанная с кристаллитом, — кристаллографическая система координат, ориентация осей которой относительно системы координат сферолита в начальный момент времени выбирается случайной с заданным законом распределения.
Анализ эволюции структуры и свойств частично кристаллических полимерных материалов при больших неупругих деформациях показывает, что процессы неупругого деформирования в кристаллитах частично кристаллических полимерных материалов проходят по кристаллографическим механизмам, похожим на таковые в неполимерных кристаллах [35]. Как правило, для данного класса материалов на мезоуровне выделяют следующие основные механизмы деформирования, вносящие наибольший вклад в неупругую деформацию: меж-ламеллярный сдвиг (сдвиг в плоскости, разделяющей две параллельные ламели), пространственное раздви-жение-сжатие ламелей, сдвиг по кристаллографическим системам скольжения в ламелях, поворот пакета из нескольких параллельных ламелей как жесткого целого.
Схематичное изображение ячейки орторомбическо-го кристалла полиэтилена низкого давления представлено на рис. 2 (направление с соответствует направлению осей полимерных цепей в кристаллите). Значения компонент векторов п( к) (нормаль к плоскости скольжения) и Ь(к ) (вектор Бюргерса, характеризующий направление сдвига) для всех систем скольжения в кристаллите полиэтилена низкого давления в кристаллографической системе координат приведены в табл. 1, где а — угол между направлениями [010] и [110] в
кристаллите; а = агс8т(а/\/а2 +Ь2); а, Ь и с — размеры ячейки периодичности кристаллита полиэтилена низкого давления (орторомбическая решетка, рис. 2), являющиеся параметрами материала (для полиэтилена низкого давления они, как правило [36], полагаются равными а = 0.74 нм, Ь = 0.493 нм, с = 0.254 нм).
Таким образом, в кристаллитах полиэтилена низкого давления присутствуют восемь систем скольжения, по которым может быть реализован сдвиг в процессе деформирования (табл. 1), лишь четыре из них являются линейно независимыми. Это означает, что полимерные
Представительный а объем макроуровня
Сферолит [35] І
Стек ламелей
Рис. 1. Схематичное представление иерархии масштабных уровней при моделировании полиэтилена низкого давления: макроуровень (а), мезоуровень I (б) и мезоуровень II (в)
[010] б
Рис. 2. Ячейка орторомбического кристалла полиэтилена низкого давления: плоскости (а) и направления (б) скольжения в кристаллитах
кристаллы являются «кинематически дефицитными». Однако необходимо отметить, что присутствие в материале аморфной фазы в качестве прослоек в пространстве между пластинками-кристаллитами позволяет рассматривать в качестве дополнительной моды деформирования сдвиг между кристаллитами, который в силу аморфности прослойки может происходить в произвольном направлении.
В модели для реализации произвольного сдвига по межламеллярной прослойке вводятся две дополнительные «системы скольжения» с вектором нормали, совпадающим с нормалью к поверхности ламели п и двумя взаимно ортогональными векторами, характеризующими направление сдвига в межламеллярной плоскости:
n = (- sin в; 0; cos в), b 1 b|L), b ^ 1 n, (36)
где в = ^(n, c) — материальный параметр, угол между направлением нормали к поверхности ламели n и направлением молекулярных цепей в кристаллите с. В силу того что межламеллярная прослойка является аморфной, в ней может быть реализован сдвиг в произвольном направлении, который при моделировании раскладывается по двум взаимно ортогональным векторам b(и bчто приводит к появлению в элементе мезо-уровня II двух дополнительных (межламеллярных) «сис-
*(L)
тем скольжения» (табл. 2, системы (9), (10)). Необходимо отметить, что для реализации возможности описания процессов реверсивного нагружения число введенных в модель межламеллярных систем удваивается (вводятся две дополнительные системы скольжения с векторами сдвига, направленными противоположно первым двум — системы (11), (12), табл. 2). При этом на все межламеллярные системы накладывается ограничение неотрицательности сдвигов.
Связь масштабных уровней в модели материала осуществляется за счет включения в структуру определяющих соотношений на каждом масштабном уровне явных внутренних переменных. Явные внутренние переменные определяются из замыкающих уравнений по параметрам, устанавливаемым из моделей более глубоких по отношению к рассматриваемому масштабных уровней. Для задания воздействия и передачи его сверху вниз по «лестнице масштабов» используется та или иная кинематическая гипотеза: в данном случае — обобщенная гипотеза Фойгта для полных градиентов скоростей перемещений вида (22):
(37)
z (m)(t) = Z(t). С (n)(t) = z (t )•
В рамках представительного объема каждого масштабного уровня принимается гипотеза об аддитивности упругих и неупругих градиентов относительных
Таблица 1
Системы скольжения в элементе мезоуровня II
Номер системы Тип сдвига Система скольжения n(k) b(k)
І Сдвиг в кристаллите вдоль направления цепей (І00)[00І] (І; 0; 0) (0; 0; І)
2 (0І0)[00І] (0; І; 0) (0; 0; І)
З (ІІ0)[00І] (cos а; sin а; 0) (0; 0; І)
4 (И0)[001] (-cos а; sin а; 0) (0; 0; І)
5 Поперечный сдвиг в кристаллите (І00)[0І0] (І; 0; 0) (0; І; 0)
б (0І0)[І00] (0; І; 0) (І; 0; 0)
7 (110)[П0] (cos а; sin а; 0) (sin а; -cos а; 0)
В (П0)[110] (-cos а; sin а; 0) (sin а; cos а; 0)
Таблица 2 Направления сдвига, введенные в межламеллярной плоскости
Номер системы Ь(к >
9 (0; 1; 0)
10 (^(п, с); 0; sin(n, с))
11 (0; -1; 0)
12 (-cos(n, с); 0; -sin(n, с))
(38)
скоростей перемещений:
Zr ^) = Zre ^)+zгn ^), я г ^^ ^)+/Г1 ^),
С А) = СГ(*) + СЇЧ*),
где Zr, яг и £г — тензоры градиентов относительных скоростей перемещений, относящиеся к макроуровню, мезоуровню I и мезоуровню II соответственно; ze, ,
и ZJn, , СГ — их упругие и неупругие состав-
ляющие.
Базовые гипотезы модели полностью соответствуют приведенным в разделе 5. В качестве определяющего соотношения на каждом масштабном уровне используется обобщенный закон Гука в скоростной релаксационной форме. При этом на мезоуровне II для элемента (пакета ламелей) в модели рассматриваемого материала используются соотношения несимметричной физической теории пластичности, на мезоуровне I (элементом которого является сферолит) и макроуровне осуществляется симметризация.
Параметры предложенной трехуровневой конститутивной модели полиэтилена низкого давления, основанной на использовании для элемента нижнего масштабного уровня соотношений несимметричной физической теории, представлены в табл. 3. Здесь и далее верхним индексом # обозначены параметры модели, относящиеся к мезоуровню II, строчными буквами — к мезоуровню I, заглавными буквами — к макроуровню: о — ориентационный тензор сферолита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию сферолита по отношению к лабораторной системе координат и переводящий лабораторную систему координат в систему координат сферолита; о# — ориентационный тензор кристаллита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию кристаллита по отношению к системе координат сферо-
лита и переводящий последнюю в кристаллографическую систему координат. Ориентационные тензоры элементов о# (на мезоуровне II) и о (на мезоуровне I) относятся к неявным внутренним переменным соответствующих масштабных уровней. В качестве эволюционных уравнений для них выступают соотношения, описывающие изменение ориентации решеток элементов соответствующего масштабного уровня.
На мезоуровне II в качестве базовой модели деформирования кристаллита используется физическая вязкоупругая модель (9).
Таким образом, постановку задачи моделирования деформационного отклика представительного объема макромасштаба для полиэтилена низкого давления можно представить в следующем виде:
1 т
Е = П:^г -ZГn)-Ат • Е-Е• А,
Zrn = zГn«zrn >, <а>, П-1, п', /“', о', а'),
А = <аХ
П = П (п(И> о(п)Х п =1..., N; П = (пХ |^*
(39)
т )|С5=^)]
Для элемента мезоуровня I (сферолита) постановка задачи выглядит следующим образом:
а = п : ^Г - г“) — ат • а — а • а,
Г = Г (\^Г / , \®> , п , п , ?г, ^Г , а , ® ),
а = <ю>,
п = п(п(#й), o(#й)), п = 1,..., N,
N
П = п=1
ук!
у (П#(п) + П#(п) + П#(п) + П#(п))
у (Пуй + П}1Ы + Піу!к + ПА1к )
(40)
4N
^, ], к,1 1,3, / (t) = Z(t).
Для элемента самого глубокого в представленной иерархической совокупности масштабного уровня модели (мезоуровня II), для которого в рассматриваемом случае используется несимметричная физическая теория, постановка задачи принимает вид, аналогичный (35):
Таблица 3
Параметры трехуровневой конститутивной модели на различных масштабах
Параметры воздействия Параметры, определяемые на данном масштабном уровне
Явные внутренние переменные Неявные внутренние переменные Реакция материала
Макроуровень Z(0 .0 ^ N в" п, я]1, а 2, Zre
Мезоуровень I z(^) = ад п, я]1, а п#, С, о о,
Мезоуровень II С(0 = z(^) п#, С ® тСк), у(к), тік) 0# _# 0 , £г
а# = п#:(СГ —СГп) + и• а# — а# • и
4тГ( к)
С” = £ Ь(к Ук )у(к) к=1
У(к) =У 0
г(к)
А к)
sign(т( к))
Еч
т(к) =
/егуз1(т0к), ^), °(п ), Уг:^, У(0)>
cгyst
к = I
/amoгph (т0 > ^0 > ап, а*п, #, У(° > У^, & *) ):
к = 14, г = 1Л
-*-? |, - 9
К
(41)
и = ^(С — Ст) — Е-(Ь(к) п( к) — п( к) Ь(к)) у(к),
2 к=12
0 # • о#т = и,
С г (t) = С^ ) — и(t),
СС) = ^).
Система (41) включает эволюционные уравнения для скоростей критических сдвиговых напряжений по внутриламеллярным и межламеллярным системам скольжения (41, уравнение 4) в элементе мезоуровня II, изменение которых в процессе деформирования характеризует упрочнение. В рамках разработанной конститутивной модели (см., например, [20, 33]) сопротивление сдвигу для внутриламеллярных систем скольжения определится тремя составляющими: начальным критическим напряжением сдвига по системе скольжения (к )
т0 , зависимостью критического напряжения сдвига
_(к)
от нормального напряжения ст„ в системе скольжения, которая является характерной именно для полимерных кристаллов (определяется чувствительность ц0к) критического сдвигового напряжения к нормальному напряжению в плоскости скольжения )), и зависимостью критического напряжения сдвига от сдвигов, накопленных по системам скольжения в кристаллите у^, которая в модели вводится в виде нелинейного степенного закона:
т Ск) =—ц 0к) а (пк) + q т0к)
С 8
Е к) |у г )|?—1У(г)
г =1
тСк) (0) = т0к), тСк) = 1 тСк )dt, у г) = } | у(г) | (42)
о?) = п(к) • а • п(к) Дп?)п(к), к = 1,8. Эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига по введенным межламеллярным системам записывается в виде:
С 4
тСк) = г тп
рА
Е 4к )(у!' ))г—1 у (г)
г =1
Л
_ тГеу( к) .
р—1
если
ап , если ап >ап >
ап <а*п > ТСк) (°) =Т0
(43)
dt
= -гтСк)У(к)(у^к+2) + е), к = 1,4,
у г) > 0, г = 1,4, и включает в себя описание трех эффектов, реализующихся в процессе деформирования элемента мезоуров-ня II в аморфной фазе материала:
1) изменение критического напряжения сдвига по межламеллярной прослойке в зависимости от сдвигов, накопленных в процессе неупругого деформирования материала по межламеллярным системам скольжения в элементе мезоуровня II (у|}): с ростом суммарного накопленного сдвига критическое сдвиговое напряжение возрастает вследствие вытягивания проходных полимерных цепей в пространстве между кристаллитами;
2) механизм пространственного раздвижения-сжа-тия ламелей за счет изменения критического напряжения сдвига в зависимости от нормального напряжения в межламеллярной плоскости (ап, критическое нормальное напряжение а*п);
3) разупрочнение при реверсивном нагружении, связанное с тем, что сдвиг по противоположно направленной системе у(к) в межламеллярной плоскости является облегченным (при условии, что накоплен сдвиг по системе скольжения ^ + 2) с противоположно направленным вектором сдвига (индекс взят по модулю 2) при прямом нагружении), т.к. большая часть молекулярных цепей межламеллярного пространства уже вытянулась при прямом нагружении и не требуются дополнительные усилия для их распутывания; для описания этого эффекта в эволюционное уравнение для критического напряжения сдвига вводится дополнительное слагаемое, связывающее скорость изменения критического напряжения тС сдвига со скоростью сдвига по рассматриваемой системе у(к) и суммарным накопленным сдвигом по противоположно направленной системе
у г+2).
При численной реализации модели системы (39)-(41) на каждом временном срезе разрешаются совместно.
9. Результаты вычислительных экспериментов
Целью данной работы являлись исследование и анализ влияния использования несимметричных мер напряженно-деформированного состояния на результаты моделирования в рамках моделей, основанных на физических теориях пластичности. На первом этапе исследований были проведены расчеты процесса неупругого деформирования одного элемента мезоуровня II (кристаллита с межламеллярными прослойками) при использовании предложенной модели. При этом расчеты проводились при симметричном и несимметричном тензоре упругих свойств кристаллита.
Рассматривался процесс деформирования одного элемента мезоуровня II при кинематическом нагружении, соответствующем простому сдвигу в плоскости 1-2
+
Рис. 3. Схемы нагружения кристаллита в вычислительном эксперименте № 1 (а) и № 2 (б)
лабораторной системы координат, при различных ориентациях кристаллографической системы координат по отношению к лабораторной. Ориентация системы координат сферолита (мезоуровень I) во всех опытах принималась совпадающей с лабораторной системой координат.
В данном разделе представлены результаты серии вычислительных экспериментов с применением разработанных моделей. Рассматривались две различные ориентировки кристаллита, для каждой из которых проводились расчеты с использованием симметричного и несимметричного тензора упругих свойств. Схема нагружения кристаллита в вычислительном эксперименте № 1 (первая ориентировка) представлена на рис. 3, а: деформирование осуществляется простым сдвигом в плоскости (100) кристаллита (в начальной конфигурации). Схема нагружения кристаллита в вычислительном эксперименте № 2 (вторая ориентировка) представлена на рис. 3, б: реализуется простой сдвиг в плоскости (001) кристаллита (в начальной конфигурации).
Все расчеты проводились при идентичных значениях параметров модели (за исключением некоторых выделенных компонент тензоров упругих свойств). В вычислительном эксперименте № 1 расчеты проводи-
лись для двух различных вариантов значений параметров: с симметричным тензором упругих свойств кристаллита, а также с несимметричным тензором упругих свойств кристаллита (20), (21) (рассматривалось отклонение выделенных компонент от их среднего значения на 1 % (5 %)). Здесь и далее в тексте статьи будем использовать следующие обозначения вычислительных экспериментов: эксперимент № 1с — схема нагружения № 1, симметричный тензор упругих свойств кристаллита; эксперимент № 1н/с — схема нагружения № 1, несимметричный тензор упругих свойств кристаллита с отклонением выделенных компонент на 1 % (5 %); эксперимент № 2с — схема нагружения № 2, симметричный тензор упругих свойств; эксперимент № 2н/с — схема нагружения № 2, несимметричный тензор упругих свойств с отклонением выделенных компонент на 1 % (5 %). Во всех вычислительных экспериментах в качестве моделируемого материала принимался полиэтилен низкого давления. Тип кристаллической решетки — орторомбическая, независимые упругие модули:
П1111 = 7, П2222 = 7, П3333 = 81, П1122 = 3.8, П1133 =
= П2233 4.7, П1212 П2112 П212Ґ
П1221 1.5, П1313
П
П
3113
2332
П
3131
= П 1331 16 ГПа, П 2323 П 3232 :
П
3223 '
= 1.5 ГПа [37]. При этом в вычислительном
Таблица 4
Критические напряжения сдвига и факторы чувствительности к нормальному напряжению для разных систем скольжения в кристаллах
Номер системы Тип сдвига Система скольжения ^), МПа и 0і)
1 Сдвиг в кристаллите вдоль направления цепей (100)[001] 7.2* 0.11*
2 (010)[001] 15.6* 0.2*
3 (110)[001] 15.6* 0
4 (1І0)[001] 15.6* 0
5 Поперечный сдвиг в кристаллите (100)[010] 12.2* 0.17*
6 (010)[100] 16.2 0.5
7 (110)[110] 14.3 0.5
8 (110)[110] 14.3 0.5
* Экспериментально определенные значения для кристаллитов полиэтилена низкого давления [38]
* 0.0 0.4 0.8 1.2
К Интенсивность деформаций
Рис. 4. Результаты вычислительных экспериментов № 1с (сплошная линия), № 1н/с_1% (пунктир) и № 1н/с_5% (штрих-пунктир)
эксперименте № 1н/с_1 % (№ 1н/с_5 %) рассматривалось отклонение компонент П 2323 и П 3232 на 1 % (5 %) от среднего значения, а в вычислительном эксперименте № 2н/с_1 % (№ 2н/с_5 %) — отклонение компонент П1212 и П 2121 на 1 % (5 %) от среднего значения. Начальные критические напряжения сдвига и параметры чувствительности кристаллитов к нормальному напряжению в плоскости скольжения для внутриламеллярных систем приведены в табл. 4, начальное критическое напряжение сдвига в межламеллярной плоскости — 3.4 МПа. Характерная скорость сдвигов в соотношении вязкоупругой физической модели (41, уравнение 3) у0 = 10-3 с-1, параметр чувствительности кристаллитов к скорости приложения нагрузки т = 1/9. При моделировании учитывалось упрочнение по системам скольжения в элементе мезоуровня II в зависимости от нормального давления в плоскости скольжения, а также упрочнение в зависимости от накопленных в процессе неупругого деформирования сдвигов по межламелляр-ной прослойке. В частном случае использовался изотропный вариант закона упрочнения (43) со следующими значениями параметров (первое слагаемое в законе (43)): Ак} = 1.5, I = 1Д г = 0.5.
%
Интенсивность деформаций
Рис. 5. Отклонение интенсивности напряжений в вычислительных экспериментах № 1н/с_1 % в сравнении с № 1с (сплошная линия) и № 1н/с_5 % в сравнении с № 1с (пунктир)
Вычислительные эксперименты с разработанной моделью показали довольно существенные отличия результатов расчетов при идентичном воздействии, которые демонстрирует несимметричная физическая теория с симметричным и несимметричным тензором упругих свойств. Эти отличия отчетливо проявляются как на графиках зависимости напряжений от деформаций, так и при более детальном анализе процесса деформирования кристаллита (например, по-разному работают системы скольжения). В частности, результаты вычислительного эксперимента № 1 демонстрируют отклонение интенсивности напряжений в случае использования несимметричного тензора упругих характеристик в сравнении с симметричным случаем более чем на 3.5 % (7.5 %) при отклонении выделенных компонент тензора упругих свойств на 1 % (5 %) соответственно (рис. 4, 5). На рис. 4 и далее приняты следующие обозначения: сплошная линия — расчет с симметричным тензором упругих свойств, пунктир — с несимметричным тензором упругих свойств при отклонении значений компонент на 1 %, а штрих-пунктир — на 5 % соответственно. Анализ зависимости интенсивности напряжений от деформаций, полученной в этом эксперименте (рис. 4), показывает, что при использовании несимметричных мер напряженно-деформированного состояния с несимметричным тензором упругих характеристик кристаллита (даже при небольших отклонениях от симметричного случая) отклонение интегральных характеристик процесса при сравнении с «симметричным расчетом» весьма существенно. Причина этого видится в том, что при использовании несимметричной меры скоростей деформаций и напряжений в материале в процессе неупругого деформирования на мезоуровне появляется большее число степеней свободы. При этом скорость прохождения тех или иных процессов в материале (например упрочнения по системам скольжения) меняется (рис. 6), что в конечном счете и приводит к отклонениям, наблюдаемым на интегральной кривой.
В вычислительном эксперименте № 2 наблюдается аналогичная закономерность: отклонение выбранных
0.0 0.4 0.8 1.2
Интенсивность деформаций
Рис. 6. Накопленные по системам скольжения (СС) сдвиги в эксперименте № 1с (сплошная линия), № 1н/с_1% (пунктир) и № 1н/с_5 % (штрих-пунктир)
Рис. 7. Результаты вычислительных экспериментов № 2с (сплошная линия), №2 2н/с_1 % (пунктир) и №2 2н/с_5 % (штрих-пунктир)
компонент тензора упругих свойств от средних значений всего на 1 % (5 %) приводит к ощутимым отклонениям результатов, которые проявляются в том числе и на кривых зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций. Это отчетливо видно при анализе рис. 7, 8. Как и в вычислительном эксперименте № 1, отклонение здесь представляется обусловленным отличием в работе систем скольжения в кристаллите в процессе деформирования (рис. 9). Необходимо отметить, что в вычислительном эксперименте №2 2 отклонение выделенных компонент тензора на 1 % (5 %) от среднего значения приводит к отклонению в интенсивности напряжений, которое достигает уже 15 % (27 %) (рис. 8).
Анализ зависимостей, представленных на рис. 7, 9, позволяет заключить, что в вычислительном эксперименте №2 2 появление дополнительных степеней свободы в материале на мезоуровне также оказывает существенное влияние на процесс деформирования. При этом в «симметричном» и «несимметричном» случае по-разному работают системы скольжения: например, в эксперименте № 2н/с_5 % суммарный накопленный сдвиг, который достигается в системе скольжения
Рис. 8. Отклонение интенсивности напряжений в вычислительных экспериментах № 2н/с_1 % в сравнении с № 2с (сплошная линия) и №2 2н/с_5 % в сравнении с №2 2с (пунктир)
Рис. 9. Накопленные по системам скольжения сдвиги: № 2с (сплошная линия), №2 2н/с_1 % (пунктир) и №2 2н/с_5 % (штрих-пунктир)
(100)[010], до выхода на насыщение сдвига по этой системе примерно на 15 % больше, чем в эксперименте № 2с; в то же время в системе (110)[1 10] при одних и тех же деформациях кристаллита в эксперименте № 2н/с_5 % суммарный накопленный сдвиг существенно меньше, чем в эксперименте №2 2с. На кривой зависимости интенсивности напряжений от деформаций (рис. 7) эти изменения поведения материала при деформировании на мезоуровне проявляются в том, что резкое упрочнение материала на интегральной кривой наблюдается при большем значении интенсивности деформаций в сравнении с «симметричным» случаем. Таким образом, можно заключить, что возможная несимметричность тензора упругих свойств элемента мезоуровня вносит весьма существенные изменения в результаты решения задачи.
10. Заключение
В работе предложена скорректированная физическая теория пластичности, основанная на применении несимметричных мер напряженно-деформированного состояния. Введена несимметричная мера деформированного состояния, показана ее независимость от выбора системы отсчета (индифферентность). Приведена общая структура многоуровневой конститутивной модели материала, основанной на использовании несимметричных мер. В качестве иллюстрации предложенный подход применен для построения трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала. Разработанная модель используется для описания процесса неупругого деформирования кристаллита полиэтилена низкого давления.
Результаты применения предложенного подхода показывают, что отклонение некоторых выделенных компонент тензора упругих свойств от среднего значения даже на 1 % (5 %) приводит к ощутимому отклонению графиков интенсивности напряжений (в качестве примера приведен эксперимент, где отклонение достигает 15 % (27 %)). Численные эксперименты показывают,
что при рассмотренных ориентировках кристаллографической системы координат отклонение результатов при симметричном и несимметричном тензоре упругих характеристик существенно влияет на процесс деформирования кристаллита, что находит свое отражение как на интегральной кривой зависимости напряжений от деформаций, так и при анализе накопленных по системам скольжения сдвигов. Таким образом, в рамках применения физических теорий пластичности, в особенности для материалов с низкой симметрией на уровне кристаллитов, представляется целесообразным использовать именно несимметричные меры напряженно-деформированного состояния. Вероятно, для рассматриваемых типов кристаллических решеток наблюдаемые отличия должны еще ярче проявляться при описании процессов сложного нагружения, однако этот вопрос выходит за рамки данной статьи. Необходимо также отметить, что при построении моделей, описывающих процессы текстурообразования, а также моделей деформирования материалов с высокой степенью наведенной анизотропии упругих свойств в недеформи-рованной конфигурации использование предложенного подхода представляется более корректным и перспективным в сравнении с традиционными физическими теориями пластичности, основанными на симметричных мерах напряженно-деформированного состояния.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-96010-р_урал_а, 12-08-01052-а), гранта Президента РФ МК-3989.2012.1, ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.2.2, соглашение 14.B37.21.0382).
Литература
1. Теория образования текстур в металлах и сплавах / Под ред. Я.Д. Вишнякова, А.А. Бабарэко, С.А. Владимирова, И.В. Эгиз. -М.: Наука, 1979. - 344 с.
2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
3. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой
// Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.
4. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 6171.
5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.
6. Теплякова Л.А., Козлов Э.В. Формирование масштабно-структурных уровней локализации пластической деформации в металлических монокристаллах. I. Макроуровень // Физ. мезомех. -2005. - Т. 8. - № 6. - С. 57-66.
7. Кащенко М.П., Летучев В.В., Теплякова Л.А., Яблонская Т.Н. Модель образования полос макросдвига и мартенсита деформации с границами (hhl) // ФММ. - 1996. - T. 82. - № 4. - C. 10-21.
8. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 2. -P. 307-324.
9. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycrystalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 327. - P. 414-427.
10. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic proporties of a polycrystalline face-centered metal // Phil. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 334. - P. 1298-1307.
11. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. - М.: Мир, 1976. - С. 7-68.
12. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.
13. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-x т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с, Т. 2. - 320 с.
14. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 4. - С. 42-58.
15. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109130.
16. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - С. 111-124.
17. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех.- 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.
18. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011.-Т. 14. - № 5. - С. 5-30.
19. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. - 419 с.
20. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.
21. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Method. Appl. Mech. Eng. - 2004. - V. 193. - P. 5359-5383.
22. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials // Mater. Sci. Eng. R. - 2008. - V. 62. - Р. 67-123.
23. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: From the Taylor model to the advanced Lamel model // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 589-624.
24. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.
25. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2. Вязкопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.
26. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3. Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.
27. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.
28. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
29. Трусов П.В., ВолеговП.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 19-
31.
30. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.
31. Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.
32. Волегов П.С., Шулепов А.В. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности // Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. - № 1. - С. 19-34.
33. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. -2011. - Т. 4. - № 1. - С. 74-89.
34. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4. - № 2. - С. 82-95.
35. Олейник Э.Ф. Пластичность частично-кристаллических гибкоцепных полимеров на микро- и мезоуровнях // Высокомолеку-
лярные соединения. Серия С. - 2003. - Т. 45. - № 12. - С. 21372264.
36. Nikolov S., Lebensohn R.A., Raabe D. Self-consistent modeling of large plastic deformation, texture and morphology evolution in semicrystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. - V. 54. - No. 7. -P. 1350-1375.
37. Van Dommelen J.A.W., Parks D.M., Boyce M.C., Brekelmans W.A.M., Baaijens F.PT. Micromechanical modeling of the elasto-viscoplastic behavior of semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. -2003.- V. 51. - P. 519-541.
38. Bartczak Z., Argon A.S., Cohen R.E. Deformation mechanisms and plastic resistance in single-crystal-textured high density polyethylene // Macromolecules. - 1992. - V 25. - P. 5036-5053.
Поступила в редакцию 2S.09.2012 г.
Сведения об авторах
Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Нечаева Елена Сергеевна, ст. преп. ПНИПУ, helen_ses@perm.ru Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, alexsh59@bk.ru
