Применение нелинейных динамических моделей двигателей внутреннего сгорания для построения скоростных и нагрузочных характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРАНСПОРТ

УДК 621.43

И. Е. Агуреев, д-р техн. наук, проф., 8-910-943-65-72, ieag@klax.tula.ru,

М. Ю. Власов, асп., 8-4872-35-05-01, aiax@tsu.tula.ru,

А. И. Волков, асп., 8-4872-35-05-01, aiax@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СКОРОСТНЫХ И НАГРУЗОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассмотрены вопросы, связанные с построением и использованием нелинейных динамических моделей ДВС. Приведен краткий обзор работ, посвященных изучению нелинейных эффектов в ДВС (детерминированный хаос, бифуркации, межцикловая не-идентичность). Представлен формализм построения скоростных, нагрузочных и других характеристик ДВС, основанный на нелинейном моделировании.

Ключевые слова: двигатели внутреннего сгорания, нелинейные математические модели, характеристики двигателей внутреннего сгорания

Введение

Поршневые двигатели внутреннего сгорания отличаются значительной сложностью процессов, протекающих в подсистемах и отдельных элементах, а также существенным разнообразием математических моделей, разработанных для описания и исследования этих процессов. С точки зрения их физико-химической природы можно выделить чисто механические процессы (кинематика и динамика механизмов ДВС, нагружение элементов конструкции, деформации деталей, колебания, разрушение, потеря устойчивости и др.), газодинамические (динамика газообразных рабочих тел в различных полостях ДВС), тепловые, термодинамические и термохимические (теплопередача, тепловыделение, горение), гидродинамические (динамика жидких топлив в системе топливоподачи). При этом речь ведется о таких процессах, которые в основном рассматриваются в рамках феноменологического подхода и механики сплошных сред. В соответствии

492

с заданной целью исследования выбирается конкретный объект исследования (расчетная область - деталь или среда), тип теории (механика деформируемого твердого тела, газовая динамика, теория горения и др.), характерные особенности модели (размерность задачи, фактор времени, наличие перекрестных взаимодействий и пр.).

Несмотря на прогресс вычислительной техники и средств математического моделирования, для каждого типа задач остается свой, достаточно консервативный набор моделей, которые по своей сложности и возможностям представляют оптимальный с точки зрения точности и быстродействия аппарат. Так, для расчета прочности элементов конструкции и оптимизации их массы применяются трехмерные или двумерные постановки задач теории термоупругости (или иных теорий - термовязкопла-стичности, упругопластичности и т.д.) в стационарном, квазидинамическом или динамическом вариантах. Аналогично течения в каналах могут быть описаны системами уравнений Эйлера или Навье -Стокса от одномерной до трехмерной постановки в зависимости от этапа проектирования или степени проработки конструкции. При решении задач эмиссии токсичных компонентов применяют различные варианты уравнений газовой динамики для сложных многокомпонентных химически реагирующих сред. Для 0-мерных моделей ДВС по-прежнему областями применения остаются расчет рабочих процессов, стационарных или переходных режимов, скоростных, нагрузочных и иных характеристик, анализ устойчивости и построение законов управления некоторыми параметрами.

В этой связи возникают проблемы актуализации современных подходов теории нелинейных динамических систем в рамках теории поршневых двигателей.

Краткий обзор работ по нелинейному моделированию ДВС.

Процесс сгорания в цилиндре является нелинейным динамическим процессом и может изучаться с позиций теории нелинейных систем. Такой подход используется в работах [2-20]. Показано, что изменения параметров рабочего процесса (РП) происходят в нелинейной зависимости от максимальных значений давления и температуры в процессе сгорания. Предполагается возможность хаотической природы процесса сгорания.

Многие ученые одним из проявлений стохастического поведения ДВС как сложной динамической системы считают явление межцикловой неидентичности (МЦН) рабочего процесса. В работе [13] предложена простая математическая модель, описывающая МЦН в ДВС с принудительным зажиганием. Особенность модели - взаимодействие между стохастическими колебаниями параметров двигателя и нелинейной детерминированной связью между рабочими циклами. Простота модели позволяет моделировать более тысячи рабочих циклов с минимальными

затратами машинного времени. Подтверждена хорошая сходимость модели с экспериментальными данными.

Главная детерминированная составляющая МЦН - присутствие в цилиндре несгоревшего топлива и окислителя. Главный стохастический элемент моделируется как случайные флуктуации одного и более ключевых детерминированных параметров (состав ТВС, количество остаточных газов в цилиндре, нижний предел воспламенения смеси).

Математическая модель системы включает уравнения для количества топлива, воздуха, продуктов неполного сгорания, выраженные в виде дискретных отображений, связывающих значения этих величин на предыдущем и последующем циклах, а также дополнительные соотношения [11].

В целом, модель описывается двухмерным динамическим отображением (1) - (2):

* * *

т [п +1] = А[т [пЪа [n],fo,sf,%...]; (1)

* * *

а [п +1] = В[т [п],а [п],ф0,0ф,^0,...], (2)

* *

где т [п] и а [п] - количество топлива и воздуха в момент зажигания;

Ф0 - коэффициент избытка воздуха; аф - среднеквадратическое отклонение; ^0 - количество продуктов неполного сгорания в цилиндре.

Для исследования поведения динамической системы используется одномерное отображение тепловыделения:

* *

б [п +1] = /(б [п]), (3)

*

где б [п] - количество теплоты, выделенной в цикле п.

На рис. 1 изображена зависимость выделения приведенной теплоты сгорания топлива за цикл от коэффициента избытка воздуха для различных условий.

Рис. 1. Зависимость тепловыделения от коэффициента

избытка воздуха

Анализ зависимостей позволил сделать следующие выводы:

494

- около стехиометрического соотношения ТВС количество топлива, сожженного за цикл, стремится к единственной величине;

- для интервала а от критического значения до стехиометрического соотношения количество топлива колеблется между двумя значениями;

- для значений а, близких к критическому значению колебания сгорания становятся комплексными, ведя к хаотическому поведению системы (каскад бифуркаций);

- для а ниже критического значения сгорание прекращается, вызывая остановку двигателя.

Изучение модели показывает, что сгорание становится неустойчивым около предела обеднения смеси, что приводит к началу бифуркаций, являющихся результатом детерминированных процессов. Неустойчивость сгорания увеличивается при наличии случайных возмущений таких параметров как коэффициент избытка воздуха и доля остаточных газов в цилиндре. Прогноз возникновения каскада бифуркаций актуален т.к. дает возможность нового подхода к управлению процессом сгорания.

На рис. 2 приведены зависимости выделения теплоты для различных составов ТВС.

Рис. 2. Одномерное отображение тепловыделения: а - стехиометрический состав; б - умеренно обедненная смесь

С изменением состава ТВС в сторону обеднения наглядно проявляется увеличение разброса значений тепловыделения в цилиндре, а соответственно и увеличение МЦН рабочего процесса двигателя.

Как отмечено в работе [1], резервы повышения эффективности рабочего процесса связаны с устранением или снижением МЦН только при условии, что это сопровождается приближением осредненного рабочего цикла к наилучшему среди их исходной последовательности.

Построенные авторами [13-17] дискретные модели имеют в своем составе характеристики случайных процессов. Это следует понимать как попытки формулировки в качестве причин МЦН явления вероятностной природы (т.е. случайные разбросы указанных выше величин). В то же время, режим работы ДВС, по результатам экспериментов и расчетов авторов, имеет некоторые признаки детерминированного хаоса (например, бифуркационный характер изменения режима работы).

В работах [18-20] авторы рассматривали вопросы построения и исследования не дискретных, а непрерывных нелинейных моделей ДВС, не содержащих случайных величин. Результаты, полученные путем многочисленных вычислительных экспериментов, свидетельствуют о том, что природа МЦН требует еще приложения значительных усилий для ее понимания. Имеются признаки проявления детерминированного хаоса в непрерывных моделях ДВС, заключающиеся в наличии каскада бифуркаций удвоения периода автоколебаний исходно устойчивого предельного цикла. Для понимания природы МЦН необходимо разделить причины, порождающие детерминированный хаос и стохастические процессы.

Построение иерархии нелинейных динамических моделей ДВС. Нелинейная динамическая модель поршневого ДВС может быть представлена системой вида

х = ^ (х,т)

или

х = ^ (х, ?, /и), (4)

где х е М с ^т, и е L с ^к, ? е I с ^.

Здесь под х понимаем вектор фазовых переменных, конкретное содержание которого зависит от постановки задачи. В частности, будем включать в состав фазового пространства переменные, которые отвечают за динамику выходного вала двигателя и за термодинамику рабочего тела в цилиндре как открытую систему:

х = {хтеск; х1Ъетт } .

Таким образом, как объект исследования ДВС в этом случае представляется 0-мерной термомеханической системой, в которой осуществляются связанные термодинамические и механические взаимодействия.

Полная система уравнений математической модели одноцилиндрового поршневого двигателя внутреннего сгорания с принудительным воспламенением состоит из дифференциальных уравнений для фазовых координат и зависимости для угловой координаты [2]:

йр

йї

dm

йї

йї

йю

йї

йф

йї

к -1

V

йЯ г* к йУл

+X к„,°„- кХ °„1 -—р

йї

І=1

]=1

= X о.- X о,;

У=1

І=1

1

т

О10 8ту (1 + а10 )

йх

йї

-§1

О20 + 8ту (1 + а10 )

V

КЯР(р -Р0 + рмп)-Мп -Л2ю251

йх

л + Л2 5 2

= О).

(5)

Система (1) имеет начальные условия

Р(ї0) = р (0); т(ї0) = т (0); 81(ї 0) = &(0); °(0 = °(0);ф(ї 0) = ф(0). (6)

Для удобства анализа нелинейных свойств модели ДВС (1) и (2), а также и самого двигателя удобно уравнения (1) представить в явном виде относительно фазовых переменных. В результате ряда упрощений можно записать

7 -3 1 -1 1 3 _1

йр = -/^)(ф)Р2т 2о3 + /')(ф)рт 2о3 -/'Р)(ф)Р2т"2 - f4(Р)(ф)ро; йт

йї

йю

йї

йф

йї

/1(т)(Ф) Р 2 т

1 1 2 ™2

/1(ю)

(ф) р +

/2(ю)

(ф)о +

/3 (ю)

(ф)°2 + /4(о) (ф);

2(ю)

3(ю)

О.

(7)

Уравнения (7) наглядно показывают характер нелинейных связей между подсистемами ДВС и справедливы для процесса выпуска в надкритическом режиме истечения. Остальные уравнения для других процессов в статье не представлены с целью экономии ее объема и могут быть взяты, например, в монографии [2]. При этом в качестве модели сгорания использовалась формула Вибе, для описания коэффициента конвективного теплообмена - уравнение Эйхельберга, а для газообмена - упрощенные зависимости Сен-Венана-Венцеля, то есть выбирались наиболее простые из известных модели процессов. Таким образом, ДВС представляется как нелинейная динамическая система с переменной структурой правых частей, зависящей от вида описываемого процесса.

Вследствие нелинейности полученных уравнений модели ДВС следует ожидать достаточно сложного поведения, что заключается в наличии

п

п

не только предельных циклов (на установившихся режимах), но и апериодического (хаотического) поведения, которому в нелинейной теории соответствует понятие нерегулярного аттрактора.

С точки зрения вычислительной математики решение системы (5) с условиями (6) сводится к постановке задачи Коши и выбору подходящего численного алгоритма, обеспечивающего требуемые устойчивость и сходимость решения на всем отрезке интегрирования. С позиции же правдоподобия моделирования необходимо задать еще и законы изменения управляющих параметров, соответствующие моделируемой ситуации. Остановимся на этом более подробно.

Ситуация, которую можно исследовать с помощью модели (5) и (6), в принципе, может быть достаточно произвольной. В целом, выделим два основных варианта: 1) моделирование работы ДВС в составе транспортного средства; 2) моделирование работы ДВС на стенде при получении расчетных характеристик. В первом случае необходимо задать закон изменения положения регулирующего органа (РО - дроссельной заслонки, рейки насоса высокого давления), закон изменения нагружения моментом со стороны трансмиссии в соответствие с ездовым циклом, а также функции регуляторов. Во втором случае требуется задавать закон изменения внешнего момента нагружающего устройства, закон изменения положения РО и функции регуляторов. Вторая ситуация является более простой, но ее реализация позволяет достаточно легко обобщить алгоритмы и для исследования первой ситуации.

Таким образом, имеем дополнительные связи

Мс = Мс(X рРО = рРО(*X *е . (8)

где - время окончания процесса численного интегрирования.

Очевидно, что с точки зрения получения значений индикаторных или эффективных показателей, соответствующих установившимся режимам, вид конкретных зависимостей (8) не имеет особенного значения:

1 г* *

важны лишь конечные значения М С и рро, после установления которых переходный процесс и приводит к предельному циклу

5 *( р, т, gl,w,j; М р* о , (рро )

в пространстве фазовых переменных и параметров. В этом проявляется известное свойство аттракторов нелинейных систем, которые однозначно достигаются независимо от величины начальных условий, находящихся в области притяжения аттракторов. Таким образом, утверждается существование соответствия вида

x

x

x

---

* * * /Q\

S (p, m, g, Ш, j;MPO, jpo) • (9)

x = f (x, t, m)

={p, m, gbш, j}

(0) = x(t0) t0 =0

t e T = [t0; tf _

Me = Me (t) em

jPO = jPO (t) e m $Mc e M : VMc = const **

$jpo e Ф : Vjpo = const

**

$(t < tf )e T: Me(t) = Me, jpo(t) = jpo

Утверждения 3M* e M: VMc* = const и $ j**o e Ф:V jp*o = const основаны на допущении существования непрерывных множеств М и Ф изменения соответствующих управляющих параметров, обеспечивающих диапазоны их изменения в области эксплуатационных режимов ДВС.

Построение скоростных и нагрузочных характеристик с применением нелинейных моделей ДВС. Остановимся на вопросе построения скоростных и нагрузочных характеристик с помощью модели (5), (6).

Теория скоростных и комбинированных характеристик в настоящее время достаточно хорошо разработана [21], ясны основные факторы, влияющие на вид получающихся зависимостей.

В статье Г. Н. Мизернюка, Н. Д. Чайнова, Н. А. Иващенко [22] были изложены основные положения методики расчета характеристик комбинированных ПДВС. Еще в монографии К. А. Морозова, Б. Я. Черняка,

Н. И. Синельникова [23] исследовались вопросы влияния некоторых особенностей протекания рабочих процессов на характеристики высокооборотных карбюраторных двигателей.

Одной из проблем, которая привлекает специалистов в настоящее время, является задача формирования оптимальных характеристик ПДВС путем регулирования параметров топливной аппаратуры и физикохимической природы ТВС (например, работа Н. Н. Патрахальцева и его коллег [24]) - так называемое «физико-химическое регулирование дизельных ПДВС».

Во многих из перечисленных работ неотъемлемой частью исследования являются построение и применение модели рабочего процесса. Ква-зиравновесный подход и рассмотрение рабочего процесса вне связи с динамикой двигателя - основные качества таких моделей.

499

Известно, что любому действительному циклу ДВС соответствует совокупность индикаторных и эффективных показателей, которые могут быть вычислены по обычным зависимостям (для 4-тактных двигателей):

1 ~

р, = 2Ір№, р(г)є (10)

2 о

где Т - период действительного цикла 4-тактного ДВС.

Таким образом, устанавливаем существование множеств I и Е индикаторных и эффективных показателей ДВС:

1 = {Рі , ё, , Л, , , Мі }, Е = {Ре, £е , Ле , Ке, Ме },

а также преобразования о, такого, что

о(^) = {1к;Ек}, к є N,

где к - номер реализации вычислительного эксперимента, а операторы о выражаются формулами (10).

Обозначим С - произвольную характеристику ДВС, которую можно представить как огибающую множества С = и{ік ;Ек}, к є N, или отдельно для индикаторных и эффективных показателей:

С, = и{ік }, Се = и{Е к }, к є N.

В частности, для скоростной характеристики имеем

С =

К-'пе

e 7n,

^SelSk і k є N.

где 7n - дополнительное ограничение (правило), которое определяет последовательность получения элементов {Ik ;Ek} для скоростной характеристики. Например, его можно выразить следующим образом:

* *

"фpok = фPO ° const; k є N,

* І * * * I * *

M ck є 1Mc1;Mc2;...;M Cnck (t) ® M ck при W ,

7n =

7 a.

Таким образом, полученные зависимости определяют алгоритмы построения характеристик ДВС с использованием нелинейных моделей.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 год, государственный контракт № П615 от 18.05.2010 г.

Список литературы

1. Федянов Е. А. Межцикловая неидентичность рабочего процесса и проблемы улучшения показателей ДВС с искровым зажиганием: дис. д-ра техн. наук. Волгоград: 1999. 341 с.

2. Агуреев И. Е. Нелинейные динамические модели поршневых двигателей внутреннего сгорания: Синергетический подход к построению и анализу: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 224 с.

3. Wendeker M., Niewczas A., Hawryluk B. A Stochastic Model of the Fuel Injection of the SI Engine // SAE Technical Paper Series, Paper 2000-011088. 2000.

4. Daily J. Cycle-to-cycle variations: a chaotic process? // Combustion Science and Technology 57. 1988. P. 149-162.

5. Chaotic Combustion in Spark Ignition Engines / M. Wendeker [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals 18. 2003. P. 805-808.

6. Lerner E. Chaos in the Engine. Briefs by Erik J. Lerner // The Industrial Physicist, April-May 2003. P. 9-10.

7. Chainais P., Abry P., Pinton J. Intermittency and coherent structures in a swirling flow: A wavelet analysis of pressure and velocity measurements // Physics Fluids 11. 1999. P. 3524-3539.

8. Lee K., Kim K. Influence of Initial Combustion in SI Engine on Following Combustion Stage and Cycle-by-Cycle Variation Process // International Journal of Automotive Technology. 2001. Vol. 2. №1. P. 25-31.

9. Wavelet Analysis of Cycle-to-Cycle Pressure Variations in an Internal Combustion Engine / G. Litak [et al.] // Nonlinear Science. Chaotic Dynamic. 2006.

10. A Numerical Study of a Simple Stochastic / Deterministic Model of Cycle-to-Cycle Combustion Fluctuation in Spark Ignition Engines / G. Litak [et al.] // Journal of Vibration and Control. 2005. Vol.11. №3. P. 371-379.

11. Litak G. Chaotic vibrations in a regenerative cutting process // Chaos Solitons & Fractals. 2002. P. 1531-1535.

12. Litak G. Vibration analysis of self-excited system with parametric forcing and nonlinear stiffness // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. P. 493-504.

13. A Simple Model for Cyclic Variations in a Spark-Ignition Engine / C. Daw [et al.] // SAE Technical Paper Series, Paper 962086. 1996.

14. Cycle-by-Cycle Combustion Variations in Spark-Ignited Engines / C. Daw [et al.] // Proceedings of the Fourth Experimental Chaos conference, Boca Raton, Florida USA, August 6-8. 1997.

15. Controlling Cyclic Combustion Variations in Lean-Fueled Spark-Ignition Engines / C. Daw [et al.] // SAE Technical Paper Series, Paper 2001-010257.2001.

16. Observing and Modeling Nonlinear Dynamics in an Internal Combustion Engine / C. Daw [et al.] // Physical Review E. 1998. Vol.57. №3. P. 2811-2819.

17. Time Irreversibility and Comparison of Cyclic-Variability Models / C. Daw [et al.] // SAE Technical Paper Series, Paper 1999-01-0221. 1999.

18. Агуреев И. Е., Малиованов М. В. Динамика и синергетика поршневых двигателей внутреннего сгорания // Двигателестроение, № 2. 2001. С. 36-39.

19. Агуреев И. Е. Синергетический подход к анализу динамики тепловых двигателей с произвольным механизмом преобразования движения // Известия ТулГУ. Сер. Вопросы проектирования и эксплуатации автотранспортных средств и систем. 1995. С.163-171.

20. Агуреев И. Е., Ахромешин А. В. Моделирование межцикловой неидентичности рабочих процессов в поршневых двигателях внутреннего сгорания // Известия ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 1. С. 229-234.

21. Двигатели внутреннего сгорания. Теория поршневых и комбинированных двигателей / под ред. А. С. Орлина, М. Г. Круглова. М.: Машиностроение, 1983. 372 с.

22. Расчет характеристик комбинированного двигателя внутреннего сгорания / Г. Н. Мизернюк [и др.] // Изв. вузов. Машиностроение. 1973. 12. С.91-96.

23. Морозов К. А., Черняк Б. Я., Синельников Н. И. Особенности рабочих процессов высокооборотных карбюраторных двигателей. М.: Машиностроение, 1971. 100 с.

24. Патрахальцев Н. Н., Савастенко А. А., Виноградский В. Л. Регулирование начального давления топлива - методы и средства повышения экономичности и эффективности работы дизелей // Автомобильная промышленность. 2002. №3. С.13-14.

I. Agureev, M. Vlasov, A. Volkov

THE USAGE OF NON-LINEAR DYNAMICAL MODELS OF INTERNAL COMBUSTION ENGINES TO CONSTRUCION OF CHARACTERISTICS

The questions connected with developing and using non-linear dynamical models of internal combustion engines (ICE) are considered. The short observation of articles devoted to the investigation of non-linear effects in ICE (determined chaos, bifurcations, cycle-by-cycle variations) is given. The based on the non-linear modeling formalism of construction of characteristics of ICE is presented.

Key words: internal combustion engines, non-linear mathematical models, characteristics of internal combustion engines

Получено 07.06.11