CC BY
101
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ, ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
УДК 631.371:621.31:519.248-192
Н.Н. Сырых, доктор техн. наук Н.Е. Кабдин, канд. техн. наук
Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
В статье авторов [1] сформулированы две основные взаимно связанные задачи, возникающие при статистических исследованиях случайных величин выборочными методами:
1. «Количественная» сторона решения задачи — установление необходимого объема выборки.
2. «Качественная» сторона формирования выборки — из каких единиц случайных величин необходимо формировать выборку, чтобы ее можно рассматривать в качестве представительного образца рассматриваемой генеральной совокупности [2]. Здесь имеется в виду выполнение требований центральной предельной теоремы теории вероятностей [3—6] об условиях замены законов распределения случайных величин нормальным (Гауссовским) законом. Выполнение этого требования достигается использованием случайных чисел и метода статистического моделирования, или, как его часто называют, методом Монте-Карло [2, 3].
Этот метод относится к численным методам решения вероятностно-статистических задач, позволяющий получать реализацию различных испытаний и опытов, не производя в действительности самих испытаний и опытов. Идея метода состоит в «розыгрыше» случайного явления с помощью спе-
циальной процедуры, дающей случайный результат. В результате статистического моделирования («розыгрыша») каждый раз получают новую, отличную от других, искусственную реализацию случайного процесса. Множество полученных таким путем реализаций в дальнейшем обрабатывается как статистический материал и из него получают нужные вероятностные характеристики: вероятности, математические ожидания, дисперсии случайных величин и т. д. [2, 4].
В основе «розыгрыша» случайного явления при методе Монте-Карло является получение случайного числа (условно назовем его Я), все значения которого лежат в пределах некоторого определенного интервала, причем в пределах этого интервала все значения случайного числа Я одинаково вероятны (точнее обладают одной и той же вероятностью). Наиболее подходящей математической моделью получения таких чисел является закон равномерной плотности, при котором случайная величина х на участке от а до Ь имеет плотность/(х) постоянной С, а вне этого отрезка она равна нулю [6]:
f (x ) =
C при a < x < b, 0 при x < a и x > b.
(1)
Так как площадь, ограниченная кривой распределения плотности /(х), равна единице, то
С = —Ц
Ь - а
Функция распределения F(x) закона равномерной плотности выражается площадью кривой распределения, лежащей левее точки х, следовательно,
0 при х < а,
х - а
Р (х ) =
■ при а < х < Ь,
(2)
Ь - а
1 при х > Ь.
Математическое ожидание и дисперсия равны:
лгг 1 а + Ь г п Ь - а М [х ] =-; Б [х ] =
2
12
(3)
Для практической реализации метода Монте-Карло требуется большое количество случайных чисел, которые получены с использованием закона равномерной плотности и представлены в виде таблиц случайных чисел большой размерности (до нескольких сот и более). Так, таблица равномерно распределенных случайных чисел, приведенная в ГОСТ 11.003—73 содержит более 1000 чисел.
Наиболее практичная таблица равномерно распределенных случайных чисел имеется в [5]. Ниже приводится краткая выдержка из этой таблицы и примеры пользования.
Полная таблица содержит случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 10000. Для того чтобы получить отсюда случайные числа xi, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1, нужно все числа таблицы разделить на 10000. Если нужны случайные числа Ц, равномерно распределенные в интервале от a до Ь, то их можно получить при помощи линейного преобразования:
и{ = а + xi(b — а).
(4)
Пример 1. Найти 5 случайных величин, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1.
Решение. Берем из таблицы первые 5 чисел (можно любые) и делим каждое из них на 10 000. В результате получим: 0,1009; 0,7325; 0,3376; 0,5201; 0,3586.
Пример 2. Найти 3 случайных числа, равномерно распределенных в интервале от 20 до 120.
Решение. Используя первые три числа из таблицы и уравнение (4), в котором полагаем а = 20, Ь = 120, получаем
20 + 0,1009(120 - 20) = 30,09; 20 + 0,7325(120 -- 20) = 93,25; 20 + 0,3376(120 - 20) = 57,76.
Как следует из табл. 1, цифры могут рассматриваться как четыре знака после запятой случайного числа К от 0 до 1. Заметим, что порядок выбора чисел из таблицы произволен: можно, например, так, как они записаны, можно через одну, можно снизу вверх или сверху вниз и т. д., т. е. любым способом, лишь бы выбор числа никак не был связан с его значением. При этом принятая однажды процедура выбора должна сохраняться при неоднократном обращении к таблице.
Используя таблицы случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1, можно получить случайные числа, распределенные по любому закону, используя соотношение из работы [5]:
х = | / (У )йу,
(5)
где хi — случайны числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1; /(у) — плотность распределения (плотность вероятности) случайной величины у; yi — случайные числа, распределенные по закону /(х).
Если случайная величина у определена только на положительной полуоси, то в интеграле (4) нижний предел заменится нулем. Тогда уравнение примет вид
X = F(yl), (6)
где F(yi) — функция распределения случайной величины у.
Из уравнения (6) следует, что случайное число у является квантилью распределения у, отвечающей вероятности х^ Поэтому, взяв значение х из таблицы случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1, можно найти соответствующее значение уi из таблицы квантилей распределения у.
Заметим, что из таблицы случайных чисел 2-„ отвечающих распределению с математическим ожиданием Хо и дисперсией о^, можно получить случайные числа и с другими математическими ожиданиями и другими дисперсиями при помощи линейного преобразования:
Таблица 1
Фрагмент равномерно-распределенных случайных чисел
1009 7325 3376 5201 3586 3467 3548 7680 9590
3754 2048 564 8947 4296 2480 5240 3720 6361
842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015 9543
9901 9025 2909 3767 715 3831 1311 6588 6767
1280 7999 7080 1573 6147 6403 2366 5398 9511
6606 5747 1734 727 6850 3669 7361 7065 8183
и = С2{ + й. (7)
Из уравнения (7) находим, что М[ и] = СМ[^] + й = С20 + й, Б[Щ = о\Щ = С2о2(^) = С2о^. (8)
В настоящей статье помещены таблицы случайных чисел для трех наиболее распространенных зако-
Электротехнологии, электрификация и автоматизация сельского хозяйства
Таблица 2
Случайные числа нормального распределения
464 137 2455 -323 -68 296 -288 1298 241
60 -2526 -531 -194 543 -1558 187 -1190 -22
1486 -354 -634 697 926 1375 785 -963 -853
1022 -472 1279 3521 571 -1851 194 1192 -501
1394 -555 46 321 2945 1974 -258 412 439
2455
1000 +--200 = 1491;
1000
1000 - • 200 = 935;
1000 -
1000 68 1000
• 200 = 987.
нов распределения — нормальном, Вейбулла-Гне-денко и экспоненциальном с использованием квантилей соответствующих распределений, имеющихся в работе [5] (табл. 2, 3, 4).
В таблице помещены в сокращенном виде случайные числа ^ для нормального распределения с параметрами = 0 и о2 = 1000. Если нужны случайные числа с параметрами М[ Щ = UJ0 и о( Щ = ои, то их можно получить при помощи линейного преобразования:
и = и0 + -А. о (9)
1 0 1000 и
Пример 3. Найти три случайных числа для нормального распределения с параметрами Щ0 = 0, ои = 1
Ответ: используя первые три числа из табл. 2 и уравнение (9), получаем:
464 137
0 + — • 1 = 0,464; 0 + -13- • 1 = 0,137;
1000 1000
0 + 2455 • 1 = 2,455.
1000
Пример 4. Найти три случайных числа для нормального распределения с параметрами Щ0 = 1000, ои = 200.
Ответ: используя первые три числа из табл. 2 и уравнение (9), получаем:
1000 + — • 200 = 1093; 1000 + — • 200 = 1027;
1000 1000
2455
1000 +--200 = 1491.
1000
Пример 5. Наработка невосстанавливаемого изделия до отказа имеет нормальное распределение с параметрами Щ0 = 1000 ч, ои = 200 ч. Испытания производятся до отказа всех изделий. Найти одну реализацию результата этих испытаний.
Ответ: используя первые пять чисел из табл. 2 и уравнение (9), получаем:
464
1000 +--200 = 1093;
1000
1000 + — • 200 = 1027;
1000
Расположив эти числа в порядке возрастания их величины, получим одну реализацию: 935, 987, 1027, 1093, 1491.
Для получения случайных чисел, отвечающих экспоненциальному распределению можно воспользоваться выражением (5), не используя квантили, так как интеграл (5) выражается через эле-
у,
ментарные функции (берется) йу = х,. После
0
соответствующих преобразований получим
У, = -11п х,. (10)
Подставляя в правую часть уравнения (10) последовательно случайные числа х;, получим последовательность чисел с экспоненциальным законом распределения.
Краткая выписка из таблицы случайных чисел [5], экспоненциально распределенных с математическим ожиданием M[Z] = 1000, представлена таблицей [3]. Если нужны случайные числа отвечающие экспоненциальному распределению с математическим ожиданием Щ0, то их можно получить при помощи линейного преобразования:
и1 =
А 1000'
■и,.
(11)
Пример 6. Найти три случайных числа, отвечающих экспоненциальному распределению с математическим ожиданием Щ0 = 500.
Ответ: используя первые три числа из табл. 3 и уравнение (11), получаем:
550 ■ • 500 = 275; • 500 = 213; • 500 = 356.
1000
1000
1000
Пример 7. После окончания периода приработки изделия наработка на отказ составляет 500 ч. Найти моменты появления пяти отказов в одной реализации.
Таблица 3
Случайные числа экспоненциального распределения
550 426 711 497 1705 1679 1023 474 424 103
334 68 1705 860 487 54 3433 314 389 1272
305 2856 1651 1358 293 597 307 522 368 616
355 5714 3705 69 216 161 414 18 513 1482
1774 125 585 456 703 1252 1144 903 98 1457
Таблица 4
Случайные числа распределения Вейбулла—Гнеденко
b = 1,5 Щ Z] = 1000
1624 1371 429 292 196 645 995 1869 995 2730
1124 178 2003 1393 638 894 1833 1690 921 929
1284 884 595 1719 212 514 1742 1193 133 1452
634 420 742 696 1447 1383 551 214 364 762
b- =2,0 M[Z] = 1000
1452 969 1124 1559 1061 1998 1037 507 310 1101
359 871 1332 1284 909 1226 454 242 841 565
957 596 969 194 1204 1142 1655 1393 537 1460
688 1203 1128 882 331 350 1540 355 676 341
b = 2,5 Щ Z] = 1000
1579 651 1172 942 1150 1153 1148 392 316 1064
225 1724 462 1059 1288 946 1063 820 1623 1254
946 804 394 1328 454 861 328 179 454 1240
1121 1657 1138 1521 804 775 1510 619 0,744 1465
дена в табл. 4, полная — в [5]. Если нужны случайные числа Щ, отвечающие распределению Вейбулла-Гне-денко с математическим ожиданием Щ0, то их можно получить при помощи линейного распределения:
U =
M [Z ]
U0.
(12)
Пример 8. Найти три случайных числа, отвечающих распределению Вейбулла-Гнеденко с параметрами Ь = 2, Щ0 = 800 ч.
Ответ: используя первые три числа из табл. 4 и уравнение (12), получаем:
1452 969
1452 . 500 = 726; -969 • 500 = 484;
1000
Ответ: используя первые пять чисел из табл. 3 и уравнение (11), получаем:
550 ■ • 500 = 275; — • 500 = 213; -711 • 500 = 356;
1124 1000
1000 • 500 = 562.
1000
1000
1000
497 1705
■ • 500 = 248; 1705 • 500 = 852,
1000 1000
т. е. следующий ряд случайных чисел 275, 213, 356, 248, 852. Путем последовательного сложения находим моменты появления отказов, ч:
275; 275 + 213 = 488; 488 + 356 = 843; 843 + 248 = 1091; 1091 + 852 = 1943;
т. е. 275, 488, 843, 1091 и 1943 ч.
С использованием таблиц равномерно распределенных случайных чисел и квантилей распределения Вейбулла—Гнеденко по изложенной выше методике получены случайные числа Z, отвечающие распределению Вейбулла—Гнеденко с параметрами b = 1,5, b = 2,0 и b = 2,5 при математическом ожидании M[Z¡] = 1000. Кратная таблица приве-
Использование равномерно распределенных случайных чисел и чисел, отвечающих рассмотренным распределениям, позволяет решать многие практические задачи с уточненными законами распределения случайных функций (процессов), используя полученные их реализации.
Список литературы
1. Сырых Н.Н., Кабдин Н.Е. Теоретические основы эксплуатации электрооборудования. — М.: Агробиз-несцентр, 2007. — 514 с.
2. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. — М.: Физматгиз, 1961. — 480 с.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций. — М.: Знание, 1976. — 66 с.
4. Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования. — М.: Статистика, 1970. — 112 с.
5. Шор Я.Б., Кузьмин Ф.И. Таблицы для анализа и контроля надежности. — М.: Советское радио, 1968. — 286 с.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с.
УДК 621.3.011.6:621.365.46:635.132
И.В. Алтухов, канд. техн. наук
B.Д. Очиров
C.М. Быкова Н.И. Поздеева
Иркутская государственная сельскохозяйственная академия
ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ НАГРЕВА КОРНЕПЛОДОВ МОРКОВИ
Из продуктов растительного происхождения особенно богат витаминами и минеральными ве-морковь — одна из ценных овощных культур, ществами, в которых содержится много каротина. широко распространенных в России. Этот овощ Как витаминизированный продукт особенно цен-
10 - Вестник ФГОУ ВПО МГАУ № 2'2013 -
