CC BY
46
УДК 621.316.9:683.06
А.И. Шеметов
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТРИЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ К РАСЧЕТУ РЕЖИМОВ ЧЕТЫРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ
Для анализа режимов четырехфазных электропередач предлагается использовать метод матричных параметров. Рассмотрены схемы замещения генераторов, трансформаторов, четырехфазной линии и нагрузки. С использованием метода матричных параметров составлены программы расчетов нормального режима и токов коротких замыканий.
Режимы электрической системы, когда в ней имеют место несколько несимметричных коммутаций (КЗ, разрывы фаз) или включены элементы с пофазно неравными параметрами, принято называть сложными несимметричными.
Четырехфазные линии электропередачи можно рассматривать как двухцепную трехфазную линию с разрывами и короткими замыканиями одной фазы.
Схему замещения четырехфазной электропередачи на первом этапе исследования можно рассматривать в виде каскадного соединения элементов (генератора, трансформаторов, линии и нагрузки).
Для исследования режимов в схемах цепочной структуры, содержащих несимметричные элементы, в 60-х годах был предложен метод матричных (векторно-матричных) параметров [1]. Метод основан на использовании матричной зависимости параметров многополюсников типа А и имел две модификации в зависимости от способа моделирования мест полных разрывов и металлических КЗ: источниками ЭДС ^Ё\ и тока () [1, 2] и приближенно сопротивлениями и проводимостями Укз большого порядка [3].
В первом случае значения активных элементов (Ер) и () определяются на основании граничных условий в местах несимметрии и ЭДС генераторов сети. Для этого необходимо сформировать и решить систему 6п уравнений, где п - количество разрывов иКЗ. В зависимости от количества источников несимметрии и вида граничных условий, которыми они характеризуются, изменяется количество и структура этих уравнений, что нарушает однотипность вычислительных операций и затрудняет алгоритмизацию метода, особенно для расчета электрической сети, содержащей несколько линий электропередачи с источниками несимметрии. При указанном замещении мест разрывов и КЗ эквивалентный (обобщенный) многополюсник А-формы получается активным. Это обстоятельство не позволяет заместить линию с несиммет-рией пассивным А-многополюсником, что необходимо при расчете электромеханических переходных процессов, например, в цикле ОАПВ. На каждом шаге интегрирования необходимо находить активные элементы Е и 3 , что приводит к усложнению программы. По этим причинам данная модификация метода широкого распространения не нашла.
Более наглядна и удобна для алгоритмизации вторая модификация метода, когда несимметричные элементы, в том числе разрывы фаз и короткие замыкания, задаются пассивными параметрами [3]. Суть метода расчета в фазных координатах состоит в замещении элемента электрической системы многополюсником, коэффициенты которого выражены через параметры отдельных фаз. Число выводов такого многополюсника равно 2(т +1), где т - число фаз. Для трехфазного элемента число выводов равно восьми (рис. 1).
и.
и.
I.
0 ► . _ ^=1
г . 1 С1
О
IА2 Ь- п и
[В2 ^ ° ИА2
м IС 2 0 И В 2 п И
О
Рис. 1. Схема замещения элемента при расчете методом матричных параметров
Коэффициенты многополюсника аналогичны коэффициентам однофазного четырехполюсника с той разницей, что каждый из коэффициентов выражен матрицей порядка т. В дальнейшем полная матрица коэффициентов многополюсника обозначается как I I М ф| | , а входящие в нее матрицы - коэффициенты -|| ам||, || Вм||, || См||, | | Бм||.
Рассмотрим применение метода матричных параметров к расчету четырехфазной электропередачи. Четыре фазы электропередачи находятся под линейными напряжениями. Для этого одна фаза в схеме замещения заземляется. Поэтому, если приложенные фазные ЭДС и напряжения заменить линейными, матрица каждого элемента схемы замещения должна быть восьмого порядка, а матричные коэффициенты || Ам||» || Вм|| ^СмЦ , 1 1 Б м|| - четвертого.
Определим матрицы ||Мф||, для каждого элемента схемы замещения электропередачи.
Генератор
Схема замещения генератора с трансформаторами изображена на рис. 2. Заземление фазы перенесено на
сторону низкого напряжения трансформатора. Поэтому ЭДС генераторов стали линейными, трехфазные трансформаторы в каждой полуцепи - двухфазными, а матрица фазных сопротивлений получается как:
Z г =
где:
2 Zbc • 2
ZCB ■ 2 ZCA ■ 2
0 0
0 0
0 ZBA ■ 2 ZBC ■ 2
0 ZCB ' 2 ZCA ' 2
ZBA _ ZCA _ 2 ' ZФ ZAC ZCA ,
7 — 7
BC AB
7 — 7
CB BA
' 7ac + 7 Ф 7BC + 7 Ф
7C
7
(1)
(2)
Y 0 - Y 0
0 Y 0 - Y
- Y 0 - Y 0
0 - Y 0 Y
(3)
где У - проводимость одной перемычки (Ом). Коэффициенты || А м || и | |
° м | - единичные матрицы четвертого порядка; | | Вм | | - нулевая матрица четвертого порядка.
Четырехпроводная линия
Для определения параметров линии необходимо задаваться такими величинами, как длина линии, диаметр провода, его сопротивление, активное сопротивление земли и средняя высота подвеса провода.
Продольное сопротивление на частоте 50 Гц выражается формулой:
Рис. 2. Схема замещения генератора с каскадно включенными трансформаторами
,7.„, 7.„, 7„
7са, 7вс,
7св явля-
D3
Z.. = R + R3 + j0,145 • log —,
r0
где D - эквивалентная глубина возврата тока через землю, в условиях средних широт рекомендуется принимать равной 1000 м (м); R - активное сопротивление провода (Ом/км); r0 - радиус провода (м); R = 0,05 - активное сопротивление земли (Ом/км).
Взаимное сопротивление между i и j проводами двухпроводной системы (рис. 3) определяется выражением:
D
Z.. = R0 + j0,145 • log- 3 И 3 °
где D.. - расстояние между фазами i и j (м).
D..
У
Сопротивления 7ф, ~АВ, ~АС, ~вс, ются удвоенными фазными и взаимными (междуфазны-ми) сопротивлениями генераторов, полученными преобразованием из сопротивлений генераторов для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей. Удвоение сопротивлений произведено, потому что один реальный генератор в схеме замещения разделен на два. Сопротивление нулевой последовательности генератора можно задать равным 106 Ом.
Так как воздушная четырехфазная линия относительно отдельных фаз несимметрична, а генераторов в схеме замещения два вместо одного, полуцепи четырехфазной электропередачи будут загружаться неодинаково. Соответственно в схеме замещения токи в генераторах будут разные. Для устранения этого в схему замещения введены выравнивающие перемычки. Практика расчетов показала, что удовлетворительная точность (сотые доли процента) получается, если сопротивление перемычки будет равно или меньше 0,1 Ом.
Коэффициент См перемычки имеет вид:
Рис. 3. Геометрические параметры двухпроводной линии
Используя полученные выражения, продольные сопротивления четырехпроводной линии длиной Ь можно записать в виде матрицы:
ъ ъ Ь ъ ъ а
аа аЬ ас аа
Ъ. ЪЬЬ ЪЬ ЪЬ.
Ь ЬЬ Ьс Ьа
ъ ъ Ь ъ ъ а
са сЬ сс са
ъ. ъ.Ь ъ. ъ..
аа аЬ ас аа
Ь
Ріі =а- 1п
Рц =а- 1п
2И;
где а =
1
Я я а РаЬ Рас Раа
РЬа Ь Ь Р РЬс РЬа
Я и а Р сЬ Рсс Рса
я -с а РаЬ Рас Раа
постоянная.
Матрица поперечных проводимостей равна:
Ь= ■ щ ■ р-1 ■ Ь, (4)
Для вычисления параметров линии А „
В,
Э м І I , представим линию П-образной схемой.
Из П-образной схемы замещения линии получим: А = 1 + ъЬ ■ —, В = ъЬ,
1 + ъь ■ ЬЬ, 2
„ , т ЬЬ ЬЬ ЬЬ
С = ЬЬ +-------ъЬ-------, Б = 1 +------ъЬ,
2 2 2
где 1 - единичная матрица четвертого порядка.
Трансформатор
Продольное комплексное сопротивление трансформатора, приведенное к стороне высшего напряжения, можно выразить как:
Ґ 2 \ 2
и КЗ % . Цвн! '
100 8„
АР„
и.
2
• \ + лрк
и
где 7аа, 7сс, Ъ - собственные погонные сопротивления фаз; ...7йс - взаимные погонные сопротивления
при заданных расстояниях между фазами - БаЬ, Бас, Бай .... Бйс; Ь - длина линии (км).
Собственные и взаимные потенциальные коэффициенты системы проводов определяются по выражению:
(5)
где $н - номинальная мощность трансформатора (МВА); ивн - номинальное напряжение обмоток высшего напряжения (кВ); икз % - напряжение короткого замыкания (%); АРКЗ - потери короткого замыкания (МВт).
Без учета потерь холостого хода трансформатор можно заместить каскадным включением продольного сопротивления, полученного из (5) и идеального трансформатора с коэффициентом трансформации кт (рис. 4 а). Параметры четырехполюсника в форме А такой схемы получаются перемножением матриц параметров сопротив-
ления и идеального трансформатора в (
юрме А.
А
С
В
Б
Ът
кт 0 кт —
п 1 кт
0 — 1
кт 0 —
кт
(5)
гт
где Н. - средняя высота подвеса провода; Н.. - расстояние между 1-м проводом и зеркальным отображением относительно земли у'-го провода.
Матрица потенциальных коэффициентов:
р = а-
-ш-
а)
гт
е0 = 8,86 * 10-12 Ф/м - диэлектрическая
?*-
У1т
У
У2т
б)
Рис. 4. Представление трансформатора двумя элементами (а) и его схема замещения (б)
Из параметров эквивалентного четырехполюсника получаем продольное сопротивление и поперечные проводимости П-образной схемы замещения трансформатора (рис. 4 б):
Ът = В = ^, У1Т = 1, У2Т = А—1.
к т В 2Т В
кт - коэффициент трансформации трансформатора, приведенный к стороне ивн, равный:
к = И”“
и нн •
Со стороны питания к П-образной схеме замещения трансформатора следует добавить проводимость, обусловленную токами намагничивания. На рис. 4 б эта проводимость рассчитана и включена со стороны высокого напряжения.
2
2
2
2
г
0
2
1
у _ ЛРХХ
і уу
и2
^ нн
■І ■
1хх%
100 и
ни /
Гдр 1 XX 2 (7) / У1 0 0
и2 уФ = 8 ■ 0 *2 0 ■ 8
V ^ ни ) 0 0 0
Матрицы | | А м | | , | | Вм | | , | | См | | , | | Б м | | проводимости, обусловленной токами намагничивания, и трансформатора с продольным сопротивлением соответственно равны:
Выполним перевод проводимостей нагрузки из трехфазной системы координат в четырехфазную систему. Для этого воспользуемся уравнением, связывающим напряже-
(10)
у XX 0 0 0 ния и токи через матрицу проводимостей
0 у XX 0 0 (8) У У У аАА ААв АсЛ 0
0 0 у XX 0 , Iл = У, • ил - Ф ф ф У У У ва вв вс * ивА
0 0 0 у XX У У У сА св сс исА
2
-1
2
к т 0 0 0
0 к т 0 0
0 0 к т 0
0 0 0 к т
к т 0 0 0
0 к т 0 0
0 0 к т 0
0 0 0 к т
Б™ =
к т 0
0
0
0 0
к т 0
0
к
к
(9)
Матрицы || А,
В,
| Б м|| проводимости, ловленной токами намагничивания, такие же, как риц выравнивающих перемычек.
обус-у мат-
У2 =
у
0.35]
Проводимость нагрузки, включенной за трансформатором с изолированной нейтралью для токов нулевой последовательности, равна нулю. Матрица проводимостей нагрузки Уф в фазных координатах будет иметь вид:
откуда получаем параметры матрицы проводимостей относительно четырех фаз:
Увв • 0,5 Увс • 0,5 0 0
Усв • 0,5 Усс • 0,5 0 0
0 0 Увв • 0,5 Увс • 0,5
0 0 Усв • 0,5 Усс • 0,5
Уи =
(11)
Нагрузка
Для определения параметров нагрузки в фазных координатах зададимся величиной полной комплексной мощности £ и напряжением и. Проводимости нагрузки токам прямой последовательности У1 и обратной последовательности У2 определяются выражениями:
Матрицы || А м 11, || В Л, | | Б м || такие же, как у матриц выравнивающих перемычек.
На шинах нагрузки в схеме замещения для выравнивания токов также необходимо включить выравнивающие перемычки.
Эквивалентная матрица, замещающая всю электропередачу, равна произведению матриц в том же порядке, как они включены в схеме замещения:
Мэ = Мг • Мтр • М„1 ■ Мл • М1Р2 • Мтр • Мсим ■ Мн, (12)
где матрицы параметров: Мг - генератора; МПЕР - выравнивающей перемычки; МТР - трансформатора; Мл - линии; Мсим - симметрирующего устройства; Мн - нагрузки.
Напряжения на нагрузке при отсутствии источников ЭДС получаются как:
ии = А э
■ Ег
(13)
Токи в нагрузке равны произведениям матриц ||СН || и ин.
Проводимости симметрирующих устройств
Симметрирование режима при неполнофазной работе линий электропередачи можно осуществить симмет-
1
1
0
1
0
1
0
-1
рирующими устройствами. Симметрирующее устройство представляет собой источник тока обратной последовательности, генерируемый трехфазной симметричной системой напряжений прямой последовательности. Ток обратной последовательности, генерируемый симметрирующим устройством, должен быть противоположен току обратной последовательности, вызванному нарушением симметрии сети.
Симметрирующее устройство может быть выполнено тремя реактивными проводимостями, включенными на линейные напряжения. Выбор для симметрирующего устройства именно реактивных проводимостей диктуется отсутствием в них потерь мощности.
Предлагаемый алгоритм расчета проводимостей симметрирующего устройства сводится к следующему. Принимается, что в месте включения симметрирующего устройства система линейных напряжений симметрична.
В результате расчета режима рассчитываются напряжение прямой последовательности и ток обратной последовательности. Ток обратной последовательности симметрирующего устройства принимается противоположным рассчитанному току обратной последовательности. Токи прямой и нулевой последовательностей симметрирующего устройства принимаются равными нулю. Рассчитываются линейные токи, генерируемые симметрирующим устройством:
Из этих уравнений следует:
IA = I2;
1B “ ^ " 12 ;
I с = a2 • 12.
Линейные токи можно вычислить как:
1A _ 1 АС _ 1 BA _ UAC ' jbAC _ UBA ‘ jbBA _ 1B _ 1 BA _ 1CB _ UBA ' jbBA _ UCB ' jbCB _ 1С _ 1 CB _ 1 AC _ UCB ' jbCB _ UAC ' jbAC _
.= b/3UA ■ e-i30°(bAC - bba ■ e-il20°);
= ^V3UJA ■ e-il50O(bBA - bcb ■ e-il20°); = ^V3UJA ■ ei90°(bcB - Ьас ■ e-il20°).
(14)
(15)
b BA bCB ' e
-il200 _
iUл ■ e" i„
bcB - Ьас ■ e-i120 =
Ьас - bBAe"J2”/3
iUл ■e i
-il500
(16)
iUл ■ e
i900
be
Рис. 5. К определению проводимостей компенсирующего устройства
Выражение ЬАС - ЬВА • е"1120 можно представить на комплексной плоскости, как изображено на рис. 5.
Реактивная часть ЬВА ■ е '12° равна реактивной части Ьас _ Ьва • е"'1М , а активнаячасть ЬВА • е"1120 равна:
Re(bBA ■ e JI20°) = Ьас Ьва 0e BA ' tg600
(17)
К. =
Соответственно проводимость bBA равна:
Re(bBA • e-il20°) + Im(bAc - Ьва • e-il20°) (18)
-i1200
Аналогично определяются проводимости Ь АС и Ь АС .
С использованием данного метода составлены программа расчета нормального режима на основе простой итерации и программа расчета токов коротких замыканий.
Литература
1. Мельников Н.А. Электрические сети и системы. М.: Энергия, 1969. 456 с.
2. Королюк Ю.Ф., Чекмазов Э.М. Расчет на ЦВМ режимов длинных линий с продольными и поперечными несимметричными элементами // Вопросы надежной и экономичной работы дальних электропередачи и промежуточных систем. Новосибирск, 1967. С. 96-103.
3. Королюк Ю. Ф. Использование метода многополюсника при расчете сложных несимметричных режимов электричесеких сетей. Новосибирск: Изв. СОАНСССР, 1971. Вып. 2. № 8. С. 68-73.
A.I. Shemetov
A
Application of Matrix Parameters Method for Calculation of Four-phase Power Line Modes
The article offers the matrix parameters method to analyze four-phase power line modes. The authors studied the equivalent circuits of generators, transformers, a four-phase power line and loading. The matrix parameters method helped to develop programs for calculation of a normal mode and currents of short circuits.
------###---------------
