CC BY
29
УДК 519.6:621.313.333.045.53 й01: 10.12737/1284
Применение математической регрессии для определения параметров трёхфазного асинхронного двигателя*
В. Б. Воржев, И. В. Калиенко
(Донской государственный технический университет)
Статистический разброс параметров электротехнических устройств часто является проблемой для анализа их работы и точного определения оптимальных режимов. В этих условиях требуются математические алгоритмы, позволяющие производить диагностику таких устройств с точностью, достаточной для инженерных расчётов. В настоящей работе предложен новый алгоритм расчёта характеристики момент-скольжение трёхфазного асинхронного двигателя. Он позволяет определить величины максимального момента и критического скольжения. Для этого статистически обрабатывается начальный участок характеристики, полученный экспериментальным путём. Этот в значительной степени универсальный метод решения подобных электротехнических задач базируется на общих математических подходах. В связи с этим он может быть положен в основу электронного диагностического устройства на базе микропроцессора.
Ключевые слова: математическая регрессия, метод наименьших квадратов, характеристика момент-скольжение, диагностика электротехнических устройств.
Введение. Применение сложной микропроцессорной техники позволяет создавать устройства диагностики электродвигателей, основываясь на минимальном количестве измерений. Их нехватка компенсируется сложными математизированными алгоритмами. На сегодняшний день это не повышает стоимости подобных приборов, но значительно упрощает для потребителя процедуру диагностики. Таким образом, соответствующее направление представляется актуальным. В настоящее время сформировались некоторые теоретические и практические подходы к вопросам диагностики электродвигателей, в том числе асинхронных [1—3]. Одно из таких решений представлено в настоящей статье.
1. Постановка задачи. Как известно, основной энергетической характеристикой трёхфазного асинхронного двигателя является характеристика момент-скольжение (рис. 1), выражаемая с достаточной точностью формулой Клосса [4].
2М s s
н . (1)
s + s
кр
Как видно из (1), для её получения необходимо знать значения двух величин: максимального момента Мт и критического скольжения Бкр. Эти величины известны не всегда. Их экспериментальное обнаружение затрудняет остановка двигателя при достижении им точки (Бкр,Мт). При теоретическом нахождении указанных величин сложность представляет определение параметров Т-образной схемы замещения. Таким образом, выяснив значения величин Мт и Бкр, можно с достаточной точностью рассчитать все остальные точки рабочего участка кривой М(б).
2. Описание метода. Предлагаемый в данной статье метод основан на статистической обработке начального участка характеристики М(б) по методу наименьших квадратов (МНК) [5] с вычислением величин Мт и Бкр. Как следствие, получаем теоретическую зависимость (1).
* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.
Как известно [5], МНК основан на определении экстремума некоего функционала
f (а,,аг,...,ап ) = ^[УЖ; - Утеор! (Хж, )]2 ^
(2)
где уэкс1- — вектор экспериментальных значений функции, утеор- (хэкс-) — вектор теоретических
(предполагаемых) значений этой функции с аргументами, полученными экспериментальным путём.
М/Мт
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
0 -Р—------—--в-100%
0,5 щр 5ф
Рис. 1. Нормированная характеристика момент-скольжение
Сделаем некоторые преобразования в формуле (1):
2 2
1 в + в с s
Л- ^ ^ КР $ ^К
1
М (с) 2МтСррС 2МтСрр 2Мтв' 1
Введём обозначения: М = а, врр = Ь , Мщ = У (в).
Тогда
Из (2) следует, что
Тогда в точке экстремума
/ ч ав аЬ 4 ' 2Ь 2в
f (а,Ь) = Х
/
дf(а,Ь)
ав: аЬ
у--'---
' 2Ь 2в:
^ min.
да
дf (а,Ь)
дЬ
После преобразований получим
=х
-
=х
ав' аЬ
у--'---
2Ь Щ ав: аЬ
у------
2Ь 2щ,
- Щ - Ь
2Ь 2в'
ав' - а 2Ь - 2щ-
2 V
= 0,
= 0.
(.
1 ^ 1 1 ( 1 ^ у'1 . (^21 а п (1 ^ 1 ^
-22уЩ> -Ь Н-22Щ} +[424Ь + п•а + [42Щ„
Л
• аЬ2 = 0,
1 а ( у' 1 ( ^21 а2 (1^1 1
V 2 Гщ-
4 V
4 ^ Щ
• а2Ь = 0.
(3)
(4)
(5)
2
Окончательно для определения неизвестных коэффициентов а и Ь получим следующую систему нелинейных уравнений:
а, а3а . 2 п
-;1 + а2Ь + ь + а4а + а5аЬ = 0,
Ь
в#+ва+
ва
2
(7)
+ 34а2Ь = 0,
Ь2 ^ Ь3
где коэффициенты ап и вп определяются согласно (6), п — количество измерений.
Эта система может быть решена численно, например в приложении MathCAD, что и было проделано в настоящей работе.
С практической точки зрения интересно изучить поведение полученного алгоритма в условиях вносимых погрешностей измерений при определении величин скольжения и вращающего момента.
В этой связи после успешного тестирования алгоритма при точных значениях величин в^ и М: эти величины брались с отклонением в 3 % от их истинных значений. Испытания проводились с различным количеством измерений (от 7 до 50), а также с различными интервалами по шкале величин скольжений (в < 0,55к, в < 0,6вкр, в < 0,7вкр).
На рис. 2, 3 представлены результаты этих исследований для величин математических ожиданий М и среднеквадратичных отклонений а ошибок определения искомых величин вкр и
Мт . Величины брались с одинаковыми интервалами.
в < 0,5вкр
5 4 3 2 1 0
М, %
у N /
\ 1 0 * V *
1/ ч ■ ¥ т
1 т •
в< 0,6вр
в < 0,7вКр
Nизм
0 10 20 30 40 50
Рис. 2. Зависимости математического ожидания (в процентах) ошибки измерения от количества измерений на различных
интервалах по шкале величин скольжений
в < 0,5вкр
4 3 2 1 0
а, %
V > » |
4 / » \ \ ф % а* *
V - - - - * Ч т % т ■V. т т
в < 0,6вкр
в < 0,7в,р
0
10
20
30
40
50
Рис. 3. Зависимости среднеквадратичного отклонения (в процентах) ошибки измерения от количества измерений на различных интервалах по шкале величин скольжений
Данные рис. 2, 3 иллюстрируют рост устойчивости в определении искомых величин при увеличении объёма выборки и ширины участка по шкале величин скольжений. Начиная с объёма выборки, равного 40, устанавливаются удовлетворительные (не превышающие значения вносимой погрешности) значения величин М и а. Однако для кривой, соответствующей 5 < 0,55кр, эти
значения недопустимо велики, поэтому целесообразно применять интервалы измерений 5 < 0,б5кр или 5 < 0,75кр .
Поскольку устойчивость расчётов определяется в том числе величиной интервала по оси скольжений, то представляется желательным получить возможность определения этого интервала каким-либо алгоритмическим способом.
На рис. 4 представлены нормированные (к величине максимального момента) зависимости т(5), а также её первая и вторая производные т'(5) и т" (5) соответственно. Видно, что функция т" (5) имеет минимум в интересующей нас области, который можно использовать для определения необходимого интервала по оси скольжений.
Рис. 4. Зависимости нормированных функций момент-скольжение, а также её первой и второй производной
от скольжения
м (5)
Для нормированной функции момент-скольжение т(5) = М перейдём к новой величине
5
5, = —, тогда
5рР
т
5 ) = -^Г
(8)
Трижды дифференцируя (8), получим:
т"'(5, ) =
-12
(
V ■Э1У
'1 --V
5
V ^ У
24
(
V5! + 5 V 'Э1У
5 3 5 5
V3! ^ У
12
( 1 А2
V5! + 5
V У
Решая уравнение т"" (51) = 0, получим:
-12.514 -5 +1 = 0.
5 +1)'
5 +
+
+
Отсюда
в4 -6в2 +1 = 0.
Это уравнение имеет корни:
в; =(-2,414 -0,414 0,414 2,414), из которых условию задачи удовлетворяет в1*3 = 0,414, то есть = 0,414 • вкр.
Значит, отследив равенство нулю третьей производной функции т(в), можно с некоторой точностью «масштабировать» ось скольжений, определив таким образом необходимый для измерения интервал. Учитывая, что погрешность численного дифференцирования растёт с ростом степени производной, в данном случае лучше следить за функцией т"(в), определив величину
как аргумент, при котором эта функция имеет минимальное значение. 3. Результаты и выводы. Данный метод может быть положен в основу диагностического устройства, работающего на базе микропроцессора. Для диагностики можно использовать и ПК, считывающий информацию непосредственно с измерительных датчиков. При этом, если отсутствуют какие-либо данные о величинах вкр и Мт, то для их поиска исследуемый двигатель должен сделать два прогона. Первый — для приближённого определения величины интервала по оси скольжений. Для этого нужно найти , что позволит определить величину шага . На втором прогоне будут найдены параметры вкр и Мт .
Для реализации этого метода использовались общие математические подходы. Поэтому сфера его применения не исчерпывается решением представленной здесь задачи. Так, например, модифицируя регрессионную функцию, с его помощью можно экспериментально определить параметры однофазного трансформатора Р0 и Рк, задавшись известной в электротехнике формулой для зависимости КПД от коэффициента загрузки [4]:
п(в) =_в5-С05ф 2 .
вSн С05 ф + Р + вр
Библиографический список
1. Способ диагностики электродвигателя переменного тока и связанных с ним механических устройств : патент ки 2339049 С1 Рос. Федерация / В. С. Петухов. — № 2007107715/28 ; за-явл. 02.03.2007 ; опубл. 20.11.2008, Бюл. № 32.
2. Комплексный метод диагностики асинхронных электродвигателей на основе использования искусственных нейронных сетей [Электрон. ресурс] / ООО «Олбест». — Режим доступа : http://knowledge.allbe5t.ru/transport/2c0a65625a3ac78b4d53a88521216c27_0.html (дата обращения : 10.04.13).
3. Чернов, Д. В. Функциональная диагностика асинхронных двигателей в переходных режимах работы : дис. ... канд. техн. наук / Д. В. Чернов. — Ульяновск, 2005. — 129 с.
4. Пантюшин, В. С. Общая электротехника / В. С. Пантюшин. — Москва : Высш. школа, 1970. — 568 с.
5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. — Москва : Высш. образование, 2006. — 479 с.
Материал поступил в редакцию 24.01.2013.
References
1. Petukhov, V. S. Sposob diagnostiki elektrodvigatelya peremennogo toka i svyazannykh s nim mekhanicheskikh ustroystv : patent RU 2339049 S1 Ros. Federaciya. [Diagnostic method of AC electric motor and related mechanical devices : patent RU 2339049 C1.] Patent RF no. 2007107715/28, 2008.
2. Kompleksnyy metod diagnostiki asinkhronnykh elektrodvigateley na osnove ispolzovaniya is-kusstvennykh neyronnykh setey [Multimeter diagnostic technique for induction motors using artificial neural networks.] «Olbest» LLC. Available at: http://knowledge.allbest.ru/transport/2c0a65625a3ac78b4 d53a88521216c27_0.html (accessed: 10.04.13) (in Russian).
3. Chernov, D. V. Funktsionalnaya diagnostika asinkhronnykh dvigateley v perekhodnykh rezhi-max raboty : dis. ... kand. tekhn. nauk. [Function test of asynchronous motors in transient modes : Cand. tech. sci. diss.] Ulyanovsk, 2005, 129 p. (in Russian).
4. Pantyushin, V. S. Obshhaya e'lektrotexnika. [General Electrical Engineering.] Moscow : Vy'sshaya shkola, 1970, 568 p. (in Russian).
5. Gmurman, V. E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. [Probability theory and mathematical statistics.] Moscow : Vyssheye obrazovaniye, 2006, 479 p. (in Russian).
APPLICATION OF MATHEMATICAL REGRESSION TO THREE-PHASE ASYNCHRONOUS MOTOR PARAMETERS DETERMINATION*
V. B. Vorzhev, I. V. Kaliyenko
(Don State Technical University)
Statistical spread of the electrical device parameters appears often to be a problem for their operation analysis and a precise determination of their optimum modes. Under such conditions, mathematical algorithms permitting to diagnose these devices with the accuracy sufficient for the engineer analysis are required. A new algorithm of calculating the moment-slip characteristic of the three-phase asynchronous motor is offered. It permits to determine its maximum torque and critical slip. To this end, the initial characteristic section obtained experimentally is processed statistically. This significantly universal technique of solving such electrotechnical problems is based on the common mathematical approaches. In this context, it can form the basis for the microprocessor-based electronic diagnostic device.
Keywords: mathematical regression, least squares method, moment-slip characteristic, electric devices diagnostics.
* The research is done within the frame of the independent R&D.
90
