Применение кватернионов в задачах наведения антенной системы ретранслятора связи на беспилотном летательном аппарате Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012

УДК 621.396.676

Л. Ю. СИВОВ М. Г. ЛЛЕШИН

Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации, г. Орёл

ПРИМЕНЕНИЕ КВАТЕРНИОНОВ В ЗАДАЧАХ НАВЕДЕНИЯ АНТЕННОЙ СИСТЕМЫ РЕТРАНСЛЯТОРА СВЯЗИ НА БЕСПИЛОТНОМ ЛЕТАТЕЛЬНОМ АППАРАТЕ_______________________________

В статье рассматривается подход к применению математического аппарата кватернионов для управления лучом антенной системы с электрическим сканированием. Описаны основные этапы расчета параметров наведения. С целью снижения ошибки наведения антенной системы ретранслятора связи разработана модель прогнозного движения беспилотного летательного аппарата. Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, ретранслятор связи, антенная система, луч, параметры наведения, кватернион, прогнозирование.

Введение

Рассматривается система радиосвязи, состоящая из двух наземных станций (НС) и ретранслятора связи (РС) на беспилотном летательном аппарате (БПЛА) вертолетного типа, находящегося на режиме висения. На РС установлены узконаправленные АС с управляемой характеристикой направленности, в качестве которых используются фазированные антенные решетки (ФАР). Команды управления формируются по сигналам бортового навигационного комплекса (БНК). Для уменьшения ошибки наведения, обусловленной дискретностью выдачи навигационных показаний, выполняется прогнозирование пространственного перемещения БПЛА. Краткое описание системы представлено в [1—3].

В процессе функционирования рассматриваемой системы в направлениях на НС поддерживается требуемое значение характеристики направленности АС РС. Данный процесс требует постоянного пересчета параметров наведения, под которыми понимаются углы, определяющие ориентацию луча ФАР в системе координат АС. Так как бортовые вычислители обладают ограниченными ресурсами, то методы математического анализа и численного решения, используемые для определения параметров наведения, должны обладать минимальной вычислительной сложностью.

Выбор кинематических параметров

При определении параметров наведения АС РС на БПЛА выполняется преобразование между системами координат, угловое расположение между которыми может задаваться различными кинематическими параметрами.

В задачах наведения антенн спутниковой связи в качестве кинематических параметров широко используются направляющие косинусы [4], являющиеся наиболее общим способом задания ортогонального преобразования, но присутствие тригонометрических функций осложняет аналитическое и численное (особенно на бортовых вычислителях) решение задач по расчету параметров наведения.

В качестве кинематических параметров предлагается использовать параметры Эйлера (Родрига-Га-мильтона), позволяющие повысить эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением твердого тела, при этом удобным математическим аппаратом являются кватернионы [5, 6].

Кватернионные методы механики твердого тела относятся к современным методам теоретической механики, успешно развивающимся в последние годы и нашедшим эффективное применение также в задачах навигации, управления движением, механики космического полета и т.д.

Краткая теория кватернионов

Кватернион — четырехмерное число, составленное из одной действительной единицы 1 и трех векторных мнимых единиц Гамильтона i1, i2, i3 с действительными элементами q , q1, q2, q3 следующего вида:

Q = fe qv q2, qs) = qo1 + qÁ + qih+qsh- (1)

В тригонометрической форме кватернион (1) может быть представлен в виде:

Q = Q| (cos J + | sin j), (2)

где |Q = yj ||Q — модуль кватерниона, ||q|| = q, + +

+ q2 + q3 — норма кватерниона; J — угол вращения,

| — единичный вектор, вокруг которого осуществляется вращение.

Представление (2) позволяет получить наглядную геометрическую интерпретацию кватерниона (рис. 1), согласно которой каждому нормированному кватерниону (QII = 1) может быть поставлена дуга arc Q большого круга, плоскость которого определяется вектором |, а длина дуги — углом J. Направление дуги задано направлением вектора |, а ее положение на круге произвольно.

arc Q

Рис. 1. Представление кватерниона на сфере

Представление кватерниона (1) в тригонометрической форме (2) удобно тем, что позволяет легко найти корни уравнения Оп = Р согласно формуле Муавра:

Qn = |Q|n (с

,cos nJ + ^ sin n Jl

(3)

L' = Q o L o Q

(4)

1. Геометрическому сложению дуг на сфере (рис. 2а) соответствует дуга представляющая произведение кватернионов в обратном порядке [5]:

arc Qt, = arc Qt, + arc AQ = arc(AQ ° Qt,). (5)

Учитывая свойства алгебры кватернионов, кватернион поворота DQ БПЛА из текущего состояния Qtl в прогнозируемое Qti+1 при соблюдении условия нормировки (|Q|| = l) определяется выражением [5]:

AQ = Qt о

li + 1

Qt- ■

(6)

Выражение (3) позволяет разбить один поворот, заданный дугой arc P, на n поворотов, заданных дугой arc Q.

Алгебра кватернионов позволяет представить преобразование координат в пространстве в простой и удобной форме:

2. В результате преобразования в тригонометрическую форму (2) определяется угол конечного поворота 9, изменение которого по времени I позволяет получить интерполяционную формулу кватерниона прогнозного движения на интервале выдачи показаний Т при непрерывном управлении наведением АС:

AQ(t)

— t

v T у

—t

v T у

(7)

где Ь = ХЦ + yІ2 + ziз — координаты точки в исходной системе координат; Ь' = х'ц + у^ + z'iз — координаты после преобразования; о — знак кватер-нионного умножения; О — нормированный кватернион, двойной угол вращения которого определяет взаимное расположение двух системам координат; О = д01 - д^1 - q2І2 - qзiз — кватернион, сопряженный кватерниону О.

Математический аппарат кватернион более подробно описан в [5, 6].

Постановка задачи Исходными данными являются координаты (долгота, широта и высота) размещения НС и БПЛА. Ориентация АС (углы бокового отклонения, подъема и вращения) в системе координат БПЛА задается в исходных данных или определяется исходя из координат размещения НС и РС. Наблюдаемыми параметрами, характеризующими пространственную нестабильность БПЛА, являются показания БНК (крен, тангаж, рыскание и скорости их изменения). В качестве условий задано, что наблюдаемые параметры поступают с определенной частотой.

Для уменьшения ошибки наведения, вызванной получением наблюдаемых параметров через дискретные промежутки времени, необходимо разработать модель прогнозного движения БПЛА, позволяющую рассчитать траектории движения лучей ФАР до получения очередных показаний БНК по результатам прогнозирования пространственного перемещения БПЛА.

На основании исходных данных, наблюдаемых параметров, результатов прогнозирования необходимо разработать модель определения параметров наведения АС РС через кинематические параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) используя математический аппарат кватернионов.

Модель прогнозного движения Прогнозирование пространственного положения БПЛА позволяет определить кватернион поворота при получении показаний БНК на один шаг вперед. В качестве ограничений установлено, что на участке выдачи показаний БНК скорость и направление вращения БПЛА изменяются незначительно и их изменением можно пренебречь.

3. При дискретном управлении наведением АС поворот разбивается на п участков (рис. 2б), а кватернион единичного поворота АО0 определяется как:

AQn

+ ^ sin

cos — —

V n Й

(8)

Кватернион текущего положения БПЛА каждом шаге управления на интервале выдачи показаний определяется выражениями:

Q + t = AQ0 о Qv Q + 2t = AQ0 o AQ0 o Qt; = AQ0 o Q +t;

Qtj +(n-l)t = AQ0 o 2 • 0 AQ0 o Qtj = AQ0 o Qtj +(n-2)t; (9) n -1

Qt, + nt = Qt,

где т — продолжительность шага управления.

Учитывая свойства ассоциативности кватернион-ного умножения, система (9) преобразована к рекуррентной форме, позволяющей определить кватернион текущего положения БПЛА О^ + ¡т на /-ом шаге управления в течение интервала выдачи показаний:

+ ¡т = А°0 о Оti + (]-1)т , при/ = 1...(л - 1). (10)

Полученные в выражениях (7) и (10) значения кватернионов текущего положения БПЛА АО(Ц и О^ + ] используются в работе модели определении параметров наведения при непрерывном и дискретном управлении лучом ФАР.

Модель определения параметров наведения

1. Преобразование географических координат НС (и , 0 , Н ) и БПЛА (и , 0 , Н ) из сферической

'г нс нс' нс' 'г ла' ла ла' _►

системы координат в прямоугольную (ьнс и ьла соответственно) задается выражениями:

x = (R + H) • cos m • cos 0; y = (R + H) • cos m • sin 0; z = (R + H) • sin 0;

(11)

cos

L

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012

где Ь = х1[ + у!2 + 21з — трехмерный вектор прямоугольных координат; Я — радиус сферы земной поверхности; т, 0, Н — долгота, широта и высота.

2. Кватернион поворота Ола, задающий направление на БПЛА, определяет преобразованием углов Эйлера в компоненты кватерниона [6]:

q0 = cos--------cos

2

. бла qj = sin-------cos

2

Ол

q2 = sin-----------sin

2

0ла . q3 = cos----------sin

2

ла і + a ла

2

m ла -a ла

2

m ла -a ла

2

m ла + a ла

(12)

Рис. 2. Геометрическая интерпретация кватерниона прогнозируемого поворота БПЛА (а) и его разбиения на единичные повороты (б)

2

где 0ла, фда — географические координаты БПЛА (широта и долгота); ада — курс БПЛА.

3. Преобразование координат НС в систему координат БПЛА в кватернионной форме, согласно (4) и (12) задается выражением:

Б’нс = Q л

(LHC ^ла) 0 Ола '

(13)

где Б'нс = х'нсі1 + у'нсі2 + 2'нс13 — вектор, определяющий точку размещения НС в системе координат БПЛА.

4. Направление на НС в системе координат БПЛА задается углами ориентации АС (углы подъема уп, бокового отклонения уб и вращения ув), определяемых выражениями:

Уп

Унс

/Х'2 + У2 + z'2 нс т У нс т zHC

уб = arctan -

Ув

arctan -

(14)

О'ас определяется согласно выражению (15) исходя из заданных углов ориентации уп, уб, ув.

6. Отклонение БПЛА от заданного положения (пространственная нестабильность) определяется углами рыскания Ау, тангажа Аи и крена Аф. Кватернион АОЛа , описывающий перемещение БПЛА, определяется преобразованием углов Крылова в компоненты кватерниона согласно выражению (15), при этом вместо углов уб, уП, УВ используются углы Ау, Аи, Аф соответственно.

7. Кватернион поворота О'Пн , задающий направление на НС в результате поворота АС О'ас и вращения БПЛА АОЛа , определяется произведением соответствующих кватернионов в обратном порядке [5]:

ОПн = АО'ла о оа

(16)

Преобразование точки наведения луча ФАР в систему координат АС с учетом поворота БПЛА и АС (16) осуществляется аналогично выражению (11):

ОПн о L'B

сПн-

(17)

5. Кватернион 0'ас , задающий поворот АС РС в направлении на НС в системе координат БПЛА, определяется преобразованием углов Крылова (14) в компоненты кватерниона [6]:

Уп Уб Ув

q0 = cos-cos-cos-

222

. УП . Уб . У'в - sin-sin-sin-

оас =

2

2

2

. Уп . Уб Ув

q! = sin----------sin-----------cos-----------+

2 2 2

УП Уб У'в

+ cos-----------cos----------cos-----

2

2

2

. Уп Уб Ув

q2 = sin-cos-cos-+

222 уп . Уб . ув

+ cos-sin-sin

2

2

Уп . Уб Ув

q3 = cos-----------sin--------cos-----------

2 2 2

. уп Уб . У'в

- sin--------cos---------sin--------

2

2

2

(15)

Ориентация АС может не совпадать с направлением на НС, тогда кватернион ориентации АС РС

где Б'нс = х'Нл + уНсі2 + 2нсі3 — вектор, определяющий точку размещения НС в системе координат АС.

8. Параметры наведения луча ФАР (углы отклонения по горизонтали 0х и вертикали 0у) в системе координат АС определяются как проекции на координатные оси с помощью выражения:

0Х = arcsin ,__________

0 У = ai

2 + у "2 + z "2

нс + унс + ZHC

У нс

(18)

л/Хн

2 + у "2 + z " 2

нс + у нс + 2нс

Полученные параметры наведения (18) в дальнейшем используются для определения необходимого фазового распределения в ФАР.

Заключение В представленных моделях описание вращения БПЛА и преобразования координат между различными системами осуществляется кинематическими параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона), а в качестве математического аппарата используются кватернионы.

Разработанные модели позволяют описать движение БПЛА одним кинематическим уравнением, при преобразовании между системами координат сократить количество вычислений, а применение тригонометрических функций свести к минимуму.

э

z

нс

нс

Х

z

нс

нс

э

z

2

Представленные математические модели прогнозного движения БПЛА и определения параметров наведения АС РС, являются основой для разработки алгоритмов управления характеристикой направленности ФАР, что является направлением дальнейших исследований.

Библиографический список

1. Проблемы повышения эффективности функционирования ретранслятора связи на беспилотном летательном аппарате / А. Ю. Сивов и [др.] // Науч.-техн. сб. по матер. Межведомственной конф. на 11-й Межд. специализированной выставке «Граница-2009». — М. : ПНИЦ ФСБ России, 2010. — С. 109-114.

2. Алешин, М. Г. Повышение энергетической эффективности системы радиосвязи с ретранслятором на беспилотном летательном аппарате / М. Г. Алешин, С. В. Дьяконов, А Ю. Сивов // Тр. 66-й науч.-техн. конф., посвящ. Дню радио. — СПб. : СПбНТОРЭС, 2011. — С. 174 — 175.

3. Алешин, М. Г. Обоснование антенной системы ретранслятора связи на беспилотном летательном аппарате / М. Г. Але-

шин, А. Ю. Сивов // Радиотехника, электроника и связь — 2011 : сб. докладов по результатам Межд. науч.-техн. конф. — М. : Радиотехника, 2011. — С. 382 — 391.

4. Машбиц, Л. М. Компьютерная картография и зоны спутниковой связи / Л. М. Машбиц. -2-е изд., перераб. и доп. — М. : Горячая линия-Телеком, 2009. — 236 с.

5. Бранец, В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В. Н. Бранец, Н. П. Шмыглевский. — М. : Наука, 1973. — 320 с.

6. Челноков, Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения / Ю. Н. Челноков. — М. : ФИЗМАТЛИБ, 2006. — 512 с.

СИВОВ Александр Юрьевич, кандидат технических наук, начальник факультета.

АЛЕШИН Михаил Геннадьевич, адъюнкт.

Адрес для переписки: amg261@mail.ru.

Статья поступила в редакцию 23.11.2011 г.

©А. Ю. Сивов, М. Г. Алешин

УДК 621.3+519.24 Е. Ю. КОПЫТОВ

Л. Л. ЛЮБЧЕНКО

Омский государственный университет путей сообщения

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ЛНЛЛИЗ ОШИБОК ДИЛГНОСТИРОВЛНИЯ В МОДЕЛЯХ ПРОЦЕССОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВЛНИЯ РЛДИОЭЛЕКТРОННОЙ ЛППЛРЛТУРЫ

Предложена методика определения зависимости вероятностей ошибок первого и второго рода встроенной аппаратуры диагностирования (ЛД) от периодичности технического обслуживания (ТО).

Ключевые слова: моделирование, математическая модель, надежность, техническое обслуживание.

Введение

В математических моделях процессов ТО чаще всего значения вероятностей ошибок первого и второго рода однократно задают при моделировании и далее не меняют. Однако если эти коэффициенты показывают вероятности ошибок встроенной АД, то важно знать зависимость их значений от времени, поскольку это позволяет учитывать старение аппаратуры диагностики (особенно встроенной), так как АД подвергается тем же воздействиям, что и объект контроля.

Ошибка диагностирования первого рода (а) — это вероятность признать исправный объект неисправным, а ошибка диагностирования второго рода (Р) — это вероятность признать неисправный объект исправным.

Методика определения ошибок диагностирования встроенной АД

Для определения зависимости а1(Г) возьмем восстанавливаемую систему, построенную на основе мо-

дели полумарковских случайных процессов [1, 2]. Для упрощения расчетов примем, что в данной системе существуют только ошибки первого рода встроенной АД. Рассмотрим граф вероятностей переходов данной системы (рис. 1). Начальным состоянием системы является исправное и работоспособное состояние 50. Через случайное время т в системе может произойти опасный отказ, который с вероятностью _Р02(Г) будет обнаружен и система перейдет в состояние 52 из которого, спустя время восстановления tв, с вероятностью, равной единице, она перейдет в исправное состояние Б0. Если отказ не будет обнаружен встроенной аппаратурой диагностики, то система с вероятностью а1(Г)[1— -Р02(Г)] перейдет в состояние ложного отказа 53 из которого, спустя время устранения ложного отказа tвл с вероятностью, равной единице, она перейдет в исправное состояние Б0. Если за время, равное периоду технического обслуживания

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ